Физика плазмы, 2019, T. 45, № 4, стр. 359-364

1. ВВЕДЕНИЕ

Магнитные неустойчивости в плазме представляют особый интерес для лазерного термоядерного синтеза, где магнитные поля могут уменьшать подвижность частиц, а также в астрофизике, где магнитные неустойчивости могут приводить к генерации магнитных полей. Для лазерного синтеза критично, чтобы давление, приводящее к сжатию пеллет, было достаточно однородным, и чтобы до максимального сжатия не происходило разрушения пеллеты (см., например, [1, 2]). Без этого нагрев топлива в процессе сжатия может быть недостаточен, и лазерная энергия будет вкладываться в топливо неэффективно [3]. В астрофизических объектах генерация магнитного поля при взаимодействии электронов с пространственно неоднородной плазмой может служить примером подобных магнитных неустойчивостей.

Динамика магнитного поля в плазме глубоко связана с процессами электронного переноса. Магнитные неустойчивости часто вызываются тепловой анизотропией электронного распределения, а не противоположно направленными электронными потоками. Известно, что магнитные поля в незамагниченной плазме могут возникать в результате различных механизмов (см., например, [4–7]). Эти механизмы являются основой понимания целого ряда взаимодействий лазерного излучения с плазмой. Одним из кандидатов в механизмы, приводящие к генерации магнитных полей, является создающая поле тепловая (или термомагнитная) неустойчивость (см. [6]), играющая важную роль в плазме, нагреваемой лазерным излучением. При данной неустойчивости, поле может генерироваться в результате двух процессов, один из которых развивается, когда градиенты давления и плотности электронов не параллельны, а второй связан с адвекцией поля диффузным потоком тепла (эффект Нернста). Первый процесс приводит к формированию так называемой батареи Бирманна [8] и проявляется как в лабораторной плазме, так и в астрофизических объектах, от звезд до молодых галактик (см., например, [9–11]). Особенностью данного сценария является то, что генерация поля начинается с нулевого значения, в то время как во втором сценарии необходимо “затравочное” начальное поле, которое инициирует генерацию. Надо отметить, что, как и в первом случае, данный механизм также имеет место в турбулентной плазме, и часто носит название эффекта кросс-спиральности [12, 13]. В этом случае роль градиента давления играет градиент турбулентного напряжения.

В настоящей работе рассматривается механизм генерации магнитного поля в плазме с неоднородной температурой. Этот механизм вызывается так называемой термомагнитной неустойчивостью и включает в себя ряд процессов, происходящих в горячей плазме. Термомагнитные процессы преобразуют часть теплового потока в энергию магнитного поля. Вероятность подобного преобразования рассматривали в экспериментах с лазерной плазмой (см., например [6, 14–18, 20]). В данном сценарии образуется обратная связь между эффектом Нернста и потоком тепла Риги−Ледюка, полностью определяемая транспортными процессами (для генерации магнитного поля гидродинамического движения не требуется). В этом заключается принципиальное отличие данного механизма от механизмов, вызываемых движением вещества (динамо). В лазерной плазме термомагнитные процессы приводят к неустойчивости, которая генерирует сильные магнитные поля (~10⁶–10⁷ Гс) за короткие времена (см., например, [16, 17]). Влияние градиентов плотности и гидродинамического движения на термомагнитную неустойчивость было рассмотрено Бисселем и др. [7, 18, 19]. Обнаружено, что гидродинамическое движение вызывает ограниченное воздействие на скорость роста неустойчивости в лазерной плазме, в то время как влияние градиента плотности может быть более существенным, потому что он может служить дополнительным источником поля. Принято считать, что в незамагниченной плазме неустойчивость может вызываться двумя механизмами, которые определяются либо (1) непараллельными градиентами температуры и электронной плотности, либо (2) адвекцией Нернста, которая может приводить к экспоненциальному сжатию магнитных возмущений (см. [20]). Нужно отметить, что адвекция Нернста может давать вклад в генерацию поля даже если градиенты температуры и плотности параллельны [21, 22].

