Физика плазмы, 2019, T. 45, № 6, стр. 568-576

1. ВВЕДЕНИЕ

Развитие электроники сверхвысоких частот привело к возможности инициирования безэлектродного микроволнового (СВЧ) разряда [1] в свободном пространстве в широком диапазоне внешних условий. Исследование свойств такого разряда, удаленного от стенок разрядной камеры и от источников излучения, представляется актуальным как с точки зрения решения ряда фундаментальных задач физики плазмы, так и его практического применения в различных областях современной науки и техники [2–4]. Микроволновые разряды нашли широкое применение в плазмохимическом синтезе [5, 6], в стерилизации и плазменной биомедицине [7], в аналитической химии [8], газоразрядных источниках света [9] и др. Кроме того, инициирование микроволнового разряда является удобным способом подвода энергии в сверх- и гиперзвуковые газодинамические потоки с целью управления их характеристиками.

В частности, в работах [10–16] проводились исследования, посвященные влиянию энерговклада микроволнового разряда на ударно-волновые структуры и обтекание тела в сверхзвуковом потоке, нахождению оптимальных параметров разряда для достижения наибольшего аэродинамического эффекта. В экспериментах [13] были получены фотографии плазмоидов, вытянутых вдоль оси сверхзвукового потока (см. рис. 1). В работе [14] предложена специальная фокусирующая система (см. рис. 2а), представляющая собой цилиндрический параболоид; система позволяет локализовать в фокусе параболоида микроволновой разряд (см. рис. 2б). В настоящем исследовании параметры данной фокусирующей системы были использованы для численного моделирования.

Несмотря на достаточно широкий фронт работ в этом направлении, стоит отметить, что исследования основных параметров микроволновых разрядов достаточно трудно поддаются экспериментальной диагностике. Можно получить лишь интегральные и/или оценочные значения основных характеристик, да и то зачастую косвенными методами [14–16]. В частности, в [16] в рамках газодинамических расчетов и экспериментальных измерений было проведено сопоставление результатов по исследованию поведения давления на фронтальной поверхности цилиндра в условиях вложения микроволновой энергии в сверхзвуковой поток при подводе энергии 1.5 мДж. Исходя из анализа полученных результатов, был сделан вывод, что при использовании модели совершенного газа и мгновенного подвода энергии в СВЧ-разряде температура в нагретой области повышается до 532 ± 5 К.

Очевидно, что прямое моделирование параметров плазмы является ключом к пониманию механизмов, протекающих в микроволновом разряде, прогнозированию его характеристик в различных условиях, определению оптимальных режимов работы разрабатываемых на его основе устройств. В последние годы появилось достаточно большое количество работ, посвященных моделированию сфокусированных микроволновых разрядов в одно-, двух- и даже трехмерной постановках, и получены интересные результаты. Стоит отметить работы [17, 18], в которых рассматривалась модель инициированного СВЧ-разряда в линейно поляризованном волновом пучке, включающая достаточно полный набор кинетических реакций, учитывающая нагрев и газодинамическое разрежение микроволнового канала. В работах [19, 20] проведены детальные исследования плазмохимических и газодинамических процессов в зоне действия СВЧ-разряда, а также сопоставление результатов расчетов с результатами измерений. Необходимо отметить работы [21, 22], в которых численно исследовались фундаментальные явления самоорганизации и филаментации свободно локализованных СВЧ-разрядов, а также работы [23–26], посвященные пробою импульсных СВЧ-разрядов.

Целью представленной работы являлось в рамках численных экспериментов исследовать пространственно-временную динамику формирования сфокусированного импульсного микроволнового разряда в воздухе по условиям экспериментов, проведенных в работах [14–16].

2. МОДЕЛЬ

Для описания микроволнового разряда, возникающего под действием энергии от распространяющейся СВЧ электромагнитной волны, необходимо решать уравнения Максвелла. Однако в случае стационарной структуры плоских ТE₁₀ волн уравнения Максвелла сводятся к единственному комплексному уравнению для электрической компоненты волны (уравнению типа Гельмгольца) с комплексной диэлектрической проницаемостью $\tilde {\varepsilon }$ [1]

