Физика плазмы, 2020, T. 46, № 1, стр. 90-96

Анализ решения модифицированного уравнения КдВ с затуханием для пылевой ионно-звуковой волны в присутствии сверхтепловых электронов

A. Paul a*, G. Mandal a**, M. R. Amin a, P. Chatterjee b

a Department of Mathematical and Physical Sciences, East West University
Dhaka 1212 Aftabnagar, Bangladesh

b Department of Mathematics
731235 Santiniketan, Visva-Bharati, India

* E-mail: apaul@ewubd.edu
** E-mail: gdmandal@ewubd.edu

Поступила в редакцию 05.03.2019
После доработки 25.04.2019
Принята к публикации 20.05.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Нелинейное распространение пылевых ионно-звуковых (DIA) волн в незамагниченной столкновительной пылевой плазме, состоящей из сверхтепловых электронов, подвижных ионов и неподвижных пылевых частиц рассмотрено с применением стандартного метода редуктивных возмущений. Получено аналитическое решение уравнения Кортевега-де-Вриза (КдВ) с затуханием, обнаружено, что сверхтепловые электроны, характеризуемые параметром κ, и частота столкновений ионов с пылевыми частицами ${{\nu }_{{id}}}$ изменяют свойства DIA-солитонов. В частности, обнаружено, что присутствие сверхтепловых электронов приводит к возрастанию амплитуды и ширины нелинейной DIA-волны. Обнаружено, что вариации амплитуды и ширины DIA-волн зависят от времени. В этой работе представлено параметрическое исследование вариаций электростатического потенциала, амплитуды и ширины уединенной волны.

1. ВВЕДЕНИЕ

Пылевая или комплексная плазма состоит из электронов, ионов, нейтралов и пылевых частиц микронного размера. Пылевая компонента присутствует во многих астрофизических средах, таких как хвосты комет, планетарные кольца, земная ионосфера и т. д., а также в лабораторной плазме. По сравнению с остальными частицами в пылевой плазме пылевые частицы более тяжелые, поэтому в пылевой плазме возможны различные типы волн и неустойчивостей. Среди них пылевая звуковая (DA – dust acoustic) волна с участием подвижной пыли и пылевая ионно-звуковая (DIA – dust ion acoustic) волна с участием подвижных ионов и неподвижных пылевых частиц являются наиболее важными модами. В этой работе изучается DIA-волна, которая обычно представляет собой ионно-звуковую моду, модифицированную присутствием пылевых частиц. В 1992 г. Шукла и Силин [1] впервые теоретически доказали существование низкочастотных DIA-волн, а в 1995 г. Баркан и др. [2] наблюдали эти волны экспериментально в лабораторной плазме. В настоящее время изучение распространения DIA-волн – главное направление исследований в области незамагниченной и замагниченной космической плазмы. В работе [3] линейные и нелинейные DIA-волны исследованы экспериментально в однородной незамагниченной пылевой плазме и было обнаружено, что для линейной волны фазовая скорость волны возрастает, и волна подвержена сильному затуханию с ростом плотности пыли. В [4] рассматривалась плазменно-пылевая система, содержащая электроны с распределением Больцмана, подвижные ионы и неподвижные пылевые частицы с флуктуирующим зарядом и было показано, что флуктуации заряда пыли являются источником диссипации и ответственны за формирование пылевых ионно-звуковых ударных волн. DIA-волны также изучались во многих других работах [57].

Упомянутые выше работы были проведены для бесстолкновительной плазмы. В природе столкновительная плазма наблюдается в лазерных установках, в земной ионосфере и в астрофизических плазменных средах [8]. Особенности динамики DIA-волн в присутствии отрицательно заряженных пылевых частиц с учетом эффектов ионизации, столкновений ионов с нейтралами, ионов с пылью, пыли с нейтралами, открывают новые аспекты нелинейных явлений в исследованиях пылевой плазмы [9]. Losseva и др. [10] рассмотрели эволюцию слабо затухающих гибридных DIA-солитонов в неоднородной столкновительной плазме. В работе [5] рассмотрены лобовые столкновения двух DIA-солитонов в пылевой плазме. В работе [11] изучены столкновения между ионами и пылевыми частицами при распространении DIA-волн. В работах [12] и [13], а также в ряде других DIA-волны рассматривались в столкновительной плазме.

