Физика плазмы, 2020, T. 46, № 10, стр. 916-927
Систематическое исследование величины возмущений на генерацию модифицированных солитонов Кортевега–де Фриза (мКдФ) в пылевой плазме с релятивистскими эффектами от электронов и ионов
B. C. Kalita a, b, *, D. Bhattacharjee b, **
a Cotton University
Guwahati 781001 Assam, India
b Department of Mathematics, Gauhati University
Guwahati 781014 Assam, India
* E-mail: bckalita123@gmail.com
** E-mail: debabh2@gmail.com
Поступила в редакцию 11.04.2019
После доработки 12.01.2020
Принята к публикации 18.02.2020
Аннотация
Впервые в модели пылевой плазмы определены амплитуды релятивистских мКдФ-солитонов по удельной величине возмущения. Показано, что чрезвычайно высокая скорость потока электронов ${{v}_{{e0}}}$ усиливает результирующую релятивистскую скорость основной части плазмы, что для решения в релятивистском случае требует более слабых возмущений. Дальнейшее увеличение заряда пылевой частицы ${{Z}_{d}}$ уменьшает амплитуды мКдФ-солитонов ($\phi _{0}^{'}$) как для релятивистских, так и нерелятивистских солитонов. Кроме того, большая подвижность релятивистских электронов противодействует увеличению амплитуды мКдФ-солитонов при малом заряде пылевой частицы ${{Z}_{d}}$. С другой стороны, массивные ионы с увеличенной подвижностью при наличии малых возмущений, по-видимому, определяют рост амплитуд мКдФ солитонов в обоих случаях.
1. ВВЕДЕНИЕ
Захватывающая космическая лаборатория – это прекрасная житница нелинейных явлений, порождаемых замагниченной и незамагниченной плазмой, при частичном вкладе радиации, солнечных вспышек и межпланетной пыли. Оказалось, что в таких областях, как ионосфера, магнитосфера и межпланетное пространство, нелинейное поведение плазмы меняется различными способами. Среди нелинейных волн, уединенные волны (солитоны) являются особым типом волн в плазме специального характера. Их природа подробно изучалась в течение последних пяти десятилетий (в статье не описано). Осталось еще много возможностей для их изучения с учетом пылевых частиц, релятивистских эффектов, квантовых эффектов, нетепловых и надтепловых частиц в плазменных системах.
Исследования нелинейных волн в любых средах в целом рассматриваются посредством гипотезы о континууме в грубом предположении, что он дискретен. Эту идею можно правильно обосновать через волны, задаваемые модифицированным уравнением Кортевега–де Фриза (мКдФ), учитывающем отсутствие нелинейности соответствующей волны, генерируемой уравнением Кортевега–де Фриза.
В работе [1] получено модифицированное уравнение КдФ, описывающее различные виды нелинейных волн, так называемые мКдФ-солитоны в плазме. Но со временем оно стало плодородной областью исследований за счет увеличения возможного количества компонент в плазме. Наличие частиц пыли в межпланетном пространстве и различные динамические эффекты в поведении частиц космической плазмы делают задачу еще более привлекательной.
Теоретически ионно-звуковые волны (ИЗВ) изучались с помощью мКдФ-уравнения при наличии отрицательных ионов в плазме [2–5]. Появление пылевых частиц в плазме подробно обсуждалось в [2] с поведением отрицательных зарядов как отрицательных ионов. МКдФ-солитоны были обнаружены в плазме с отрицательными ионами при выполнении особого условия Q > 1 (Q – это отношение масс отрицательных и положительных ионов), что привлекает многих исследователей к этому составу плазмы [6]. В нескольких статьях [7–9] с первым автором из работы [6] и в работе [10] использовались мКдФ–КдФ-уравнения в плазме с отрицательными ионами, и по-новому учитывались эффекты дрейфа электронов, за исключением [10]. Многие авторы определили мКдФ-солитоны в плазме с различным составом, что инициировало использование нелинейности более высокого порядка в растянутых координатах для потоковых переменных. Кроме того, существование мКдФ-солитонов было проверено экспериментально [10, 11], и интерес к солитонам с отрицательными ионами возрос. В плазме с равномерной скоростью ионизации, содержащей свободные и захваченные электроны, также изучалось наличие КдФ- и мКдФ-солитонов [12]. Из этих соображений следует, что применение мКдФ-уравнения в плазме представляется оправданным для многокомпонентной плазмы.
В обычной плазменной системе присутствие пылевых частиц, образующих свою компоненту, играет большую роль в формировании пыле-звуковых (ПЗ) и ионных пыле-звуковых (ИПЗ) волн в космической и лабораторной плазме (здесь не описано). Хотя КдФ-уравнение используется часто, мКдФ-уравнение в такой ситуации встречается редко. Отметим, что даже экспериментальные исследования по внедрению частиц пыли в лабораторную плазму помогают прогнозировать космическую плазменную среду.
Прошлые исследования ПЗ и ИПЗ волн в пылевой плазме без релятивистских и квантовых эффектов при применении КдФ-уравнения и интеграла энергии охватывают обширный диапазон и выходят за рамки настоящей статьи. Авторы считают необходимым упомянуть работы [13, 14] как недавние публикации, имеющие отношение к настоящему исследованию. В недавней работе [13] с помощью КдФ–мКдФ уравнений изучались ионы, надтепловые электроны и позитроны (регулируемые каппа-распределениями) ИПЗ волны и двойные слои во вращающейся замагниченной плазме со стационарной пылью. В [14] приведен некоторый теоретический взгляд со строгими ограничениями на состав надтепловой плазмы с двумя больцмановскими распределениями и холодными ионами, выявивший нулевую квадратичную и кубическую нелинейность.