где

Здесь $\tilde {\sigma }$ – электрическая проводимость плазмы, ${{\nu }_{{ea}}}$ – частота упругих электрон-атомных соударений; $\omega = 2\pi f,$ ${{k}_{0}} = \omega {\text{/}}c,$ f – заданная частота СВЧ-поля, ${{k}_{0}}$ – волновое число; $\mu _{r}^{{}}$ – магнитная проницаемость среды; ${{\varepsilon }_{0}}$ – электрическая постоянная; ${{\varepsilon }_{r}}$ – диэлектрическая проницаемость среды; ${{\omega }_{{pe}}} = {{\left( {q_{e}^{2}{{n}_{e}}{\text{/}}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}} \right)}^{{1/2}}}$ – плазменная частота электронов; $q_{e}^{{}}$, ${{m}_{e}}$ – заряд и масса электрона. Решение уравнения (1) с соответствующими граничными условиями позволяет вычислить мощность, переданную от электромагнитных полей к электронам,

Для определения распределений пространственно-временных характеристик сфокусированного микроволнового разряда сформулирована расширенная гидродинамическая модель [27, 28]. Она включает k уравнений баланса концентраций заряженных частиц (электронов, ионов) ${{n}_{k}}$ и уравнение баланса плотности энергии электронов ${{n}_{\varepsilon }}$, уравнение Пуассона для электрического потенциала φ, уравнение баланса энергии для определения температуры газа T:

Здесь ${{Z}_{k}}$ – заряд частицы сорта k, E – напряженность электрического поля, ${{c}_{p}}$ – теплоемкость воздуха при постоянном давлении. Потоки для концентраций заряженных частиц ${{{\mathbf{\Gamma }}}_{k}}$, а также для плотности энергии электронов Q, соответственно, записаны в диффузионно-дрейфовом приближении

где ${{\mu }_{k}},\;{{D}_{k}}$ – подвижности и коэффициенты диффузии заряженных частиц, ${{\mu }_{\varepsilon }} = 5{\text{/}}3{{\mu }_{e}}$ и ${{D}_{\varepsilon }} = $ $ = 2{\text{/}}3{{\mu }_{\varepsilon }}{{T}_{e}}$, где ${{\mu }_{e}}$ – подвижность электронов, а ${{Т }_{e}} = 2{\text{/}}3\bar {\varepsilon }$ – температура электронов, понимаемая как 2/3 средней энергии всего ансамбля.

Правая часть уравнения (4) определяется реакциями, протекающими в разряде. Каждая реакция дает положительный вклад в функцию источника, если в ней образуется соответствующий сорт частиц и отрицательный вклад, если этот сорт частиц исчезает. В этом выражении j – индекс реакции (всего учитывалось 13 плазмохимических реакций, см. таблица 1), c_k,j – количество частиц сорта k, возникающих в одной реакции типа j (как положительная, так и отрицательная величина). Скорости реакций R_j определяются константами соответствующих процессов k_j(T_e) и пропорциональны произведению концентраций реагирующих компонентов: ${{R}_{j}} = {{k}_{j}}({{T}_{e}})\prod\nolimits_{k = 1}^N {{{n}_{k}}} $, где N = 2 для реакций между двумя сортами частиц, N = 3 – для реакций между тремя сортами частиц. Слагаемое ${{S}_{{el}}}$, входящее в уравнения (5) и (7), описывает энергообмен при упругих соударениях электронов с нейтральными частицами газа; последнее слагаемое в (5) описывает изменение энергии электронов в результате неупругих столкновений. Стоит отметить, что с целью корректного учета неупругих потерь энергии электронного газа в уравнении (5) дополнительно учитывались потери энергии на возбуждение колебательных и электронных уровней азота (9 колебательных и 14 электронных) [29] и кислорода (6 колебательных и 7 электронных) [30]. При этом для упрощения задачи образование соответствующих сортов возбужденных частиц, процессы с их участием не рассматривались, и, соответственно, уравнения баланса для их концентраций в модели не учитывались.

Слагаемое ${{S}_{R}} = \sum\nolimits_r {{{\varepsilon }_{r}}{{R}_{r}}} $ в (6) представляет собой источник энергии, обусловленной реакциями рекомбинации со скоростью ${{R}_{r}}$ и с коэффициентом ${{\varepsilon }_{r}}$, величина которого изменяется в интервале от 0.04 эВ до 3.4 эВ и зависит от сорта молекулярных ионов (здесь мы предполагали ${{\varepsilon }_{r}}$ = 1 для всех реакций аналогично работе [31]); ${{S}_{{electronic}}} = {{\eta }_{E}}\sum\nolimits_l {\Delta {{\varepsilon }_{l}}{{R}_{l}}} $ представляет собой долю электронной энергии, которая переходит в нагрев нейтральных частиц при тушении электронных возбужденных уровней азота и кислорода, где ${{\eta }_{E}}$ согласно работам [32, 33] предполагалось равным 0.3. Таким образом, основными каналами нагрева нейтрального газа предполагались передача энергии при упругих столкновениях нейтральных частиц с электронами, передача энергии при реакциях рекомбинации и передача энергии при тушении электронных возбужденных уровней.