Хорошо известно, что существенное количество высокоэнергичных сверхтепловых частиц присутствуют в космосе и в лабораторной плазме [1420]. В случае популяций высокоэнергетических сверхтепловых электронов, которые наблюдаются в некоторых космических (например, планетарные магнитосферы, солнечный ветер, свистящее излучение Юпитера, межзвездная среда [21]) и лабораторных плазмах, поведение плазмы существенно отличается от случая максвелловского распределения. Плазма, содержащая высокоэнергетические частицы, может быть смоделирована распределением Лоренца или каппа-распределением (κ-распределением) [22]. Когда плазма далеко от теплового равновесия, распределение Лоренца можно применять для описания плазмы и поэтому оно в последнее время привлекает существенное внимание.

В данной работе мы рассматриваем и сверхтепловые, и захваченные электроны. Эта ситуация соответствует диапазону энергий при $ - \sqrt {2\varphi } < $ $ < v < \sqrt {2\varphi } $ (φ и $v$ –электростатический потенциал и скорость соответственно) и когда электроны захвачены. Соответствующее κ-распределение для захваченных электронов имеет вид [23]

(1)
$\begin{gathered} f_{{e,t}}^{\kappa }\left( {v,\varphi } \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } {{{\left( {\kappa - 3{\text{/}}2} \right)}}^{{1/2}}}}}\frac{{{\Gamma }\left( \kappa \right)}}{{{\Gamma }\left( {\kappa - 1{\text{/}}2} \right)}} \times \\ \, \times {{\left[ {1 + \beta \left( {\frac{{({{v}^{2}}{\text{/}}2) - \varphi }}{{\kappa - 3{\text{/}}2}}} \right)} \right]}^{{ - \kappa }}},\quad {\text{для}}\quad {{E}_{e}} \leqslant 0, \\ \end{gathered} $
где параметр β определяет обратную температуру захваченных электронов, а ${{E}_{e}}$ – полная энергия захваченных электронов. Уравнение (1) является расширением распределения Шамеля [24] для максвелловских захваченных электронов, и при $\kappa \to \infty $ это уравнение переходит в уравнение Шамеля [25]. Используя понятие сепаратрисы распределения, Шамель вывел выражение, которое отделяет свободные электроны от захваченных, а распределение сверхтепловых свободных электронов имеет вид

(2)
$\begin{gathered} f_{{e,t}}^{\kappa }\left( {v,\varphi } \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } {{{\left( {\kappa - 3{\text{/}}2} \right)}}^{{1/2}}}}}\frac{{{\Gamma }\left( \kappa \right)}}{{{\Gamma }\left( {\kappa - 1{\text{/}}2} \right)}} \times \\ \, \times {{\left[ {1 + \frac{{({{v}^{2}}{\text{/}}2) - \varphi }}{{\kappa - 3{\text{/}}2}}} \right]}^{{ - \kappa }}}. \\ \end{gathered} $

Здесь, чтобы получить четко определенное значение характерной скорости, κ должно быть больше 3/2. Концентрация электронов ${{n}_{e}}\left( \varphi \right)$ получается интегрированием распределения по скорости от $ - \infty $ до $\infty $ (в диапазоне $ - \sqrt {2\varphi } < v < \sqrt {2\varphi } $ интегрируется $f_{{e,t}}^{\kappa }$, а в остальных диапазонах – $f_{{e,f}}^{\kappa }$), что дает

