Физика плазмы, 2020, T. 46, № 10, стр. 916-927

Систематическое исследование величины возмущений на генерацию модифицированных солитонов Кортевега–де Фриза (мКдФ) в пылевой плазме с релятивистскими эффектами от электронов и ионов

B. C. Kalita ab*, D. Bhattacharjee b**

a Cotton University
Guwahati 781001 Assam, India

b Department of Mathematics, Gauhati University
Guwahati 781014 Assam, India

* E-mail: bckalita123@gmail.com
** E-mail: debabh2@gmail.com

Поступила в редакцию 11.04.2019
После доработки 12.01.2020
Принята к публикации 18.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Впервые в модели пылевой плазмы определены амплитуды релятивистских мКдФ-солитонов по удельной величине возмущения. Показано, что чрезвычайно высокая скорость потока электронов ${{v}_{{e0}}}$ усиливает результирующую релятивистскую скорость основной части плазмы, что для решения в релятивистском случае требует более слабых возмущений. Дальнейшее увеличение заряда пылевой частицы ${{Z}_{d}}$ уменьшает амплитуды мКдФ-солитонов ($\phi _{0}^{'}$) как для релятивистских, так и нерелятивистских солитонов. Кроме того, большая подвижность релятивистских электронов противодействует увеличению амплитуды мКдФ-солитонов при малом заряде пылевой частицы ${{Z}_{d}}$. С другой стороны, массивные ионы с увеличенной подвижностью при наличии малых возмущений, по-видимому, определяют рост амплитуд мКдФ солитонов в обоих случаях.

Ключевые слова: солитоны, пылевая плазма, модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза

1. ВВЕДЕНИЕ

Захватывающая космическая лаборатория – это прекрасная житница нелинейных явлений, порождаемых замагниченной и незамагниченной плазмой, при частичном вкладе радиации, солнечных вспышек и межпланетной пыли. Оказалось, что в таких областях, как ионосфера, магнитосфера и межпланетное пространство, нелинейное поведение плазмы меняется различными способами. Среди нелинейных волн, уединенные волны (солитоны) являются особым типом волн в плазме специального характера. Их природа подробно изучалась в течение последних пяти десятилетий (в статье не описано). Осталось еще много возможностей для их изучения с учетом пылевых частиц, релятивистских эффектов, квантовых эффектов, нетепловых и надтепловых частиц в плазменных системах.

Исследования нелинейных волн в любых средах в целом рассматриваются посредством гипотезы о континууме в грубом предположении, что он дискретен. Эту идею можно правильно обосновать через волны, задаваемые модифицированным уравнением Кортевега–де Фриза (мКдФ), учитывающем отсутствие нелинейности соответствующей волны, генерируемой уравнением Кортевега–де Фриза.

В работе [1] получено модифицированное уравнение КдФ, описывающее различные виды нелинейных волн, так называемые мКдФ-солитоны в плазме. Но со временем оно стало плодородной областью исследований за счет увеличения возможного количества компонент в плазме. Наличие частиц пыли в межпланетном пространстве и различные динамические эффекты в поведении частиц космической плазмы делают задачу еще более привлекательной.

Теоретически ионно-звуковые волны (ИЗВ) изучались с помощью мКдФ-уравнения при наличии отрицательных ионов в плазме [25]. Появление пылевых частиц в плазме подробно обсуждалось в [2] с поведением отрицательных зарядов как отрицательных ионов. МКдФ-солитоны были обнаружены в плазме с отрицательными ионами при выполнении особого условия Q > 1 (Q – это отношение масс отрицательных и положительных ионов), что привлекает многих исследователей к этому составу плазмы [6]. В нескольких статьях [79] с первым автором из работы [6] и в работе [10] использовались мКдФ–КдФ-уравнения в плазме с отрицательными ионами, и по-новому учитывались эффекты дрейфа электронов, за исключением [10]. Многие авторы определили мКдФ-солитоны в плазме с различным составом, что инициировало использование нелинейности более высокого порядка в растянутых координатах для потоковых переменных. Кроме того, существование мКдФ-солитонов было проверено экспериментально [10, 11], и интерес к солитонам с отрицательными ионами возрос. В плазме с равномерной скоростью ионизации, содержащей свободные и захваченные электроны, также изучалось наличие КдФ- и мКдФ-солитонов [12]. Из этих соображений следует, что применение мКдФ-уравнения в плазме представляется оправданным для многокомпонентной плазмы.