В данной статье рассматривается неустойчивость, вызывающая генерацию поля и связанная с эффектом Нернста в случае, когда излучательные процессы играют важную роль в переносе тепла. В определенных условиях электронным переносом тепла в нагреваемой лазером плазме можно пренебречь, и излучение становится господствующим фактором, который определяет баланс тепла. Тем не менее, эффект Нернста по-прежнему может преобразовать часть теплового потока в энергию магнитного поля. В этом случае неустойчивости обладают рядом особых свойств по сравнению с теми, которые были рассмотрены в [14], но генерация магнитного поля по-прежнему возможна.

Применительно к астрофизическим условиям, тепловая неустойчивость, генерирующая магнитное поле в нейтронных звездах рассматривалась в [23]. Магнитные поля, создаваемые тепловой неустойчивостью, могут объяснить быстрое магнитное развитие пульсаров на ранних стадиях их существования [24, 25]. Нужно отметить, что термомагнитные процессы существенно меняют свойства переноса. Например, они могут играть важную роль в аккреционных дисках [26, 27], в которых термомагнитные явления часто сопровождаются магниторотационными явлениями и вносят вклад в перенос углового момента.

В лазерной плазме перенос тепла электронами иногда гораздо менее эффективен, чем радиационный нагрев или охлаждение и, следовательно, не вносит существенного вклада в тепловое равновесие. Это существенно отличает его от обычной термомагнитной неустойчивости в лабораторной плазме, при которой электронный теплоперенос является основным механизмом переноса тепла [6, 18, 20]. Если электронный перенос тепла несущественен, то главной причиной анизотропии распределения электронов является эффект Нернста и магнитная неустойчивость сильно изменяется.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Мы рассматриваем тепловую неустойчивость, генерирующую магнитное поле, в слое в декартовых координатах (x, y, z), предполагая, что слой расположен между z = 0 (нижняя граница) и z = a (верхняя граница), и что градиент температуры параллелен оси z. Плазма рассматривается в магнитогидродинамическом приближении, которое обычно оправдано в плазме, нагреваемой лазером. Уравнения момента и непрерывности имеют вид

где v и B – скорость плазмы и вектор магнитного поля, соответственно, ρ и p – плотность и давление, T – температура, g – вектор силы тяжести, $d{\text{/}}dt = \partial {\text{/}}\partial t + ({\mathbf{v}} \cdot \nabla )$.

Баланс тепла определяется уравнением

где c_p – удельная теплоемкость при p = const; S и G – скорости нагрева и охлаждения; ${{{\mathbf{q}}}_{{\mathbf{e}}}} = - {{\kappa }_{e}} \cdot \nabla T$ – тепловой поток, переносимый электронами (${{\kappa }_{e}}$  – тензор электронной теплопроводности (см., например, [28])). Величины S и G в уравнении (3) задаются термодинамическими параметрами плазмы. Было предложено несколько приближенных выражений для этих величин. Мы изспользуем простейшую модель, описанную в [29], в которой предполагается, что где ρ₀ и T₀ – равновесные значения, так что ${{S}_{0}} = {{G}_{0}}$, а a₁, a₂, b₁, b₂, определяются подгонкой экспериментальных данных. Надо отметить, тем не менее, что наши результаты не зависят от формы S и G. Единственный важный момент состоит в том, что S и G слабо зависят от B, но это действительно так в нагреваемой лазером плазме, где B ~ ~ 10⁶G, поскольку процессы излучения не чувствительны к B в таких полях.

К уравнениям (1)–(3) необходимо добавить закон Ома и уравнение индукции. Закон Ома в полностью ионизованной плазме имеет вид (см. [28])

где E и j – электрическое поле и плотность тока; n_e и p_e – плотность и давление электронов; $\hat {\alpha }$ и $\hat {\beta }$ – тензоры, описывающие скорость затухания тока и скорость термомагнитных явлений. Произведения тензоров можно записать как где b = B/B; верхние индексы ||, $ \bot $ и $ \wedge $ обозначают компоненты, параллельные и перпендикулярные к магнитному полю и так называемую холловскую компоненту [28]. Подставляя уравнение (5) в закон Фарадея, получим

