Физика плазмы, 2019, T. 45, № 5, стр. 457-464

Модуляционная неустойчивость, ионно-звуковые солитоны огибающей и волны-убийцы в четырехкомпонентной плазме

N. A. Chowdhury a*, A. Mannan a, M. M. Hasan a, A. A. Mamun a

a Department of Physics, Jahangirnagar University
Dhaka-1342 Savar, Bangladesh

* E-mail: nurealam1743phy@gmail.com

Поступила в редакцию 14.08.2018
После доработки 08.10.2018
Принята к публикации 25.10.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Теоретически исследована модуляционная неустойчивость (МН) ионно-звуковых волн (ИЗВ) в плазменной системе, состоящей из инерционных адиабатических горячих ионов, изотермических позитронов, и сверхтермических электронов двух температур (холодных и горячих). Методом малых возмущений получено нелинейное уравнение Шредингера (НелУШ), определяющее модуляционную неустойчивость ионно-звуковых волн. Численный анализ НелУШ показал существование как стабильного (темная огибающая солитонов), так и нестабильного (светлая огибающая солитонов и волн-убийц) режимов ИЗВ. Показано, что основные черты ИЗВ (например, устойчивость волнового профиля и инкремент развития МН) существенно модифицированы сверхтермичностью электронов и соответствующими параметрами плазмы. Результаты настоящих исследований могут быть полезны для понимания различных нелинейных процессов как в космической (например, в магнитосфере Сатурна и межпланетном пространстве), так и в лабораторной плазмах (например, горячего катодного разряда и высокоинтенсивного лазерного излучения).

1. ВВЕДЕНИЕ

В течение последних нескольких десятилетий исследования, связанные с электрон-позитрон-ионной (e-p-i) плазмой, впечатляюще увеличивались благодаря наблюдениям (спутник Викинг [1] и миссия Фемида [2]), показавшим существование большого количества e-p-i-плазмы в космосе, а именно: в магнитосфере Сатурна [3], магнитосфере пульсара [4], а также лабораторной плазме [5]. Для понимания физики коллективного поведения в такого сорта космической и лабораторной плазме, многие авторы рассматривали волновую динамику [69], например, электронно-звуковые (ЭЗВ), позитрон-звуковые (ПЗВ), ионно-звуковые (ИЗ) волны (ИЗВ), и ИЗ волны-убийцы (ИЗВУ).

Высокоэнергичные частицы могут сосуществовать с изотермически-распределенными частицами в космической и лабораторной плазмах с характеристиками, отличными от распределения Максвелла. Иногда распределение таких энергичных частиц может оказаться в хвосте высоких энергий немаксвелловского распределения, известного как обобщенный Лоренциан или каппа ($\kappa $) распределение [1012]. $\kappa $-распределение и его связь с распределением Максвелла впервые было описано Василюнусом [12]. Такое распределение могло возникнуть в результате воздействия внешних сил на космическую плазму или взаимодействия волн с частицами. Лоренциан или $\kappa $-распределение сводится к распределению Максвелла в пределе больших спектральных индексов [11], т.е. при $\kappa \to \infty $. Ряд работ был посвящен рассмотрению модели плазмы с надтепловыми электронами одной температуры [7, 12]. Однако обнаружено, что электроны обладают двумя различными темпратурами как в космической, так и в лабораторных плазмах, например, плазма солнечного ветра, высокоинтенсивного лазерного излучения [13], термоядерной турбулентности, горячего катодного разряда [14] содержит электроны двух температур. Панвар и др. [3] исследовал косые ИЗ кноидальные волны в замагниченной плазме используя $\kappa $-распределение электронов двух температур. Балуку и Хелберг [6] исследовали ИЗ-солитоны рассматривая $\kappa $-распределение электронов двух температур в магнитосфере Сатурна и обнаружили, что солитоны обеих полярностей могут существовать во всем диапазоне значений отношения концентраций горячих электронов. Шахмансоури и Алинеяд [15] исследовали линейное и нелинейное возбуждение произвольных амплитуд ИЗ уединенных волн в замагниченной плазме содержащей электроны двух температур и обнаружили, что надтепловые электроны приводят к уменьшению фазовой скорости для обеих мод. Рехман и Мишра [16] анализировали ИЗ уединенные волны в e-p-i плазме с электронами двух температур и изотермическими позитронами и обнаружили, что отношение холодной температуры электронов к горячей играет решающую роль при генерации и регулировании формы солитонов.