$\begin{gathered} {{n}_{e}}\left( \varphi \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ - \sqrt {2\varphi } } f_{{e,f}}^{\kappa }\left( {v,\varphi } \right)dv + \mathop \smallint \limits_{ - \sqrt {2\varphi } }^{\sqrt {2\varphi } } f_{{e,t}}^{\kappa }\left( {v,\varphi } \right)dv + \\ \, + \mathop \smallint \limits_{\sqrt {2\varphi } }^\infty f_{{e,f}}^{\kappa }\left( {v,\varphi } \right)dv = {{\left( {2\kappa - 3} \right)}^{{\kappa - 3/2}}}{{\left( {2\kappa - 3 - 2\varphi } \right)}^{{ - \kappa }}} \times \\ \, \times \left[ {\left( {2\kappa - 3} \right)\sqrt {2\kappa - 3 - 2\varphi } \mathop - \limits_{_{{_{{_{{}}}}}}}^{^{{^{{^{{}}}}}}} } \right. \\ \end{gathered} $
(3)
$\begin{gathered} \, - \left. {\frac{4}{{{\Gamma }\left( {\kappa - 3{\text{/}}2} \right)}}\sqrt {\frac{2}{\pi }} \sqrt \varphi {\Gamma }\left( \kappa \right)~{{2}^{{{{F}_{1}}\left( {\frac{1}{2},~\kappa ,\frac{3}{2},\frac{{2\varphi }}{{3 - 2\kappa + 2\varphi }}} \right)}}}} \right] + \\ \, + \frac{2}{{{\Gamma }\left( {\kappa - 1{\text{/}}2} \right)}}\sqrt {\frac{2}{\pi }} {{\left( {2\kappa - 3} \right)}^{{\kappa - 1/2}}}\sqrt \varphi {{\left( {2\kappa - 3 - 2\beta \varphi } \right)}^{{ - \kappa }}} \times \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, \times {\Gamma }\left( \kappa \right){{2}^{{{{F}_{1}}\left( {\frac{1}{2},~\kappa ,\frac{3}{2},\frac{{2\varphi }}{{3 - 2\kappa + 2\varphi }}} \right)}}} \approx 1 + \frac{{2\kappa - 1}}{{2\kappa - 3}}\varphi + \\ \, + \frac{{8\sqrt {2{\text{/}}\pi } \left( {\beta - 1} \right)\kappa {\Gamma }\left( \kappa \right)}}{{3{{{\left( {2\kappa - 3} \right)}}^{{\frac{3}{2}}}}{\Gamma }\left( {\kappa - 1{\text{/}}2} \right)}}{{\varphi }^{{3/2}}} + \frac{{4{{\kappa }^{2}} - 1}}{{2{{{\left( {2\kappa - 3} \right)}}^{2}}}}{{\varphi }^{2}} \approx \\ \, \approx 1 + p\varphi + q{{\varphi }^{{3/2}}} + r{{\varphi }^{2}}, \\ \end{gathered} $
где

$\begin{gathered} p = \frac{{2\kappa - 1}}{{2\kappa - 3}}, \\ q = \frac{{8\sqrt {2{\text{/}}\pi } \left( {\beta - 1} \right)\kappa {\Gamma }\left( \kappa \right)}}{{3{{{\left( {2\kappa - 3} \right)}}^{{3/2}}}{\Gamma }\left( {\kappa - 1{\text{/}}2} \right)}}, \\ r = \frac{{4{{\kappa }^{2}} - 1}}{{2{{{\left( {2\kappa - 3} \right)}}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Здесь гипергеометрическая функция $F~\left( {a,~b,~c,~x} \right) = $ $ = 1 + \left( {ab{\text{/}}c} \right)~x + \left[ {a~\left( {a~ + ~1} \right)~b~\left( {b~ + ~1} \right){\text{/}}c~\left( {c~ + ~1} \right)} \right]~{{x}^{2}}{\text{/}}2!\; + ...$ и для определения ${{n}_{e}}\left( \varphi \right)$ мы оставляем только члены вплоть до ${{\varphi }^{2}}$.

Следуя Chatterjee и др. [26] и Chowdhury и др. [23], в данной работе мы рассматриваем распространение DIA-волн в пылевой плазме, состоящей из сверхтепловых и захваченных электронов, подвижных ионов и неподвижной пыли. Мы также полагаем, что пылевая плазма столкновительная и незамагниченная. Определяющими являются столкновения между ионами и неподвижными пылевыми частицами.

Статья организована следующим образом. Основные уравнения, описывающие модель пылевой плазмы, приводятся в разд. 2. Модифицированное уравнение КдВ выводится в этом разделе с использованием стандартного метода редуктивных возмущений (PRT – reductive perturbation technique). Решение модифицированного уравнения КдВ приводится в разд. 3. Наконец, в разд. 4 обсуждаются результаты.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ВЫВОД МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КДВ

В данном исследовании рассматривается незамагниченная столкновительная пылевая плазма, состоящая из трех компонент: жидкость сверхтепловых и захваченных электронов, ионы с максвеловским распределением и неподвижная пыль. В нормированном виде основные уравнения этой плазменной системы приведены ниже

