Физика плазмы, 2019, T. 45, № 9, стр. 804-824

Начальная плотность и другие термодинамические функции

Предполагается, что DT-смесь плотностью ${{\rho }_{0}}$ получена изоэнтропическим сжатием из нормального состояния (плотность ${{\rho }_{a}}$, атмосферное давление). Уравнение состояния DT-смеси получено (см. [19]) из широкодиапазонного полуэмпирического уравнения состояния водорода, основанного на модели [35]. Расчет дает давление DT-смеси ${{p}_{0}} \approx 2 \times {{10}^{4}}$ и 4 × 10⁵ ГПа для ${{\rho }_{0}} = 100{{\rho }_{a}}$ и $500{{\rho }_{a}}$ соответственно.

Начальные термодинамические параметры оболочки определяются давлением ${{p}_{0}}$ [15] и предположением, что оболочка сжата изоэнтропически до этого давления из нормального состояния. Отношение $\delta = \rho _{0}^{{sh}}{\text{/}}{{\rho }_{0}}$, где $\rho _{0}^{{sh}}$ – начальная плотность оболочки, является важным параметром задачи. В приближении мгновенного нагрева горючего до давления $p \gg {{p}_{0}}$ (см. [36]) скорость границы раздела между горючим и оболочкой растет с уменьшением δ, увеличивая тем самым пороговую энергию зажигания.

Так как температура оболочки после изоэнтропического сжатия остается небольшой, изоэнтропа в плоскости $(\rho ,p)$ мало отличается от нулевой изотермы. Например, для золота (заряд ядра $Z = 79$, атомный вес $A = 197$) расчеты по изоэнтропе, построенной по уравнению состояния [37], и по нулевой изотерме для того же уравнения состояния дают практически совпадающие значения $\rho _{0}^{{sh}} \approx 100$ и 310 г/см³ для ${{\rho }_{0}} = 100{{\rho }_{a}}$ и $500{{\rho }_{a}}$ соответственно. Для тех же значений ${{\rho }_{0}}$ расчет по нулевой изотерме для уравнения состояния Томаса–Ферми с квантовыми и обменными поправками [38, 39] дает $\rho _{0}^{{sh}} \approx 95$ и 340 г/см³, отличающихся от приведенных выше значений для уравнения состояния [37] примерно на 5–10%.

Модель Томаса–Ферми [39] определяет уравнение состояния и, в частности, нулевую изотерму любого вещества по значениям Z и A. Результат расчета параметра $\delta (Z)$ приведен на рис. 1а для элементов таблицы Менделеева с зарядом ядра $Z \leqslant 100$. За исключением небольших интервалов параметр $\delta (Z)$ растет вместе с Z для обоих значений ${{\rho }_{0}}$. Значение $\delta (Z)$ при ${{\rho }_{0}} = 500{{\rho }_{a}}$ заметно меньше, чем при ${{\rho }_{0}} = 100{{\rho }_{a}}$. На интервале $80 \leqslant Z \leqslant 100$ это различие заметно возрастает из-за существенного падения скорости роста $\delta _{Z}^{'}$ для ${{\rho }_{0}} = 500{{\rho }_{a}}$.

Для обоих значений ${{\rho }_{0}}$ параметр δ намного меньше, чем для нормальных состояний горючего и оболочки (${{\rho }_{0}} = {{\rho }_{a}}$). Например, для золота, которое обычно рассматривается в качестве материала оболочки [15–17], $\delta \approx 3.1$ для ${{\rho }_{0}} = 500{{\rho }_{a}}$, 4.6 для ${{\rho }_{0}} = 100{{\rho }_{a}}$ и 86 для ${{\rho }_{0}} = {{\rho }_{a}}$ (плотность золота в нормальном состоянии примерно 19 г/см³). Последнее значение δ по порядку величины равно отношению атомных весов оболочки и горючего.

Возникает естественный вопрос, можно ли существенно увеличить параметр δ не ограничивая выбор вещества оболочки элементами таблицы Менделеева. На рис. 1б показана зависимость $\delta (Z)$ для ${{\rho }_{0}} = 100{{\rho }_{a}}$ и $500{{\rho }_{a}}$ для веществ с заданным атомным весом золота $A = 197$ на интервале $1 \leqslant Z \leqslant A - 1$, которые для определенности можно рассматривать как изотопы элементов таблицы Менделеева. Видно, что $\delta \approx 70$ при $Z = 1$ для обоих значений ${{\rho }_{0}}$ и быстро уменьшается с ростом Z. Таким образом, возможность существенно увеличить параметр δ формально существует, но для этого нужны экзотические вещества с большим атомным весом и малым зарядом ядра.

Чтобы оценить влияние параметра δ на величину пороговой энергии зажигания далее будет рассматриваться как оболочка из золота, так и гипотетическая оболочка из изотопа водорода с атомным весом золота, которую для краткости будем называть тяжелой оболочкой. Плотность золотой оболочки $\rho _{0}^{{sh}} \approx 95$ и 310 г/см³ для ${{\rho }_{0}} = 100{{\rho }_{a}}$ и $500{{\rho }_{a}}$ соответственно. Плотность тяжелой оболочки $\rho _{0}^{{sh}} \approx 70{{\rho }_{0}}$ для обоих значений ${{\rho }_{0}}$. Начальные температура и удельная внутренняя энергия определяется уравнением состояния Томаса–Ферми с квантовыми и обменными поправками [39], которое используется для замыкания уравнений гидродинамики в оболочке.

Расчетная область и граничные условия

Мишень и расчетная область в цилиндрических координатах z, r показаны на рис. 2. В начальный момент времени горючее имеет форму цилиндра радиусом R ($z \geqslant 0,\;r \leqslant R$), а оболочка является цилиндрическим слоем размером $\Delta R$ ($z \geqslant 0,\;R \leqslant r \leqslant R + \Delta R$). Перед цилиндром располагается дополнительная трапецевидная область, предназначенная для расчета горючего, вылетающего из мишени. Первоначально эта область заполнена DT-газом небольшой плотности и атмосферного давления.

На рис. 2 указаны также типы условий на разных границах. На внешних границах дополнительной области (за исключением оси симметрии) ставятся мягкие условия (равенства нулю пространственных производных от неизвестных функций). Мягкие условия ставятся также на прямолинейной границе AB, совпадающей первоначально с торцевой поверхностью оболочки. Внешняя боковая граница оболочки является свободной границей с давлением 1 атм.