Рассмотрим линейные волны, задаваемые уравнениями (1)–(3) и (7). Мы можем представить все величины как суммы невозмущенной величины и малого возмущения, которое обозначим индексом 1. Возмущения описываются линеаризованными уравнениями (1)–(3), (7). Мы предполагаем, что в невозмущенном состоянии $\nabla T \ne 0$, a невозмущенная скорость и невозмущенное магнитное поле равны нулю. При линеаризации тензоров $\hat {\alpha }$ и $\hat {\beta }$, слагаемыми, пропорциональными B², и старшим степеням B можно пренебречь, поскольку в невозмущенном состоянии магнитное поле отсутствует. В результате получаем

где k_B – постоянная Больцмана; τ_e – время релаксации электронов; α₀, β₀ и ${{\beta }_{{ \wedge 0}}}$ – параметры, рассчитанные в [28]. В водородной плазме α₀ = 0.51, β₀ = 0.71 и ${{\beta }_{{ \wedge 0}}}$ = 0.81. Время релаксации электронов определяется как ${{\tau }_{e}} = 3\sqrt {{{m}_{e}}} {{({{k}_{B}}T)}^{{3/2}}}{\text{/}}4\sqrt {2\pi } {{e}^{4}}{{Z}^{2}}{{n}_{e}}\Lambda $, где Λ – кулоновский логарифм, а Z – заряд ионов. Коэффициент ${{\alpha }_{ \wedge }}$ пропорционален B, но в уравнении (7) его следует умножить на электрический ток и, следовательно, этот член является нелинейным по отношению к малым возмущениям, и им следует пренебречь в линейной теории. Таким образом, линеаризованное уравнение индукции имеет вид где $\sigma = {{e}^{2}}{{n}_{e}}{{\tau }_{e}}{\text{/}}{{\alpha }_{0}}{{m}_{e}}$ – проводимость вдоль магнитного поля.

Рассмотрим линеаризованные уравнения (1)–(3). В нагреваемой лазером плазме перенос тепла электронами часто гораздо менее эффективен, чем радиационный нагрев или охлаждение. Характерный масштаб времени электронного переноса порядка ${{t}_{e}} \sim \rho {{c}_{p}}{{\lambda }^{2}}{\text{/}}{{\kappa }_{e}}$, где ${{\kappa }_{e}} \sim {{n}_{e}}k_{B}^{2}T{{\tau }_{e}}{\text{/}}{{m}_{e}}$ (см. [28]), λ – характерная длина возмущения. Временной масштаб возрастает с увеличением характерной длины возмущения как λ², и, следовательно, для относительно больших возмущений электронный перенос тепла является медленным и им можно пренебречь. В характерных экспериментальных условиях (см., например, [7, 17, 29, 30]), $T \sim 3 \times {{10}^{6}}$ K и ${{n}_{e}} \sim {{10}^{{21}}}$ см³. Время остывания зависит от свойств лазерной мишени и составляет ≈10^–11 для материалов с высоким Z (Au, Mn, Fe) и ≈4 × 10^–11 для материалов с низким Z, таких, как Ca и полимеры. Критический размер ${{\lambda }_{{cr}}}$, при превышении которого эффектами электронной теплопроводности можно пренебречь составляет ~3 мкм для материалов с высоким Z и ~15 мкм для материалов с низким Z [29].

В общем случае при $\mathop {\vec {q}}\nolimits_e \ne 0$ линеаризация уравнений (1)–(3) и (9) приводит к системе уравнений, которые описывают все возмущения. Однако уравнения (1)–(3) не содержат линейных членов, пропорциональных B₁, если пренебречь электронным переносом тепла и если q_e = 0. Более того, если q_e можно пренебречь, то единственным членом уравнений (1)–(3), зависящим от B, является сила Лоренца в уравнении момента (1). Линеаризуя его, получаем ${{[(\nabla \times {\mathbf{B}}) \times {\mathbf{B}}]}_{1}} = 0$, и, следовательно, уравнения (1)–(3) становятся независимыми от уравнения (9) если q_e мало, и если эти уравнения обладают набором собственных мод. С другой стороны, особый тип мод может описываться уравнением (9), если предположить, что T₁, ρ₁, ρ₂ и v₁ стремятся к нулю. Единственное не стремящееся к нулю возмущение B₁ в этих модах может быть названо магнитным. Данные моды записываются как