Для очень мощных источников, которые можно найти в космосе, для многих нелинейных явлений, таких, как волны, было необходимо учесть релятивистские и квантовые эффекты. Авторы [15] исследовали ионно-звуковые солитоны с релятивистскими эффектами в незамагниченной плазме различного состава. Также было изучено существование одномерных недрейфующих релятивистских солитонных решений соответствующих уравнений Максвелла в замагниченной плазме [16]. Кроме того, многие авторы [17–19] изучали ИЗ солитоны с простыми моделями, использующими слабо релятивистские эффекты в электронах и ионах плазмы. Показано [20], что при полном релятивистском эффекте, солитоны сжатия и разрежения существуют в плазме с переменным давлением, что является захватывающим математическим условием достоверности. Кроме того, в плазме со слабо релятивистскими электронами и ионами найдены сжимаемые ИПЗ-солитоны при некотором критическом заряде пылевых частиц ${{Z}_{{dc}}}$ для критического отношения электронной температуры к ионной, ${{\alpha }_{c}}$ [21].
В [22] с помощью мКдФ-уравнений изучались нелинейные ионно-звуковые волны в слабо релятивистской плазме с теплыми ГД-ионами и изотермическими электронами. В [23] при исследовании мКдФ-солитонов, ионно-звуковых солитонов в плазме с релятивистским электронным пучком, построена таблица для критической плотности релятивистского пучка ${{\sigma }_{c}}$, показывающая уменьшение амплитуд при уменьшении ${{\sigma }_{c}}$. Снова в [24] для слабо релятивистской плазмы, состоящей из нетепловых электронов, были выведены КдФ- и мКдФ-уравнения, описывающие уединенные волновые структуры и двойные слои. Большинство исследований основано на КдФ-уравнении или интеграле энергии, за исключением работ [22–24]. Но в данной работе мы намерены изучить релятивистские мКдФ-солитоны в плазме на основе меры (далее будем называть ее величиной) возмущения (т), которая до сих пор не изучена.
Обнуляя нелинейный коэффициент КдФ-уравнения в рамках гипотезы о континууме, мы ищем существование других нелинейных волн в плазме, используя возмущение более высокого порядка в масштабных факторах пространства и времени. Это создает возможность доказательства осуществимости мКдФ-солитонов, но величина (мера) возмущения, необходимая для генерации уединенных волн различного типа, вообще не изучена, за исключением недавней работы [25]. Но эта работа также ограничивается моделью нерелятивистской пылевой плазмы. Математически говоря, модель такого типа соотносит дискретную систему (сводящую на нет нелинейность КдФ-уравнения) с непрерывной системой (такой как мКдФ-уравнение) в гипотезе континуума, поскольку мКдФ-уравнение допускает солитонное решение. Но секреты методов изменения порядка нелинейности и определения степени возмущения имеют первостепенное значение.
Детальное нахождение величины возмущения для генерации определенной амплитуды мКдФ-солитонов, учитывающее релятивизм некоторых компонент плазмы, электронов и ионов, будет новой попыткой в этом направлении.
Различные космические зонды, такие как “Спутник Фобос” [26] и ASPERA (автоматический космический плазменный эксперимент с вращающимся анализатором) показали, что пылевые частицы в плазме, окружающей космические тела, типа Марса или Луны, можно исследовать с помощью спектрометра и тепловизора. Также установлено, что часть ускоренных электронов и ионов, выходящих из нижней части Солнечной короны, попадает в окрестности астрофизических тел, движущихся с релятивистскими скоростями. Кроме того, солнечные вспышки и сильные солнечные ветры время от времени способны вызывать выброс частиц пыли с поверхности массивной планеты, такой как Юпитер, и других планет. Но релятивистские электроны и ионы более склонны сталкиваться с этими пылевыми частицами атмосферы Юпитера, поскольку он более массивен и больше Луны, чтобы препятствовать большему количеству солнечных ветров в его обширной области. Конечно, предполагается, что реалистичная ситуация для этого состава плазмы встречается в природе. Конечно, уместно сообщить, что пылевые частицы не могут подниматься над поверхностью Луны [27], и что вблизи поверхности Луны наблюдается только электростатически выброшенная популяция пыли. Кроме того, исследовано развитие ионно-звуковой и пылевой звуковой турбулентности за счет зарядки поверхности Луны под действием солнечного излучения [28] в пылевой плазменной системе вблизи Луны.