В дополнительной области не учитывается собственное излучение плазмы, что позволяет избежать не имеющих физический смысл решений уравнения диффузии излучения в оптически тонких средах. Граничное условие отсутствия падающего излучения для диффузионных уравнений ставится на линии BC.

В дополнительной области не учитывается также нагрев пучком протонов DT-газа, имеющего плотность меньше некоторой заданной величины. Это позволяет исключить из задачи нагрев и разлет DT-газа под действием пучка протонов.

Границы AB и BC лежат на неподвижной прямой линии, но точки A и B могут двигаться вдоль этой линии в соответствии с движением боковой границы оболочки и границы раздела между горючим и оболочкой.

Мягкие граничные условия позволяют исключить из рассмотрения вещество, вылетающее за границу расчетной области. В то же время границы с такими условиями могут отражать возмущения, идущие изнутри расчетной области, и тем самым искажать решение. Расчеты показывают, что мягкие условия в рассматриваемой задаче позволяют изучать зажигание мишени и распространение детонационной волны.

Основные уравнения и численный метод

Применительно к горючему уравнения одножидкостной двухтемпературной гидродинамики с учетом электронной и ионной теплопроводности, собственного излучения плазмы и ее нагрева протонами и α-частицами DT-реакции имеют вид

где ρ – плотность, u – вектор массовой скорости, $d{\text{/}}dt = \partial {\text{/}}\partial t + {\mathbf{u}}\nabla $ – лагранжева производная по времени, ${{p}_{e}}$ и ${{p}_{i}}$ – давление электронов и ионов, $p = {{p}_{e}} + {{p}_{i}}$, ${{\varepsilon }_{e}}$ и ${{\varepsilon }_{i}}$ – удельная внутренняя энергия электронов и ионов, ${{{\mathbf{q}}}_{{\mathbf{e}}}} = - {{\varkappa }_{e}}\nabla {{T}_{e}}$ и ${{{\mathbf{q}}}_{{\mathbf{i}}}} = - {{\varkappa }_{i}}\nabla {{T}_{i}}$ – тепловой поток электронов и ионов, ${{T}_{e}}$ и ${{T}_{i}}$ – температура электронов и ионов, ${{\varkappa }_{e}}$ и ${{\varkappa }_{i}}$ – коэффициенты электронной и ионной теплопроводности, ${{Q}_{{ei}}}$ – обмен энергией между электронами и ионами. Остальные слагаемые в (3) и (4) определяют нагрев электронов и ионов пучком протонов (${{D}_{e}}$ и ${{D}_{i}}$) и α-частицами (${{W}_{e}}$ и ${{W}_{i}}$), а также обмен энергией между электронами и излучением (${{R}_{e}}$).

Оболочка описывается теми же уравнениями, но без последних слагаемых в уравнениях (3) и (4), учитывающих излучение и нагрев надтепловыми частицами.

Уравнения состояния для уравнений (1)–(4) определяются однотемпературными уравнениями состояния $p = p(\rho ,T)$, $\varepsilon = \varepsilon (\rho ,T)$ и степенью ионизации ξ

В DT-смеси полагается $\xi = 1$, а в оболочке используется формула для ξ из стандартной модели Томаса–Ферми [39].

Учитывается только первичная реакция синтеза ядер дейтерия и трития, в результате которой возникают α-частица c энергией 3.5 МэВ и нейтрон c энергией 14 МэВ, который предполагается вылетающим из горючего без взаимодействия с ним. Количество актов реакции синтеза в единице объема за единицу времени определяется известной формулой

где ${{n}_{D}}$ и ${{n}_{{\text{T}}}}$ – концентрации ядер дейтерия и трития, ${{\left\langle {\sigma v} \right\rangle }_{{{\text{DT}}}}}$ – зависящая от ${{T}_{i}}$ скорость реакции. Для функции ${{\left\langle {\sigma v} \right\rangle }_{{{\text{DT}}}}}({{T}_{i}})$ используется приведенная в [40] формула из [24], которая является упрощением исходной формулы из [41], построенной на основе экспериментальных данных. Выгорание ядер горючего описывается уравнениями

Дополнительное слагаемое в уравнении неразрывности (1), описывающее изменение состава плазмы из-за DT-реакции, как и соответствующее изменение в уравнениях состояния, не учитываются.

Перенос α-частиц описывается стационарным кинетическим уравнением в приближении Фоккера–Планка [34] относительно функции распределения $f({\mathbf{r}},v,\Omega )$, которая определяет $f({\mathbf{r}},v,\Omega )dvd\Omega $ как число частиц в единице объема вблизи точки r, имеющих модуль скорости в интервале $dv$ вблизи $v$ и направление в интервале телесного угла $d\Omega $ вблизи единичного вектора Ω. Помимо функции F задаются скорости торможения частицы (отрицательные по величине ускорения) на электронах ${{a}_{e}}({{T}_{e}},\rho ,v)$ и ионах ${{a}_{i}}({{T}_{i}},{{T}_{e}},\rho ,v)$, а также скорость термализации частицы ${{v}^{{{\text{th}}}}}({{T}_{i}})$. Для краткости записи заменим зависимость от термодинамических функций на зависимость от r, полагая заданными функции ${{a}_{{e,i}}}({\mathbf{r}},v)$, $F({\mathbf{r}})$, ${{v}^{{{\text{th}}}}}({\mathbf{r}})$.

Пусть все рождающиеся частицы имеют одинаковый модуль скорости ${{v}_{0}}$ и однородное распределение по телесному углу. Тогда, в отсутствие диффузии функции распределения в скоростном пространстве, неоднородное кинетическое уравнение сводится к следующей задаче Коши для однородного уравнения [34]

где ${{v}_{b}}({\mathbf{r}},\Omega )$ зависит от близости точки r к границе области вдоль луча с направлением –Ω и учитывает отсутствие рождения частиц вне области, см. [42]. Если точка r стремится к точке на границе области, то ${{v}_{b}}({\mathbf{r}},\Omega ) \to {{v}_{0}}$ для всех Ω, направленных внутрь области. Слагаемые в правых частях уравнений (3) и (4) имеют вид где ${{m}_{\alpha }}$ – масса частицы.

