Физика плазмы, 2020, T. 46, № 1, стр. 57-71

1. ВВЕДЕНИЕ

Магнитогидродинамическая теория мелкой воды играет важную роль в описании крупномасштабных процессов во вращающихся течениях астрофизической плазмы. Приближение мелкой воды в магнитной гидродинамике плазмы используется для изучения солнечного тахоклина [1–6], атмосфер внесолнечных планет [7], динамики атмосфер нейтронных звезд [8, 9] и растекания материи при дисковой аккреции в нейтронных звездах [10, 11]. Практически, речь идет о развитии идей геофизической гидродинамики на случай вращающейся плазмы с учетом существенных различий в поведении плазменных течений вследствие наличия магнитного поля.

Течения в плазменной астрофизике, так же как течения в геофизике, как правило, являются стратифицированными. Именно изучению фундаментальной роли стратификации в течениях астрофизической плазмы посвящена данная работа. Заметим, что полная система уравнений магнитогидродинамики стратифицированной плазмы достаточно сложна как для теоретического анализа, так и для численного моделирования. Эффективной моделью для описания непрерывно стратифицированной плазмы является модель n слоев плазмы различной плотности, наложенных друг на друга [12, 13]. В настоящей работе мы предлагаем магнитогидродинамические уравнения стратифицированной плазмы в приближении двуслойной мелкой воды. Уравнения, полученные в [14–16], обобщаются в настоящей работе на случай тонкого вращающегося стратифицированного слоя плазмы со свободной границей во внешнем вертикальном магнитном поле. Получены две системы уравнений: уравнения с полным учетом силы Кориолиса и уравнения на бета-плоскости. Полученные магнитогидродинамические уравнения мелкой воды представляют собой единственную возможность самосогласованного учета внешнего магнитного поля и стратификации. Двуслойные магнитогидродинамические уравнения мелкой воды играют такую же важную роль в космической и астрофизической стратифицированной плазме, как и классические уравнения мелкой воды в гидродинамике нейтральной стратифицированной жидкости [17–19]. Учет стратификации в магнитогидродинамических моделях вращающейся плазмы важен для анализа осцилляций R-моды во вращающихся звездах и на Солнце [21–23] и позволяет существенно расширить возможности для интерпретации имеющихся данных наблюдений крупномасштабных волн Россби на Солнце [24–27].

В нашей работе мы используем развитую теорию двуслойных магнитогидродинамических течений мелкой воды в приближении бета-плоскости для изучения волн магнито-Россби [15, 28]. Волны магнито-Россби – крупномасштабные волны, возникающие вследствие широтных неоднородностей силы Кориолиса в слое плазмы на вращающейся сфере. Волны Россби определяют крупномасштабную динамику Солнца и звезд [29–32], магнитоактивных атмосфер экзопланет, захваченных приливами от родительской звезды [7], и течений в аккреционных дисках и атмосферах нейтронных звезд [9, 34]. Кроме того, волны Россби играют определяющую роль в возникновении зональных течений в двумерной магнитогидродинамической турбулентности и в структуре Земли [35–37]. Крупномасштабные волны Россби в нейтральной жидкости определяют глобальную динамику планетных атмосфер и являются предметом многочисленных исследований в геофизической гидродинамике [17, 18, 20, 33, 38]. В этом случае волны рассматриваются на фоне тривиального стационарного состояния (состояния покоя) и теория таких волн развивается с использованием приближения мелкой воды или геострофического приближения. В нашем случае течений астрофизической плазмы теория волн Россби значительно усложняется вследствие нетривиальных стационарных состояний магнитного поля (например, тороидальное и полоидальное магнитные поля или внешнее вертикальное магнитное поле). Основные результаты относительно волн магнито-Россби получены в линейном приближении [3, 9, 31, 32] с использованием магнитогидродинамической теории мелкой воды для нестратифицированной и несжимаемой плазмы. Отметим важные работы по развитию нелинейной теории магнитных волн Россби [15, 39] а так же теории волн магнито-Россби для случая сжимаемых течений мелкой воды [40]. Все перечисленные являения в плазменной астрофизике изучаются на основе магнитогидродинамического приближения мелкой воды в плазме без учета стратификации.

В настоящей работе с использованием развитой магнитогидродинамической теории двуслойной мелкой воды на бета-плоскости получены законы дисперсии магнито-Россби волн как во внешнем вертикальном магнитном поле, так и в горизонтальном магнитном поле, с учетом плотностной стратификации. Найдено, что поправки к волнам магнито-Россби, связанные со стратификацией, изменяют фазовые и групповые скорости волн. В случае наличия внешнего магнитного поля, как и в случае его отсутствия, показано выполнение условия синхронизма для трех взаимодействующих волн магнито-Россби и получены уравнения нелинейного взаимодействия. Коэффициенты взаимодействия волн в полученных уравнениях отличаются от коэффициентов в уравнениях для однослойной модели [15] наличием слагаемых, связанных с различием в плотностях слоев плазмы. Показана возможность наличия параметрических неустойчивостей и найдены их инкременты. Полученные результаты для магнито-Россби волн при наличии стратификации играют ключевую роль для понимания динамики различных астрофизических объектов. Например, позволяют детализировать волновую динамику солнечного тахоклина и тем самым уточнить влияние магнитных волн Россби в тахоклине на формирование солнечных сезонов [4, 5, 24, 26, 27, 29].