Таким образом, в этой статье представлено исследование мКдФ-солитонов с соответствующими амплитудами на основе определенной величины возмущений, присущих пылевой плазме с релятивистскими электронами и ионами.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предполагается, что плазма состоит из отрицательно заряженных подвижных пылевых частиц, слабо релятивистских ионов и электронов, которые дополняются уравнением Пуассона следующим образом:
Для пылевой компоненты
(1)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{{n}_{d}} + \frac{\partial }{{\partial x}}{{n}_{d}}{{u}_{d}} = 0,$(2)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{{u}_{d}} + {{u}_{d}}\frac{\partial }{{\partial x}}{{u}_{d}} = \frac{{\partial \phi }}{{\partial x}}.$Для компоненты положительных ионов
(3)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{{n}_{i}} + \frac{\partial }{{\partial x}}{{n}_{i}}{{{v}}_{i}} = 0,$(4)
$\frac{\partial }{{\partial t}}({{\gamma }_{i}}{{{v}}_{i}}) + {{{v}}_{i}}\frac{\partial }{{\partial x}}({{\gamma }_{i}}{{{v}}_{i}}) + \frac{1}{{Q{\kern 1pt} '}}\left( {\frac{\alpha }{{{{n}_{i}}}}\frac{\partial }{{\partial x}}{{n}_{i}} + \frac{\partial }{{\partial x}}\phi } \right) = 0.$Для электронов
(5)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{{n}_{e}} + \frac{\partial }{{\partial x}}{{n}_{e}}{{{v}}_{e}} = 0,$(6)
$\frac{\partial }{{\partial t}}({{\gamma }_{e}}{{{v}}_{e}}) + {{{v}}_{e}}\frac{\partial }{{\partial x}}({{\gamma }_{e}}{{{v}}_{e}}) - \frac{1}{Q}\left( {\frac{\partial }{{\partial x}}\phi - \frac{1}{{{{n}_{e}}}}\frac{\partial }{{\partial x}}{{n}_{e}}} \right) = 0.$Уравнение Пуассона
(7)
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}}\phi - {{n}_{e}} - {{Z}_{d}}{{n}_{d}} + {{n}_{i}} = 0,$3. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ КОРТЕВЕГА–ДЕ ФРИЗА (КДФ) И МОДИФИЦИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ КОРТЕВЕГА–ДЕ ФРИЗА (МКДФ)
Для вывода КдФ-уравнения из системы уравнений (1)–(7), используются растянутые переменные с фазовой скоростью волн V:
Потоковые переменные асимптотически разлагаются относительно стационарного состояния равновесия по малому параметру т:
(9)
${{u}_{d}} = {{u}_{{d0}}} + {\text{т}}{{u}_{{d1}}} + {{{\text{т}}}^{2}}{{u}_{{d2}}} + {{{\text{т}}}^{3}}{{u}_{{d3}}} + \ldots ,$Следуя стандартному методу возмущений, с использованием преобразования (8) и разложений (9) в нормированной системе уравнений (1)–(7) с граничными условиями
(10)
$\begin{gathered} {{n}_{{d1}}} = 0,\quad {{n}_{{i1}}} = 0,\quad {{n}_{{e1}}} = 0,\quad {{u}_{{d1}}} = 0, \\ {{{v}}_{{e1}}} = 0,\quad {{{v}}_{{i1}}} = 0~\quad {\text{при}}~\quad \left| \xi \right| \to \infty \\ \end{gathered} $(11)
${{{v}}_{{i1}}} = - \frac{{(V - {{{v}}_{{i0}}}){{\phi }_{1}}}}{{\alpha - {{V}^{2}}{{\gamma }_{i}} + 2V{{{v}}_{{i0}}}{{\gamma }_{i}} - {v}_{{i0}}^{2}{{\gamma }_{i}}}},$Также, используя разложение (9) в (7), получаем
(12)
$ - \frac{{{{n}_{{e0}}}}}{{{{n}_{{i0}}}}} + 1 - \frac{{{{n}_{{d0}}}}}{{{{n}_{{i0}}}}}{{Z}_{d}} = 0,\quad {\text{или}}\quad \sigma {{Z}_{d}} = 1 - \frac{{{{n}_{{e0}}}}}{{{{n}_{{i0}}}}},$Используя величины первого порядка в (13), получим уравнение для фазовой скорости V
(14)
$\begin{gathered} - \frac{{\sigma {{Z}_{d}}}}{{{{{\left( {{{u}_{{d0~}}} - V} \right)}}^{2}}}} - \frac{{1 - \sigma {{Z}_{d}}}}{{ - 1 + Q{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0~}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{e}}}} + \\ \, + \frac{1}{{\alpha - {{{\left( {V - {{{v}}_{{i0~}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{i}}}} = 0. \\ \end{gathered} $Опять, приравнивая коэффициенты следующего, более высокого порядка по $\epsilon $, получим уравнения
(15)
$\begin{gathered} {{n}_{{d0~}}}\frac{{\partial {{u}_{{d2~}}}}}{{\partial \xi }} + {{u}_{{d0~}}}\frac{{\partial {{n}_{{d2~}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{d1~}}}\frac{{\partial {{u}_{{d1~}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{u}_{{d1~}}}\frac{{\partial {{n}_{{d1~}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{n}_{{d1~}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{n}_{{d2~}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $(16)
${{u}_{{d0}}}\frac{{\partial {{u}_{{d2~}}}}}{{\partial \xi }} + {{u}_{{d1}}}\frac{{\partial {{u}_{{d1~}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{u}_{{d1~}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{u}_{{d2~}}}}}{{\partial \xi }} - \frac{{\partial {{\phi }_{2}}}}{{\partial \xi }} = 0,$(17)
$\begin{gathered} {{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{i0}}}\frac{{\partial {{n}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{{v}}_{{i1}}}\frac{{\partial {{n}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + V - V\frac{{\partial {{n}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $(18)
$\begin{gathered} \alpha \frac{{\partial {{n}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{\phi }_{2}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \xi }} + {{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}{{{v}}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{\gamma }_{i}}{{{v}}_{{i0}}}{{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + {{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}{{{v}}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \tau }} - \\ \, - V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} - V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $(19)