В обычной плазменной системе присутствие пылевых частиц, образующих свою компоненту, играет большую роль в формировании пыле-звуковых (ПЗ) и ионных пыле-звуковых (ИПЗ) волн в космической и лабораторной плазме (здесь не описано). Хотя КдФ-уравнение используется часто, мКдФ-уравнение в такой ситуации встречается редко. Отметим, что даже экспериментальные исследования по внедрению частиц пыли в лабораторную плазму помогают прогнозировать космическую плазменную среду.

Прошлые исследования ПЗ и ИПЗ волн в пылевой плазме без релятивистских и квантовых эффектов при применении КдФ-уравнения и интеграла энергии охватывают обширный диапазон и выходят за рамки настоящей статьи. Авторы считают необходимым упомянуть работы [13, 14] как недавние публикации, имеющие отношение к настоящему исследованию. В недавней работе [13] с помощью КдФ–мКдФ уравнений изучались ионы, надтепловые электроны и позитроны (регулируемые каппа-распределениями) ИПЗ волны и двойные слои во вращающейся замагниченной плазме со стационарной пылью. В [14] приведен некоторый теоретический взгляд со строгими ограничениями на состав надтепловой плазмы с двумя больцмановскими распределениями и холодными ионами, выявивший нулевую квадратичную и кубическую нелинейность.

Для очень мощных источников, которые можно найти в космосе, для многих нелинейных явлений, таких, как волны, было необходимо учесть релятивистские и квантовые эффекты. Авторы [15] исследовали ионно-звуковые солитоны с релятивистскими эффектами в незамагниченной плазме различного состава. Также было изучено существование одномерных недрейфующих релятивистских солитонных решений соответствующих уравнений Максвелла в замагниченной плазме [16]. Кроме того, многие авторы [1719] изучали ИЗ солитоны с простыми моделями, использующими слабо релятивистские эффекты в электронах и ионах плазмы. Показано [20], что при полном релятивистском эффекте, солитоны сжатия и разрежения существуют в плазме с переменным давлением, что является захватывающим математическим условием достоверности. Кроме того, в плазме со слабо релятивистскими электронами и ионами найдены сжимаемые ИПЗ-солитоны при некотором критическом заряде пылевых частиц ${{Z}_{{dc}}}$ для критического отношения электронной температуры к ионной, ${{\alpha }_{c}}$ [21].

В [22] с помощью мКдФ-уравнений изучались нелинейные ионно-звуковые волны в слабо релятивистской плазме с теплыми ГД-ионами и изотермическими электронами. В [23] при исследовании мКдФ-солитонов, ионно-звуковых солитонов в плазме с релятивистским электронным пучком, построена таблица для критической плотности релятивистского пучка ${{\sigma }_{c}}$, показывающая уменьшение амплитуд при уменьшении ${{\sigma }_{c}}$. Снова в [24] для слабо релятивистской плазмы, состоящей из нетепловых электронов, были выведены КдФ- и мКдФ-уравнения, описывающие уединенные волновые структуры и двойные слои. Большинство исследований основано на КдФ-уравнении или интеграле энергии, за исключением работ [2224]. Но в данной работе мы намерены изучить релятивистские мКдФ-солитоны в плазме на основе меры (далее будем называть ее величиной) возмущения (т), которая до сих пор не изучена.