В разд. 2 получены магнитогидродинамические уравнения вращающейся стратифицированной плазмы в приближении двуслойной мелкой воды во внешнем магнитном поле. В разд. 3 полученные уравнения обобщены на случай сферических течений в приближении бета-плоскости, и получены дисперсионные соотношения волн магнито-Россби с поправками, описывающими эффекты стратификации. В разд. 4 для полученных дисперсионных соотношений показано выполнение условия синхронизма, получены уравнения трехволнового взаимодействия и характеристики параметрических неустойчивостей.

2. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПЛАЗМЫ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ В ПРИБЛИЖЕНИИ ДВУСЛОЙНОЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ

Получим магнитогидродинамические уравнения, описывающие стратифицированную плазму в приближении двуслойной мелкой воды. В качестве исходной рассмотрим трехмерную систему магнитогидродинамических уравнений для вращающейся несжимаемой плазмы в поле тяжести [15, 41, 42]

где u – вектор скорости плазмы в данной точке, B  – вектор напряженности магнитного поля в плазме, ρ – плотность, ${\mathbf{f}} = (0,0,f)$, $f = 2\Omega sin\theta $ – параметр Кориолиса (коэффициент в силе Кориолиса, равный удвоенной проекции угловой скорости вращения плазмы на вертикальную ось), Ω – угловая скорость вращения плазмы, θ – широта, ${\mathbf{g}} = (0,0, - g)$ – ускорение свободного падения, p – полное давление, равное сумме гидростатического и магнитного. Первое уравнение системы – уравнение изменения импульса, второе – уравнение переноса магнитного поля, третье – условие бездивергентности поля скоростей, четвертое – условие бездивергентности магнитного поля.

Будем изучать течение тонкого стратифицированного слоя плазмы со свободной границей в однородном поле силы тяжести во вращающейся системе координат при наличии внешнего вертикального магнитного поля ${{B}_{0}}$ (рис. 1).

Разделим тонкий слой плазмы высотой ${{h}_{2}}$ на два слоя: нижний слой высоты ${{h}_{1}}$ с постоянной плотностью ${{\rho }_{1}}$ и верхний слой высоты $\Delta h = {{h}_{2}} - {{h}_{1}}$ с постоянной плотностью ${{\rho }_{2}}$. Для вывода двуслойных уравнений мелкой воды запишем исходную систему (1)–(4) для каждого из слоев и проинтегрируем по вертикальной координате в пределах от 0 до ${{h}_{1}}$ для нижнего слоя и от ${{h}_{1}}$ до ${{h}_{2}}$ для верхнего слоя. Считаем высоты каждого слоя много меньше характерных линейных горизонтальных масштабов задачи. В этом случае полное давление (сумма гидродинамического и магнитного) считаем гидростатическим, пренебрегая вертикальными ускорениями. В результате получим магнитогидродинамические уравнения для двух слоев плазмы различной плотности в приближении мелкой воды во внешнем вертикальном магнитном поле.

Запишем уравнения (1) и (2) для каждого слоя плазмы в матричном виде

где ${{\rho }_{i}}$ – плотность, ${{\tilde {p}}_{i}} = {{p}_{i}} + B_{i}^{2}{\text{/}}8\pi $ – магнитогидродинамическое давление в слое, ${{\tilde {B}}_{{1i}}}$, ${{\tilde {B}}_{{2i}}}$, ${{\tilde {B}}_{{3i}}}$ – компоненты напряженности магнитного поля в слое (${{{\mathbf{\tilde {B}}}}^{2}} = {{{\mathbf{B}}}^{2}}{\text{/}}4\pi $), ${{u}_{{1i}}}$, ${{u}_{{2i}}}$, ${{u}_{{3i}}}$ – компоненты скорости в слое; здесь и далее индекс $i = 1$ соответствует нижнему слою, а индекс $i = 2$ соответствует верхнему слою.

Запишем граничные условия для каждого слоя плазмы во внешнем вертикальном магнитном поле. Граничные условия для поля скорости имеют следующий вид:

В качестве граничного условия для поля скоростей на дне используем условие непротекания (6). Граничное условие на границе между слоями описывает условие равенства вертикальной компоненты скорости нижнего слоя и скорости перемещения границы между слоями (в (7) индекс $i = 1$). Граничное условие на свободной границе соответствует условию равенства вертикальной компоненты скорости верхнего слоя и скорости перемещения свободной границы (в (7) индекс $i = 2$).