$\begin{gathered} {{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{e0}}}\frac{{\partial {{n}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{e1}}}\frac{{\partial {{n}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + V\frac{{\partial {{n}_{{e1}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{n}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $(20)
$\begin{gathered} - {{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{\phi }_{2}}}}{{\partial \xi }} - {{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial {{n}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + Q{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}{{{v}}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + Q{{\gamma }_{e}}{{{v}}_{{e0}}}{{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + Q{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}{{{v}}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \tau }} - \\ \, - QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} - QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $(21)
$ - {{Z}_{d}}\frac{{\partial {{n}_{{d2}}}}}{{\partial \xi }} - \frac{{\partial {{n}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial {{n}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + \frac{{{{\partial }^{3}}{{\phi }_{1}}}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} = 0.$Находя величины $\partial {{n}_{{d2}}}{\text{/}}\partial \xi $, $\partial {{n}_{{e2}}}{\text{/}}\partial \xi $, $\partial {{n}_{{i2}}}{\text{/}}\partial \xi $ из уравнений (15)–(20) и используя соотношения (21) и (14), получим КдФ-уравнение
(22)
$\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \tau }} + p{{\phi }_{1}}\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \xi }} + q\frac{{{{\partial }^{3}}{{\phi }_{1}}}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} = 0,$Для нелинейности высшего порядка при выводе мКдФ-уравнения из системы уравнений (1)–(7), введем новые растянутые переменные,
где $V$ – фазовая скорость волн.Полагая коэффициент ${{\phi }_{1}}\partial {{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial \xi $ в КдФ-уравнении равным нулю (т.е. $p = 0$), из уравнения для фазовой скорости получим уравнение для критической плотности (${{\sigma }_{c}}$)
(24)
$\begin{gathered} - \frac{{3{{\sigma }_{c}}{{Z}_{d}}}}{{{{{(V - {{u}_{{d0}}})}}^{4}}}} + \frac{{\left( {1 - {{{\sigma }}_{{\text{c}}}}{{Z}_{d}}} \right)\left( {1 - 3Q{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{e}}} \right)}}{{{{{\left( { - 1 + Q{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{e}}} \right)}}^{3}}}} + \\ \, + \frac{{\left( {\alpha - 3{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{i}}} \right)}}{{{{{\left( {\alpha - {{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{i}}} \right)}}^{3}}}} = 0. \\ \end{gathered} $Используя новые растянутые переменные (23) и разложение (9) в уравнениях (1)–(7), после подстановки величин первого порядка в уравнение (12), получим такое же уравнение для фазовой скорости, как уравнение (14) для фазовой скорости V. Уравнения второго порядка с учетом граничных условий ${{n}_{{d2}}} = {{n}_{{i2}}} = {{n}_{{e2}}} = 0$, ${{u}_{{d2}}} = 0$, ${{{v}}_{{e2}}} = {{{v}}_{{i2}}} = 0$ при $~\left| \xi \right| \to \infty $, после интегрирования дают следующие результаты:
(25)
${{{v}}_{{i2}}} = - \frac{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)\left( {2{{\phi }_{2}}{{{\left( {\alpha - {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{2}} + {{\phi }_{1}}^{2}\left( {\alpha + {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}} \right)} \right)}}{{2{{{\left( {\alpha - {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{3}}}},$Соответственно, рассматривая уравнения третьего порядка по т, получим
(26)
$\begin{gathered} {{n}_{{d0}}}\frac{{\partial {{u}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} + {{u}_{{d0}}}\frac{{\partial {{n}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{d1}}}\frac{{\partial {{u}_{{d2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{d2}}}\frac{{\partial {{u}_{{d1}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{u}_{{d1}}}\frac{{\partial {{n}_{{d2}}}}}{{\partial \xi }} + {{u}_{{d2}}}\frac{{\partial {{n}_{{d1}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{n}_{{d1}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{n}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $(27)
${{u}_{{d0}}}\frac{{\partial {{u}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} + {{u}_{{d1}}}\frac{{\partial {{u}_{{d2}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{u}_{{d1}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{u}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} - \frac{{\partial {{\phi }_{3}}}}{{\partial \xi }} = 0,$(28)
$\begin{gathered} {{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i3}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{i0}}}\frac{{\partial {{n}_{{i3}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{{v}}_{{i1}}}\frac{{\partial {{n}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{i2}}}\frac{{\partial {{n}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{n}_{{i1}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{n}_{{i3}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $(29)