Сравнивая первый и второй член правой части уравнения (10), получаем, что термомагнитные эффекты имеют более сильный эффект, чем омическое затухание если

где ${{c}_{e}} = \sqrt {{{k}_{B}}T{\text{/}}{{m}_{e}}} $ – тепловая скорость электронов и ${{\omega }_{p}} = \sqrt {4\pi {{e}^{2}}{{n}_{e}}{\text{/}}{{m}_{e}}} $ – плазменная частота. Условие (11) можно переписать как $\varepsilon \approx 36T_{6}^{4}{\text{/}}{{n}_{{21}}}{{\Lambda }^{2}} \gg 1$, где ${{n}_{{21}}} = n{\text{/}}{{10}^{{21}}}$ см^–3 и ${{T}_{6}} = T{\text{/}}{{10}^{6}}$ K.

Если $\varepsilon \gg 1$ и влияние омического затухания пренебрежимо мало, то можно пренебречь вторым членом правой части уравнения (10). Интегрируя это уравнение по объему, можно преобразовать его правую часть в интеграл по поверхности, в соответствии с уравнением $\int {\nabla \times {\mathbf{F}}dV} = \int {{\mathbf{dW}} \times {\mathbf{F}}} $, где V и W – объем плазмы и ее поверхность, соответственно. Учитывая, что в нашем случае ${\mathbf{F}} = - {{\beta }_{{ \wedge 0}}}({{{\mathbf{k}}}_{{\mathbf{B}}}}{\text{/}}{{{\mathbf{m}}}_{{\mathbf{e}}}})\nabla \times ({{\tau }_{{\mathbf{e}}}}\nabla {\mathbf{T}} \times {{{\mathbf{B}}}_{1}})$ и B₁ перпендикулярно $\nabla T$, получаем

где $\mathop {\vec {q}}\nolimits_{e0} = - ({{\gamma }_{0}}{{n}_{e}}k_{B}^{2}T{{\tau }_{e}}\nabla T{\text{/}}{{m}_{e}}$ – электронный поток, а γ₀ вычислено по Брагинскому [28]. В водородной плазме $({{\beta }_{{ \wedge 0}}}{\text{/}}{{\gamma }_{0}})$ ~ 0.26. При развитии данной неустойчивости растут только возмущения магнитного поля. Однако генерация магнитного поля требует определенных затрат энергии, и в нашем случае данная энергия может быть взята только из потока тепла, поскольку другие источники энергии отсутствуют. Таким образом, эффект Нернста преобразует часть потока тепла в магнитную энергию.

3. МАГНИТНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

Мы рассматриваем неустойчивость магнитных мод в слое между z = a и z = 0. Как видно из уравнения (10), термомагнитные эффекты могут влиять только на компоненту B₁, перпендикулярную $\nabla T$. Удобно направить ось y параллельно B₁. Если основное состояние квазистационарное, то зависимость B₁ от t и x можно положить равной $ \propto {\kern 1pt} exp(\gamma t - i{{k}_{x}}x)$, где γ – инкремент нарастания и k_x – волновой вектор в направлении x. Зависимость ${{B}_{{1y}}}$ от z можно определить из уравнения (10). В данном приближении, это уравнение принимает вид

где ${{\eta }_{m}} = {{c}^{2}}{\text{/}}4\pi \sigma $ – коэффициент магнитной диффузии и где штрих обозначает d/dz. Отношение первого и второго членов в правой части выражения для A пропорционально ε и, следовательно, второй член мал в области, где преобладают термомагнитные эффекты и ε ≫ 1.