Граничные условия для магнитного поля имеют следующий вид:

Здесь и далее ${{B}_{i}} = {{\tilde {B}}_{i}}{{\rho }^{{ - 1/2}}}$.

В случае когда внешнее поле отсутствует (${{B}_{0}} = 0$ в уравнениях (8), (9)), граничные условия для вертикальной составляющей магнитного поля ${{B}_{3}}$ на поверхностях $z = {{h}_{1}}$ и $z = {{h}_{2}}$ задаются условием параллельности вектора поля границе между слоями ${{h}_{1}}(x,y)$ и верхней границе ${{h}_{2}}(x,y)$ соответственно и представляют собой сумму горизонтальных компонент ${{B}_{i}}$, домноженных на соответствующие тангенсы углов $\partial {{h}_{i}}{\text{/}}\partial x$ и $\partial {{h}_{i}}{\text{/}}\partial y$. Таким образом, на дне при $z = 0$ вертикальная компонента магнитного поля ${{B}_{3}} = 0$ (8). При наложении внешнего вертикального магнитного поля в граничные условия на вертикальную компоненту поля ${{B}_{3}}$ на поверхностях $z = 0$ (8), $z = {{h}_{i}}$ (9) необходимо добавить слагаемое ${{B}_{0}}$.

Запишем условие гидростатичности для полного давления в каждом слое в следующем виде:

Используем данное уравнение для получения выражений для давлений на дне тонкого слоя плазмы высотой ${{h}_{2}}$ и на границе между слоями плазмы различной плотности, а также распределения давления в слоях ${{h}_{1}}$ плотности ${{\rho }_{1}}$ и $\Delta h = {{h}_{2}} - {{h}_{1}}$ плотности ${{\rho }_{2}}$. Для этого проинтегрируем уравнение (10) по координате z для нижнего слоя в пределах от 0 до ${{h}_{1}}$, а для верхнего слоя в пределах от ${{h}_{1}}$ до ${{h}_{2}}$

здесь и далее индекс $i = 1$ соответствует нижнему слою, в котором ${{a}_{i}} = 0$, ${{h}_{i}} = {{h}_{1}}$, а индекс $i = 2$ соответствует верхнему слою, в котором ${{a}_{i}} = {{h}_{1}}$, ${{h}_{i}} = {{h}_{2}}$.

Считая давление на свободной границе постоянным $\mathop {\left. p \right|}\nolimits_{z = {{h}_{2}}} = {{p}_{0}}$, из уравнения (11) находим давление на границе между слоями $\mathop {\left. {\tilde {p}} \right|}\nolimits_{{{h}_{1}}} $:

Давление $\mathop {\tilde {p}}\nolimits_2 (z)$ в верхнем слое плазмы плотности ρ₂ находим из уравнения (11), заменив верхний предел интегрирования h₂ на z

Аналогично из уравнения (11) находим давление на дне $\mathop {\left. {\tilde {p}} \right|}\nolimits_0 $ и давление ${{\tilde {p}}_{1}}(z)$ в нижнем слое плазмы плотности ${{\rho }_{1}}$

При интегрировании уравнений (5) используем правило дифференцирования Лейбница и выражения для давлений, полученные выше (12)–(15).

Проинтегрируем условие бездивергентности поля скоростей в пределах от 0 до ${{h}_{1}}$ для нижнего слоя (индекс $i = 1$) и от ${{h}_{1}}$ до ${{h}_{2}}$ для верхнего слоя (индекс $i = 2$):

С учетом граничных условий (6), (7) получим следующие уравнения непрерывности для каждого из слоев:

Интегрируя аналогичным образом условия бездивергентности магнитного поля в нижнем и верхнем слоях плазмы во внешнем магнитном поле и используя граничные условия (8), (9), получим следующие соотношения:

Проинтегрируем также уравнения для магнитного поля для каждого слоя плазмы. Уравнения для горизонтальных компонент магнитного поля имеют вид

где уравнению на x-компоненту магнитного поля соответствуют индексы $j = 1$, $k = 2$, а уравнению на y-компоненту магнитного поля соответствуют индексы $j = 2$, $k = 1$; нижнему слою плазмы соответствуют индекс $i = 1$ и ${{a}_{i}} = 0$, а верхнему слою плазмы соответствуют индекс $i = 2$ и ${{a}_{i}} = {{h}_{1}}$.

Уравнения z-компоненты магнитного поля для каждого из слоев имеют следующий вид:

где индекс $i = 1$ соответствует нижнему слою плазмы, в котором ${{a}_{i}} = 0$, ${{h}_{i}} = {{h}_{1}}$, а индекс $i = 2$ соответствует верхнему слою плазмы, в котором ${{a}_{i}} = {{h}_{1}}$, ${{h}_{i}} = {{h}_{2}}$.