Нагрев DT-плазмы протонами описывается их торможением вдоль лучей $r = {\text{const}}$. Отрицательные ускорения ${{a}_{e}}$ и ${{a}_{i}}$ вычисляются по тем же формулам, как и в случае α-частиц, но с другими значениями заряда и атомного веса. Перенос излучения описывается многогрупповым по частоте ν и диффузионным по телесному углу приближением. Многогрупповое приближение строится делением интервала $0 < \nu < \infty $ на N групп ${{\nu }_{{l - 1}}} < \nu < {{\nu }_{l}}$, $l = 1, \ldots ,N$, ${{\nu }_{0}} = 0$, ${{\nu }_{N}} = \infty $. Как правило, расчеты проводились для $N = 50$, ${{\nu }_{{N - 1}}} \approx $ ≈  26 кэВ. Контрольные расчеты с $N = 150$, ${{\nu }_{{N - 1}}} \approx 17$ кэВ не дали сколько-нибудь заметных отклонений.

Подробности моделей включая ссылки на работы с формулами для расчета коэффициентов уравнений приведены в [36, 43]. Там же приведены ссылки на предшествующие работы по разработке компьютерного кода, в основе которого лежит квазимонотонная схема второго порядка точности типа Годунова на подвижных регулярных сетках, состоящих только из выпуклых четырехугольных ячеек. Границей раздела горючего и оболочки является некоторая линия сетки, которая движется вместе с веществом.

Для случая ${{\rho }_{0}} = 500{{\rho }_{a}}$ расчет зажигания мишени проводится на сетке с шагом вдоль оси симметрии $h = 0.5$ мкм, что соответствует условию $h{{\rho }_{0}} \approx 5 \times {{10}^{{ - 3}}}$ г/см². Контрольные расчеты на других сетках показывают, что уменьшение h приводит к небольшому уменьшению пороговой энергии зажигания. Расчет выхода детонационной волны на стационарный режим проводится на более грубой сетке с увеличенным в два раза шагом h, что связано с необходимостью значительного увеличения размера расчетной области. В радиальном направлении сетка имеет 40 интервалов в горючем и 60 интервалов в оболочке. Для случая ${{\rho }_{0}} = 100{{\rho }_{a}}$ размеры расчетной области и шаги сетки увеличиваются в 5 раз.

Для расчета уравнений (8), (9), описывающих нагрев плазмы α-частицами, используется обратный трековый метод [42]. В отличие от обычного прямого метода, выпускаемые из центра ячейки сетки лучи используются для расчета влетающих в ячейку, а не вылетающих из нее частиц. Угловая сетка состоит из 32 лучей.

Условия на границе раздела для уравнения теплопроводности

Рассматриваются три разных условия. Первое условие (C0) зануляет поток тепла через границу раздела: $q_{e}^{{(n)}} = q_{i}^{{(n)}} = 0$, $q_{e}^{{(n)}} = ({{{\mathbf{q}}}_{{\mathbf{e}}}} \cdot {\mathbf{n}})$, $q_{i}^{{(n)}} = ({{{\mathbf{q}}}_{{\mathbf{i}}}} \cdot {\mathbf{n}})$, где n – нормаль к границе раздела. Строго говоря, зануление ионного теплового потока здесь излишне, так как условие C0 должно моделировать наличие магнитного поля, достаточно сильного для подавления электронного теплового потока, и недостаточно сильного, чтобы воздействовать на тяжелые частицы. Но так как электронный поток намного больше ионного, дополнительный эффект от зануления последнего незначителен.

Вторым условием (C1) является непрерывность температуры и потока тепла на границе раздела. Так как это условие является естественным для уравнения теплопроводности, его можно не включать в математическую постановку задачи. Однако в расчетах, чтобы избежать необходимости использования слишком подробных сеток вблизи границы раздела, следует использовать специальную аппроксимацию потока тепла на границе раздела, которая получена аппроксимацией условий непрерывности температуры и потока тепла, и в случае одной пространственной переменной $x$ имеет вид [44]

где $\Delta {{x}_{1}} = {{x}_{0}} - {{x}_{1}}$, $\Delta {{x}_{2}} = {{x}_{2}} - {{x}_{0}}$, ${{x}_{0}}$ – координата границы раздела, ${{x}_{1}} < {{x}_{0}}$ и ${{x}_{2}} > {{x}_{0}}$ – координаты ближайших к ${{x}_{0}}$ узлов сетки, в которых определены температуры ${{T}_{1}}$, ${{T}_{2}}$ и коэффициенты теплопроводности ${{\varkappa }_{1}}$, ${{\varkappa }_{2}}$. Формула (10) отличается от обычной аппроксимации теплового потока только выражением для $\bar {\varkappa }$ и легко обобщается на двумерный случай, полагая $\Delta {{x}_{1}}$ и $\Delta {{x}_{2}}$ расстояниями от центра сеточного интервала на границе раздела сред до центров ячеек сетки по обе стороны этого интервала. Заметим, что, в отличие от других аппроксимаций коэффициента теплопроводности на границах сеточных ячеек, $\bar {\varkappa } \to 0$ если ${{\varkappa }_{1}}$ или ${{\varkappa }_{2}} \to 0$.

Третье условие (C2) допускает наличие температурного скачка на границе раздела по аналогии с известным эффектом температурного скачка в молекулярном газе на границе с твердой стенкой. Воспользуемся следующей формулой, полученной из асимптотического анализа уравнения Больцмана [45],

где ${{T}_{g}}$ и ${{T}_{w}}$ – температуры газа и стенки, m и ${{n}_{g}}$ – масса и концентрация молекул газа вблизи стенки, k – постоянная Больцмана, ${{\alpha }_{e}}$ – коэффициент аккомодации внутренней энергии молекул, который для определенности полагается равным 1, ${{q}^{{(n)}}} = \varkappa \partial {{T}_{g}}{\text{/}}\partial n$ – тепловой поток, $\varkappa $ – коэффициент теплопроводности газа, производная берется вдоль нормали к стенке внутрь газа.

Применительно к уравнениям (3), (4) под газом будем понимать горючее, под стенкой – оболочку. Заменяя характеристики молекул соответствующими характеристиками компонент плазмы получим два условия для электронов и ионов и потребуем непрерывности тепловых потоков на границе раздела. Полученные таким образом условия являются условиями третьего рода для уравнений теплопроводности электронов и ионов на внутренней границе области.

Индикаторы и задержка зажигания

В качестве характеристики горения возьмем мощность нагрева горючего α-частицами как функцию относительного времени $\tau = t{\text{/}}\Delta {{t}_{{{\text{pr}}}}}$

где ${{W}_{e}}$ и ${{W}_{i}}$ – слагаемые в правых частях уравнений (3) и (4), интегрирование выполняется по всему объему горючего, $\Delta {{t}_{{{\text{pr}}}}}$ – время действия пучка протонов. В случае зажигания мишени функция $y(\tau )$ должна возрастать с увеличением τ при $\tau > 1$. В качестве параметра, характеризующего скорость возрастания функции $y(\tau )$, возьмем интервал относительного времени $\Delta \tau $ после прекращения действия пучка протонов, в течение которого мощность нагрева горючего удваивается и который будем называть задержкой зажигания.