Для электронов коэффициенты подвижности и диффузии, а также константы упругих столкновений и ионизация вычисляются путем свертки функции распределения $f\left( {w,{{T}_{e}}} \right)$ (ФРЭ), полученной из решения локального кинетического уравнения Больцмана, с сечением соответствующего процесса

Процедура решения кинетического уравнения выполнялась аналогично работе [34]. При нахождении ФРЭ в кинетическом уравнении учитывался нагрев электронов в продольном электрическом поле и изменение их энергии за счет упругих, межэлектронных и неупругих столкновений. Стоит отметить, что на сегодняшний день существуют различные наборы плазмохимических реакций в воздухе, насчитывающие от единиц до нескольких сотен реакций. Наиболее оптимальными считаются наборы, представленные в [35, 36]. В настоящей работе за основу был выбран упрощенный набор плазмохимических реакций, описанный в [37] и дополненный реакциями из [38], кинетическая схема учитывает положительные и отрицательные молекулярные ионы кислорода ${\text{О }}_{2}^{ + }$ и ${\text{О }}_{2}^{ - }$ и положительный ион азота ${\text{N}}_{2}^{ + }$. Подвижности ионов определялись следующим образом [28]:

где N – концентрация нейтральных частиц при заданном давлении и температуре газа. Коэффициенты диффузии вычислялись посредством соотношения Эйнштейна.

Граничные условия для волнового уравнения задавались на металлических стенках (границы ABC и EFGHIJK на рис. 3), в предположении, что тангенциальная компонента электрического поля равна нулю

Считалось, что на открытых границах (CDE и JKA на рис. 1) волна проходит без отражений, поэтому записывалось условие рассеяния второго порядка [39]

Предполагалось, что в нижней части прямоугольного волновода (GH на рис. 3), используемого для подвода СВЧ-энергии, имеется идеальный источник TE₁₀ с заданной мощностью и частотой. Математически он устроен так, что отраженная волна не взаимодействует с падающей волной источника. На плоскости, разделяющей область подвода СВЧ-энергии и область плазмы, задано условие непрерывности.

Для уравнений (4)–(7) граничные условия задавались на стенках для концентрации электронов, плотности энергии электронов, температуры газа, концентраций ионов и потенциала:

где ${{\nu }_{{e\;th}}} = \sqrt {8{{k}_{B}}{{T}_{e}}{\text{/}}\pi {{m}_{e}}} $ и ${{\nu }_{{i\;th}}} = \sqrt {8{{k}_{B}}{{T}_{e}}{\text{/}}\pi M} $ – средние тепловые скорости электронов и частиц воздуха соответственно (T – в единицах эВ). На открытых границах предполагались условия непрерывности.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Моделирование проводилось в двумерной геометрии, внешний вид которой представлен на рис. 3. Предполагалось, что СВЧ-волна поддерживается источником с выходной мощностью 200 кВт и частотой 9.6 ГГц в течение 3 мкс. Давление газа предполагалось равным 23 Торр, а температура 187 К [13, 16]. На первом этапе расчеты были проведены при p = NkT = const.

В результате численных экспериментов были получены все основные пространственно-временные параметры плазмы микроволнового разряда, организуемого в максимумах напряженности электрического поля СВЧ-волны, формируемых фокусирующей системой. На рис. 3 представлено распределение напряженности электрического поля, создаваемого СВЧ-волной в начальный момент времени. Видно, что в области ABCDOK наблюдаются максимумы напряженности электрического поля, главный из которых расположен непосредственно в фокусе системы.

На рис. 4а показаны пространственные распределения концентрации электронов в различные моменты времени, а на рис. 4б – пространственные распределения температуры газа в различные моменты времени. Видно, что уже к моменту времени 0.2 мкс микроволновой разряд – верхний плазмоид формируется в фокусе системы. Концентрация электронов достигает значения, сравнимого с критическим значением ${{n}_{{cr}}} = {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}({{\omega }^{2}} + \nu _{{el}}^{2}){\text{/}}q_{e}^{2}$ ≈ ≈ 8.5 × 10¹⁸ м^–3 электронов в плазме, при котором начинается поглощение и отражение электромагнитной волны. В этой области наблюдается нагрев газа до 197 К, при этом происходит падение среднеквадратичного значения напряженности электрического и меняется пространственное распределение напряженности электрического поля во всей расчетной области. В момент времени 0.5 мкс начинает формироваться второй плазмоид в другом максимуме напряженности электрического поля, и к моменту времени 1 мкс концентрация электронов в этой области также становится сравнимой с критическим значением. При этом концентрация электронов в верхнем плазмоиде достигает максимума и составляет величину ${{n}_{e}} = 2.3 \times {{10}^{{19}}}$ м^–3, и в нем наблюдается нагрев газа до 355 K.