До последнего времени число теоретических и экспериментальных исследований модуляционной неустойчивости (МН) ИЗВ постоянно росло из-за успешного ее применения как для космической [7], так и для лабораторной плазмы [1721]. МН ИЗВ в плазме является краеугольным процессом при формировании высоко энергичных ИЗВУ (благодаря взаимодействию волна-волна) или светлой огибающей солитонов в области неустойчивости, в противном случае темная огибающая солитонов может быть сформирована в области устойчивости. Нелинейное уравнение Шредингера (НелУШ) было использовано для понимания различных нелинейных явлений таких, как МН [12], ИЗВУ [8] и огибающие [7] структуры, которые наблюдаются в космической [9] и лабораторной [12] плазмах. Шалини и др. [8] исследовал ИЗВУ в неэкстенсивной плазме с электронами двух температур и обнаружил что ширина ИЗВУ уменьшается с увеличением отношения температур холодных и горячих электронов. Сабри и др. [9] изучили цилиндрические и сферические ИЗ солитоны огибающей в четырех компонентной плазме с холодными ионами, электронами с двумя различными температурами и горячими позитронами и обнаружили, что есть зависимость критического волнового числа (${{\kappa }_{с }}$) от концентрации позитронов. Алинеяд и др. [22] исследовал МН ИЗВ в плазме с κ-распределением электронов двух температур и обнаружил, что популяция горячих электронов приводит к сокращению области МН. Баха и др. [23] изучал ИЗВУ в двухкомпонентной плазменной среде в присутствии неэкстенсивных электронов и нашел, что ИЗВУ могут оказаться под кардинальным воздействием электронной неэкстенсивности. Как известно, влияние электронов с κ-распределением для двух температур и изотермических позитронов на МН ИЗВ в четырехкомпонентной плазме изучено не было. Таким образом, в нашей работе мы выведем НелУШ, используя метод малых возмущений (ММВ), для исследования МН ИЗВ в незамагниченной e-p-i плазме в присутствии теплых адиабатических ионов, надтепловых электронов с двумя различными температурами (низкой и высокой) и изотермических позитронов.

Остальная часть рукописи организована следующим образом: основные уравнения для нашей плазменной модели представлены в разд. 2. МН ИЗВ и ИЗВУ исследуются в разд. 3. Солитоны огибающей показаны в разд. 4. В разд. 5 приведено краткое обсуждение.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим незамагниченную плазменную систему, содержащую инерционные горячие адиабатические ионы, изотермические позитроны и надтепловые электроны двух температур (горячие и холодные). В равновесии условие квазинейтральности может быть записано в виде $Z{{n}_{{i0}}} + {{n}_{{p0}}}$ = ${{n}_{{h0}}} + {{n}_{{c0}}}$, где ${{n}_{{i0}}}$, ${{n}_{{p0}}}$, ${{n}_{{h0}}}$ и ${{n}_{{c0}}}$ – равновесные концентрации горячих адиабатических ионов, изотермических позитронов и надтепловых горячих и холодных электронов соответственно. Основные безразмерные уравнения для описания ИЗВ имеют вид

(1)
$\frac{{\partial {{n}_{i}}}}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{{n}_{i}}{{u}_{i}}} \right) = 0,$
(2)
$\frac{{\partial {{u}_{i}}}}{{\partial t}} + {{u}_{i}}\frac{{\partial {{u}_{i}}}}{{\partial x}} + 3\alpha {{n}_{i}}\frac{{\partial {{n}_{i}}}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}},$
(3)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} = \left( {1 + {{\mu }_{p}} - {{\mu }_{h}}} \right){{n}_{c}} + {{\mu }_{h}}{{n}_{h}} - {{\mu }_{p}}{{n}_{p}} - {{n}_{i}},$
где ${{n}_{i}}$ – концентрация ионов, отнесенная к ее равновесному значению ${{n}_{{i0}}}$, ${{u}_{i}}$ – гидродинамическая скорость ионов, отнесенная к скорости ИЗ-волны ${{С }_{i}} = {{\left( {Z{{k}_{B}}{{T}_{c}}{\text{/}}{{m}_{i}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ (здесь ${{T}_{с }}$ – температура холодных электронов, ${{m}_{i}}$ – масса покоя ионов, ${{k}_{B}}$ – константа Больцмана); φ – электростатический потенциал волны, отнесенный к ${{k}_{B}}{{T}_{c}}{\text{/}}e$ (здесь e – заряд электрона) время и пространственные переменные отнесены к $\omega _{{pi}}^{{ - 1}} = {{\left( {{{m}_{i}}{\text{/}}4\pi {{Z}^{2}}{{e}^{2}}{{n}_{{c0}}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ и ${{\lambda }_{{Di}}} = $ $ = \,{{({{k}_{B}}{{T}_{c}}{\text{/}}4\pi {{Z}^{2}}{{e}^{2}}{{n}_{{i0}}})}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ соответственно, ${{p}_{i}}\, = \,{{p}_{{i0}}}{{({{N}_{i}}{\text{/}}{{n}_{{i0}}})}^{\gamma }}$ (здесь ${{p}_{{i0}}}$ – равновесное адиабатическое давление горячих ионов и $\gamma = \left( {N + 2} \right){\text{/}}N$, где N – степень свободы, для одномерного случая $N = 1$, таким образом $\gamma = 3$); ${{p}_{{i0}}} = {{n}_{{i0}}}{{k}_{B}}{{T}_{i}}$ (здесь ${{T}_{i}}$ – температура горячих ионов и ${{k}_{B}}$ – константа Больцмана); $\alpha = {{T}_{i}}{\text{/}}Z{{T}_{c}}$, ${{\mu }_{h}} = {{n}_{{h0}}}{\text{/}}Z{{n}_{{i0}}}$ и ${{\mu }_{p}} = {{n}_{{p0}}}{\text{/}}Z{{n}_{{i0}}}$. Выражение для концентрации холодных электронов следует из κ-распределения [6, 11, 12] и может быть выражено следующим образом:
(4)
$\begin{gathered} {{n}_{c}} = {{\left[ {1 - \frac{\varphi }{{{{\kappa }_{c}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} \right]}^{{ - {{\kappa }_{c}} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} = \\ = \;1 + {{C}_{1}}\varphi + {{C}_{2}}{{\varphi }^{2}} + {{C}_{3}}{{\varphi }^{3}} + ..., \\ \end{gathered} $
где