Дополнительно к обычной пороговой по R энергии зажигания, которая, вообще говоря, может достигаться при сколь угодно большом значении $\Delta \tau $, введем в рассмотрение минимальную энергию зажигания ${{E}_{ * }}$ с дополнительным ограничением

где $\Delta {{\tau }_{*}}$ – некоторое заданное значение задержки зажигания.

Обезразмеривание функции $y(\tau )$ не меняет уравнения (14). Рассмотрим функцию

где в знаменателе стоит характерная мощность нагрева горючего пучком протонов.

Для рассматриваемой задачи представляет интерес два способа изменения ее параметров: изменение радиуса R при неизменных значениях остальных параметров и изменение начальной плотности ${{\rho }_{0}}$, которое определяет изменение других параметров в соответствии со связями

Покажем, что для обоих способов изменения параметров значение $Y(1)$ меняется слабо. Это свойство позволяет во многих случаях сравнивать скорости роста разных функций $Y(\tau )$, отвечающих разным значениям параметров (или разным вариантам модели), с помощью визуального сравнения графиков функций при $\tau > 1$: чем выше расположена функция, тем больше скорость ее роста.

Рассмотрим вначале первый способ изменения параметров, когда меняется только радиус горючего R, совпадающий с радиусом пучка протонов. Так как интенсивность пучка не зависит от R, область нагрева при $t = \Delta {{t}_{{{\text{pr}}}}}$ близка к цилиндру радиуса R и высотой h, равной глубине прогрева горючего пучком протонов. Из уравнения (13) имеем $y(1) \approx \bar {W}h\pi {{R}^{2}}$, где $\bar {W}$ – осредненное по объему области нагрева значение функции ${{W}_{e}} + {{W}_{i}}$, которое слабо зависит от R. Подставляя это в (16), получим

В связи со вторым способом изменения параметров рассмотрим зависимость $Y(1)$ от ${{\rho }_{0}}$. Как известно (см. [10, 18]), изменение параметров по формулам (17) сохраняет изохоричность нагрева, а средняя температура нагретой плазмы $\bar {T}$ слабо зависит от ${{\rho }_{0}}$. Далее надо оценить зависимость $\bar {W}$ от ${{\rho }_{0}}$. Ограничимся рассмотрением наиболее простой модели нагрева плазмы α-частицами, когда вся энергия частицы поглощается в той же точке, где она родилась (модель локального нагрева) $W = F{{m}_{\alpha }}(v_{0}^{2} - {{({{v}^{{{\text{th}}}}})}^{2}}){\text{/}}2$. Как показано в [42], вдали от границ области уравнения (8), (9) переходят в модель локального нагрева, если коэффициенты уравнения (8) не зависят от r.

Как следует из формулы (6), $\bar {W} \sim \rho _{0}^{2}{{\left\langle {\sigma v} \right\rangle }_{{{\text{DT}}}}}(\bar {T})$, так как при $\tau = 1$ плотность нагретого горючего еще мало отличается от ${{\rho }_{0}}$. Подстановка этого выражения в (18) вместе с $h \propto \rho _{0}^{{ - 1}}$ и ${{J}_{0}} \propto {{\rho }_{0}}$ показывает, что $Y(1)$ в рамках сделанных предположений не зависит от ${{\rho }_{0}}$.

В качестве индикатора зажигания могут использоваться зависимости от времени разных характеристик, например, полного числа DT-реакций [16]. В данной задаче надежным индикатором зажигания является зависимость от времени максимального по пространственным переменным давления ${{P}_{{max}}}$. Как видно из рис. 3, максимум давления располагается вблизи фронта детонационной волны на оси симметрии. Поэтому функция ${{P}_{{max}}}(\tau )$, которая приведена рис. 4а для ${{\rho }_{0}} = 500{{\rho }_{a}}$ и нескольких значений R, начиная с некоторого момента времени (после второй точки излома кривых на рис. 4а) является также и максимальным давлением в детонационной волне.

Давление в детонационной волне растет со временем для всех значений R, кроме самого маленького (52.5 мкм), либо монотонно (кривые 1–4), либо после некоторого интервала времени, где давление уменьшается (кривые 5 и 6). Так как при $R = 52.5$ мкм зажигания нет, пороговое значение радиуса ${{R}_{{{\text{ig}}}}} \approx 53$ мкм с точностью около 1%. Соответствующая пороговая по R энергия зажигания определяется формулой (12). Видно, что чем меньше вкладываемая в мишень энергия (которая пропорциональна ${{R}^{2}}$), тем медленнее растет давление в детонационной волне, а вблизи пороговой энергии зажигания рост давления может начинаться с большой задержкой по времени (см. кривую 6 на рис. 4а).

Для тех же значений R на рис. 4б приведена относительная мощность нагрева α-частицами $Y(\tau )$. Видно, что функция $Y(\tau )$ растет вместе с τ при зажигании и уменьшается начиная с некоторого значения τ при его отсутствии, являясь таким образом хорошим индикатором зажигания, дающим то же пороговое значение ${{R}_{{{\text{ig}}}}}$.

В таблице 1 приведены приближенные значения задержки зажигания Δτ, найденной из уравнения (14) для функций $Y(\tau )$ на рис. 4б. Как и следовало ожидать, Δτ быстро увеличивается при приближении радиуса R к своему пороговому значению.

Можно также предположить, что функция $\Delta \tau (R)$ является монотонной функцией R при заданных значениях остальных параметров задачи. Многочисленные расчеты с достаточно малым шагом по R подтверждают это предположение. В этом случае нахождение минимального радиуса ${{R}_{*}}$ с заданным максимально возможным значением задержки $\Delta {{\tau }_{ * }}$ сводится к нахождению единственного решения уравнения $\Delta \tau ({{R}_{*}}) = \Delta {{\tau }_{*}}$.

Сравнение энергии зажигания разных моделей

Далее будет изучаться горение мишеней с небольшой задержкой зажигания. Для определенности выбрано значение $\Delta {{\tau }_{*}} \approx 1.33$, отвечающее радиусу $R = 60$ мкм в табл. 1. Соответствующая энергия зажигания примерно на 30% больше пороговой энергии зажигания ${{E}_{{{\text{ig}}}}}$, соответствующей радиусу $R = 53$ мкм.