(4)
$\frac{{\partial {{n}_{i}}}}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{{n}_{i}}{{u}_{i}}} \right) = 0,$
(5)
$\frac{{\partial {{n}_{i}}}}{{\partial t}} + {{u}_{i}}\frac{{\partial {{u}_{i}}}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} - {{\nu }_{{id}}}{{u}_{i}},$
(6)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} = \left( {1 - \mu } \right){{n}_{e}} - {{n}_{i}} + \mu ,$
где ${{n}_{e}}$ – концентрация электронов, нормированная на ${{n}_{{e0}}}$, ${{n}_{i}}$ – концентрация ионов, нормированная на ${{n}_{{i0}}}$, ${{u}_{i}}$ – скорость ионов, нормированная на ионную звуковую скорость ${{C}_{S}} = \sqrt {{{k}_{B}}{{T}_{e}}{\text{/}}{{m}_{i}}} $(${{k}_{B}}$ – постоянная Больцмана, ${{T}_{e}}$ – температура электронов, ${{m}_{i}}$ – масса иона), φ – электростатический потенциал, нормированный на ${{k}_{B}}{{T}_{e}}{\text{/}}e$ (e – заряд электрона), x – координата, нормированная на дебаевскую длину ${{\lambda }_{D}} = \sqrt {{{T}_{e}}{\text{/}}4\pi {{n}_{{e0}}}{{e}^{2}}} $, t – время, нормированное на обратную плазменную частоту $\omega _{{pi}}^{{ - 1}} = \sqrt {{{m}_{i}}{\text{/}}4\pi {{n}_{{e0}}}{{e}^{2}}} $, ${{\nu }_{{id}}}$ – частота столкновений пыли с ионами, а $\mu = {{Z}_{d}}{{n}_{{d0}}}{\text{/}}{{n}_{{i0}}}$ (${{Z}_{d}}$ – зарядовое число пылевой частицы). Величины ${{n}_{{e0}}}$, ${{n}_{{i0}}}$, и ${{n}_{{d0}}}$ – равновесные концентрации электронов, ионов и пылевых частиц соответственно.

Для вывода модифицированного уравнения КдВ мы применяем стандартный метод редуктивных возмущений (PRT) [27] и вводим следующие координаты [24, 25]:

(7)
$\xi = {{\epsilon }^{{1/4}}}\left( {x - {{v}_{0}}t} \right)$
и
(8)
$\tau = {{\epsilon }^{{3/4}}}t,$
где ϵ – параметр малости $(0 < \epsilon < 1$), который определяет влияние дисперсии, а ${{v}_{0}}$ – нелинейная фазовая скорость волны, нормированная на пылевую звуковую скорость ${{C}_{d}} = \sqrt {{{k}_{B}}{{T}_{e}}{\text{/}}{{m}_{d}}} $. Теперь мы представим нормированные переменные ${{n}_{i}}$, ${{u}_{i}}$, φ и ${{\nu }_{{id}}}$ в виде степенных рядов по ϵ:
(9)
${{n}_{i}} = 1 + \epsilon n_{i}^{{\left( 1 \right)}} + {{\epsilon }^{{3/2}}}n_{i}^{{\left( 2 \right)}} + ~ \ldots ,$
(10)
${{u}_{i}} = \epsilon u_{i}^{{\left( 1 \right)}} + {{\epsilon }^{{3/2}}}u_{i}^{{\left( 2 \right)}} + ~ \ldots ,$
(11)
$\varphi = \epsilon {{\varphi }^{{\left( 1 \right)}}} + {{\epsilon }^{{3/2}}}{{\varphi }^{{\left( 1 \right)}}} + ~ \ldots ,$
и

(12)
${{\nu }_{{id}}} = {{\epsilon }^{{3/4}}}{{\nu }_{{id0}}} + ~~ \ldots $

Далее, подставляя эти выражения в уравне-ния (4)(6), получим уравнения разных степеней по ϵ. Выражая $n_{i}^{{\left( 1 \right)}}$, $u_{i}^{{\left( 1 \right)}}$ и ${{v}_{0}}$, получаем следующие соотношения:

(13)
$n_{i}^{{\left( 1 \right)}} = \left( {1 - \mu } \right)p{{\varphi }^{{\left( 1 \right)}}},$
(14)
$u_{i}^{{\left( 1 \right)}} = \frac{1}{{{{v}_{0}}}}{{\varphi }^{{\left( 1 \right)}}}~,$
и

(15)
${{v}_{0}} = \sqrt {\frac{1}{{\left( {1 - \mu } \right)p}}} .$

Снова используя выражения (9)–(12) и нормированные уравнения неразрывности, импульса и Пуассона (4)–(6), окончательно получаем следующее уравнение:

(16)
$\frac{{\partial {\Phi }}}{{\partial \tau }} + A\sqrt {\Phi } \frac{{\partial {\Phi }}}{{\partial \xi }} + B\frac{{{{\partial }^{3}}{\Phi }}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} + C{\Phi } = 0,$
где ${\Phi } \equiv {{\varphi }^{{\left( 1 \right)}}}$, $A = - 3\left( {1 - \mu } \right)qv_{0}^{3}{\text{/}}4$, $B = v_{0}^{3}{\text{/}}2$ и $C = $ $ = {{\nu }_{{id0}}}{\text{/}}2$. Уравнение (16) является модифицированным уравнением КдВ с учетом затухания.

3. РЕШЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КдВ

В этом разделе мы решаем модифицированное уравнение КдВ. Из-за столкновений между ионами и неподвижными пылевыми частицами возникает дополнительный четвертый член в левой части уравнения (16), и мы следуем методу, примененному в работе [26]. Модифицированное уравнение КдВ без затухания имеет вид

(17)
$\frac{{\partial {\Phi }}}{{\partial \tau }} + A\sqrt {\Phi } \frac{{\partial {\Phi }}}{{\partial \xi }} + B\frac{{{{\partial }^{3}}{\Phi }}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} = 0.$

Аналитическое решение уравнения (17) в виде солитона имеет вид

(18)
${\Phi }\left( {{\xi },{\tau }} \right) = {{{\Phi }}_{m}}{{\operatorname{sech} }^{4}}\left( {\frac{{\xi - M\tau }}{W}} \right),$
где амплитуда ${{{\Phi }}_{m}} = {{\left( {15M{\text{/}}8A} \right)}^{2}}$, ширина $W = $ $ = \sqrt {16B{\text{/}}M} $ и M – скорость затухающей DIA уединенной волны. В этом случае сохраняется величина $I = \int_{ - \infty }^\infty {{{{\left[ {{\Phi }\left( {{\xi },{\tau }} \right)} \right]}}^{2}}} d\xi $.

В отсутствие столкновений пылевых частиц с ионами $\left( {C = 0} \right)$, уравнение (16) переходит в хорошо известное модифицированное уравнение КдВ (уравнение (17)) и его стандартное аналитическое решение имеет вид (18). Теперь из-за наличия члена с затуханием, четвертого в левой части уравнения (16), мы будем искать решение этого уравнения аналогично решению (18) уравнения (17), принимая амплитуду ${{{\Phi }}_{m}}$, ширину W и скорость M DIA-волны зависящими от времени τ [26]. Таким образом, следуя [26], мы имеем решение уравнения (16) в виде

(19)
${\Phi }\left( {{\xi },{\tau }} \right) = {{{\Phi }}_{m}}\left( \tau \right){{\operatorname{sech} }^{4}}\left( {\frac{{\xi - M\left( \tau \right)\tau }}{{W\left( \tau \right)}}} \right),$
где
(20)
${{{\Phi }}_{m}}\left( \tau \right) = {{\left( {\frac{{15M\left( \tau \right)}}{{8A}}} \right)}^{2}}$
и

(21)
$W\left( \tau \right) = \sqrt {\frac{{16B}}{{M\left( \tau \right)}}} .$

Можно видеть, что амплитуда и ширина солитонного решения модифицированного уравнения КдВ (19) теперь являются функциями времени τ.

В этом случае $I(\tau ) = \int_{ - \infty }^\infty {{{{\left[ {{\Phi }\left( {\xi ,{\tau }} \right)} \right]}}^{2}}d\xi } $ можно представить как

(22)
$I\left( \tau \right) = {{I}_{0}}\exp \left[ { - 2C\left( {\tau - {{\tau }_{0}}} \right)} \right],$
где ${{I}_{0}}$ – постоянная интегрирования, $I = {{I}_{0}}$ при $\tau = {{\tau }_{0}}$, где ${{\tau }_{0}}$ – начальное время. Далее

(23)
$\begin{gathered} I\left( \tau \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {{\left[ {{\Phi }\left( {\xi ,{\tau }} \right)} \right]}^{2}}d\xi = \\ \, = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {{\left[ {{{{\Phi }}_{m}}} \right]}^{2}}{{\operatorname{sech} }^{8}}\left( {\frac{{\xi - M\left( \tau \right)\tau }}{{W\left( \tau \right)}}} \right)d\xi = \\ \, = \frac{{32}}{{35}}{{\left[ {{{{\Phi }}_{m}}\left( \tau \right)} \right]}^{2}}W\left( \tau \right), \\ \end{gathered} $
(24)
${{I}_{0}} = I\left( {{{\tau }_{0}}} \right) = \frac{{32}}{{35}}{{\left[ {{{{\Phi }}_{m}}\left( {{{\tau }_{0}}} \right)} \right]}^{2}}W\left( {{{\tau }_{0}}} \right).$

Таким образом, выражение для величины $I\left( \tau \right)$, заданное уравнением (22), может быть переписано как

(25)
$I\left( \tau \right) = \frac{{32}}{{35}}{{\left[ {{{{\Phi }}_{m}}\left( {{{\tau }_{0}}} \right)} \right]}^{2}}W\left( {{{\tau }_{0}}} \right)\exp \left[ { - 2C\left( {\tau - {{\tau }_{0}}} \right)} \right].$

Используя выражения (23) и (25) и подставляя (20) и (21) при $\tau = {{\tau }_{0}}$, получим

(26)
$M\left( \tau \right) = {{M}_{0}}\exp \left[ { - 4C\left( {\tau - {{\tau }_{0}}} \right){\text{/}}7} \right],$
где ${{M}_{0}}$ – значение M при $\tau = {{\tau }_{0}}$.

