Физика плазмы, 2020, T. 46, № 1, стр. 90-96
Анализ решения модифицированного уравнения КдВ с затуханием для пылевой ионно-звуковой волны в присутствии сверхтепловых электронов
A. Paul a, *, G. Mandal a, **, M. R. Amin a, P. Chatterjee b
a Department of Mathematical and Physical Sciences, East West University
Dhaka 1212 Aftabnagar, Bangladesh
b Department of Mathematics
731235 Santiniketan, Visva-Bharati, India
* E-mail: apaul@ewubd.edu
** E-mail: gdmandal@ewubd.edu
Поступила в редакцию 05.03.2019
После доработки 25.04.2019
Принята к публикации 20.05.2019
Аннотация
Нелинейное распространение пылевых ионно-звуковых (DIA) волн в незамагниченной столкновительной пылевой плазме, состоящей из сверхтепловых электронов, подвижных ионов и неподвижных пылевых частиц рассмотрено с применением стандартного метода редуктивных возмущений. Получено аналитическое решение уравнения Кортевега-де-Вриза (КдВ) с затуханием, обнаружено, что сверхтепловые электроны, характеризуемые параметром κ, и частота столкновений ионов с пылевыми частицами ${{\nu }_{{id}}}$ изменяют свойства DIA-солитонов. В частности, обнаружено, что присутствие сверхтепловых электронов приводит к возрастанию амплитуды и ширины нелинейной DIA-волны. Обнаружено, что вариации амплитуды и ширины DIA-волн зависят от времени. В этой работе представлено параметрическое исследование вариаций электростатического потенциала, амплитуды и ширины уединенной волны.
1. ВВЕДЕНИЕ
Пылевая или комплексная плазма состоит из электронов, ионов, нейтралов и пылевых частиц микронного размера. Пылевая компонента присутствует во многих астрофизических средах, таких как хвосты комет, планетарные кольца, земная ионосфера и т. д., а также в лабораторной плазме. По сравнению с остальными частицами в пылевой плазме пылевые частицы более тяжелые, поэтому в пылевой плазме возможны различные типы волн и неустойчивостей. Среди них пылевая звуковая (DA – dust acoustic) волна с участием подвижной пыли и пылевая ионно-звуковая (DIA – dust ion acoustic) волна с участием подвижных ионов и неподвижных пылевых частиц являются наиболее важными модами. В этой работе изучается DIA-волна, которая обычно представляет собой ионно-звуковую моду, модифицированную присутствием пылевых частиц. В 1992 г. Шукла и Силин [1] впервые теоретически доказали существование низкочастотных DIA-волн, а в 1995 г. Баркан и др. [2] наблюдали эти волны экспериментально в лабораторной плазме. В настоящее время изучение распространения DIA-волн – главное направление исследований в области незамагниченной и замагниченной космической плазмы. В работе [3] линейные и нелинейные DIA-волны исследованы экспериментально в однородной незамагниченной пылевой плазме и было обнаружено, что для линейной волны фазовая скорость волны возрастает, и волна подвержена сильному затуханию с ростом плотности пыли. В [4] рассматривалась плазменно-пылевая система, содержащая электроны с распределением Больцмана, подвижные ионы и неподвижные пылевые частицы с флуктуирующим зарядом и было показано, что флуктуации заряда пыли являются источником диссипации и ответственны за формирование пылевых ионно-звуковых ударных волн. DIA-волны также изучались во многих других работах [5–7].
Упомянутые выше работы были проведены для бесстолкновительной плазмы. В природе столкновительная плазма наблюдается в лазерных установках, в земной ионосфере и в астрофизических плазменных средах [8]. Особенности динамики DIA-волн в присутствии отрицательно заряженных пылевых частиц с учетом эффектов ионизации, столкновений ионов с нейтралами, ионов с пылью, пыли с нейтралами, открывают новые аспекты нелинейных явлений в исследованиях пылевой плазмы [9]. Losseva и др. [10] рассмотрели эволюцию слабо затухающих гибридных DIA-солитонов в неоднородной столкновительной плазме. В работе [5] рассмотрены лобовые столкновения двух DIA-солитонов в пылевой плазме. В работе [11] изучены столкновения между ионами и пылевыми частицами при распространении DIA-волн. В работах [12] и [13], а также в ряде других DIA-волны рассматривались в столкновительной плазме.