Рассматриваются следующие пять задач для двух значений ${{\rho }_{0}} = 500{{\rho }_{a}}$ и $100{{\rho }_{a}}$. Первые три задачи относятся к оболочке из золота (отношение плотности оболочки и горючего $\rho _{0}^{{sh}}{\text{/}}{{\rho }_{0}} \approx 3.1$ и 4.6 для ${{\rho }_{0}}{\text{/}}{{\rho }_{a}} = 500$ и 100 соответственно) и трем разным тепловым условиям на границе с горючим (см. раздел 2): отсутствие теплопередачи на границе, моделирующее наличие достаточно сильного магнитного поля (условие C0), непрерывность теплового потока и температуры (C1) и температурный скачок (C2). Рассматриваются также так называемая тяжелая оболочка ($\rho _{0}^{{sh}}{\text{/}}{{\rho }_{0}} \approx 70$ для обоих значений ${{\rho }_{0}}$, см. раздел 2) с тепловым условием С1 и задача с неподвижной теплоизолированной боковой границей горючего, которая является пределом рассматриваемой задачи с условием C0 при $\rho _{0}^{{sh}} \to \infty $.

На рис. 5 показаны кривые $Y(\tau )$ для разных задач с одной и той же небольшой относительной задержкой зажигания. Видно, что кривые, относящиеся к одному и тому же значению ${{\rho }_{0}}$, за исключением кривой для последней задачи с неподвижной теплоизолированной боковой границей горючего, близки друг к другу на всем показанном интервале изменения τ. Отличие кривой для последней задачи объясняется существенным уменьшением радиуса ${{R}_{*}}$ (примерно в два раза по сравнению с задачами для оболочки из золота), которое уменьшает значение $Y(1)$ из-за роста относительной доли энергии вылетающих из горючего частиц.

На рис. 5а, помимо кривых для ${{\rho }_{0}} = 500{{\rho }_{a}}$, приведена кривая для одной из задач с ${{\rho }_{0}} = 100{{\rho }_{a}}$ (штрих-пунктирная линия, тепловое условие C1, оболочка из золота). По сравнению с кривыми для одного и того же значения ${{\rho }_{0}}$, кривые для разных значений ${{\rho }_{0}}$ (и одинаковой относительной задержкой зажигания) отличаются заметно.

Возникает естественный вопрос, что будет, если изменить определение задержки зажигания (14), заменив двукратное увеличение мощности нагрева α-частицами после прекращения действия пучка протонов на, например, трехкратное. Если исключить из рассмотрения последнюю задачу, то кривые для ${{\rho }_{0}} = 500{{\rho }_{a}}$ изменятся незначительно, так как значение задержки определяется одной из этих кривых. Мало изменится и соответствующее каждой кривой значение ${{R}_{*}}$.

Для кривых с ${{\rho }_{0}} = 100{{\rho }_{a}}$ такое простое рассуждение не годится, так как задержки, определяемые этими кривыми, могут существенно отличаться от заданного значения. Тем не менее расчет дает незначительное изменение кривых и соответствующих значений ${{R}_{*}}$ при указанном выше изменении определения задержки зажигания (14). Например, значение ${{R}_{*}}$ для задачи с условием C1 и оболочкой из золота при ${{\rho }_{0}} = 100{{\rho }_{a}}$ (штрих-пунктирная линия на рис. 5а) меняется менее, чем на 1%. Это подтверждает обоснованность выбора относительной задержки зажигания в качестве параметра, который позволяет сравнивать скорость зажигания мишеней с разными значениями ${{\rho }_{0}}$.

В табл. 2 для рассматриваемых задач приведены энергия зажигания ${{E}_{*}}$ и параметр ${{\rho }_{0}}{{R}_{*}}$, вычисленные по значениям ${{R}_{*}}$, найденным из решения уравнения $\Delta \tau ({{R}_{*}}) = \Delta {{\tau }_{*}} \approx 1.33$ и приведенным с точностью до 1 мкм в подписи к рис. 5.

Отсутствие теплопередачи через границу раздела (условие C0), которое моделирует наличие сильного магнитного поля, уменьшает энергию зажигания примерно на 10%. Применение гипотетической тяжелой оболочки (изотоп водорода с атомным весом золота) уменьшает энергию зажигания примерно на 30%. Модель неподвижной боковой границы горючего занижает энергию зажигания примерно в 3.5 раза.

Так как сильное магнитное поле вдоль оси симметрии подавляет тепловой поток в радиальном направлении во всей мишени, а не только на границе раздела, проводился контрольный расчет с занулением проекции теплового потока на нормаль к двум из четырех границ ячейки разностной сетки во всей расчетной области, которые ориентированы примерно вдоль оси симметрии. Соответствующее значение ${{R}_{*}}$ отличается от полученного для условия C0 менее чем на 2%.

В задаче зажигания пучком протонов плоского полубесконечного слоя DT-горючего зависимость энергии зажигания ${{E}_{{{\text{ig}}}}}$ от начальной плотности горючего с высокой точностью имеет вид ${{E}_{{{\text{ig}}}}} \propto \rho _{0}^{\beta }$, $\beta = - 1.85$ [10]. Предположим, что для рассматриваемых задач имеет место аналогичная связь ${{E}_{*}} \propto \rho _{0}^{\beta }$, где постоянную β легко найти по двум значениям ${{E}_{*}}$ для двух значений ${{\rho }_{0}}$ в табл. 2. Для задач с условиями C1 и C2 имеем $\beta \approx - 1.86$ и –1.88 соответственно, что близко к приведенному в [10] значению. Соответствующая зависимость параметра ${{\rho }_{0}}{{R}_{*}}$ от ${{\rho }_{0}}$ следует из (12) и имеет вид ${{\rho }_{0}}{{R}_{*}} \propto \rho _{0}^{{{{\beta }_{1}}}}$, ${{\beta }_{1}} = 0.07$ и 0.06 для задач с условиями C1 и C2. Заметное завышение параметра ${{\rho }_{0}}{{R}_{*}}$ по сравнению с зажиганием пучком тяжелых ионов в работах [15, 16] связано с близостью области зажигания пучком протонов с энергией 1 МэВ к свободной границе (см. обсуждение этого вопроса во введении).