Обнуляя нелинейный коэффициент КдФ-уравнения в рамках гипотезы о континууме, мы ищем существование других нелинейных волн в плазме, используя возмущение более высокого порядка в масштабных факторах пространства и времени. Это создает возможность доказательства осуществимости мКдФ-солитонов, но величина (мера) возмущения, необходимая для генерации уединенных волн различного типа, вообще не изучена, за исключением недавней работы [25]. Но эта работа также ограничивается моделью нерелятивистской пылевой плазмы. Математически говоря, модель такого типа соотносит дискретную систему (сводящую на нет нелинейность КдФ-уравнения) с непрерывной системой (такой как мКдФ-уравнение) в гипотезе континуума, поскольку мКдФ-уравнение допускает солитонное решение. Но секреты методов изменения порядка нелинейности и определения степени возмущения имеют первостепенное значение.

Детальное нахождение величины возмущения для генерации определенной амплитуды мКдФ-солитонов, учитывающее релятивизм некоторых компонент плазмы, электронов и ионов, будет новой попыткой в этом направлении.

Различные космические зонды, такие как “Спутник Фобос” [26] и ASPERA (автоматический космический плазменный эксперимент с вращающимся анализатором) показали, что пылевые частицы в плазме, окружающей космические тела, типа Марса или Луны, можно исследовать с помощью спектрометра и тепловизора. Также установлено, что часть ускоренных электронов и ионов, выходящих из нижней части Солнечной короны, попадает в окрестности астрофизических тел, движущихся с релятивистскими скоростями. Кроме того, солнечные вспышки и сильные солнечные ветры время от времени способны вызывать выброс частиц пыли с поверхности массивной планеты, такой как Юпитер, и других планет. Но релятивистские электроны и ионы более склонны сталкиваться с этими пылевыми частицами атмосферы Юпитера, поскольку он более массивен и больше Луны, чтобы препятствовать большему количеству солнечных ветров в его обширной области. Конечно, предполагается, что реалистичная ситуация для этого состава плазмы встречается в природе. Конечно, уместно сообщить, что пылевые частицы не могут подниматься над поверхностью Луны [27], и что вблизи поверхности Луны наблюдается только электростатически выброшенная популяция пыли. Кроме того, исследовано развитие ионно-звуковой и пылевой звуковой турбулентности за счет зарядки поверхности Луны под действием солнечного излучения [28] в пылевой плазменной системе вблизи Луны.

Таким образом, в этой статье представлено исследование мКдФ-солитонов с соответствующими амплитудами на основе определенной величины возмущений, присущих пылевой плазме с релятивистскими электронами и ионами.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Предполагается, что плазма состоит из отрицательно заряженных подвижных пылевых частиц, слабо релятивистских ионов и электронов, которые дополняются уравнением Пуассона следующим образом:

Для пылевой компоненты

(1)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{{n}_{d}} + \frac{\partial }{{\partial x}}{{n}_{d}}{{u}_{d}} = 0,$
(2)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{{u}_{d}} + {{u}_{d}}\frac{\partial }{{\partial x}}{{u}_{d}} = \frac{{\partial \phi }}{{\partial x}}.$

Для компоненты положительных ионов

(3)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{{n}_{i}} + \frac{\partial }{{\partial x}}{{n}_{i}}{{{v}}_{i}} = 0,$
(4)
$\frac{\partial }{{\partial t}}({{\gamma }_{i}}{{{v}}_{i}}) + {{{v}}_{i}}\frac{\partial }{{\partial x}}({{\gamma }_{i}}{{{v}}_{i}}) + \frac{1}{{Q{\kern 1pt} '}}\left( {\frac{\alpha }{{{{n}_{i}}}}\frac{\partial }{{\partial x}}{{n}_{i}} + \frac{\partial }{{\partial x}}\phi } \right) = 0.$

Для электронов

(5)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{{n}_{e}} + \frac{\partial }{{\partial x}}{{n}_{e}}{{{v}}_{e}} = 0,$
(6)
$\frac{\partial }{{\partial t}}({{\gamma }_{e}}{{{v}}_{e}}) + {{{v}}_{e}}\frac{\partial }{{\partial x}}({{\gamma }_{e}}{{{v}}_{e}}) - \frac{1}{Q}\left( {\frac{\partial }{{\partial x}}\phi - \frac{1}{{{{n}_{e}}}}\frac{\partial }{{\partial x}}{{n}_{e}}} \right) = 0.$