К моменту времени t = 2 мкс концентрация электронов достигает максимума в нижнем плазмоиде и составляет ${{n}_{e}} = 2.6 \times {{10}^{{19}}}$ м^–3, а в верхнем – слабо уменьшается до ${{n}_{e}} = 1.6 \times {{10}^{{19}}}$ м^–3. Наблюдается нагрев газа в обеих областях, при этом максимум наблюдается в верхнем плазменном образовании и достигает 474 K. К моменту времени t = 3 мкс концентрация электронов падает в обоих плазмоидах из-за перераспределения напряженности электрического поля, максимальные значения при этом практически равны и составляют ${{n}_{e}} = 1.2 \times {{10}^{{19}}}$ м^–3. Преобладающим положительным ионом является ион ${\text{O}}_{2}^{ + }$ , а концентрация иона ${\text{N}}_{2}^{ + }$ практически на порядок меньше и равняется ${{n}_{{{\text{N}}_{2}^{ + }}}} = 1.4 \times {{10}^{{18}}}$ м^–3, концентрация отрицательного иона кислорода в максимумах равняется ${{n}_{{{\text{O}}_{2}^{ - }}}} = 1.3 \times {{10}^{{17}}}$ м^–3.

К этому времени наблюдается максимальный нагрев газа, составляющий 513 K. Данное значение находится в удовлетворительном согласии с результатом эксперимента [16], в котором нагрев газа составлял 532 ± 5 К. Подробную динамику концентрации электронов (приведенной к 1 × × 10¹⁹ м^–3) и напряженности электрического поля (приведенной к максимальному значению 4.5 кВ/см) можно отследить на рис. 5, а на рис. 6 представлена эволюция температуры газа.

Следует отметить, что в изобарическом приближении (p = NkT = const) увеличение температуры газа приводит к мгновенному снижению плотности газа и, как следствие, к увеличению E/N. В реальной ситуации изменение плотности газа в зоне нагрева может происходить на временах, сравнимых с газодинамическими. Последние, в свою очередь, могут быть сравнимы с временами импульсного СВЧ-разряда, рассматриваемого в статье. Строго говоря, для корректного учета конечного времени изменения плотности необходимо дополнить систему уравнений кинетики уравнениями газовой динамики. Решение полной системы уравнений лежит за рамками данной работы. Тем не менее, для проверки адекватности модели дополнительно были проведены численные эксперименты в предположении постоянства концентрации нейтральных частиц, N = const. Результаты показали, что распределения всех основных параметров плазмы имеют качественно аналогичный вид. Концентрация электронов в плазмоидах в момент времени 3 мкс в случае N = const по величине практически совпадает с концентрацией в случае p = const. При этом температура нейтрального газа оказывается ниже и составляет 450 и 380 K в верхнем и нижнем плазмоидах, соответственно. Эти значения на 63 K меньше по сравнению с результатами, полученными в изобарическом приближении. Таким образом, изобарическое и изохорическое приближения дают качественно схожие результаты, но некоторую разницу в значениях температур. В дальнейшей работе мы планируем более точно оценить справедливость изобарического приближения, дополнив модель уравнениями газовой динамики.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проанализированы экспериментальные результаты по изучению сфокусированных микроволновых разрядов применительно к газодинамическим приложениям. Сформулирована физико-математическая модель сфокусированного микроволнового разряда и проведены численные эксперименты по формированию микроволнового разряда в воздухе в фокусирующей системе, разработанной в работах [5–7] в двумерной геометрии (поперечное центральное сечение.

В результате численных экспериментов продемонстрировано, что в предложенной в работах [5–7] фокусирующей системе возникают два микроволновых разряда – плазменных образования. Получена динамика основных параметров плазмы этих разрядов. В частности, представлены распределения концентраций электронов, напряженности электрического поля. Получена динамика нагрева нейтрального газа. Показано, что максимальный нагрев газа наблюдается в микроволновом разряде в фокусе разработанной системы и достигает значения 513 K при вкладываемой мощности 200 кВт к моменту времени 3 мкс, что согласуется c результатами эксперимента [16].

Разработанная модель и проведенные численные эксперименты являются шагом к пониманию физики сфокусированных микроволновых разрядов; результаты будут использованы для моделирования взаимодействия разряда со сверхзвуковыми потоками газа.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 18-08-00707 и гранта президента МК-272.2019.1.