Превращение детонационной волны в безударную волну горения

Как было указано выше со ссылкой на рис. 3, точка с максимальным по пространству давлением находится вблизи детонационной волны. То же самое относится и к максимальной по пространству плотности. Эти две величины, как и температуру ионов и электронов в точке с максимальным давлением, можно рассматривать как значения соответствующих функций в детонационной волне. Их зависимость от относительного времени $\tau = t{\text{/}}\Delta {{t}_{{{\text{pr}}}}}$ приведена на рис. 6. Видно, что все четыре величины со временем выходят на постоянные значения, что указывает на переход к стационарному режиму. Необычным является поведение плотности, которая со временем уменьшается.

На рис. 6 показана также зависимость от τ максимальной по пространству радиационной температуры (${{T}_{r}} = {{({{c}_{l}}U{\text{/(}}4\sigma ))}^{{1/4}}}$, где ${{c}_{l}}$ – скорость звука, U – плотность энергии излучения, σ – постоянная Стефана–Больцмана), которая намного меньше температуры плазмы.

Причина существенного уменьшения плотности в детонационной волне на рис. 6 (степень сжатия падает с примерно 3 до примерно 1.4) показана на следующем рис. 7. В четыре последовательных момента времени приведены профили плотности, давления и z-компоненты скорости (взятой с обратным знаком, чтобы разгрузить верхнюю часть рисунка) вдоль оси симметрии. Видно, что происходит качественная перестройка структуры волны. В первый момент $\tau = 2.5$ структура типична для детонационной волны. Имеется ударная волна в виде узкой области, где происходит изменение функций от значений за волной до почти начальных значений. Во второй момент $\tau = 5$ виден предвестник ударной волны, где профили имеют заметно меньший наклон (небольшой предвестник такого типа можно увидеть уже в предыдущий момент $\tau = 2.5$). Окончательная структура стационарной волны видна в два последних момента $\tau = 7.5$ и 10. Ударная волна исчезает, а предвестник превращается в довольно большой по осевой координате интервал, где профили всех функций близки к линейным.

Скорость стационарной волны $D \approx 3350$ км/с определялась по траектории движения точки с максимальным давлением на оси симметрии. Максимальная массовая скорость вдоль оси симметрии навстречу холодному горючему примерно 1100 км/с.

На рис. 8 приведено поле давления в последний из показанных на предыдущем рисунке моментов времени. Сравнивая это поле с полем давления на рис. 3 можно увидеть, что перестройка структуры произошла во всем горючем, а не только вблизи оси симметрии. Вместо ударной волны возникает непрерывная волна сжатия с близким к линейному профилем давления (расстояние между изобарами с постоянным шагом по давлению почти не меняется в волне сжатия), которая является также и волной термоядерного горения.

Параметры стационарной волны зависят от вложенной энергии пучка протонов. В табл. 3 приведены значения максимального давления в волне для трех значений радиуса R и соответствующих значений энергии пучка протонов. Во всех трех случаях перед выходом на стационарный режим детонационная волна превращается в безударную волну термоядерного горения.

Интегральные характеристики

На рис. 9 для трех значений радиуса R приведены зависимости от относительного времени τ коэффициента потери мощности α-частиц (относительные потери мощности α-частиц из-за их вылета за границу горючего) и коэффициента усиления G (без учета затрат энергии на сжатие мишени). Видно, что при $\tau > 7$ примерно половина мощности α-частиц выносится за пределы горючего вылетающими частицами. Коэффициент усиления при $\tau = 10$ достигает значений примерно 350–500 в зависимости от значения R.

Так как производная $G_{\tau }^{'}$ выходит на примерно постоянное значение, зная скорость волны можно оценить, какого размера H вдоль оси симметрии должна быть мишень, чтобы значение G достигало заданного значения, в качестве которого было выбрано $G = 1250$. Для $R = 64$ мкм расчет дает $H \approx 0.9$ мм и, соответственно, ${{\rho }_{0}}H \approx $ 10 г/см².

Коэффициент выгорания горючего в рассматриваемой задаче определяется на основе известного определения локального коэффициента выгорания [46, 47]. Определим число актов DT-реакции в единице объема ${{n}_{{\text{R}}}}$ уравнением

и начальным условием ${{n}_{{\text{R}}}} = 0$ при $t = 0$. В силу (7) сумма ${{n}_{{\text{R}}}} + {{n}_{{\text{D}}}}$ не зависит от числа актов DT-реакции. Коэффициент выгорания горючего определим формулой где интегрирование ведется по некоторой области, зависящей от положения детонационной волны. Для определения области задается параметр ${{B}_{{min}}}$ и вводится ограничение на локальный коэффициент выгорания

В рассматриваемой задаче коэффициент выгорания ${{k}_{b}}$ немного растет со временем. Для момента времени $\tau = 10$ ($t = 160$ пс) и двух значений ${{B}_{{min}}} = $ 0.01 и 0.1, значения ${{k}_{b}} \approx 0.24$ и 0.26 соответственно. При $\tau = 15$ ($t = 240$ пс) и тех же значений ${{B}_{{min}}}$, коэффициент выгорания принимает значения ${{k}_{b}} \approx 0.31$ и 0.33.

Механизм распространения

Механизм распространения волны горения определяется тем физическим процессом, который нагревает холодное горючее до высокой температуры, необходимой для рождения в единицу времени достаточно большого числа α-частиц. Складывая уравнения (3) и (4) можно получить при $t > \Delta {{t}_{{{\text{pr}}}}}$ (когда ${{D}_{e}} = {{D}_{i}} = 0$)

где ${{F}_{g}} = - {{\rho }^{{ - 1}}}p\nabla \cdot {\mathbf{u}}$, ${{F}_{h}} = - {{\rho }^{{ - 1}}}\nabla \cdot ({{{\mathbf{q}}}_{{\mathbf{e}}}} + {{{\mathbf{q}}}_{{\mathbf{i}}}})$, ${{F}_{\alpha }} = $ $ = {{\rho }^{{ - 1}}}({{W}_{e}} + {{W}_{i}})$ – мощности нагрева (охлаждения) единицы массы горючего гидродинамическим сжатием (расширением), теплопроводностью и α-частицами, $\varepsilon = {{\varepsilon }_{e}} + {{\varepsilon }_{i}}$.

На рис. 10а приведены профили давления и указанных выше функций (последнее слагаемое в правой части (19), связанное с излучением, мало по сравнению с другими слагаемыми и поэтому не приводится). Точки профиля давления соответствуют серединам интервалов разностной сетки вдоль оси симметрии. Видно, что основным механизмом распространения волны является нагрев α-частицами, которые вылетают из горячей области и отдают значительную часть своей мощности холодному горючему в начале волны. Теплопроводный нагрев заметно уступает α-частицам в начале волны, а примерно с середины волны теплопроводность начинает охлаждать горючее. Нагрев гидродинамическим сжатием в безударной волне незначителен.