Некоторые общие свойства магнитных волн могут быть получены непосредственно из уравнения (13). Рассмотрим плазму, в которой преобладают термомагнитные эффекты, ε ≫ 1. В этом случае можно пренебречь членами, пропорциональными ${{\eta }_{m}}$ в A и D. После этого уравнение (13) принимает вид

Умножив это уравнение на ${{B}_{{1y}}}$ и проинтегрировав по dz, получаем

Первый член в правой части уравнения (16) мал если ε ≫ 1. Второй член можно проинтегрировать по частям. В результате получаем

Предполагая, что ${{B}_{{1y}}} = 0$ на верхней и нижней границе и применяя теорему о среднем значении, получим

где ${{z}_{m}}$ – точка в пределах слоя, $a \geqslant {{z}_{m}} \geqslant 0$. Таким образом, устойчивость определяется зависимостью A_TM от z. Например, если $d{{A}_{{TM}}}{\text{/}}dz$ > 0 внутри слоя, тогда γ > 0 и магнитные волны неустойчивы.

Основные количественные свойства магнитных мод можно определить, пользуясь моделью тонкого слоя. Эта модель довольно просто позволяет получить аналитическое решение. В модели предполагается, что слой настолько тонок, что ни невозмущенные величины, ни их производные не меняются существенно в слое. В этом случае температуру можно записать как

где мы ограничиваемся в разложениилинейным членом, поскольку слой тонкий и $\xi \ll 1$. Здесь T₀ – температура при z = 0 и ${{(dT{\text{/}}dz)}_{0}}$ = const. Поскольку основным состоянием является гидростатическое равновесие, давление $p \propto \rho T$ должно быть постоянным внутри слоя, и, следовательно, $\rho = {{\rho }_{0}}{{(1 + \xi z{\text{/}}a)}^{{ - 1}}}$. В полностью ионизованной плазме электрическая проводимость σ пропорциональна T^3/2 и, следовательно, где ${{\eta }_{{m0}}}$ – значение ${{\eta }_{m}}$ при z = 0. Время релаксации электронов τ_e пропорционально ${{T}^{{3/2}}}{\text{/}}n$ и мы имеем где ${{\tau }_{{e0}}}$ – время релаксации при z = 0. Коэффициент D_TM в уравнении (14) можно представить также как

Так как ξ ≪ 1, в уравнениях (20)–(22) можно пренебречь членом $\xi z{\text{/}}a$ по сравнению с единицей. Поэтому в нашей модели уравнение (13) превращается в уравнение с постоянными коэффициентами,

Решение уравнения (23) можно искать в виде $ \propto {\kern 1pt} exp(iqz)$, где q – вертикальный волновой вектор. Тогда имеем

где F₁ и F₂ – константы, определяемые из граничных условий. Уравнение для ${{q}_{{1,2}}}$ имеет вид

Волновые векторы для магнитных мод равны

В общем случае результат зависит от граничных условий. В качестве примера рассмотрим случай, когда B_y стремится к нулю на нижней границе слоя (B_y = 0 при z = 0), а электрический ток стремится к нулю на его верхней границе ($d{{B}_{y}}{\text{/}}dz$ = 0 при z = a). Из первого условия получаем F₁ = –F₂ и, следовательно,

Граничное условие z = a дает

Оценивая ${{A}_{{TM0}}}\;\; \sim \;\,c_{e}^{2}{{\tau }_{e}}{\text{/}}L$ и ${{D}_{{TM0}}}\;\, \sim \;\,c_{e}^{2}{{\tau }_{e}}{\text{/}}{{L}^{2}}$, где L      ‒      вертикальный масштаб, получаем $({{D}_{{TM0}}}{\text{/}}{{\eta }_{{m0}}}){\text{/}}(A_{{TM0}}^{2}{\text{/}}4\eta _{{m0}}^{2}) \ll 1$. В этом приближении волновые векторы можно записать как

и дисперсионное уравнение принимает вид

Решение этого уравнения зависит от знака ${{A}_{{TM0}}}$, определяемого производной $dT{\text{/}}dz$. Если $dT{\text{/}}dz$ > > 0 и температура уменьшается с z, то экспоненциальный член левой части уравнения (30) мал, поскольку экспонента велика ($ \sim {\kern 1pt} a{{A}_{{TM0}}}{\text{/}}{{\eta }_{{m0}}} \sim (a{\text{/}}L)\varepsilon $) и отрицательна в области, где $\varepsilon \gg 1$. Поэтому можно пренебречь вторым членом в левой части уравнения (30). В этом случае дисперсионное уравнение имеет вид ${{q}_{1}}(a) \approx 0$. Следовательно,

или

Поскольку $A_{{TM0}}^{2}{\text{/}}{{\eta }_{{m0}}} \gg {{D}_{{TM0}}}$, получаем $\gamma \approx $ $ \approx - A_{{TM0}}^{2}{\text{/}}{{\eta }_{{m0}}} < 0$, а значит, магнитные волны устойчивы, если T уменьшается с увеличением z.