Поступим аналогично для уравнений горизонтальных скоростей в системе (5) в каждом из слоев. Проинтегрируем уравнения изменения импульса в каждом слое с учетом граничных условий (6)–(9). Используя выражения для давлений в нижнем слое плазмы (15) и на границе между слоями различной плотности (12), получим

где индекс $i = 1$ соответствует нижнему слою, в котором ${{a}_{i}} = 0$, ${{h}_{i}} = {{h}_{1}}$, ${{H}_{i}} = \Delta h$, а индекс $i = 2$ соответствует верхнему слою, в котором ${{a}_{i}} = {{h}_{1}}$, ${{h}_{i}} = {{h}_{2}}$, ${{H}_{i}} = {{h}_{1}}$; уравнению на x-компоненту соответствуют индексы $j = 1$, $k = 2$ и $\alpha = 1$, а уравнению на y-компоненту соответствуют индексы $j = 2$, $k = 1$ и $\alpha = - 1$.

Для окончательного вывода магнитогидродинамических уравнений двуслойной мелкой воды введем усредненные по высоте слоев скорости ${{u}_{{qi}}}$ и магнитные поля ${{B}_{{qi}}}$ (индекс $j = 1$ соответствует $q = x$; индекс $j = 2$ соответствует $q = y$) и представим скорости и магнитные поля в каждом из слоев как сумму усредненных величин и флуктуаций в следующем виде:

где $u_{{ji}}^{'}$ – флуктуации скорости в нижнем (индекс $i = 1$) и в верхнем (индекс $i = 2$) слоях; $B_{{ji}}^{'}$ – флуктуации магнитного поля в нижнем (индекс $i = 1$) и в верхнем (индекс $i = 2$) слоях.

Подставим выражения (20), (21) в уравнения (16), (17), (19), пренебрегая слагаемыми, включающими флуктуации [12, 43–45]. В результате получим магнитогидродинамические уравнения стратифицированной плазмы в поле силы тяжести в приближении двуслойной мелкой воды во внешнем магнитном поле

где индекс $i = 1$ соответствует нижнему слою, в котором ${{a}_{i}} = 0$, ${{h}_{i}} = {{h}_{1}}$, ${{H}_{i}} = \Delta h$, а индекс $i = 2$ соответствует верхнему слою, в котором ${{a}_{i}} = {{h}_{1}}$, ${{h}_{i}} = {{h}_{2}}$, ${{H}_{i}} = {{h}_{1}}$. Первое уравнение – уравнение, описывающее изменение высоты каждого слоя плазмы, второе и третье уравнения – уравнения для усредненных по высоте горизонтальных скоростей, четвертое и пятое уравнения – уравнения для усредненных по высоте горизонтальных магнитных полей.

Отметим, что наличие внешнего вертикального магнитного поля ${{B}_{0}}$ приводит к существенным изменениям горизонтальной динамики магнитного поля в приближении мелкой воды [14]. Уравнения для высоты (${{h}_{i}} - {{a}_{i}}$), горизонтальных скоростей (${{u}_{{xi}}},\;{{u}_{{yi}}}$) и магнитных полей (${{B}_{{xi}}},\;{{B}_{{yi}}}$) представляют собой замкнутую систему, которая используется для дальнейшего исследования. Последние два уравнения в системе (22) обеспечивают условие бездивергентности магнитного поля, которое используется для задания корректных начальных условий. Кроме того, эти уравнения описывают принципиальную трехмерность и осесимметричность магнитных полей в приближении мелкой воды. При внешнем магнитном поле ${{B}_{0}} = 0$ уравнения (22) переходят в магнитогидродинамические уравнения стратифицированной плазмы в приближении двуслойной мелкой воды [12, 13]. При равенстве высот и плотностей слоев уравнения (22) переходят в магнитогидродинамические уравнения в приближении однослойной мелкой воды во внешнем магнитном поле [14], и при ${{B}_{0}} = 0$ сводятся к хорошо известным магнитогидродинамическим уравнениям мелкой воды без внешнего магнитного поля [1, 12, 46, 47].

3.ПРИБЛИЖЕНИЕ БЕТА-ПЛОСКОСТИ. ВОЛНЫ МАГНИТО-РОССБИ

Ниже будем исследовать сферические течения тонкого слоя несжимаемой вращающейся плазмы в приближении двуслойной мелкой воды в рамках полученных уравнений (22). Эффекты сферичности учитываем в приближении β-плоскости по аналогии с уравнениями нейтральной жидкости [14]. Считаем, что параметр Кориолиса f слабо меняется при малых изменениях широты. Представим f в следующем виде:

где Ω – угловая скорость вращения, равная для обоих слоев, ${{f}_{0}} = 2\Omega sin{{\theta }_{0}}$, $\beta = \partial f{\text{/}}\partial y$, координата y отсчитывается по широте в северном направлении и свзяна с θ следующим соотношением $y = r(\theta - {{\theta }_{0}})$, где r – радиус сферы [18].