${{C}_{1}} = \frac{{{{\kappa }_{c}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}{{{{\kappa }_{c}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}},$
${{C}_{2}} = \frac{{\left( {{{\kappa }_{c}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\left( {{{\kappa }_{c}} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}{{2{{{\left( {{{\kappa }_{c}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}^{2}}}},$
${{C}_{3}} = \frac{{\left( {{{\kappa }_{c}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\left( {{{\kappa }_{c}} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\left( {{{\kappa }_{c}} + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}{{6{{{\left( {{{\kappa }_{c}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}^{3}}}}.$

Здесь ${{\kappa }_{c}}$ (обычные значения ${{\kappa }_{с }} \approx 1.8{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 3$ в магнитосфере достигает значений 8−10 [6]) – надтепловой параметр для холодных электронов. Выражение для концентрации горячих электронов, следующее из κ-распределения, может быть записано в виде

(5)
$\begin{gathered} {{n}_{h}} = {{\left[ {1 - \frac{{\delta \varphi }}{{{{\kappa }_{h}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} \right]}^{{ - {{\kappa }_{h}} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} = \\ = \;1 + {{C}_{4}}\delta \varphi + {{C}_{5}}{{\delta }^{2}}{{\varphi }^{2}} + {{C}_{6}}{{\delta }^{3}}{{\varphi }^{3}} + ..., \\ \end{gathered} $
где $\delta = {{T}_{c}}{\text{/}}{{T}_{h}}$ (здесь ${{T}_{h}}$ – температура горячих электронов и ${{T}_{h}} > {{T}_{c}}$) и

${{C}_{4}} = \frac{{{{\kappa }_{h}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}{{{{\kappa }_{h}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}},$
${{C}_{5}} = \frac{{\left( {{{\kappa }_{h}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\left( {{{\kappa }_{h}} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}{{2{{{\left( {{{\kappa }_{h}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}^{2}}}},$
${{C}_{6}} = \frac{{\left( {{{\kappa }_{h}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\left( {{{\kappa }_{h}} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\left( {{{\kappa }_{h}} + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}{{6{{{\left( {{{\kappa }_{h}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}^{3}}}}.$

Здесь ${{\kappa }_{h}}$ (обычно лежит в пределах 7–10) – надтепловой параметр для горячих электронов [6]. И наконец, выражение для концентрации изотермических позитронов имеет вид

(6)
${{n}_{p}} = \exp \left( { - \lambda \varphi } \right) = 1 - \lambda \varphi + \frac{{{{\lambda }^{2}}{{\varphi }^{2}}}}{2} - \frac{{{{\lambda }^{3}}{{\varphi }^{3}}}}{6} + ...,$
где $\lambda = {{T}_{c}}{\text{/}}{{T}_{p}}$ (здесь ${{T}_{p}}$ – температура изотермических позитронов). Итак, подставляя (4)–(6) в (3) и раскладывая выражение по степеням φ до третьего порядка малости, получаем
(7)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} + {{n}_{i}} = 1 + {{\gamma }_{1}}\varphi + {{\gamma }_{2}}{{\varphi }^{2}} + {{\gamma }_{3}}{{\varphi }^{3}} + ...,$
где

${{\gamma }_{1}} = \left( {1 + {{\mu }_{p}} - {{\mu }_{h}}} \right){{C}_{1}} + {{\mu }_{h}}{{C}_{4}}\delta + {{\mu }_{p}}\lambda ,$
${{\gamma }_{2}} = \left( {1 + {{\mu }_{p}} - {{\mu }_{h}}} \right){{C}_{2}} + {{\mu }_{h}}{{C}_{5}}{{\delta }^{2}} - {{\mu }_{p}}{{\lambda }^{2}}{\text{/}}2,$
${{\gamma }_{3}} = \left( {1 + {{\mu }_{p}} - {{\mu }_{h}}} \right){{C}_{3}} + {{\mu }_{h}}{{C}_{6}}{{\delta }^{3}} + {{\mu }_{p}}{{\lambda }^{3}}{\text{/}}6.$

Отметим, что слагаемые в правой части обусловлены вкладом компонент позитронов, холодных и горячих электронов.

Для изучения модуляции ИЗВ выразим НелУШ, используя ММВ [12]. Итак, сначала вводим растянутые координаты

(8)
$\xi = \varepsilon \left( {x - {{v}_{g}}t} \right),$
(9)
$\tau = {{\varepsilon }^{2}}t,$
где ${{v}_{g}}$ – групповая скорость, ε – малый параметр. Далее можно выразить зависимые переменные в виде [12]
(10)
${{n}_{i}} = 1 + \sum\limits_{m = 1}^\infty {{{\varepsilon }^{{\left( m \right)}}}} \sum\limits_{l = - \infty }^\infty {n_{{il}}^{{\left( m \right)}}} \left( {\xi ,\tau } \right)\exp \left[ {il\left( {kx - \omega t} \right)} \right],$
(11)
${{u}_{i}} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{{\varepsilon }^{{\left( m \right)}}}} \sum\limits_{l = - \infty }^\infty {u_{{il}}^{{\left( m \right)}}} \left( {\xi ,\tau } \right)\exp \left[ {il\left( {kx - \omega t} \right)} \right],$
(12)
$\varphi = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{{\varepsilon }^{{\left( m \right)}}}} \sum\limits_{l = - \infty }^\infty {\varphi _{l}^{{\left( m \right)}}} \left( {\xi ,\tau } \right)\exp \left[ {il\left( {kx - \omega t} \right)} \right],$
где $k\left( \omega \right)$ – действительная переменная, соответствующая волновому числу (частоте) несущей волны. Операторы дифференцирования в обоих случаях трактуются следующим образом:

(13)
$\frac{\partial }{{\partial t}} \to \frac{\partial }{{\partial t}} - \varepsilon {{v}_{g}}\frac{\partial }{{\partial \xi }} + {{\varepsilon }^{2}}\frac{\partial }{{\partial \tau }},$
(14)
$\frac{\partial }{{\partial x}} \to \frac{\partial }{{\partial x}} - \varepsilon \frac{\partial }{{\partial \xi }}.$

Теперь, подставляя (10)–(14) в (1), (2) и (7) и объединяя слагаемые, содержащие ε в первом приближении ($m = 1$, $l = 1$), выражаем уравнения следующим образом:

(15)
$iku_{{i1}}^{{\left( 1 \right)}} - i\omega n_{{i1}}^{{\left( 1 \right)}} = 0,$
(16)
$ik\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}} + ik\Omega n_{{i1}}^{{\left( 1 \right)}} - i\omega u_{{i1}}^{{\left( 1 \right)}} = 0,$
(17)
$n_{{i1}}^{{\left( 1 \right)}} - {{k}^{2}}\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}} - {{\gamma }_{1}}\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}} = 0,$
где $\Omega = 3\alpha $. Эти уравнения сводятся к следующим:
(18)
$n_{{i1}}^{{\left( 1 \right)}} = \frac{{{{k}^{2}}}}{S}\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}},$
(19)
$u_{{i1}}^{{\left( 1 \right)}} = \frac{{k\omega }}{S}\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}},$
где $S = {{\omega }^{2}} - \Omega {{k}^{2}}$. Таким образом, мы получаем дисперсионное соотношение для ИЗВ

(20)
${{\omega }^{2}} = \frac{{{{k}^{2}}}}{{{{k}^{2}} + {{\gamma }_{1}}}} + \Omega {{k}^{2}}.$

Теперь мы проведем численный анализ для того, чтобы определить линейные дисперсионные свойства ИЗВ для различных значений α (см. рис. 1). Как только мы увеличиваем значение ${{T}_{i}}$ при постоянных значениях Z и ${{n}_{{i0}}}$, увеличивается угловая скорость (через α). Уравнения второго порядка малости ($m = 2$, $l = 1$) имеют вид

(21)
$n_{{i1}}^{{\left( 2 \right)}} = \frac{{{{k}^{2}}}}{S}\varphi _{1}^{{\left( 2 \right)}} + \frac{{2ik\omega \left( {{{v}_{g}}k - \omega } \right)}}{{{{S}^{2}}}}\frac{{\partial \varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}}}}{{\partial \xi }},$
(22)
$u_{{i1}}^{{\left( 2 \right)}} = \frac{{k\omega }}{S}\varphi _{1}^{{\left( 2 \right)}} + \frac{{i\left( {{{v}_{g}}k - \omega } \right)\left( {{{\omega }^{2}} + {{k}^{2}}\Omega } \right)}}{{{{S}^{2}}}}\frac{{\partial \varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}}}}{{\partial \xi }}$
с условием совместимости

(23)
${{v}_{g}} = \frac{{\partial \omega }}{{\partial k}} = \frac{{{{\omega }^{2}} - {{S}^{2}}}}{{k\omega }}.$
Рис. 1.

Зависимость ω от k для различных значений α; $\delta = 0.2$, ${{\kappa }_{c}} = 2$, ${{\kappa }_{h}} = 5$, $\lambda = 0.1$, ${{\mu }_{h}} = 0.7$ и ${{\mu }_{p}} = 0.3$.

Найдено, что амплитуды гармоник второго порядка пропорциональны ${{\left| {\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}}} \right|}^{2}}$

(24)
$\begin{gathered} n_{{i2}}^{{\left( 2 \right)}} = {{C}_{7}}{{\left| {\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}}} \right|}^{2}},\quad n_{{i0}}^{{\left( 2 \right)}} = {{C}_{{10}}}{{\left| {\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}}} \right|}^{2}}, \\ u_{{i2}}^{{\left( 2 \right)}} = {{C}_{8}}{{\left| {\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}}} \right|}^{2}},\quad u_{{i0}}^{{\left( 2 \right)}} = {{C}_{{11}}}{{\left| {\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}}} \right|}^{2}}, \\ \varphi _{2}^{{\left( 2 \right)}} = {{C}_{9}}{{\left| {\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}}} \right|}^{2}},\quad \varphi _{0}^{{\left( 2 \right)}} = {{C}_{{12}}}{{\left| {\varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}}} \right|}^{2}}, \\ \end{gathered} $
где