Уравнение Пуассона

(7)
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}}\phi - {{n}_{e}} - {{Z}_{d}}{{n}_{d}} + {{n}_{i}} = 0,$
где ${{{v}}_{d}}$, ${{{v}}_{i}}$ и ${{{v}}_{e}}$ – скорости подвижной пыли, ионов и электронов, а ${{n}_{d}}$, ${{n}_{i}}$ и ${{n}_{e}}$ – соответственно плотности пыли, положительных ионов и электронов; ${{Z}_{d}}$ – зарядовое число пылевой частицы, ${{\gamma }_{i}} = $ $ = {{(1 - {v}_{i}^{2}{\text{/}}{{c}^{2}})}^{{ - 1/2}}}$ – релятивистский фактор для ионов, ${{\gamma }_{e}} = {{(1 - {v}_{e}^{2}{\text{/}}{{c}^{2}})}^{{ - 1/2}}}$ – релятивистский фактор для электронов и $\alpha $ – отношение ионной к электронной температуре. Потоковые переменные нормируются методом, принятым в [25]. Плотности нормированы на равновесную плотность ионов ${{n}_{{i0}}}$, скорости – на звуковую скорость пылевой частицы ${{c}_{d}} = {{\left( {{{Z}_{d}}k{{T}_{i}}{\text{/}}{{m}_{d}}} \right)}^{{1/2}}}$, расстояние – на ${{\lambda }_{{Di}}} = {{\left( {{{Z}_{d}}k{{T}_{i}}{\text{/}}(4~\pi {{n}_{{i0}}}{{e}^{2}})} \right)}^{{1/2}}}$, потенциал $\phi $ – на ${{Z}_{d}}k{{T}_{i}}{\text{/}}e$ и время – на ${{\lambda }_{{Di}}}{\text{/}}{{c}_{d}}$. Конечно, релятивистское увеличение массы иона (электрона) md ≈ ≈ mi аппроксимируется так, чтобы $Q{\kern 1pt} ' = {{m}_{i}}{\text{/}}{{m}_{d}} \approx 1$.

3. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ КОРТЕВЕГА–ДЕ ФРИЗА (КДФ) И МОДИФИЦИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ КОРТЕВЕГА–ДЕ ФРИЗА (МКДФ)

Для вывода КдФ-уравнения из системы уравнений (1)–(7), используются растянутые переменные с фазовой скоростью волн V:

(8)
$\xi = {{{\text{т}}}^{{1/2}}}(x - Vt),\quad \tau = {{{\text{т}}}^{{3/2}}}Vt.$

Потоковые переменные асимптотически разлагаются относительно стационарного состояния равновесия по малому параметру т:

$\begin{gathered} {{n}_{d}} = {{n}_{{d0}}} + {\text{т}}{{n}_{{d1}}} + {{{\text{т}}}^{2}}{{n}_{{d2}}} + {{{\text{т}}}^{3}}{{n}_{{d3}}} + \ldots , \\ {{n}_{i}} = {{n}_{{i0}}} + {\text{т}}{{n}_{{i1}}} + {{{\text{т}}}^{2}}{{n}_{{i2}}} + {{{\text{т}}}^{3}}{{n}_{{i3}}} + \ldots , \\ {{n}_{e}} = {{n}_{{e0}}} + {\text{т}}{{n}_{{e1}}} + {{{\text{т}}}^{2}}{{n}_{{e2}}} + {{{\text{т}}}^{3}}{{n}_{{e3}}} + \ldots , \\ \end{gathered} $
(9)
${{u}_{d}} = {{u}_{{d0}}} + {\text{т}}{{u}_{{d1}}} + {{{\text{т}}}^{2}}{{u}_{{d2}}} + {{{\text{т}}}^{3}}{{u}_{{d3}}} + \ldots ,$
$\begin{gathered} {{{v}}_{i}} = {{{v}}_{{i0}}} + {\text{т}}{{{v}}_{{i1}}} + {{{\text{т}}}^{2}}{{{v}}_{{i2}}} + {{{\text{т}}}^{3}}{{{v}}_{{i3}}} + \ldots , \\ {{{v}}_{e}} = {{{v}}_{{e0}}} + {\text{т}}{{{v}}_{{e1}}} + {{{\text{т}}}^{2}}{{{v}}_{{e2}}} + {{{\text{т}}}^{3}}{{{v}}_{{e3}}} + \ldots , \\ \phi = {\text{т}}{{\phi }_{1}} + {{{\text{т}}}^{2}}{{\phi }_{2}} + {{{\text{т}}}^{3}}{{\phi }_{3}} + \ldots \\ \end{gathered} $