Хорошо известно, что существенное количество высокоэнергичных сверхтепловых частиц присутствуют в космосе и в лабораторной плазме [14–20]. В случае популяций высокоэнергетических сверхтепловых электронов, которые наблюдаются в некоторых космических (например, планетарные магнитосферы, солнечный ветер, свистящее излучение Юпитера, межзвездная среда [21]) и лабораторных плазмах, поведение плазмы существенно отличается от случая максвелловского распределения. Плазма, содержащая высокоэнергетические частицы, может быть смоделирована распределением Лоренца или каппа-распределением (κ-распределением) [22]. Когда плазма далеко от теплового равновесия, распределение Лоренца можно применять для описания плазмы и поэтому оно в последнее время привлекает существенное внимание.
В данной работе мы рассматриваем и сверхтепловые, и захваченные электроны. Эта ситуация соответствует диапазону энергий при $ - \sqrt {2\varphi } < $ $ < v < \sqrt {2\varphi } $ (φ и $v$ –электростатический потенциал и скорость соответственно) и когда электроны захвачены. Соответствующее κ-распределение для захваченных электронов имеет вид [23]
(1)
$\begin{gathered} f_{{e,t}}^{\kappa }\left( {v,\varphi } \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } {{{\left( {\kappa - 3{\text{/}}2} \right)}}^{{1/2}}}}}\frac{{{\Gamma }\left( \kappa \right)}}{{{\Gamma }\left( {\kappa - 1{\text{/}}2} \right)}} \times \\ \, \times {{\left[ {1 + \beta \left( {\frac{{({{v}^{2}}{\text{/}}2) - \varphi }}{{\kappa - 3{\text{/}}2}}} \right)} \right]}^{{ - \kappa }}},\quad {\text{для}}\quad {{E}_{e}} \leqslant 0, \\ \end{gathered} $(2)
$\begin{gathered} f_{{e,t}}^{\kappa }\left( {v,\varphi } \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } {{{\left( {\kappa - 3{\text{/}}2} \right)}}^{{1/2}}}}}\frac{{{\Gamma }\left( \kappa \right)}}{{{\Gamma }\left( {\kappa - 1{\text{/}}2} \right)}} \times \\ \, \times {{\left[ {1 + \frac{{({{v}^{2}}{\text{/}}2) - \varphi }}{{\kappa - 3{\text{/}}2}}} \right]}^{{ - \kappa }}}. \\ \end{gathered} $Здесь, чтобы получить четко определенное значение характерной скорости, κ должно быть больше 3/2. Концентрация электронов ${{n}_{e}}\left( \varphi \right)$ получается интегрированием распределения по скорости от $ - \infty $ до $\infty $ (в диапазоне $ - \sqrt {2\varphi } < v < \sqrt {2\varphi } $ интегрируется $f_{{e,t}}^{\kappa }$, а в остальных диапазонах – $f_{{e,f}}^{\kappa }$), что дает
(3)
$\begin{gathered} \, - \left. {\frac{4}{{{\Gamma }\left( {\kappa - 3{\text{/}}2} \right)}}\sqrt {\frac{2}{\pi }} \sqrt \varphi {\Gamma }\left( \kappa \right)~{{2}^{{{{F}_{1}}\left( {\frac{1}{2},~\kappa ,\frac{3}{2},\frac{{2\varphi }}{{3 - 2\kappa + 2\varphi }}} \right)}}}} \right] + \\ \, + \frac{2}{{{\Gamma }\left( {\kappa - 1{\text{/}}2} \right)}}\sqrt {\frac{2}{\pi }} {{\left( {2\kappa - 3} \right)}^{{\kappa - 1/2}}}\sqrt \varphi {{\left( {2\kappa - 3 - 2\beta \varphi } \right)}^{{ - \kappa }}} \times \\ \end{gathered} $Здесь гипергеометрическая функция $F~\left( {a,~b,~c,~x} \right) = $ $ = 1 + \left( {ab{\text{/}}c} \right)~x + \left[ {a~\left( {a~ + ~1} \right)~b~\left( {b~ + ~1} \right){\text{/}}c~\left( {c~ + ~1} \right)} \right]~{{x}^{2}}{\text{/}}2!\; + ...$ и для определения ${{n}_{e}}\left( \varphi \right)$ мы оставляем только члены вплоть до ${{\varphi }^{2}}$.