$\begin{gathered} {{С }_{7}} = \frac{{\Omega {{k}^{6}} + 3{{\omega }^{2}}{{k}^{4}} + 2{{C}_{9}}{{S}^{2}}{{k}^{2}}}}{{2{{S}^{3}}}}, \\ {{C}_{8}} = \frac{{\omega {{C}_{7}}{{S}^{2}} - \omega {{k}^{4}}}}{{k{{S}^{2}}}}, \\ {{C}_{9}} = \frac{{\Omega {{k}^{6}} + 3{{\omega }^{2}}{{k}^{4}} - 2{{\gamma }_{2}}{{S}^{3}}}}{{2{{S}^{3}}\left( {4{{k}^{2}} + {{\gamma }_{1}}} \right) - 2{{S}^{2}}{{k}^{2}}}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{C}_{{10}}} = \frac{{2\omega {{v}_{g}}{{k}^{3}} + \Omega {{k}^{4}} + {{\omega }^{2}}{{k}^{2}} + {{C}_{{12}}}{{S}^{2}}}}{{{{S}^{2}}\left( {v_{g}^{2} - \Omega } \right)}}, \\ {{C}_{{11}}} = \frac{{{{v}_{g}}{{C}_{{10}}}{{S}^{2}} - 2\omega {{k}^{3}}}}{{{{S}^{2}}}}, \\ {{C}_{{12}}} = \frac{{2\omega {{v}_{g}}{{k}^{3}} + \Omega {{k}^{4}} + {{\omega }^{2}}{{k}^{2}} + 2{{\gamma }_{2}}{{S}^{2}}\left( {v_{g}^{2} - \Omega } \right)}}{{{{\gamma }_{1}}{{S}^{2}}\left( {v_{g}^{2} - \Omega } \right) - {{S}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

И наконец, рассмотрение моды третьей гармоники ($m = 3$) и ($l = 1$) с помощью (18)–(24) приводит к системе уравнений, которую можно свести к следующему НелУШ:

(25)
$i\frac{{\partial \Phi }}{{\partial \tau }} + P\frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{\xi }^{2}}}} + Q{{\left| \Phi \right|}^{2}}\Phi = 0,$
где $\Phi = \varphi _{1}^{{\left( 1 \right)}}$ для упрощения. Дисперсионный коэффициент P имеет вид
$P = \frac{{{{v}_{g}}{{\Omega }^{2}}{{k}^{5}} - 3{{v}_{g}}k{{\omega }^{4}} + F1}}{{2{{\omega }^{2}}{{k}^{2}}}},$
где $F1 = 4\Omega {{k}^{2}}{{\omega }^{3}} + 2{{v}_{g}}\Omega {{\omega }^{2}}{{k}^{3}} - 4\omega {{\Omega }^{2}}{{k}^{4}}$. Нелинейный коэффициент Q имеет вид
$Q = \frac{{2{{\gamma }_{2}}{{S}^{2}}\left( {{{C}_{9}} + {{C}_{{12}}}} \right) + 3{{\gamma }_{3}}{{S}^{2}} - F2}}{{2\omega {{k}^{2}}}},$
где $F2 = \left( {{{\omega }^{2}}{{k}^{2}} + \Omega {{k}^{4}}} \right)\left( {{{C}_{7}} + {{C}_{{10}}}} \right)$ + $2\omega {{k}^{3}}\left( {{{C}_{8}} + {{C}_{{11}}}} \right)$.

3. МН И ИЗВУ

Давайте рассмотрим линейное решение НелУШ (25) в виде $\Phi = \hat {\Phi }{{e}^{{iQ{{{\left| {\hat {\Phi }} \right|}}^{2}}\tau }}} + c.c.$, где $\hat {\Phi } = {{\hat {\Phi }}_{0}} + \varepsilon {{\hat {\Phi }}_{1}}$ и ${{\hat {\Phi }}_{1}} = {{\hat {\Phi }}_{{1,0}}}\exp \left[ {i\left( {\tilde {k}\xi - \tilde {\omega }\tau } \right)} \right] + c.c.$ (здесь $\tilde {\omega }$ – частота и $\tilde {k}$ – волновое число возмущения). Следовательно, нелинейное дисперсионное соотношение для модуляции амплитуды [7, 24, 25] имеет вид

(26)
${{\tilde {\omega }}^{2}} = {{P}^{2}}{{\tilde {k}}^{2}}\left( {{{{\tilde {k}}}^{2}} - \frac{{2{{{\left| {{{{\hat {\Phi }}}_{0}}} \right|}}^{2}}}}{{P{\text{/}}Q}}} \right).$

Очевидно, что, если $P{\text{/}}Q < 0$, то $\tilde {\omega }$ всегда действительная при всех значениях $\tilde {k}$, следовательно, в этой области ИЗВ устойчивы при наличии малых возмущений. С другой стороны, когда $P{\text{/}}Q > 0$, $\tilde {\omega }$ становится мнимой и ИЗВ оказываются неустойчивыми для $\tilde {k} < {{k}_{c}} = \sqrt {2Q{{{\left| {{{{\hat {\Phi }}}_{0}}} \right|}}^{2}}{\text{/}}P} $, где ${{k}_{c}}$ – это критическое значение волнового числа модуляции, и ${{\hat {\Phi }}_{0}}$ – амплитуда несущей волны. Из рис. 2 видно, что для ИЗВ можно определить области модуляционной устойчивости и неустойчивости. Когда $P{\text{/}}Q \to \pm \infty $, соответствующие значения k ($ = {{k}_{c}}$) называются критическими или пороговыми волновыми числами для начала развития МН. Эти значения ${{k}_{c}}$ разграничивают области неустойчивости ($P{\text{/}}Q > 0$) и устойчивости ($P{\text{/}}Q < 0$). Эффект сверхтермичности (через ${{\kappa }_{c}}$ и ${{\kappa }_{h}}$) чрезвычайно высок, чтобы изменить стабильную область ИЗВ. Из рис. 2 видно, что с увеличением ${{\kappa }_{c}}$ и ${{\kappa }_{h}}$, ${{k}_{c}}$ сдвигается в сторону меньших величин. Этот результат находится в хорошем соответствии с ранее полученными результатами в работах Алинеяда и др. [22] и Султана и Куракиса [7]. В области $P{\text{/}}Q > 0$ и $\tilde {k} < {{k}_{c}}$ инкремент развития (${{\Gamma }_{g}}$) МН имеет вид