Следуя стандартному методу возмущений, с использованием преобразования (8) и разложений (9) в нормированной системе уравнений (1)–(7) с граничными условиями

(10)
$\begin{gathered} {{n}_{{d1}}} = 0,\quad {{n}_{{i1}}} = 0,\quad {{n}_{{e1}}} = 0,\quad {{u}_{{d1}}} = 0, \\ {{{v}}_{{e1}}} = 0,\quad {{{v}}_{{i1}}} = 0~\quad {\text{при}}~\quad \left| \xi \right| \to \infty \\ \end{gathered} $
в коэффициенте наименьшего порядка по т, после интегрирования получаем следующие возмущенные величины первого порядка:

$\begin{gathered} {{n}_{{d1}}} = - \frac{{{{n}_{{d0}}}{{\phi }_{1}}}}{{{{{({{u}_{{d0}}} - V)}}^{2}}}},\quad {{u}_{{d1}}} = \frac{{{{\phi }_{1}}}}{{{{u}_{{d0}}} - V}}, \\ {{n}_{{i1}}} = - \frac{{{{n}_{{i0}}}{{\phi }_{1}}}}{{\alpha - {{V}^{2}}{{\gamma }_{i}} + 2V{{{v}}_{{i0}}}{{\gamma }_{i}} - {v}_{{i0}}^{2}{{\gamma }_{i}}}}, \\ \end{gathered} $
(11)
${{{v}}_{{i1}}} = - \frac{{(V - {{{v}}_{{i0}}}){{\phi }_{1}}}}{{\alpha - {{V}^{2}}{{\gamma }_{i}} + 2V{{{v}}_{{i0}}}{{\gamma }_{i}} - {v}_{{i0}}^{2}{{\gamma }_{i}}}},$
$\begin{gathered} {{n}_{{e1}}} = - \frac{{{{n}_{{e0}}}{{\phi }_{1}}}}{{ - 1 + Q{{V}^{2}}{{\gamma }_{e}} - 2QV{{{v}}_{{e0}}}{{\gamma }_{e}} + Q{v}_{{e0}}^{2}{{\gamma }_{e}}}}, \\ {{{v}}_{{e1}}} = \frac{{(V - {{{v}}_{{e0}}}){{\phi }_{1}}}}{{ - 1 + Q{{V}^{2}}{{\gamma }_{e}} - 2QV{{{v}}_{{e0}}}{{\gamma }_{e}} + Q{v}_{{e0}}^{2}{{\gamma }_{e}}}}. \\ \end{gathered} $

Также, используя разложение (9) в (7), получаем

(12)
$ - \frac{{{{n}_{{e0}}}}}{{{{n}_{{i0}}}}} + 1 - \frac{{{{n}_{{d0}}}}}{{{{n}_{{i0}}}}}{{Z}_{d}} = 0,\quad {\text{или}}\quad \sigma {{Z}_{d}} = 1 - \frac{{{{n}_{{e0}}}}}{{{{n}_{{i0}}}}},$
где ${{n}_{{d0}}}{\text{/}}{{n}_{{i0}}} = \sigma $ и