$\begin{gathered} \, + {{\gamma }_{i}}{{{v}}_{{i0}}}{{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{\gamma }_{i}}{{{v}}_{{i0}}}{{n}_{{i2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + {{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}{{v}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{\gamma }_{i}}{{n}_{{i1}}}{{{v}}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + {{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}{{{v}}_{{i2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \tau }} - \\ \end{gathered} $(30)
$\begin{gathered} {{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e3}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{e0}}}\frac{{\partial {{n}_{{e3}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{e2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{e1}}}\frac{{\partial {{n}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{{v}}_{{e2}}}\frac{{\partial {{n}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{n}_{{e1}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{n}_{{e3}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $(31)
$\, + Q{{\gamma }_{e}}{{{v}}_{{e0}}}{{n}_{{e2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + Q{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}{{{v}}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + Q{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e1}}}{{{v}}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + $(32)
$ - {{Z}_{d}}\frac{{\partial {{n}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} - \frac{{\partial {{n}_{{e3}}}}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial {{n}_{{i3}}}}}{{\partial \xi }} + \frac{{{{\partial }^{3}}{{\phi }_{1}}}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} = 0.$Находя величины $\partial {{n}_{{d3}}}{\text{/}}\partial \xi $, $\partial {{n}_{{e3}}}{\text{/}}\partial \xi $ и $\partial {{n}_{{i3}}}{\text{/}}\partial \xi $ из (26)–(31), подставляя их в (32) и используя (24) и (14), получим мКдФ-уравнение
(33)
$\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \tau }} + p{\kern 1pt} '{{\phi }_{1}}^{2}\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \xi }} + q{\kern 1pt} '\frac{{{{\partial }^{3}}{{\phi }_{1}}}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} = 0,$(34)
$\, \times \left[ {\frac{{2V{{n}_{{d0}}}{{Z}_{d}}}}{{{{{\left( {V - {{u}_{{d0}}}} \right)}}^{3}}}} + \frac{{2QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}{{{{{\left( {Q{{\gamma }_{e}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}} - 1} \right)}}^{2}}}} + } \right.$4. РЕШЕНИЯ ТИПА СОЛИТОННЫХ ВОЛН ДЛЯ КДФ- И МОДИФИЦИРОВАННЫХ КДФ-УРАВНЕНИЙ
Введя преобразование $\eta = \xi - {{C}_{1}}\tau $, где ${{C}_{1}}$ – скорость солитона в линейном $\eta $-пространстве и используя граничные условия ${{\phi }_{1}} = \partial {{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial \eta = $ $ = {{\partial }^{2}}{{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial {{\eta }^{2}} = 0$ при $\left| \eta \right| \to 0$, получим решение КдФ-уравнения (22) в виде
(35)
${{\phi }_{1}} = {{\phi }_{0}}{{\operatorname{sech} }^{2}}\left( {\frac{\eta }{\Delta }} \right).$Амплитуда и ширина солитонных волн соответственно определяются выражениями
Используя то же преобразование, интегрируя мКдФ-уравнение (33) и используя граничные условия ${{\phi }_{1}} = {{\partial }^{2}}{{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial {{\eta }^{2}} = 0$ при $\left| \eta \right| \to \pm \infty $, (для мКдФ-уравнения используется ${{\phi }_{1}}$) получаем решение вида
где амплитуда и ширина солитонных волн в мКдФ-уравнении (33) соответственно5. ОБСУЖДЕНИЕ
Впервые для модели плазмы, содержащей электроны и ионы со слабыми релятивистскими эффектами в присутствии отрицательно заряженных подвижных пылевых частиц, установлена генерация мКдФ-солитонов на основе величины возмущения т, попутно с дискретизированными КдФ-солитонами. Для этого случая, амплитуды КдФ и мКдФ-солитонов, рассчитанные с учетом и без учета релятивистских эффектов при различной величине возмущения т, представлены в табл. 1. Процесс определения значений возмущения $\epsilon $ подробно объяснен в первом абзаце “Обсуждения” в недавней работе [25].
Таблица 1.
$v$ | p | p' | $\phi $ | $\phi '{\kern 1pt} $ | т | ${{v}_{{e0}}}$ | ${{v}_{{i0}}}$ | ${{\gamma }_{e}}$ | ${{\gamma }_{i}}$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
48.0074 | 0.036459 | 0.06416 | 0.573706 | 0.432471 | {0.0808538} | 74 | 40 | 1.022351 | 1.006531 |
47.7641 | 0.073401 | 0.046569 | 0.404333 | 0.507626 | {0.0849041} | 75 | 40 | 1.022959 | 1.006531 |
47.496 | 0.123047 | 0.043861 | 0.312288 | 0.523061 | {0.08977} | 76 | 40 | 1.023576 | 1.006531 |
49.9899 | 0.035722 | 0.060789 | 0.57959 | 0.444303 | {0.0810389} | 76 | 42 | 1.023576 | 1.0072 |
47.1986 | 0.191854 | 0.047212 | 0.250095 | 0.504157 | {0.0957501} | 77 | 40 | 1.0242 | 1.006531 |
49.7467 | 0.071334 | 0.044583 | 0.410149 | 0.518808 | {0.0851081} | 77 | 42 | 1.0242 | 1.0072 |
49.4786 | 0.119219 | 0.042168 | 0.317262 | 0.533455 | {0.0900002} | 78 | 42 | 1.024833 | 1.0072 |
51.9735 | 0.035037 | 0.057713 | 0.585228 | 0.455988 | {0.0812176} | 78 | 44 | 1.024833 | 1.007902 |
49.181 | 0.185636 | 0.045505 | 0.254249 | 0.513524 | {0.0960178} | 79 | 42 | 1.025473 | 1.0072 |