(27)
${{\Gamma }_{g}} = \left| P \right|{{\tilde {k}}^{2}}\sqrt {\frac{{k_{c}^{2}}}{{{{{\tilde {k}}}^{2}}}} - 1} .$
Рис. 2.

Зависимость ${P \mathord{\left/ {\vphantom {P Q}} \right. \kern-0em} Q}$ от k для различных значений ${{\kappa }_{c}}$ и ${{\kappa }_{h}}$; $\alpha = 0.03$, $\delta = 0.2$, $\lambda = 0.1$, ${{\mu }_{h}} = 0.7$ и ${{\mu }_{p}} = 0.3$.

Численный анализ инкремента развития МН ИЗВ приведен на рис. 3 и 4 и, очевидно, из этих рисунков, следует: 1) из рис. 3 – с увеличением ${{T}_{h}}$ для фиксированного значения ${{T}_{с }}$ максимальное значение инкремента развития, по-видимому, увеличивается (через δ); 2) из рис. 4 – если мы увеличиваем значение концентрации горячих электронов ${{n}_{{h0}}}$ для фиксированного значения заряда Z и концентрации ${{n}_{{i0}}}$ ионов, то увеличивается максимальное значение инкремента развития (через ${{\mu }_{h}}$). Похожий эффект с надтепловыми горячими электронами наблюдался при изучении ИЗВ в работе Алинеяда и др. [22].

Рис. 3.

График зависимости инкремента развития МН (${{\Gamma }_{g}}$) от $\tilde {k}$ для различных значений δ; $\alpha = 0.03$, ${{\kappa }_{c}} = 2$, ${{\kappa }_{h}} = 5$, $\lambda = 0.1$, ${{\mu }_{h}} = 0.7$ и ${{\mu }_{p}} = 0.3$, $k = 1.1$ и ${{\Phi }_{0}} = 0.5$.

Рис. 4.

График зависимости инкремента развития МН (${{\Gamma }_{g}}$) от $\tilde {k}$ для различных значений ${{\mu }_{h}}$; $\alpha = 0.03$, $\delta = 0.2$, ${{\kappa }_{c}} = 2$, ${{\kappa }_{h}} = 5$, $\lambda = 0.1$, ${{\mu }_{h}} = 0.7$ и ${{\mu }_{p}} = 0.3$, $k = 1.1$ и ${{\Phi }_{0}} = 0.5$.

Для волн-убийц рациональное решение Не-лУШ (25) первого порядка (полученное с помощью схемы трансформации Дарбу) в неустойчивой области ($P{\text{/}}Q > 0$) может быть записано в виде [26]

(28)
$\Phi \left( {\xi ,\tau } \right) = \sqrt {\frac{{2P}}{Q}} \left[ {\frac{{4\left( {1 + 4iP\tau } \right)}}{{1 + 16{{P}^{2}}{{\tau }^{2}} + 4{{\xi }^{2}}}} - 1} \right]\exp \left( {2iP\tau } \right).$

Мы численно проанализировали рациональное решение НелУШ (25) на рис. 5 и 6, и из рис. 5 видно, что нелинейность плазменной системы, которая приводит к увеличению амплитуды и ширины ИЗВУ, увеличивается с увеличением температуры холодных электронов ${{T}_{c}}$ при постоянной температуре позитронов ${{T}_{p}}$ (через λ). На рис. 6 ярко выделено влияние концентрации позитронов на формирование ИЗВУ. В этом случае амплитуда ИЗВУ возрастает с увеличением концентрации позитронов ${{n}_{{p0}}}$ при фиксированном значении Z и ${{n}_{{i0}}}$ (через ${{\mu }_{p}}$).

Рис. 5.

Зависимость $\left| \Phi \right|$ от ξ для различных значений λ; $\alpha = 0.03$, $\delta = 0.2$, ${{\kappa }_{c}} = 2$, ${{\kappa }_{h}} = 5$, ${{\mu }_{h}} = 0.7$ и ${{\mu }_{p}} = 0.3$, $k = 1.1$ и $\tau = 0$.

Рис. 6.

Зависимость $\left| \Phi \right|$ от ξ для различных значений ${{\mu }_{p}}$; $\alpha = 0.03$, $\delta = 0.2$, ${{\kappa }_{c}} = 2$, ${{\kappa }_{h}} = 5$, $\lambda = 0.1$, ${{\mu }_{h}} = 0.7$, $k = 1.1$ и $\tau = 0$.