(13)
$ - {{Z}_{d}}{{n}_{{d1}}} - {{n}_{{e1}}} + {{n}_{{i1}}} = 0.$

Используя величины первого порядка в (13), получим уравнение для фазовой скорости V

(14)
$\begin{gathered} - \frac{{\sigma {{Z}_{d}}}}{{{{{\left( {{{u}_{{d0~}}} - V} \right)}}^{2}}}} - \frac{{1 - \sigma {{Z}_{d}}}}{{ - 1 + Q{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0~}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{e}}}} + \\ \, + \frac{1}{{\alpha - {{{\left( {V - {{{v}}_{{i0~}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{i}}}} = 0. \\ \end{gathered} $

Опять, приравнивая коэффициенты следующего, более высокого порядка по $\epsilon $, получим уравнения

(15)
$\begin{gathered} {{n}_{{d0~}}}\frac{{\partial {{u}_{{d2~}}}}}{{\partial \xi }} + {{u}_{{d0~}}}\frac{{\partial {{n}_{{d2~}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{d1~}}}\frac{{\partial {{u}_{{d1~}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{u}_{{d1~}}}\frac{{\partial {{n}_{{d1~}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{n}_{{d1~}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{n}_{{d2~}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $
(16)
${{u}_{{d0}}}\frac{{\partial {{u}_{{d2~}}}}}{{\partial \xi }} + {{u}_{{d1}}}\frac{{\partial {{u}_{{d1~}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{u}_{{d1~}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{u}_{{d2~}}}}}{{\partial \xi }} - \frac{{\partial {{\phi }_{2}}}}{{\partial \xi }} = 0,$
(17)
$\begin{gathered} {{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{i0}}}\frac{{\partial {{n}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{{v}}_{{i1}}}\frac{{\partial {{n}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + V - V\frac{{\partial {{n}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $
(18)
$\begin{gathered} \alpha \frac{{\partial {{n}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{\phi }_{2}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \xi }} + {{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}{{{v}}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{\gamma }_{i}}{{{v}}_{{i0}}}{{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + {{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}{{{v}}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \tau }} - \\ \, - V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} - V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $
(19)
$\begin{gathered} {{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{e0}}}\frac{{\partial {{n}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{e1}}}\frac{{\partial {{n}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + V\frac{{\partial {{n}_{{e1}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{n}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $
(20)
$\begin{gathered} - {{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{\phi }_{2}}}}{{\partial \xi }} - {{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial {{n}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + Q{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}{{{v}}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + Q{{\gamma }_{e}}{{{v}}_{{e0}}}{{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + Q{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}{{{v}}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \tau }} - \\ \, - QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} - QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $
(21)
$ - {{Z}_{d}}\frac{{\partial {{n}_{{d2}}}}}{{\partial \xi }} - \frac{{\partial {{n}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial {{n}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + \frac{{{{\partial }^{3}}{{\phi }_{1}}}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} = 0.$

Находя величины $\partial {{n}_{{d2}}}{\text{/}}\partial \xi $, $\partial {{n}_{{e2}}}{\text{/}}\partial \xi $, $\partial {{n}_{{i2}}}{\text{/}}\partial \xi $ из уравнений (15)–(20) и используя соотношения (21) и (14), получим КдФ-уравнение

(22)
$\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \tau }} + p{{\phi }_{1}}\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \xi }} + q\frac{{{{\partial }^{3}}{{\phi }_{1}}}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} = 0,$
где