Следуя Chatterjee и др. [26] и Chowdhury и др. [23], в данной работе мы рассматриваем распространение DIA-волн в пылевой плазме, состоящей из сверхтепловых и захваченных электронов, подвижных ионов и неподвижной пыли. Мы также полагаем, что пылевая плазма столкновительная и незамагниченная. Определяющими являются столкновения между ионами и неподвижными пылевыми частицами.
Статья организована следующим образом. Основные уравнения, описывающие модель пылевой плазмы, приводятся в разд. 2. Модифицированное уравнение КдВ выводится в этом разделе с использованием стандартного метода редуктивных возмущений (PRT – reductive perturbation technique). Решение модифицированного уравнения КдВ приводится в разд. 3. Наконец, в разд. 4 обсуждаются результаты.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ВЫВОД МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КДВ
В данном исследовании рассматривается незамагниченная столкновительная пылевая плазма, состоящая из трех компонент: жидкость сверхтепловых и захваченных электронов, ионы с максвеловским распределением и неподвижная пыль. В нормированном виде основные уравнения этой плазменной системы приведены ниже
(4)
$\frac{{\partial {{n}_{i}}}}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{{n}_{i}}{{u}_{i}}} \right) = 0,$(5)
$\frac{{\partial {{n}_{i}}}}{{\partial t}} + {{u}_{i}}\frac{{\partial {{u}_{i}}}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} - {{\nu }_{{id}}}{{u}_{i}},$(6)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} = \left( {1 - \mu } \right){{n}_{e}} - {{n}_{i}} + \mu ,$Для вывода модифицированного уравнения КдВ мы применяем стандартный метод редуктивных возмущений (PRT) [27] и вводим следующие координаты [24, 25]:
и где ϵ – параметр малости $(0 < \epsilon < 1$), который определяет влияние дисперсии, а ${{v}_{0}}$ – нелинейная фазовая скорость волны, нормированная на пылевую звуковую скорость ${{C}_{d}} = \sqrt {{{k}_{B}}{{T}_{e}}{\text{/}}{{m}_{d}}} $. Теперь мы представим нормированные переменные ${{n}_{i}}$, ${{u}_{i}}$, φ и ${{\nu }_{{id}}}$ в виде степенных рядов по ϵ:(9)
${{n}_{i}} = 1 + \epsilon n_{i}^{{\left( 1 \right)}} + {{\epsilon }^{{3/2}}}n_{i}^{{\left( 2 \right)}} + ~ \ldots ,$(10)
${{u}_{i}} = \epsilon u_{i}^{{\left( 1 \right)}} + {{\epsilon }^{{3/2}}}u_{i}^{{\left( 2 \right)}} + ~ \ldots ,$(11)
$\varphi = \epsilon {{\varphi }^{{\left( 1 \right)}}} + {{\epsilon }^{{3/2}}}{{\varphi }^{{\left( 1 \right)}}} + ~ \ldots ,$Далее, подставляя эти выражения в уравне-ния (4)–(6), получим уравнения разных степеней по ϵ. Выражая $n_{i}^{{\left( 1 \right)}}$, $u_{i}^{{\left( 1 \right)}}$ и ${{v}_{0}}$, получаем следующие соотношения:
иСнова используя выражения (9)–(12) и нормированные уравнения неразрывности, импульса и Пуассона (4)–(6), окончательно получаем следующее уравнение:
(16)
$\frac{{\partial {\Phi }}}{{\partial \tau }} + A\sqrt {\Phi } \frac{{\partial {\Phi }}}{{\partial \xi }} + B\frac{{{{\partial }^{3}}{\Phi }}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} + C{\Phi } = 0,$3. РЕШЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КдВ
В этом разделе мы решаем модифицированное уравнение КдВ. Из-за столкновений между ионами и неподвижными пылевыми частицами возникает дополнительный четвертый член в левой части уравнения (16), и мы следуем методу, примененному в работе [26]. Модифицированное уравнение КдВ без затухания имеет вид
(17)
$\frac{{\partial {\Phi }}}{{\partial \tau }} + A\sqrt {\Phi } \frac{{\partial {\Phi }}}{{\partial \xi }} + B\frac{{{{\partial }^{3}}{\Phi }}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} = 0.$Аналитическое решение уравнения (17) в виде солитона имеет вид
(18)