Здесь важно отметить, что в настоящей работе обсуждается метод малых возмущений, примененный для вывода НелУШ, которое описывает при определенных условиях увеличение до малых, но конечных амплитуд волн-убийц [12, 27]. Тем не менее для изучения произвольных амплитуд волн-убийц мы нашли некоторые другие методы (а именно метод псевдопотенциалов [2830]), которые справедливы для больших/произвольных амплитуд волн-убийц. Последнее, безусловно, является существенно важной задачей, однако выходит за рамки нашей настоящей работы.

4. СОЛИТОНЫ ОГИБАЮЩЕЙ

Знак отношения ${P \mathord{\left/ {\vphantom {P Q}} \right. \kern-0em} Q}$ определяет формирование светлого или темного солитона огибающей.

4.1. Светлые солитоны

Когда ${P \mathord{\left/ {\vphantom {P Q}} \right. \kern-0em} Q} > 0$ мы получаем светлые солитоны огибающей, чья основная аналитическая форма имеет вид [7, 24, 25]

(29)
$\begin{gathered} \Phi \left( {\xi ,\tau } \right) = {{\left[ {{{\psi }_{0}}{{{\operatorname{sech} }}^{2}}\left( {\frac{{\xi - U\tau }}{W}} \right)} \right]}^{{\frac{1}{2}}}} \times \\ \times \;\exp \left[ {\frac{i}{{2P}}\left\{ {U\xi + \left( {{{\Omega }_{0}} - \frac{{{{U}^{2}}}}{2}} \right)\tau } \right\}} \right], \\ \end{gathered} $
где U – это скорость распространения, W – ширина солитона, и ${{\Omega }_{0}}$ – частота колебаний для $U = 0$. Светлый солитон огибающей [полученный численным анализом (29)] изображен на рис. 7.

Рис. 7.

Светлый солитон огибающей для $k = 1.1$; $\alpha = 0.03$, $\delta = 0.2$, ${{\kappa }_{c}} = 2$, ${{\kappa }_{h}} = 5$, $\lambda = 0.1$, ${{\mu }_{h}} = 0.7$, ${{\mu }_{p}} = 0.3$, ${{\psi }_{0}} = 0.0005$, $U = 0.2$, $\tau = 0$ и ${{\Omega }_{0}} = 0.4$.

4.2. Темные солитоны

Когда ${P \mathord{\left/ {\vphantom {P Q}} \right. \kern-0em} Q} < 0$ мы получаем темные солитоны огибающей, чья основная аналитическая форма имеет вид [7, 24, 25]

(30)
$\begin{gathered} \Phi \left( {\xi ,\tau } \right) = {{\left[ {{{\psi }_{0}}{{{\tanh }}^{2}}\left( {\frac{{\xi - U\tau }}{W}} \right)} \right]}^{{\frac{1}{2}}}} \times \\ \times \;\exp \left[ {\frac{i}{{2P}}\left\{ {U\xi - \left( {{{\Omega }_{0}} - \frac{{{{U}^{2}}}}{2}} \right)\tau } \right\}} \right]. \\ \end{gathered} $

Соотношение между шириной солитона W и постоянной максимальной амплитудой ${{\psi }_{0}}$ связано соотношением $W = \sqrt {{{2\left| {{P \mathord{\left/ {\vphantom {P Q}} \right. \kern-0em} Q}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\left| {{P \mathord{\left/ {\vphantom {P Q}} \right. \kern-0em} Q}} \right|} {{{\psi }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\psi }_{0}}}}} $. Отношение ${P \mathord{\left/ {\vphantom {P Q}} \right. \kern-0em} Q}$ определяет ширину солитона W как ${{\psi }_{0}}W \approx $ $ \approx {{\left( {{P \mathord{\left/ {\vphantom {P Q}} \right. \kern-0em} Q}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ . Таким образом, более низкие значения определяют более узкие солитоны и наоборот. Темный солитон огибающей, полученный численным анализом (30), изображен на рис. 8.

Рис. 8.

Темный солитон огибающей для $k = 0.3$; $\alpha = 0.03$, $\delta = 0.2$, ${{\kappa }_{c}} = 2$, ${{\kappa }_{h}} = 5$, $\lambda = 0.1$, ${{\mu }_{h}} = 0.7$, ${{\mu }_{p}} = 0.3$, ${{\psi }_{0}} = 0.0005$, $U = 0.2$, $\tau = 0$ и ${{\Omega }_{0}} = 0.4$.

5. ОБСУЖДЕНИЕ

В этой работе мы рассмотрели незамагниченную четырехкомпонентную плазму, состоящую из инерционных горячих адиабатических ионов, изотермических позитронов и сверхтермических электронов двух температур (горячих и холодных). Используя ММВ получено НелУШ, которое определяет эволюцию ИЗВ. Мы обнаружили существование областей устойчивости и неустойчивости для ИЗВ и связанный с ними инкремент развития МН в области неустойчивости. Результаты, полученные нами в этом исследовании, можно резюмировать следующим образом.

1. ИЗВ будут устойчивыми (неустойчивыми) в случае длинных (коротких) длин волн, для которых отношение ${P \mathord{\left/ {\vphantom {P Q}} \right. \kern-0em} Q}$ отрицательное (положительное) ${P \mathord{\left/ {\vphantom {P Q}} \right. \kern-0em} Q} < 0$ (${P \mathord{\left/ {\vphantom {P Q}} \right. \kern-0em} Q} > 0$).