51.7303 | 0.069432 | 0.042749 | 0.415729 | 0.529822 | {0.0853064} | 79 | 44 | 1.025473 | 1.007902 |
51.462 | 0.115708 | 0.0406 | 0.322039 | 0.54366 | {0.0902256} | 80 | 44 | 1.026122 | 1.007902 |
53.9579 | 0.034402 | 0.054895 | 0.59061 | 0.467544 | {0.0813914} | 80 | 46 | 1.026122 | 1.008637 |
51.1643 | 0.179946 | 0.043924 | 0.258238 | 0.522687 | {0.0962818} | 81 | 44 | 1.02678 | 1.007902 |
53.7145 | 0.06768 | 0.041049 | 0.421077 | 0.540676 | {0.0855006} | 81 | 46 | 1.02678 | 1.008637 |
53.4461 | 0.112481 | 0.039144 | 0.326626 | 0.55368 | {0.0904477} | 82 | 46 | 1.027445 | 1.008637 |
55.9429 | 0.033813 | 0.052304 | 0.595729 | 0.478986 | {0.0815616} | 82 | 48 | 1.027445 | 1.009404 |
53.1481 | 0.174727 | 0.042455 | 0.262066 | 0.531648 | {0.0965436} | 83 | 46 | 1.028118 | 1.008637 |
55.6994 | 0.066063 | 0.039471 | 0.426198 | 0.551379 | {0.0856918} | 83 | 48 | 1.028118 | 1.009404 |
55.4308 | 0.10951 | 0.037789 | 0.331027 | 0.56352 | {0.0906678} | 84 | 48 | 1.0288 | 1.009404 |
57.9285 | 0.033269 | 0.049913 | 0.600582 | 0.490325 | {0.0817294} | 84 | 50 | 1.0288 | 1.010204 |
55.1323 | 0.16993 | 0.04109 | 0.265739 | 0.540411 | {0.0968046} | 85 | 48 | 1.02949 | 1.009404 |
57.6848 | 0.064571 | 0.038002 | 0.431094 | 0.561936 | {0.0858812} | 85 | 50 | 1.02949 | 1.010204 |
57.4158 | 0.106771 | 0.036525 | 0.335246 | 0.573183 | {0.0908869} | 86 | 50 | 1.030188 | 1.010204 |
57.1169 | 0.165513 | 0.039817 | 0.269262 | 0.548979 | {0.097066} | 87 | 50 | 1.030894 | 1.010204 |
48.0112 | 0.036344 | 0.064276 | 0.574616 | 0.432083 | {0.0808041} | 74 | 40 | 1.022351 | 1.006531 |
47.7681 | 0.073227 | 0.046595 | 0.404814 | 0.507483 | {0.0848465} | 75 | 40 | 1.022959 | 1.006531 |
47.5002 | 0.122783 | 0.043862 | 0.312623 | 0.523053 | {0.0897019} | 76 | 40 | 1.023576 | 1.006531 |
49.9937 | 0.035611 | 0.060895 | 0.580498 | 0.443915 | {0.0809889} | 76 | 42 | 1.023576 | 1.0072 |
47.2031 | 0.191445 | 0.047196 | 0.250362 | 0.50424 | {0.0956674} | 77 | 40 | 1.0242 | 1.006531 |
49.7507 | 0.071166 | 0.044607 | 0.410634 | 0.518665 | {0.0850502} | 77 | 42 | 1.0242 | 1.0072 |
49.4828 | 0.118964 | 0.042169 | 0.317602 | 0.533449 | {0.0899316} | 78 | 42 | 1.024833 | 1.0072 |
51.9773 | 0.034929 | 0.057811 | 0.586134 | 0.455601 | {0.0811673} | 78 | 44 | 1.024833 | 1.007902 |
49.1856 | 0.185241 | 0.04549 | 0.25452 | 0.513609 | {0.0959344} | 79 | 42 | 1.025473 | 1.0072 |
51.7343 | 0.069269 | 0.042772 | 0.416218 | 0.52968 | {0.0852481} | 79 | 44 | 1.025473 | 1.007902 |
51.4663 | 0.11546 | 0.040601 | 0.322384 | 0.543656 | {0.0901565} | 80 | 44 | 1.026122 | 1.007902 |
53.9617 | 0.034297 | 0.054986 | 0.591514 | 0.467159 | {0.0813408} | 80 | 46 | 1.026122 | 1.008637 |
51.1688 | 0.179563 | 0.043909 | 0.258513 | 0.522775 | {0.0961978} | 81 | 44 | 1.02678 | 1.007902 |
53.7185 | 0.067521 | 0.041071 | 0.421571 | 0.540536 | {0.0854419} | 81 | 46 | 1.02678 | 1.008637 |
53.4504 | 0.112241 | 0.039144 | 0.326975 | 0.553678 | {0.0903782} | 82 | 46 | 1.027445 | 1.008637 |
55.9467 | 0.033711 | 0.052388 | 0.596631 | 0.478601 | {0.0815107} | 82 | 48 | 1.027445 | 1.009404 |
53.1526 | 0.174355 | 0.042441 | 0.262346 | 0.53174 | {0.096459} | 83 | 46 | 1.028118 | 1.008637 |
55.7034 | 0.065909 | 0.039491 | 0.426695 | 0.551239 | {0.0856328} | 83 | 48 | 1.028118 | 1.009404 |
55.435 | 0.109277 | 0.037789 | 0.33138 | 0.56352 | {0.0905978} | 84 | 48 | 1.0288 | 1.009404 |
57.9323 | 0.033169 | 0.049991 | 0.601482 | 0.489942 | {0.0816782} | 84 | 50 | 1.0288 | 1.010204 |
55.1369 | 0.169568 | 0.041075 | 0.266023 | 0.540506 | {0.0967194} | 85 | 48 | 1.02949 | 1.009404 |
57.6888 | 0.064421 | 0.038021 | 0.431595 | 0.561798 | {0.0858218} | 85 | 50 | 1.02949 | 1.010204 |
57.4201 | 0.106544 | 0.036525 | 0.335604 | 0.573185 | {0.0908165} | 86 | 50 | 1.030188 | 1.010204 |
57.1215 | 0.16516 | 0.039803 | 0.269549 | 0.549077 | {0.0969802} | 87 | 50 | 1.030894 | 1.010204 |
Величина возмущений ($\epsilon $), требуемая для генерации КдФ-солитонов, как в релятивистском, так и для нерелятивистском динамическом случае, приводит к увеличению вогнутой формы (демонстрирующему естественную тенденцию притяжения) из-за увеличения ${{Z}_{d}}$ (рис. 1а) при фиксированной подвижности ионов ${{{v}}_{{i0}}} = 5$ (малая), ${{{v}}_{{e0}}} = 150$ (очень большая), $\sigma = 0.07$ и $\alpha = 0.1$. Для релятивистских мКдФ-солитонов, величина возмущения намного меньше, чем для КдФ-солитонов. Очень большая начальная подвижность электронов, ${{{v}}_{{e0}}} = 150$, по-видимому, обеспечивает результирующую релятивистскую скорость основной части плазмы, что требует меньшей величины возмущений для релятивистского случая. При непрерывном увеличении заряда пылевых частиц ${{Z}_{d}}$ в плазме, разбавленная плазма естественно требует постепенно увеличивающейся величины возмущений для получения мКдФ-солитонов с уменьшающимися амплитудами $\phi _{0}^{'}$ (рис. 1б). В соответствии с эффектами от возмущения, увеличение заряда пылевых частиц ${{Z}_{d}}$ приводит к выпуклой кривой уменьшения амплитуды мКдФ-солитонов $\phi _{0}^{'}$ (рис. 1б), как для релятивистских, так и нерелятивистских случаев при одном и том же наборе параметров. Очевидно, что меньшая величина заряда пылевых частиц ${{Z}_{d}}$, предполагающая меньшую степень сопротивления, приводит к увеличению амплитуды мКдФ-солитонов при более низком значении ${{Z}_{d}}$ для обоих случаев.