Для сравнения на рис. 10б приведены такие же профили в стационарной волне, полученной для модели локального нагрева α-частицами, которые отдают свою энергию в той же точке, где родились, и поэтому не могут являться механизмом распространения волны горения. Радиус R выбран так, чтобы в момент $t = 160$ пс волна находилась примерно там же, где и безударная волна для модели на основе уравнения Фоккера–Планка.

Превращения детонационной волны в безударную волну горения в этом случае не происходит. Стационарной волной горения является детонационная волна с небольшим предвестником того же типа, что и упомянутый выше предвестник при превращении детонационной волны в безударную волну горения на рис. 7, но с другим механизмом распространения (теплопроводность). Нагрев α-частицами начинается после гидродинамического нагрева в ударной волне.

Хотя теплопроводность не является основным механизмом распространения безударной волны на рис. 10а, для существования такой волны теплопроводность необходима. Расчет показывает, что если начиная с $t = 160$ пс “отключить” теплопроводность, то происходит обратное превращение безударной волны в детонационную волну с небольшим предвестником. Процесс превращения начинается с роста давления в левой на рис. 10а части волны из-за “отключения” теплопроводного охлаждения волны в этой части.

В работе [27] для значений параметра ${{\rho }_{0}}R = 0.5$ и 1 г/см² приведены значения скорости стационарной волны, механизмом распространения которой является нелокальный нагрев α-частицами, вычисленные приближенно на основе анализа баланса энергии. Интерполяция в точку ${{\rho }_{0}}R = 0.7$ г/см², которая соответствует параметрам мишени, дает значение $D \approx 1550$ км/с, что заметно меньше приведенного выше значения, полученного из настоящего расчета.

Профили гидродинамических функций

Предположим, что вблизи оси симметрии безударная волна термоядерного горения является одномерной и движется с постоянной скоростью D. Тогда профили давления, плотности и скорости вдоль оси симметрии должны удовлетворять известным уравнениям, которые следуют из одномерных аналогов стационарных уравнений непрерывности (1) и движения (2) в системе координат, двигающейся вместе с волной. Пусть $p(z)$, $\rho (z)$ и $u(z)$ – профили соответствующих функций в неподвижной системе координат в некоторый момент времени. В подвижной системе координат профили давления и плотности не изменятся, а профиль скорости примет вид $v(z) = u(z) - D$.

Связь между функциями $p(z)$, $\rho (z)$ и $v(z)$ задается теми же уравнениями, что и связь между параметрами за фронтом ударной волны

где ${{\rho }_{1}}$, ${{v}_{1}}$ и ${{p}_{1}}$ – значения функций в некоторой точке. Исключением скорости v из (20) можно получить линейную связь между давлением p и удельным объемом ${{\rho }^{{ - 1}}}$, которая называется прямой Михельсона–Рэлея и используется в теории детонационных волн.

Полагая ${{\rho }_{1}} = {{\rho }_{0}}$, ${{v}_{1}} = - D$ (${{u}_{1}} = 0$), ${{p}_{1}} = 0$, что соответствует началу волны, уравнения (20) приводятся к виду

На рис. 11 приведены профили вдоль оси симметрии $p(z)$, $\rho (z)$ и $u(z)$ в безударной волне сжатия в последний из показанных на рис. 7 моментов времени, а также результат применения формул (21) и (22) к профилю $u(z)$. Видно, что профили $p(z)$ и $u(z)$ с хорошей точностью удовлетворяют формуле (21) почти во всей безударной волне сжатия.

Функция (22) мало отличается от профиля $\rho (z)$ только на начальном участке волны, а при $z < 0.44$ мм отклонение становится заметным, хотя и не превосходит 20%. В значительной степени это отклонение объясняется нарушением одномерности поля плотности вблизи оси симметрии, показанного на рис. 12. Видно, что изолинии плотности (в отличие от изобар на рис. 8) не ортогональны оси симметрии и имеют волнообразный характер.

Простые геометрические соображения позволяют получить приближенную формулу, связывающую наклон профиля давления $\left| {{{p}_{z}}} \right|$ в стационарной волне со скоростью волны D и производной ${{\varepsilon }_{t}}$ вблизи точки начала волны. Пусть эта точка в некоторый момент времени t имеет координату $z = {{z}_{0}}$. В окрестности этой точки будем полагать $\rho = {{\rho }_{0}}$, а функции u, p и ε полагать малыми величинами, в отличие от производных от этих функций по z и t. За время $\Delta t$ точка начала волны сместится вдоль координаты z на $\Delta z = D\Delta t$. С другой стороны, если $\Delta t$ достаточно мало, давление в точке ${{z}_{0}}$ в момент $t + \Delta t$ равно ${{p}_{t}}\Delta t$. Тогда наклон профиля давления

Чтобы связать производную ${{p}_{t}}$ c производной ${{\varepsilon }_{t}}$ воспользуемся связью $p = \rho \varepsilon (\gamma - 1)$, $\gamma = 5{\text{/}}3$, которая с хорошей точностью выполняется в расчетных точках вдоль оси симметрии (в точке максимума профиля ${{F}_{\alpha }}$ на рис. 10а погрешность этой формулы 4%, а уже в следующей точке внутрь волны погрешность падает до 0.4%). Подставляя эту связь в (23) и отбрасывая $\varepsilon {{\rho }_{t}}$ из-за малости ε, окончательно получим

Так как вблизи точки начала волны в силу малости скорости u частная производная по t совпадает с полной производной, ${{\varepsilon }_{t}}$ в (24) является правой частью уравнения (19). Как видно из рис. 10а, вблизи точки начала волны с большой точностью ${{\varepsilon }_{t}} = {{F}_{\alpha }}$.

На рис. 10а на профиле функции ${{F}_{\alpha }}$ показано значение $\varepsilon _{t}^{*}$, полученное из формулы (24) по значению $\left| {{{p}_{z}}} \right|$, приближенно вычисленному по профилю давления на рис. 10а, и указанному выше значению скорости волны D. Видно, что $\varepsilon _{t}^{*}$ действительно соответствует координате z вблизи точки начала волны.