В системе (22) дифференцируем уравнения горизонтальных компонент скоростей ${{u}_{{xi}}}$ по y с учетом зависимости параметра Кориолиса от широты (23). Считая $\beta y \ll {{f}_{0}}$, получим следующие уравнения для стратифицированной вращающейся плазмы на бета-плоскости при наличии внешнего магнитного поля:

где индекс $i = 1$ соответствует нижнему слою, в котором ${{a}_{i}} = 0$, ${{h}_{i}} = {{h}_{1}}$, ${{H}_{i}} = \Delta h$, а индекс $i = 2$ соответствует верхнему слою, в котором ${{a}_{i}} = {{h}_{1}}$, ${{h}_{i}} = {{h}_{2}}$, ${{H}_{i}} = {{h}_{1}}$. Первое уравнение – уравнение, описывающее изменение высоты каждого слоя плазмы, второе и третье уравнения – уравнения для усредненных по высоте горизонтальных скоростей в бета-приближении для силы Кориолиса, четвертое и пятое уравнения – уравнения для усредненных по высоте горизонтальных магнитных полей.

Волны, вызванные широтной зависимостью силы Кориолиса, принято называть волнами магнито-Россби [19] по аналогии с геофизическими волнами Россби в гидродинамике нейтральной жидкости.

Используем далее уравнения (24) для изучения волн магнито-Россби в стратифицированной плазме в приближении двуслойной мелкой воды на бета-плоскости на фоне стационарного внешнего вертикального магнитного поля. При отсутствии вертикального магнитногополя уравнения (24) переходят в систему магнитогидродинамических уравнений в приближении двуслойной мелкой воды на бета-плоскости, имеют стационарное решение в виде горизонтального (тороидального и полоидального) магнитного поля и будут использованы ниже для изучения волн магнито-Россби.

4. ТРЕХВОЛНОВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН МАГНИТО-РОССБИ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Исследуем слабонелинейные взаимодействия волн магнито-Россби в двуслойной модели мелкой воды. Для того чтобы оценить возможность межволновых взаимодействий для найденных волн, проанализируем дисперсионные соотношения, полученные в разделе 3. Условие синхронизма для трех взаимодействующих волн с волновыми векторами ${{{\mathbf{k}}}_{1}}$, ${{{\mathbf{k}}}_{2}}$ и ${{{\mathbf{k}}}_{3}}$ и частотами $\omega ({{{\mathbf{k}}}_{1}})$, $\omega ({{{\mathbf{k}}}_{2}})$ и $\omega ({{{\mathbf{k}}}_{3}})$, соответственно, имеет вид [15]

Чтобы определить, существуют ли такие три волны магнито-Россби во внешнем вертикальном магнитном поле (27), (29) и в горизонтальном магнитном поле (38), (40), удовлетворяющие условию синхронизма (43), необходимо изобразить две дисперсионные кривые, смещенные друг относительно друга, для каждого случая. Первое слагаемое $\omega ({{{\mathbf{k}}}_{1}})$ в условии синхронизма (43) задает точку (${{k}_{1}},\omega ({{k}_{1}})$) на дисперсионной кривой. На смещенной дисперсионной кривой слагаемое $\omega ({{{\mathbf{k}}}_{2}})$ задает точку (${{k}_{2}},\omega ({{k}_{2}})$). Если при смещении относительно начала координат одной из дисперсионных кривых она пересечет другую в некоторой точке (${{k}_{3}},\omega ({{k}_{3}})$), то это будет означать выполнение условия синхронизма (43). На рис. 2 изображены дисперсионные кривые при наличии внешнего вертикального магнитного поля, на рис. 3 изображены кривые для случая горизонтального магнитного поля.

Как видно из рис. 2 и 3, в случае наличия внешнего магнитного поля и в случае горизонтального магнитного поля условие синхронизма выполняется [48].

Для изучения трехволновых взаимодействий мы используем асимптотический метод многомасштабных разложений для системы магнитогидродинамических уравнений (24) стратифицированной плазмы в приближении двуслойной мелкой воды на бета-плоскости во внешнем магнитном поле [14–16]. Поскольку метод многомасштабных разложений широко используется для исследования слабонелинейных взаимодействий, мы ограничимся кратким изложением вывода амплитудных уравнений и приведем полученные выражения для коэффициентов взаимодействия. Представим решение системы уравнений (24) в виде асимптотического ряда по малому параметру ε:

где ${{{\mathbf{q}}}_{0}}$ – стационарное решение полной системы, ${{{\mathbf{q}}}_{1}}$ – решение линеаризованной системы в виде плоской волны с известным законом дисперсии (27), (29) для уравнений мелкой воды во внешнем магнитном поле и законом дисперсии (38), (40) для уравнений мелкой воды в горизонтальном магнитном поле. Слагаемое ${{{\mathbf{q}}}_{2}}$ – поправка к решению, описывающая влияние квадратичной нелинейности. Уравнение для поправки ${{{\mathbf{q}}}_{2}}$ получается во втором порядке малости по параметру ε, в правой части которого содержатся резонансные слагаемые, приводящие к линейному росту решения по времени и координатам. Таким образом, условие ${{\varepsilon }^{2}}{{q}_{2}} \ll \varepsilon {{q}_{1}}$ на больших масштабах нарушается, поэтому, чтобы исключить влияние резонансных слагаемых, вводим медленно меняющуюся амплитуду, зависящую от медленного времени и больших пространственных масштабов.

Представим решение в виде суммы трех волн магнито-Россби, удовлетворяющих условию синхронизма (43)

где ϕ, ψ, χ – амплитуды взаимодействующих волн, ${{\theta }_{i}} = - \omega ({{{\mathbf{k}}}_{i}}){{T}_{0}} + {{k}_{{xi}}}{{X}_{0}} + {{k}_{{yi}}}{{Y}_{0}}$ – фазы волн, a – комплексный вектор волны, сокращение $c.c.$ использовано для обозначения комплексно-сопряженных слагаемых.

“Быстрые” переменные $({{T}_{0}},{{X}_{0}},{{Y}_{0}})$ связаны с “медленными” (${{T}_{1}},\;{{X}_{1}},\;{{Y}_{1}}$) следующими соотношениями:

Подставим в систему (24) магнитогидродинамических уравнений стратифицированной плазмы во внешнем вертикальном магнитном поле в приближении мелкой воды решение (44) с учетом (46) и (45). Во втором порядке малости получим систему линейных неоднородных уравнений с резонансами в правой части. Для исключения резонансных слагаемых воспользуемся условием совместности, заключающемся в ортогональности правой части ядру линейного оператора, стоящего в левой части системы уравнений. Таким образом, умножая правую часть на собственный вектор линейного оператора, стоящего в левой части, выпишем последовательно слагаемые, пропорциональные ${{e}^{{i{{\theta }_{1}}}}}$, ${{e}^{{i{{\theta }_{2}}}}}$ и ${{e}^{{i{{\theta }_{3}}}}}$. В результате получим систему для трех амплитуд взаимодействующих пакетов волн магнито-Россби в приближении двуслойной мелкой воды

где ${{s}_{n}}$ – дифференциальный оператор по “медленным” аргументам ${{T}_{1}}$, ${{X}_{1}}$, ${{Y}_{1}}$, а коэффициенты ${{f}_{m}}$ зависят только от начальных условий и характеристик взаимодействующих волн. Система (47)–(49) описывает трехволновые взаимодействия волн магнито-Россби, удовлетворяющих условию синхронизма (43). Каждое из трех уравнений системы описывает нелинейное влияние величин амплитуд двух взаимодействующих волн на третью волну.

Во внешнем вертикальном магнитном поле дифференциальный оператор ${{s}_{n}}$ имеет вид

где коэффициент ${{r}_{n}}$ при производной по медленному времени ${{T}_{1}}$коэффициент ${{p}_{n}}$ при производной по координате ${{X}_{1}}$а коэффициент ${{q}_{n}}$ при производной по координате ${{Y}_{1}}$

В этих коэффициентах ${\mathbf{a}} = {\mathbf{a}}({{{\mathbf{k}}}_{n}})$, $n = 1,2,3$. Здесь и далее ${{a}_{{2 - 1}}} = {{a}_{2}} - {{a}_{1}}$.

Коэффициенты ${{f}_{m}}$, зависящие только от начальных условий и характеристик взаимодействующих волн, имеют следующий вид:

Выражение ${{L}_{1}}$ соответствует нижнему слою плазмы и имеет вид

Выражение ${{L}_{2}}$ соответствует верхнему слою и имеет вид

Выражение R описывает влияние стратификации и имеет вид:

Произведения вида ${{a}_{i}}{{a}_{j}}\;\; = \;\;[a_{i}^{*}({{{\mathbf{k}}}_{{\mathbf{l}}}}){{a}_{j}}({{{\mathbf{k}}}_{c}})\;\; + $ $ + \;{{a}_{i}}({{{\mathbf{k}}}_{c}})a_{j}^{*}({{{\mathbf{k}}}_{l}})]{\kern 1pt} {\text{/}}2$. Если индекс $m = 1$, то индекс $l = 2$, индекс $c = 3$ и множитель $\alpha = 1$. Если индекс $m = 2$,то индекс $l = 1$, индекс $c = 3$ и множитель $\alpha = 1$. Если индекс $m = 3$, то индекс $l = 1$, индекс $c = 2$, множитель $\alpha = - 1$ и $a_{i}^{*} = a({{{\mathbf{k}}}_{1}})$.