2. Если мы увеличиваем значение концентрации горячих электронов ${{n}_{{h0}}}$ при фиксированных значениях заряда Z и концентрации ${{n}_{{i0}}}$ ионов, то максимальное значение инкремента увеличивается (через ${{\mu }_{h}}$). ${{\Gamma }_{g}}$ увеличивается с ${{T}_{h}}$ при фиксированных значениях ${{Т }_{с }}$ (через δ).

3. Амплитуда ИЗВУ увеличивается с ростом концентрации позитронов ${{n}_{{p0}}}$ при фиксированных Z и ${{n}_{{i0}}}$ (через ${{\mu }_{p}}$).

Большое количество наблюдений [1, 2] ясно показывает существование сверхтермических электронов в различных природных средах (например, магнитосфере Сатурна [6, 11], хвосте магнитосферы, авроральных зонах, ионосфере, солнечном ветре и сильном излучении в межзвездной или межпланетной среде и т.д.) и лабораторной плазмах (например, высокоинтенсивном лазерном излучении [13] и горячем катодном разряде [14]). Мы надеемся, что наш нелинейный анализ будет полезен для понимания нелинейных структур (волн-убийц, светлых и темных солитонов огибающей) как в космической, так и в лабораторной плазмах.

Авторы благодарны анонимному рецензенту за конструктивные предложения, которые значительно улучшили качество рукописи. Н.А. Чоудхури благодарит Пуджу Саркер за ее поддержку в улучшении языка рукописи.

Список литературы

  1. Temerin M., Cerny K., Lotko W., Mozer F.S. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1175.

  2. Ergun R.E., Carlson C.W., McFadden J.P., Mozer F.S., Delory G.T., Peria W., Chaston C.C., Temerin M., Elphic R., Strangeway R., Pfaff R., Cattell C.A., Klum-par D., Shelley E., Peterson W., Moebius E., Kistler L. // Geophy. Res. Lett. 1998. V. 25. P. 2061.

  3. Panwar A., Ryu C.M., Bains A.S. // Phys. Plasmas. 2014. V. 21. P. 122105.

  4. Michel F.C. // Rev. Mod. Phys. 1982. V. 54. P. 1.

  5. Marklund M., Shukla P.K. // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78. P. 591.

  6. Baluku T.K., Hellberg M.A. // Phys. Plasmas. 2012. V. 19. P. 012106.

  7. Sultana S., Kourakis I. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2011. V. 53. P. 045003.

  8. Shalini, Saini N.S., Misra A.P. // Phys. Plasmas. 2015. V. 22. P. 092124.

  9. Sabry R., Moslem W.M., Shukla P.K., Saleem H. // Phys. Rev. E. 2009. V. 79. P. 056402.

  10. Vasyliunas V.M. // J. Geophys. Res. 1968. V. 73. P. 2839.

  11. Hellberg M.A., Mace R.L. // Phys. Plasmas. 2002. V. 9. P. 1495.

  12. Chowdhury N.A., Mannan A., Mamun A.A. // Phys. Plasmas. 2017. V. 24. P. 113701.

  13. Estabrook K., Kruer W.L. // Phys. Rev. Lett. 1978. V. 40. P. 42.

  14. Goswami B.N., Buti B. // Phys. Lett. A. 1976. V. 57. P. 149.

  15. Shahmansouri M., Alinejad H. // Phys. Plasmas. 2013. V. 20. P. 082130.

  16. Rehman M.A., Mishra M.K. // Phys. Plasmas. 2016. V. 23. P. 012302.

  17. Vladimirov S.V., Tsytovich V.N., Popel S.I., Khakimov F.Kh. Modulational Interactions in Plasmas. Dordrecht, Kluwer Academic Publ., 1995.

  18. Vedenov A.A., Rudakov L.I. // Sov. Phys. Doklady. 1965. V. 9. P. 1073.

  19. Vedenov A.A., Rudakov L.I. // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1964. V. 159. P. 767.

  20. Gailitis A.K. Ph.D. Thesis, P.N. Lebedev Institute. 1964 (in Russian).

  21. Gailitis A.K. Izv. AN Latv. SSR: Phys. Tech. Nauki. 1965. V. 4. P. 13 (in Russian).

  22. Alinejad H., Mahdavi M., Shahmansouri M. // Astrophys. Space Sci. 2014. V. 352. P. 571.

  23. Bacha M., Boukhalfa S., Tribeche M. // Astrophys. Space Sci. 2012. V. 341. P. 591.

  24. Fedele R. // Phys. Scr. 2002. V. 65. P. 502.

  25. Fedele R., Schamel H. // Eur. Phys. J. B. 2002. V. 27. P. 313.

  26. Akhmediev N., Ankiewicz A., Soto-Crespo J.M. // Phys. Rev. E. 2009. V. 80. P. 026601.

  27. Chowdhury N.A., Mannan A., Hasan M.M., Mamun A.A. // Chaos. 2017. V. 27. P. 093105.

  28. Bernstein I.B., Greene G.M., Kruskal M.D. // Phys. Rev. 1957. V. 108. P. 546.

  29. Cairns R.A., Mamun A.A., Bingham R., Boström R., Dendy R.O., Nairn C.M.C., Shukla P.K. // Geophys. Res. Lett. 1995. V. 22. P. 2709.

  30. Lu G., Liu Y., Wang Y., Stenflo L., Popel S.I., Yu M.Y. // J. Plasma Phys. 2010. V. 76. P. 267.

Дополнительные материалы отсутствуют.