Выражение (19) – решение модифицированного уравнения КдВ (16), где ${{{\Phi }}_{m}}\left( \tau \right)$ и $W\left( \tau \right)$ задаются выражениями (20) и (21) соответственно.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

В этом разделе мы рассматриваем влияние некоторых важных параметров плазмы κ, ${{\nu }_{{id0}}}$, μ и β на потенциал волны Φ, амплитуду волны ${{{\Phi }}_{m}}$, ширину W и скорость M. Мы также изучаем влияние медленных переменных ξ и τ на Φ и ${{{\Phi }}_{m}}$. Результаты представлены на рис. 1–7. Для численного анализа мы принимаем следующие значения параметров плазмы: $\kappa = 1.55{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 1.9$, ${{\nu }_{{id0}}} = 0.01{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 0.1$, $\mu = 0.2{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 0.8$, $\beta = 0.5{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 6$. Напомним, что параметр κ определяет уровень потока электронов на высоких энергиях для сверхтепловых электронов, ${{\nu }_{{id0}}}$ – частота столкновений ионов с пылевыми частицами, $\mu = {{Z}_{d}}{{n}_{{d0}}}{\text{/}}{{n}_{{i0}}}$, а β определяет обратную температуру захваченных электронов.

Рис. 1.

Зависимость решения Φ затухающего уравнения КдВ от пространственной координаты ξ для трех значений параметра κ. Для сплошной кривой $\kappa = 1.9,$ для штриховой кривой $\kappa = 1.8$, а для штриховой кривой с длинными штрихами $\kappa = 1.7.$ Значения остальных параметров следующие: ${{\nu }_{{id0}}} = 0.1$, $\beta = 0.5$, $\mu = 0.2$, ${{M}_{0}} = 0.1$ и $\tau = 2$.

Рис. 2.

Зависимость решения Φ затухающего уравнения КдВ от β для ${{M}_{0}} = 0.14$ (сплошная кривая), ${{M}_{0}} = 0.12$ (штриховая кривая) и ${{M}_{0}} = 0.1$ (штриховая кривая с длинными штрихами). Значения остальных параметров следующие: ${{\nu }_{{id0}}} = 0.1$, $\kappa = 2$, $\mu = 0.2$, $\xi = 0$ и $\tau = 2$.

Рис. 3.

Зависимость решения затухающего уравнения КдВ от пространственной координаты ξ для ${{\nu }_{{id0}}} = 0.01$ (сплошная кривая),$~{{\nu }_{{id0}}} = 0.21$ (штриховая кривая) и ${{\nu }_{{id0}}} = 0.41$ (штриховая кривая с длинными штрихами). Значения остальных параметров следующие: ${{M}_{0}} = 0.1$, $\kappa = 1.7$, $\beta = 0.5$, $\mu = 0.2$ и $\tau = 2$.

Рис. 4.

Зависимость решения Φ затухающего уравнения КдВ от μ. Сплошная кривая соответствует $\kappa = 1.56$, тогда как штриховая кривая и штриховая кривая с длинными штрихами приведены для $\kappa = 1.555$ и $\kappa = 1.55$ соответственно. Значения остальных параметров следующие: ${{\nu }_{{id0}}} = 0.01$, $\beta = 0.5$, ${{M}_{0}} = 0.1$, $\xi = 0$ и $\tau = 2$.

Рис. 5.

Зависимость амплитуды солитона ${{{\Phi }}_{m}}$ от времени τ для $\kappa = 1.62$ (сплошная кривая), $\kappa = 1.61$ (штриховая кривая) и $\kappa = 1.6$ (штриховая кривая с длинными штрихами). Значения остальных параметров следующие: ${{\nu }_{{id0}}} = 0.1$, $\beta = 0.5$, $\mu = 0.2$ и ${{M}_{0}} = 0.1$.

Рис. 6.