Рассмотрим подробнее коэффициенты взаимодействия (51)–(53). Слагаемые в каждом коэффициенте разделяются на два выражения в фигурных скобках, имеющие схожий вид, и промежуточные слагаемые, включающие в себя отношение плотностей слоев плазмы. Слагаемые в первой фигурной скобке относятся к нижнему слою плазмы, слагаемые, стоящие во второй фигурной скобке, относятся к верхнему. Промежуточные слагаемые описывают эффекты стратификации. При условии равенства нулю одной из высот слоев, равенства плотностей (${{\rho }_{2}} = {{\rho }_{1}}$) и компонент ${{a}_{{2 - 1}}} = {{a}_{1}}$ комплексного волнового вектора волны a коэффициенты (51)–(53) взаимодействия трех волн магнито-Россби во внешнем магнитном поле в приближении двуслойной мелкой воды переходят в коэффициенты для трех взаимодействующих волн магнито-Россби во внешнем вертикальном магнитном поле в однослойной мелкой воде [19].

Рассмотрим далее систему уравнений стратифицированной плазмы в приближении двуслойной мелкой воды в горизонтальном магнитном поле. Аналогично получим систему амплитудных уравнений для трех волн с отличием в коэффициентах ${{p}_{n}}$ и ${{q}_{n}}$:

Здесь, как и в случае с внешним вертикальным магнитным полем, слагаемые в первой фигурной скобке относятся к нижнему слою плазмы, слагаемые, стоящие во второй фигурной скобке относятся к верхнему слою плазмы, а промежуточные слагаемые связаны со стратификацией. Поскольку остальные коэффициенты будут отличаться от аналогичных для внешнего вертикального магнитного поля только компонентами собственного вектора z, то для них верны все предыдущие выводы, включая переход к аналогичным коэффициентам воднослойной мелкой воде [15].

Система уравнений (47)–(49) описывает параметрические неустойчивости в обоих рассмотренных случаях как во внешнем вертикальном магнитном поле, так и в горизонтальном поле [15, 16]. Поскольку уравнения трехволновых взаимодействий для стратифицированной жидкости в двуслойном приближении отличаются лишь коэффициентами взаимодействия, то в двуслойной модели реализуются те же самые параметрические неустойчивости, которые были найдены в [15]. Основное отличие в нашем случае заключается в инкрементах параметрических неустойчивостей и пороговых значениях, которые теперь зависят от соотношения плотностей.

В случае когда амплитуда одной из волн много больше амплитуд двух других ($\phi \gg \psi ,\chi $, $\phi = {{\phi }_{0}}$) система (47)–(49) принимает вид

Решение полученной системы ищется в виде ${{(\psi ,\chi )}^{T}} = {{(\psi {\kern 1pt} ',\chi )}^{T}}exp({{\Gamma }_{1}}{{T}_{1}})$, откуда для инкремента неустойчивости получаем выражение ${{\Gamma }_{1}}\;\; = $ $ = \sqrt {{\text{|}}{{f}_{2}}{{f}_{3}}{\text{|/|}}{{r}_{2}}{{r}_{3}}{\text{|}}} \,{\text{|}}{{\phi }_{0}}{\text{|}} > 0$.

Таким образом, волна магнито-Россби с волновым вектором ${{{\mathbf{k}}}_{1}}$ и частотой $\omega ({{{\mathbf{k}}}_{1}})$ распадается на две волны магнито-Россби с волновыми векторами ${{{\mathbf{k}}}_{2}}$ и ${{{\mathbf{k}}}_{3}}$, частотами $\omega ({{{\mathbf{k}}}_{2}})$ и $\omega ({{{\mathbf{k}}}_{3}})$ соответственно.

Второй тип параметрической неустойчивости – усиление волнами магнито-Россби с волновыми векторами ${{{\mathbf{k}}}_{2}}$ и ${{{\mathbf{k}}}_{3}}$, частотами $\omega ({{{\mathbf{k}}}_{2}})$ и $\omega ({{{\mathbf{k}}}_{3}})$, соответственно, волны магнито-Россби с волновым вектором ${{{\mathbf{k}}}_{1}}$ и частотой $\omega ({{{\mathbf{k}}}_{1}})$. Данный тип неустойчивости имеет место, когда амплитуда одной из волн много меньше двух других ($\phi \ll \psi ,\chi $, $\psi = {{\psi }_{0}}$, $\chi = {{\chi }_{0}}$). Тогда система (47)–(49) вырождается в уравнение вида

Решение данного уравнения ищется в виде $\phi = $ $ = \phi {\kern 1pt} 'exp({{\Gamma }_{2}}{{T}_{1}})$, откуда для инкремента неустойчивости получаем выражение ${{\Gamma }_{2}} = ({\text{|}}{{f}_{1}}{\text{|/|}}{{r}_{1}}{\text{|}}){\text{|}}{{\psi }_{0}}{{\chi }_{0}}{\text{|}} > 0$.