Максимальное значение ${{F}_{\alpha }}$ на рис. 10а заметно больше $\varepsilon _{t}^{*}$. Возникает вопрос, можно ли найти на профиле ${{F}_{\alpha }}(z)$ значение, близкое к $\varepsilon _{t}^{*}$, не прибегая к формуле (24). Оказывается, что для этого достаточно воспользоваться тем, что вблизи точки с максимальным значением ${{F}_{\alpha }}$ профиль $p(z)$ еще не сформировался. Надо перебирать точки профиля ${{F}_{\alpha }}(z)$, двигаясь справа налево на рис. 10а, и выбрать первую точку, в которой локальный наклон профиля $p(z)$ отличается от заданного не больше, чем на 10%. Найденное таким образом значение отличается от $\varepsilon _{t}^{*}$ примерно на 5%.

Условие Чепмена–Жуге

Вернемся к рис. 11, где показан профиль вдоль оси симметрии функции $D - u - c$, где c – скорость звука, которая вычисляется по значениям ρ, ${{T}_{e}}$, ${{T}_{i}}$ и уравнениям состояния (5). Видно, что эта функция имеет близкий к нулю минимум примерно там, где профили p, u и ρ имеют максимум. Это дает основание, как и в случае детонационных волн [48], воспользоваться условием Чепмена–Жуге

которое вместе с уравнениями (21), (22) дают три уравнения относительно четырех неизвестных: скорости волны D и значений p, ρ и u в точке Чепмена–Жуге. Для приведенных на рис. 11 профилей скорость звука с хорошей точностью определяется формулой $c = \sqrt {\gamma p{\text{/}}\rho } $, $\gamma = 5{\text{/}}3$. Тогда уравнения (21), (22), (25) дают следующие простые формулы которые совпадают с аналогичными формулами для сильной детонационной волны [49].

Возьмем p равным максимальному значению на соответствующем профиле рис. 11, вычислим значения D, u и ρ по формулам (26) и сравним их со скоростью волны $D = 3350$ км/с и максимальными значениями u и ρ на соответствующих профилях рис. 11. Значения D отличаются примерно на 9%, а значения u примерно на 6%, что можно объяснить погрешностью определения максимальных величин в двумерном расчете. Различие в значениях плотности (примерно 25%) намного больше, что связано с указанным выше нарушением одномерности поля плотности вблизи оси симметрии.

О роли излучения

В работах [15, 16], где рассматривалась аналогичная задача для пучка тяжелых ионов с глубиной прогрева 6 г/см², перед детонационной волной возникал предвестник с плотностью горючего существенно меньше начальной плотности 100 г/см³. Этот эффект авторы объясняют нагревом предвестника излучением, идущим из области термоядерного горения.

Для зажигающего драйвера с небольшой глубиной прогрева, который рассматривается в настоящей работе, такого эффекта не возникает. Излучение быстро проникает во всю расчетную область перед волной горения и начинает сравнительно медленно поднимать там температуру. Вместе с температурой растет давление, а скорость горючего, из-за отсутствия больших градиентов давления, остается небольшой, что влечет за собой небольшие изменения плотности. Расчет без учета излучения дает примерно такую же стационарную безударную волну горения, что и с учетом излучения, с небольшим опережением по времени.

Анализ мощности нагрева горючего перед волной горения показывает, что при температуре примерно 0.1 кэВ и ниже основным механизмом нагрева является излучение. Приведем некоторые расчетные данные о температуре горючего и спектральном составе излучения в этой области.

На рис. 13 приведены профили температуры вдоль оси симметрии для области значений от 0.1 кэВ и ниже в три момента времени. Электронная и ионная температуры при таких значениях почти совпадают. Видно, что на большом расстоянии от волны температура слабо зависит от z и растет со временем, достигая при $t = 160$ пс значения примерно 0.01 кэВ. При приближении к волне горения производная $\partial T{\text{/}}\partial z$ плавно и достаточно быстро растет по абсолютной величине.

Перейдем к спектральному составу излучения перед волной горения. Многогрупповая модель, которая используется для описания взаимодействия излучения с горючим, плохо приспособлена для наглядного описания спектрального состава, так как дает интегральные по частоте характеристики излучения в каждой группе. Представленные ниже зависимости получены решением диффузионного по телесному углу приближения стационарного уравнения переноса излучения

которое является исходным для многогрупповой модели и решается в некоторые моменты времени для очень подробного набора значений частоты ν. Здесь $\kappa (\nu ,\rho ,{{T}_{e}})$ – коэффициент тормозного поглощения с учетом индуцированного излучения [47], ${{u}_{\nu }}$ – спектральная плотность излучения, $B(\nu ,{{T}_{e}})$ – функция Планка, ${{R}_{\nu }}$ – спектральная плотность мощности нагрева излучением единицы объема горючего, которая определяет соответствующее слагаемое в правой части уравнения (3)

На рис. 14 приведены функции ${{R}_{\nu }}(\nu )$ и ${{u}_{\nu }}(\nu )$ для двух моментов времени в точках на оси симметрии на примерно одинаковом расстоянии от положения волны горения. Обе функции растут по времени. Нагрев излучением определяется фотонами с частотой $\nu < 10$ кэВ несмотря на наличие значительно более энергичных фотонов (функция ${{u}_{\nu }}$ при $\nu = 30$ кэВ всего в четыре раза меньше своего максимального значения при $\nu \approx 5$ кэВ). Причиной является быстрое падение коэффициента тормозного поглощения с ростом ν ($\kappa \propto {{\nu }^{{ - 3}}}$).

Задача с искусственно завышенной начальной температурой

В настоящей работе не рассматривается нагрев горючего перед волной горения высокоэнергичными нейтронами DT-реакции. Чтобы оценить последствия такого нагрева, который может оказаться более значительным, чем нагрев излучением, выполнен расчет с искусственно завышенной до 1 кэВ начальной температурой горючего. Плотность горючего не меняется, а давление определяется уравнением состояния. Чтобы не допустить бокового разлета горючего до прихода волны горения, давление в оболочке полагается равным давлению в горючем, начальная плотность оболочки не меняется, а температура определяется уравнением состояния.

Из-за уноса энергии излучением происходит небольшое уменьшение со временем температуры перед волной горения. При $t = 160$ пс температура уменьшается до примерно 0.9 кэВ. Расчет показывает, что, по сравнению с основной рассмотренной задачей с температурой перед волной горения примерно 0.1 кэВ, увеличение этой температуры до 0.9 кэВ дает примерно такую же стационарную быструю безударную волну горения с немного уменьшенными значениями максимального давления и модуля наклона профиля давления.