Снова величина возмущения $\epsilon $, связанная с начальной подвижностью релятивистских электронов $67 < {{{v}}_{{e0}}} < 121$ при фиксированном (малом) ${{Z}_{d}} = 18$, равномерно уменьшается при увеличении ${{{v}}_{{e0}}}$ с небольшой нелинейностью при малых ${{{v}}_{{e0}}}$ (рис. 2а), как для релятивистских, так и для нерелятивистских случаев. Конечно, для нерелятивистской плазмы требуется существенно большая величина возмущений. С физической точки зрения, когда более легкие электроны имеют сильную начальную подвижность при малом ${{Z}_{d}} = 18$ (фиксированном), то оказывается выгодным достижение релятивистской скорости при меньшей величине возмущений, поскольку ${{{v}}_{{e0}}}$ постепенно увеличивается, чтобы генерировать мКдФ-солитоны. Это хорошо видно на рис. 2а. В отличие от убывающего прироста амплитуд мКдФ-солитонов на рис. 1б, соответствующие амплитуды в этом случае достигают высоких значений с ростом ${{v}_{{e0}}}$ (вплоть до 121) при ${{Z}_{d}} = 18$, ${{{v}}_{{i0}}} = 5$, $\sigma = 0.07$, и $\alpha = 0.11$. Это объясняется дополнительными эффектами от сильного релятивистского потока электронов, а также от небольшого фиксированного заряда пыли ${{Z}_{d}} = 18$ (рис. 2б). Однако меньшая величина ${{Z}_{d}}$ оказывается недостаточной для ограничения быстрого роста амплитуды.
Если комплексная плазма возникает при небольшой исходной подвижности массивных ионов $4 < {{{v}}_{{i0}}} < 25$ (рис. 3а), то впоследствии, после того, как механические воздействия создают релятивистскую плазму при небольшом заряде пыли ${{Z}_{d}} = 15$, величина возмущения, необходимая для генерации мКдФ-солитонов, оказывается очень маленькой по сравнению с рис. 2а. В то же время, величина возмущения почти линейно и равномерно уменьшается с увеличением подвижности ионов, ${{{v}}_{{i0}}} \to 20$. Если массивные ионы имеют высокую начальную подвижность (рис. 3а), что приводит к сильному удару, обусловленному, конечно, подвижностью электронов ${{v}_{{e0}}} = 90$, то величина возмущения, необходимая для последующей генерации мКдФ-солитонов, оказывается значительно меньше (${\text{т}} \to 0.028$). И наоборот, в случае высокой начальной подвижности более легких электронов при малых ${{{v}}_{{i0}}} = 5$ и ${{Z}_{d}} = 18$, необходимое возмущение оказывается очень большим, как это показано на рис. 2а.
В конце концов, высокая амплитуда ($\phi _{0}^{'}$) мКдФ-солитонов по-видимому, возникает из-за сильного воздействия начальной подвижности массивных ионов, $4 < {{v}_{{i0}}} < 25$, в равной степени дополненного сильной подвижностью электронов, ${{v}_{{e0}}} = 90$ при малом ${{Z}_{d}} = 15$ (рис. 3б). При учете релятивистских эффектов, амплитуды мКдФ-солитонов уменьшаются с ${{v}_{{i0}}}$, оставаясь всегда выше соответствующих нерелятивистских аналогов (рис. 3б). Более высокая подвижность массивных ионов, по-видимому, в основном определяет рост амплитуд в обоих случаях, который дополняется небольшим возмущением (рис. 3а).
С другой стороны, объединенная (комбинированная) высокая подвижность массивных ионов ($4 < {{v}_{{i0}}} < 25$) и электронов (${{v}_{{e0}}} = 90$) обеспечивает быстрый рост релятивистских и нерелятивистских КдФ-солитонов при слабой нелинейности с малым зарядом пыли ${{Z}_{d}} = 15$. При увеличении подвижности ионов ${{{v}}_{{i0}}}$, энергия частиц передается в волну, демонстрируя дальнейшую тенденцию (из-за потерь) замедления роста амплитуды солитонов (рис. 4). Кроме того, с релятивистскими эффектами, амплитуды КдФ-солитонов всегда остаются больше амплитуд нерелятивистских солитонов, и всегда сохраняют вогнутый характер.
Нелинейный коэффициент p для генерации КдФ-солитонов как для релятивистских, так и для нерелятивистских случаев уменьшается вогнутым образом, и, следовательно, при увеличении возмущения ($\epsilon $) амплитуда увеличивается при параметрах, заданных для рис. 5a. Интересно, что существует критическое значение ${{{\text{т}}}_{{crit}}}$ (0.092), где нелинейный коэффициент p без релятивистских эффектов заменяет p с релятивистскими эффектами, но всегда остается меньше при всех ${\text{т}} < {{{\text{т}}}_{{crit}}}$.