${\Phi }\left( {{\xi },{\tau }} \right) = {{{\Phi }}_{m}}{{\operatorname{sech} }^{4}}\left( {\frac{{\xi - M\tau }}{W}} \right),$В отсутствие столкновений пылевых частиц с ионами $\left( {C = 0} \right)$, уравнение (16) переходит в хорошо известное модифицированное уравнение КдВ (уравнение (17)) и его стандартное аналитическое решение имеет вид (18). Теперь из-за наличия члена с затуханием, четвертого в левой части уравнения (16), мы будем искать решение этого уравнения аналогично решению (18) уравнения (17), принимая амплитуду ${{{\Phi }}_{m}}$, ширину W и скорость M DIA-волны зависящими от времени τ [26]. Таким образом, следуя [26], мы имеем решение уравнения (16) в виде
(19)
${\Phi }\left( {{\xi },{\tau }} \right) = {{{\Phi }}_{m}}\left( \tau \right){{\operatorname{sech} }^{4}}\left( {\frac{{\xi - M\left( \tau \right)\tau }}{{W\left( \tau \right)}}} \right),$(20)
${{{\Phi }}_{m}}\left( \tau \right) = {{\left( {\frac{{15M\left( \tau \right)}}{{8A}}} \right)}^{2}}$Можно видеть, что амплитуда и ширина солитонного решения модифицированного уравнения КдВ (19) теперь являются функциями времени τ.
В этом случае $I(\tau ) = \int_{ - \infty }^\infty {{{{\left[ {{\Phi }\left( {\xi ,{\tau }} \right)} \right]}}^{2}}d\xi } $ можно представить как
(22)
$I\left( \tau \right) = {{I}_{0}}\exp \left[ { - 2C\left( {\tau - {{\tau }_{0}}} \right)} \right],$(23)
$\begin{gathered} I\left( \tau \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {{\left[ {{\Phi }\left( {\xi ,{\tau }} \right)} \right]}^{2}}d\xi = \\ \, = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {{\left[ {{{{\Phi }}_{m}}} \right]}^{2}}{{\operatorname{sech} }^{8}}\left( {\frac{{\xi - M\left( \tau \right)\tau }}{{W\left( \tau \right)}}} \right)d\xi = \\ \, = \frac{{32}}{{35}}{{\left[ {{{{\Phi }}_{m}}\left( \tau \right)} \right]}^{2}}W\left( \tau \right), \\ \end{gathered} $(24)
${{I}_{0}} = I\left( {{{\tau }_{0}}} \right) = \frac{{32}}{{35}}{{\left[ {{{{\Phi }}_{m}}\left( {{{\tau }_{0}}} \right)} \right]}^{2}}W\left( {{{\tau }_{0}}} \right).$Таким образом, выражение для величины $I\left( \tau \right)$, заданное уравнением (22), может быть переписано как
(25)
$I\left( \tau \right) = \frac{{32}}{{35}}{{\left[ {{{{\Phi }}_{m}}\left( {{{\tau }_{0}}} \right)} \right]}^{2}}W\left( {{{\tau }_{0}}} \right)\exp \left[ { - 2C\left( {\tau - {{\tau }_{0}}} \right)} \right].$Используя выражения (23) и (25) и подставляя (20) и (21) при $\tau = {{\tau }_{0}}$, получим
(26)
$M\left( \tau \right) = {{M}_{0}}\exp \left[ { - 4C\left( {\tau - {{\tau }_{0}}} \right){\text{/}}7} \right],$Выражение (19) – решение модифицированного уравнения КдВ (16), где ${{{\Phi }}_{m}}\left( \tau \right)$ и $W\left( \tau \right)$ задаются выражениями (20) и (21) соответственно.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
В этом разделе мы рассматриваем влияние некоторых важных параметров плазмы κ, ${{\nu }_{{id0}}}$, μ и β на потенциал волны Φ, амплитуду волны ${{{\Phi }}_{m}}$, ширину W и скорость M. Мы также изучаем влияние медленных переменных ξ и τ на Φ и ${{{\Phi }}_{m}}$. Результаты представлены на рис. 1–7. Для численного анализа мы принимаем следующие значения параметров плазмы: $\kappa = 1.55{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 1.9$, ${{\nu }_{{id0}}} = 0.01{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 0.1$, $\mu = 0.2{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 0.8$, $\beta = 0.5{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 6$. Напомним, что параметр κ определяет уровень потока электронов на высоких энергиях для сверхтепловых электронов, ${{\nu }_{{id0}}}$ – частота столкновений ионов с пылевыми частицами, $\mu = {{Z}_{d}}{{n}_{{d0}}}{\text{/}}{{n}_{{i0}}}$, а β определяет обратную температуру захваченных электронов.