В случае параметрического распада при наличии линейного затухания система (47)–(49) принимает вид

где ${{\eta }_{2}}$, ${{\eta }_{3}}$ – линейные коэффициенты затухания амплитуд ψ, χ соответственно.

В таком случае существует пороговое значение амплитуды волны накачки ${{\phi }_{{{{0}_{{cr}}}}}} = \sqrt {({{\eta }_{2}}{{\eta }_{3}}{\text{|}}{{r}_{2}}{{r}_{3}}{\text{|}}){\text{/}}({\text{|}}{{f}_{2}}{{f}_{3}}{\text{|}})} $, начиная с которого развивается неустойчивость с инкрементом $\Gamma _{1}^{'} = \sqrt {({{\phi }_{{{{0}_{{cr}}}}}}{\text{|}}{{f}_{2}}{{f}_{3}}{\text{|}}){\text{/}}({\text{|}}{{r}_{2}}{{r}_{3}}{\text{|}})} $.

В случае параметрического усиления при наличии линейного затухания система (47)–(49) вырождается в уравнение вида

где ${{\eta }_{1}}$ – линейный коэффициент затухания амплитуды ϕ.

В таком случае существует пороговое значение на произведение амплитуд волн накачки ${{(\psi _{0}^{*}{{\chi }_{0}})}_{{cr}}} = $ $ = ({{\eta }_{1}}{\text{|}}{{r}_{1}}{\text{|}}){\text{/}}({{f}_{1}})$, начиная с которого развивается неустойчивость с инкрементом $\Gamma _{2}^{'} = ({{(\psi _{0}^{*}{{\chi }_{0}})}_{{cr}}}{\text{|}}{{f}_{1}}{\text{|}}){\text{/}}({\text{|}}{{r}_{1}}{\text{|}})$.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развита нелинейная теория течений тонкого слоя стратифицированной плазмы в поле силы тяжести со свободной границей во внешнем вертикальном магнитном поле при наличии вращения. Получены магнитогидродинамические уравнения в приближении мелкой воды при разбиении плазмы на два слоя различной плотности. В частном случае равенства высот и плотностей каждого слоя магнитогидродинамические уравнения двуслойной мелкой воды сводятся к уравнениям однослойной мелкой воды во внешнем магнитном поле, полученным в [9, 14, 40]. Показано, что, несмотря на двухкомпонентность и двумерность поля скоростей в каждом из слоев, магнитное поле является трехкомпонентным и осесимметричным в приближении мелкой воды.

Развитая теория обобщена на случай сферических течений в приближении бета-плоскости для силы Кориолиса. Показано, что в линейном приближении полученная система допускает решение в виде волн магнито-Россби, характеристики которых модифицированы соотношением плотностей слоев плазмы. Найдено, что поправка к частоте, связанная со стратификацией, уменьшает групповые скорости волн магнито-Россби во внешнем вертикальном магнитном поле и увеличивает их фазовые скорости.

Полученная система магнитогидродинамических уравнений двуслойной плазмы в приближении мелкой воды при отсутствии внешнего магнитного поля имеет решение в виде стационарного горизонтального магнитного поля. Дисперсионное уравнение в этом приближении также имеет решение в виде волн магнито-Россби, модифицированных соотношением плотностей. Найдено, что поправка к частоте, связанная со стратификацией, также уменьшает групповые скорости волн магнито-Россби. Фазовая скорость демонстрирует более сложное поведение, а именно, при очень малых волновых векторах (${{k}_{x}} < 1$) поправка к частоте увеличивает фазовую скорость, а затем, при больших значениях волнового вектора, уменьшает.

Качественный анализ полученных дисперсионных соотношений показывает выполнение условия синхронизма для трех взаимодействующих волн как при наличии внешнего магнитного поля, так и в его отсутствии. Методом многомасштабных разложений получены уравнения взаимодействия трех волн в обоих рассмотренных случаях, и показана возможность наличия параметрических неустойчивостей, и найдены их характеристики. Несмотря на универсальность полученных уравнений трехволновых взаимодействий, коэффициенты взаимодействия в полученных уравнениях, и как следствие, характеристики найденных параметрических неустойчивостей различаются для каждого рассмотренного случая.

Работа поддержана Фондом развития теоретической физики и математики “Базис” и грантом РФФИ номер 19-02-00016; выполнена по проекту КП19-270 “Вопросы происхождения и эволюции Вселенной с применением методов наземных наблюдений и космических исследований” программы крупных проектов по проведению фундаментальных научных исследований по приоритетным направлениям, определяемым президиумом РАН.