Но для мКдФ-солитонов, которые являются побочными продуктами КдФ-солитонов за счет нелинейности более высокого порядка, нелинейный коэффициент $p{\kern 1pt} '$ как в релятивистском, так и в нерелятивистском случае уменьшается с ростом возмущения т (рис. 5б), что приводит к различному ${{{\text{т}}}_{{crit}}}$. Оказалось, что изменение ${{{\text{т}}}_{{crit}}}$ при росте нелинейного коэффициента $p{\kern 1pt} '$, соответствующего мКдФ-солитонам, происходит вблизи ${{{\text{т}}}_{{crit}}}$ (0.073), что намного меньше, чем ${{{\text{т}}}_{{crit}}}$ на рис. 5б. Это связано с переходом от нелинейности меньшего порядка для КдФ-солитонов, чем для мКдФ-солитонов, так как параметр возмущения т такой же во всем, кроме порядка. Для т более высокого порядка, передающего меньшую величину возмущений, нелинейность, участвующая в генерации мКдФ-солитонов, практически одинакова, как в релятивистской, так и в нерелятивистской плазме (рис. 5б). Точнее говоря, генерация мКдФ-солитонов неразрывно связана с сильной нелинейностью, поэтому два нелинейных эффекта, характеризуемые коэффициентами $p{\kern 1pt} '$ для релятивистского и p для нерелятивистского случая, несколько различаются (рис. 5).
Верхний предел нелинейных коэффициентов p, характеризующий нелинейность релятивистской и нерелятивистской плазменной среды для КдФ-солитонов (рис. 5а), значительно меньше, чем для соответствующего $p{\kern 1pt} '$, представляющего мКдФ-солитоны (рис. 5б). В противном случае они, как правило, имеют ту же величину, что и вблизи $o$~0.1. В отличие от эквивалентных значений $p{\kern 1pt} '$ на начальной стадии возмущения для обоих случаев мКдФ-солитонов (рис. 5б), нелинейный коэффициент p, связанный с КдФ-солитонами, сильно отличается на начальной стадии возмущения (рис. 5а). Поскольку существование КдФ-солитонов является следствием слабой нелинейности, релятивистские эффекты в плазме значительно перекрывают нелинейные коэффициенты p в нерелятивистском случае (рис. 5б).
Амплитуды профилей ($\phi _{0}^{'}$) как релятивистского (внизу), так и нерелятивистского (вверху) мКдФ-солитона, соответствующие двум основным начальным параметрам: $1 < {{v}_{{i0}}} < 8$ и 105 < $ < {{v}_{{e0}}} < 120$ при фиксированном ${{Z}_{d}} = 18$ (рис. 6), хорошо представляются после обработки поверхности, различающей их величины. Нерелятивистские амплитуды профилей лежат выше, чем релятивистские амплитуды.
Ускоренные электроны, выходящие из солнечной короны, проникающие с релятивистской скоростью в магнитосферу Юпитера и смешивающиеся с выбрасываемой пылью, могут быть подходящей средой для плазмы такого состава.
Список литературы
Wadati M. // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 32. P. 1681.
Shukla P.K., Mamun A.A. // Introduction to Dusty Plasma Physics / Bristol, U.K.: Institute of Physics, 2002.
Watanabe S. // J. Phys. Soc. Japan. 1984. V. 53. P. 950.
Baboolal S., Bharuthram R., Hellberg M.A. // J. Plasma Phys. 1989. V. 41. P. 341.
Tagare S.G., Reddy R.V. // Plasma Phys. Control. Fusion. 1987. V. 29. P. 671.
Kalita B.C., Kalita M.K. // Phys. Fluids B. 1990. V. 2. P. 674.
Kalita B.C., Barman S.N. // J. Phys. Soc. Japan. 1995. V. 643. P. 784.
Kalita B.C., Das R. // Phys. Plasmas. 1998. V. 5. P. 3588.
Kalita B.C., Das R. // J. Phys. Soc. Japan. V. 71. 12. P. 2918 2002.
Ludwig G.D., Ferreira J.L., Nakamura Y. // Phys. Rev. Lett. V. 52. P. 275. 1984.
Nakamura Y. // J. Plasma Phys. V. 38. P. 461 1987.
Das G.C., Singh S.S., Singh K.I. // Chaos, Solitons & Fractals. V. 7. P. 309. 1996.
Saini N.S., Kaur B., Gill T.S. // Phys. Plasmas. 2016. V. 23. P. 123705.
Verheest F. // J. Plasma Phys. 2015. V. 81. P. 905810605.
Roychoudhury R., Venkatesan S.K., Das C. // Phys. Plasmas. 1997. V. 4. P. 4232.
Farina D., Lontano M. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 4146.
Nijoh Y. // Phys. Fluids B. 1992. V. 4. P. 2830.
Chatterjee P., Roychoudhury R. // Phys. Plasmas. 1994. V. 1. 2148.
Sahu B., Roychoudhury R. // Phys. Plasmas. 2004. V. 11. P. 1947.
Kalita B.C., Deka M. // Astrophys. Space Sci. 2013. V. 3432. P. 609
Kalita B.C., Das S. // Astrophys. Space Sci. 2014. V. 352. P. 585.
El-Labany S.K., Shaaban S.M. J. Plasma Phys. 1995. V. 53. P. 245.
Esfandyari A.R., Khorram S., Rostami A. // Phys. Plasmas. 2001. V. 8. P. 4753.
Kaur H., Gill T.S., Saini N.S. // Chaos, Solitons & Fractals. 2009. V. 42. P. 1638.
Kalita B.C., Das S., Bhattacharjee D. // Phys. Plasmas. 2017. V. 24. P. 102121.
Lundin R., Zakharov A., Pellinen R., Borg H., Hult-qvist B., Pissarenko N., Dubinin E.M., Barabash S.W., Liede I., Koskinen H. // Nature. V. 341. 6243, 609. 1989.
Popel S.I., Zelenyi L.M., Golub A.P., Dubinskii A.Yu. // Planetary Space Sci. V. 156. P. 71 2018.
Popel S.I., Morozova T.I. // Plasma Phys. Repts. 2017. V. 43. P. 566.
Дополнительные материалы отсутствуют.