Зависимость амплитуды солитона ${{{\Phi }}_{m}}$ от κ для различных ${{M}_{0}} = 0.2$ (сплошная кривая), ${{M}_{0}} = 0.15$ (штриховая кривая) и ${{M}_{0}} = 0.1$ (штриховая кривая с длинными штрихами). Значения остальных параметров следующие: ${{\nu }_{{id0}}} = 0.1$, $\beta = 0.5$ и $\mu = 0.2$.

Рис. 7.

Зависимость ширины солитона W от времени τ для $\kappa = 1.57$ (сплошная кривая), $\kappa = 1.56$ (штриховая кривая) и $\kappa = 1.55$ (штриховая кривая с длинными штрихами). Значения остальных параметров следующие: ${{\nu }_{{id0}}} = 0.1$, $\beta = 0.5$, $\mu = 0.2$ и ${{M}_{0}} = 0.1$.

На рис. 1–7 представлены потенциалы Φ электростатических DIA-волн, решений уравнения КдВ с затуханием (16) для различных параметров плазмы.

На рис. 1 представлены зависимости электростатического потенциала Φ уравнения КдВ с затуханием от пространственной координаты ξ для различных значений параметра κ. Сплошная кривая, штриховая кривая и штриховая кривая с длинными штрихами приводятся для $\kappa = 1.9$, $\kappa = 1.8$ и $\kappa = 1.7$ соответственно. Из рис. 1 видно, что уединенная волна имеет положительный потенциал, и этот потенциал резко уменьшается с уменьшением параметра $\kappa $. Напомним, что параметр κ характеризует сверхтепловые электроны плазмы.

На рис. 2 представлены зависимости потенциала Φ уравнения КдВ с затуханием от параметра β, причем, скорость ${{M}_{0}}$ DIA-волны в начальный момент времени $\left( {\tau = {{\tau }_{0}}} \right)$ взята в качестве параметра. Сплошная кривая, штриховая кривая и штриховая кривая с длинными штрихами приводятся для ${{M}_{0}} = 0.14$, ${{M}_{0}} = 0.12$ и ${{M}_{0}} = 0.1$ соответственно. Этот рисунок показывает, что волновой потенциал уменьшается с ростом параметра β и возрастает с ростом ${{M}_{0}}$.

На рис. 3 изображено решение Φ в зависимости от пространственной координаты ξ для трех значений столкновительного параметра ${{\nu }_{{id0}}}$. Сплошная кривая, штриховая кривая и штриховая кривая с длинными штрихами приводятся для ${{\nu }_{{id0}}} = 0.01$, ${{\nu }_{{id0}}} = 0.21$ и ${{\nu }_{{id0}}} = 0.41$ соответственно. Из рисунка можно видеть, что профиль потенциала уединенной волны уменьшается для более высоких значений столкновительного параметра ${{\nu }_{{id0}}}$.

На рис. 4 изображено решение Φ в зависимости от μ для различных значений κ. Сплошная кривая, штриховая кривая и штриховая кривая с длинными штрихами приводятся для $\kappa = 1.56$, $\kappa = 1.555$ и $\kappa = 1.55$ соответственно. Видно, что функция потенциала Φ убывает с μ. Кроме того, очень слабые изменения κ значительно влияют на Φ и функция потенциала убывает с ростом параметра κ.

На рис. 5 представлена зависимость амплитуды солитона ${{{\Phi }}_{m}}$ от времени τ для $\kappa = 1.62$ (сплошная кривая), $\kappa = 1.61$ (штриховая кривая) и $\kappa = 1.6$ (штриховая кривая с длинными штрихами). Здесь мы видим, что слабые изменения κ существенно изменяют амплитуду волны и более высокие значения параметра κ соответствуют более высоким амплитудам. Также мы видим, что амплитуда убывает со временем, что следует из рис. 2 для функции потенциала Φ.

На рис. 6 представлена зависимость амплитуды солитона ${{{\Phi }}_{m}}$ от κ для различных значений скорости M. Здесь сплошная кривая соответствует ${{M}_{0}} = 0.2$, штриховая кривая – ${{M}_{0}} = 0.15$, а штриховая кривая с длинными штрихами – ${{M}_{0}} = 0.1$. Из рисунка следует, что амплитуда электростатической DIA-волны падает с уменьшением ${{M}_{0}}$. Снова мы наблюдаем, что амплитуда волнового потенциала растет с ростом параметра κ.