В слое с обратным градиентом температуры ($dT{\text{/}}dz > 0$) ситуация качественно отлична. В этом случае ${{A}_{{TM0}}}$ положителен и второй член левой части уравнения (30) дает основной вклад в экспоненту, $ \propto {\kern 1pt} a{{A}_{{TM0}}}{\text{/}}{{\eta }_{m}} \sim (a{\text{/}}L)\varepsilon \gg 1$. Поэтому первым членом левой части уравнения (30) можно пренебречь, и дисперсионное уравнение имеет вид ${{q}_{2}}(a) \approx 0$ или $D(a) = 0$. Учитывая, что ${{\tau }_{e}} \propto {{T}^{{3/2}}}{\text{/}}n$, получаем

В общем случае γ может быть любого знака в зависимости от профилей T и ρ. В нашей модели с ${\mathbf{v}} = 0$ можно предположить, что $p(z) = {\text{const}}$ и, следовательно, $d\rho {\text{/}}\rho dz = - dT{\text{/}}Tdz$. Поскольку зависимость T от z линейная, второй производной T можно пренебречь и уравнение (33) переходит в

т.е. инкремент нарастания неустойчивости γ в слое с обратным градиентом температуры положителен.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тепловая генерация магнитного поля вызывается эффектом Нернста и количественно отличается от динамического эффекта. В рассматриваемой модели тепловая генерация возможна, если градиенты T и ρ направлены в противоположные стороны. Это условие развития неустойчивости выполняется в некоторых астрофизических объектах, например, в горячих звездах, в атмосфере которых формируются области с обратным градиентом температуры (см., например, [31]).

Используя уравнение (34), можно оценить инкремент нарастания магнитных волн как $\gamma \sim {{c}_{e}}{{\lambda }_{e}}{\text{/}}{{L}^{2}}$, где ${{\lambda }_{e}} = {{c}_{e}}{{\tau }_{e}}$ – средняя длина свободного пробега электронов. В этом случае время роста неустойчивости ${{t}_{B}} = 1{\text{/}}\gamma $ равно

где ${{L}_{{ - 2}}} = L{\text{/}}{{10}^{{ - 2}}}$. Для нагреваемой лазером плазмы (${{n}_{{21}}} = {{L}_{9}} = 1$, Λ = 4, T₆ = 3) получаем ${{t}_{B}} \sim {{10}^{{ - 9}}}L_{{ - 2}}^{2}{\text{s}}$. В мишенях с низким Z типичное время остывания составляет ≈4 × 10^–11 [29]. Это время больше, чем ${{t}_{B}}$, если $L < 20$ мкм. Отметим, что L больше, чем критический размер ${{\lambda }_{{cr}}} \sim $ ~ 15 мкм, который задает пространственный масштаб возмущений, позволяющий пренебречь теплопроводностью.

Для мишеней с высоким Z (Au, Mn, Fe) время остывания равно ≈10^–11 [29]. Для таких мишеней время роста магнитных волн меньше, чем время остывания, если пространственный масштаб возмущений ≥10 мкм. Этот пространственный масштаб больше ${{\lambda }_{{cr}}} \sim 3$ мкм для мишеней с высоким Z и, следовательно, в этом случае возможна неустойчивость.

Рассматриваемый механизм может приводить к генерации магнитного поля не только в лабораторных условиях, но и в горячих массивных звездах. Время жизни массивных звезд относительно мало (см., например, [32, 33]), но, тем не менее, временной масштаб генерации поля может быть значительно короче.