На рис. 1–7 представлены потенциалы Φ электростатических DIA-волн, решений уравнения КдВ с затуханием (16) для различных параметров плазмы.
На рис. 1 представлены зависимости электростатического потенциала Φ уравнения КдВ с затуханием от пространственной координаты ξ для различных значений параметра κ. Сплошная кривая, штриховая кривая и штриховая кривая с длинными штрихами приводятся для $\kappa = 1.9$, $\kappa = 1.8$ и $\kappa = 1.7$ соответственно. Из рис. 1 видно, что уединенная волна имеет положительный потенциал, и этот потенциал резко уменьшается с уменьшением параметра $\kappa $. Напомним, что параметр κ характеризует сверхтепловые электроны плазмы.
На рис. 2 представлены зависимости потенциала Φ уравнения КдВ с затуханием от параметра β, причем, скорость ${{M}_{0}}$ DIA-волны в начальный момент времени $\left( {\tau = {{\tau }_{0}}} \right)$ взята в качестве параметра. Сплошная кривая, штриховая кривая и штриховая кривая с длинными штрихами приводятся для ${{M}_{0}} = 0.14$, ${{M}_{0}} = 0.12$ и ${{M}_{0}} = 0.1$ соответственно. Этот рисунок показывает, что волновой потенциал уменьшается с ростом параметра β и возрастает с ростом ${{M}_{0}}$.
На рис. 3 изображено решение Φ в зависимости от пространственной координаты ξ для трех значений столкновительного параметра ${{\nu }_{{id0}}}$. Сплошная кривая, штриховая кривая и штриховая кривая с длинными штрихами приводятся для ${{\nu }_{{id0}}} = 0.01$, ${{\nu }_{{id0}}} = 0.21$ и ${{\nu }_{{id0}}} = 0.41$ соответственно. Из рисунка можно видеть, что профиль потенциала уединенной волны уменьшается для более высоких значений столкновительного параметра ${{\nu }_{{id0}}}$.
На рис. 4 изображено решение Φ в зависимости от μ для различных значений κ. Сплошная кривая, штриховая кривая и штриховая кривая с длинными штрихами приводятся для $\kappa = 1.56$, $\kappa = 1.555$ и $\kappa = 1.55$ соответственно. Видно, что функция потенциала Φ убывает с μ. Кроме того, очень слабые изменения κ значительно влияют на Φ и функция потенциала убывает с ростом параметра κ.
На рис. 5 представлена зависимость амплитуды солитона ${{{\Phi }}_{m}}$ от времени τ для $\kappa = 1.62$ (сплошная кривая), $\kappa = 1.61$ (штриховая кривая) и $\kappa = 1.6$ (штриховая кривая с длинными штрихами). Здесь мы видим, что слабые изменения κ существенно изменяют амплитуду волны и более высокие значения параметра κ соответствуют более высоким амплитудам. Также мы видим, что амплитуда убывает со временем, что следует из рис. 2 для функции потенциала Φ.
На рис. 6 представлена зависимость амплитуды солитона ${{{\Phi }}_{m}}$ от κ для различных значений скорости M. Здесь сплошная кривая соответствует ${{M}_{0}} = 0.2$, штриховая кривая – ${{M}_{0}} = 0.15$, а штриховая кривая с длинными штрихами – ${{M}_{0}} = 0.1$. Из рисунка следует, что амплитуда электростатической DIA-волны падает с уменьшением ${{M}_{0}}$. Снова мы наблюдаем, что амплитуда волнового потенциала растет с ростом параметра κ.
На рис. 7 представлена зависимость ширины W уединенной электростатической волны от τ, причем κ принято в качестве параметра. Сплошная кривая соответствует $\kappa = 1.57$, штриховая кривая – $\kappa = 1.56$, а штриховая кривая с длинными штрихами – $\kappa = 1.55$. Из рисунка видно, что ширина солитона возрастает с ростом параметра κ. Мы также видим, что ширина волны растет со временем τ.