На рис. 7 представлена зависимость ширины W уединенной электростатической волны от τ, причем κ принято в качестве параметра. Сплошная кривая соответствует $\kappa = 1.57$, штриховая кривая – $\kappa = 1.56$, а штриховая кривая с длинными штрихами – $\kappa = 1.55$. Из рисунка видно, что ширина солитона возрастает с ростом параметра κ. Мы также видим, что ширина волны растет со временем τ.

Рассмотрено распространение нелинейных DIA-волн в сверхтепловой столкновительной пылевой плазме, представлен детальный численный анализ амплитуды и ширины DIA-волны, в зависимости от различных параметров плазмы. Результаты, полученные в данном исследовании, можно кратко сформулировать следующим образом.

1. Столкновительный параметр ${{\nu }_{{id}}}$ влияет на стандартное уравнение КдВ.

2. С ростом параметра κ растет потенциал уединенной волны, а из-за влияния затухания потенциал волны уменьшается со временем.

3. Существует значительное влияние параметра κ на амплитуду солитона.

4. Амплитуда солитона падает с ростом скорости.

5. Ширина солитона растет с ростом κ.

6. Волновой потенциал существенно падает с ростом параметра β.

7. Волновой потенциал линейно падает с ростом параметра μ.

8. Решение модифицированного уравнения КдВ имеет форму, сходную с решением стандартного уравнения КдВ, при этом амплитуда, скорость и ширина волны зависят от медленной временной переменной τ.

В данной работе показаны основные особенности нелинейных DIA-солитонов, модифицированных присутствием сверхтепловых электронов и отрицательно заряженных неподвижных пылевых частиц в столкновительной пылевой плазме.

Список литературы

  1. Shukla P.K., Silin V.P. // Phys. Scr. 1992. V. 45. P. 508.

  2. Barkan A., Merlino R.L., D’Angelo N. // Phys. Plasmas. 1995. V. 2. P. 3563.

  3. Nakamura Y., Bailung H., Shukla P.K. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 1602.

  4. Duha S.S., Mamun A.A. // Phys. Lett. A. 2009. V. 373. P. 1287.

  5. Tiwari R.S., Mishra M.K. // Phys. Plasmas. 2006. V. 13. P. 062112.

  6. Pakzad H.R., Javidan R., Rafiei A. // Astrophys. Space Sci. 2014. V. 353. P. 543.

  7. Paul A., Mandal G., Mamun A.A., Amin M.R. // IEEE Trans. Plasma Sci. 2011. V. 39. P. 1254.

  8. Volosevich A.V., Meister C.V. // Contrib. Plasma Phys. 2002. V. 42. P. 61.

  9. Das T.K., Saha A., Pal N., Chatterjee P. // Phys. Plasmas. 2017. V. 24. P. 073707.

  10. Losseva T.V., Popel S.I., Golub A.P., Shukla P.K. // Phys. Plasmas. 2009. V. 16. P. 093704.

  11. Moslem W.M., El-Taibany W.F. // Phys. Plasmas. 2005. V. 12. P. 122309.

  12. Maitra S., Banerjee G. // Phys. Plasmas. 2014. V. 21. P. 113707.

  13. Sayyar M., Zahed H., Pestehe S.J., Sobhanian S. // Phys. Plasmas.2016. V. 23. P. 073704.

  14. Saeki K., Michelsen P., Pecseli K.L., Rasmussen J.J. // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 42. P. 501.

  15. Hansen C., Reimann A.B., Fajans J. // Phys. Plasmas. 1996. V. 3. P. 1820.

  16. Colestock P.L., Spentzouris L.K. // AIP Conf. Proc. 1996. V. 356.

  17. Schamel H. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 2811.

  18. Schamel H., Fedele R. // Phys. Plasmas. 2000. V. 7. P. 3421.

  19. Danielson R., Anderegg F., Driscoll C.F. // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. P. 245003.

  20. Bertsche W., Fajans J., Friedland L. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91. P. 265003.

  21. Sahu B. // A letter Journal Exploring the Fronties of Physics. 2013. V. 101. P. 55002.

  22. Vasyliunas V.M. // J. Geophys. Res. 1968. V. 73. P. 2839.

  23. Chowdhury S., Mandi L., Chatterjee P. // Phys. Plasmas. 2018. V. 25. P. 042112.

  24. Schamel H. // J. Plasma Phys. 1973. V. 9. P. 377.

  25. Schamel H. // Plasmas Phys. 1972. V. 14. P. 905.

  26. Chatterjee P., Ali R., Saha A. // Z. Naturforsch. 2018. V. 73. P. 151.

  27. Washimi H., Sarma T. // Phys. Rev. Lett. 1966. V. 17. P. 996.

Дополнительные материалы отсутствуют.