Рассмотрено распространение нелинейных DIA-волн в сверхтепловой столкновительной пылевой плазме, представлен детальный численный анализ амплитуды и ширины DIA-волны, в зависимости от различных параметров плазмы. Результаты, полученные в данном исследовании, можно кратко сформулировать следующим образом.
1. Столкновительный параметр ${{\nu }_{{id}}}$ влияет на стандартное уравнение КдВ.
2. С ростом параметра κ растет потенциал уединенной волны, а из-за влияния затухания потенциал волны уменьшается со временем.
3. Существует значительное влияние параметра κ на амплитуду солитона.
4. Амплитуда солитона падает с ростом скорости.
5. Ширина солитона растет с ростом κ.
6. Волновой потенциал существенно падает с ростом параметра β.
7. Волновой потенциал линейно падает с ростом параметра μ.
8. Решение модифицированного уравнения КдВ имеет форму, сходную с решением стандартного уравнения КдВ, при этом амплитуда, скорость и ширина волны зависят от медленной временной переменной τ.
В данной работе показаны основные особенности нелинейных DIA-солитонов, модифицированных присутствием сверхтепловых электронов и отрицательно заряженных неподвижных пылевых частиц в столкновительной пылевой плазме.
Список литературы
Shukla P.K., Silin V.P. // Phys. Scr. 1992. V. 45. P. 508.
Barkan A., Merlino R.L., D’Angelo N. // Phys. Plasmas. 1995. V. 2. P. 3563.
Nakamura Y., Bailung H., Shukla P.K. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 1602.
Duha S.S., Mamun A.A. // Phys. Lett. A. 2009. V. 373. P. 1287.
Tiwari R.S., Mishra M.K. // Phys. Plasmas. 2006. V. 13. P. 062112.
Pakzad H.R., Javidan R., Rafiei A. // Astrophys. Space Sci. 2014. V. 353. P. 543.
Paul A., Mandal G., Mamun A.A., Amin M.R. // IEEE Trans. Plasma Sci. 2011. V. 39. P. 1254.
Volosevich A.V., Meister C.V. // Contrib. Plasma Phys. 2002. V. 42. P. 61.
Das T.K., Saha A., Pal N., Chatterjee P. // Phys. Plasmas. 2017. V. 24. P. 073707.
Losseva T.V., Popel S.I., Golub A.P., Shukla P.K. // Phys. Plasmas. 2009. V. 16. P. 093704.
Moslem W.M., El-Taibany W.F. // Phys. Plasmas. 2005. V. 12. P. 122309.
Maitra S., Banerjee G. // Phys. Plasmas. 2014. V. 21. P. 113707.
Sayyar M., Zahed H., Pestehe S.J., Sobhanian S. // Phys. Plasmas.2016. V. 23. P. 073704.
Saeki K., Michelsen P., Pecseli K.L., Rasmussen J.J. // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 42. P. 501.
Hansen C., Reimann A.B., Fajans J. // Phys. Plasmas. 1996. V. 3. P. 1820.
Colestock P.L., Spentzouris L.K. // AIP Conf. Proc. 1996. V. 356.
Schamel H. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 2811.
Schamel H., Fedele R. // Phys. Plasmas. 2000. V. 7. P. 3421.
Danielson R., Anderegg F., Driscoll C.F. // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. P. 245003.
Bertsche W., Fajans J., Friedland L. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91. P. 265003.
Sahu B. // A letter Journal Exploring the Fronties of Physics. 2013. V. 101. P. 55002.
Vasyliunas V.M. // J. Geophys. Res. 1968. V. 73. P. 2839.
Chowdhury S., Mandi L., Chatterjee P. // Phys. Plasmas. 2018. V. 25. P. 042112.
Schamel H. // J. Plasma Phys. 1973. V. 9. P. 377.
Schamel H. // Plasmas Phys. 1972. V. 14. P. 905.
Chatterjee P., Ali R., Saha A. // Z. Naturforsch. 2018. V. 73. P. 151.
Washimi H., Sarma T. // Phys. Rev. Lett. 1966. V. 17. P. 996.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Физика плазмы