$\begin{gathered} p = \left[ { - \frac{{3{{n}_{{d0}}}{{Z}_{d}}}}{{{{{(V - {{u}_{{d0}}})}}^{4}}}} + \frac{{{{n}_{{e0}}}(1 - 3Q{{{(V - {{{v}}_{{e0}}})}}^{2}}{{\gamma }_{e}})}}{{{{{( - 1 + Q{{{(V - {{{v}}_{{e0}}})}}^{2}}{{\gamma }_{e}})}}^{3}}}} + } \right. \\ \, + \left. {\frac{{{{n}_{{i0}}}(\alpha - 3{{{(V - {{{v}}_{{i0}}})}}^{2}}{{\gamma }_{i}})}}{{{{{(\alpha - {{{(V - {{{v}}_{{i0}}})}}^{2}}{{\gamma }_{i}})}}^{3}}}}} \right]\left[ {2V\left( {\frac{{3{{n}_{{d0}}}{{Z}_{d}}}}{{{{{(V - {{u}_{{d0}}})}}^{3}}}} + } \right.} \right. \\ {{\left. {\left. {\, + \frac{{Q{{n}_{{e0}}}(V - {{{v}}_{{e0}}}){{\gamma }_{e}}}}{{{{{( - 1 + Q{{{(V - {{{v}}_{{e0}}})}}^{2}}{{\gamma }_{e}})}}^{2}}}} + \frac{{{{n}_{{i0}}}(V - {{{v}}_{{i0}}}){{\gamma }_{i}}}}{{{{{(\alpha - {{{(V - {{{v}}_{{i0}}})}}^{2}}{{\gamma }_{i}})}}^{2}}}}} \right)} \right]}^{{ - 1}}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} q = \left[ {\frac{{2V{{n}_{{d0}}}{{Z}_{d}}}}{{{{{\left( {V - {{u}_{{d0}}}} \right)}}^{3}}}} + \frac{{2QV{{n}_{{e0}}}\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right){{\gamma }_{e}}}}{{{{{\left( { - 1 + Q{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{e}}} \right)}}^{2}}}} - } \right. \\ {{\left. {\, - \frac{{2V{{n}_{{i0}}}\left( { - V + {{{v}}_{{i0}}}} \right){{\gamma }_{i}}}}{{{{{\left( {\alpha - {{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{i}}} \right)}}^{2}}}}} \right]}^{{ - 1}}}. \\ \end{gathered} $

Для нелинейности высшего порядка при выводе мКдФ-уравнения из системы уравнений (1)–(7), введем новые растянутые переменные,

(23)
$\xi = {\text{т}}(x - Vt),\quad \tau = {{{\text{т}}}^{3}}Vt,$
где $V$ – фазовая скорость волн.

Полагая коэффициент ${{\phi }_{1}}\partial {{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial \xi $ в КдФ-уравнении равным нулю (т.е. $p = 0$), из уравнения для фазовой скорости получим уравнение для критической плотности (${{\sigma }_{c}}$)

$\begin{gathered} - \frac{{3{{n}_{{d0}}}{{Z}_{d}}}}{{{{{\left( {V - {{u}_{{d0}}}} \right)}}^{4}}}} + \frac{{{{n}_{{e0}}}\left( {1 - 3Q{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{e}}} \right)}}{{{{{\left( { - 1 + Q{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{e}}} \right)}}^{3}}}} + \\ \, + \frac{{{{n}_{{i0}}}\left( {\alpha - 3{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{i}}} \right)}}{{{{{\left( {\alpha - {{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{i}}} \right)}}^{3}}}} = 0, \\ \end{gathered} $
т.е.

(24)
$\begin{gathered} - \frac{{3{{\sigma }_{c}}{{Z}_{d}}}}{{{{{(V - {{u}_{{d0}}})}}^{4}}}} + \frac{{\left( {1 - {{{\sigma }}_{{\text{c}}}}{{Z}_{d}}} \right)\left( {1 - 3Q{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{e}}} \right)}}{{{{{\left( { - 1 + Q{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{e}}} \right)}}^{3}}}} + \\ \, + \frac{{\left( {\alpha - 3{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{i}}} \right)}}{{{{{\left( {\alpha - {{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{i}}} \right)}}^{3}}}} = 0. \\ \end{gathered} $

Используя новые растянутые переменные (23) и разложение (9) в уравнениях (1)(7), после подстановки величин первого порядка в уравнение (12), получим такое же уравнение для фазовой скорости, как уравнение (14) для фазовой скорости V. Уравнения второго порядка с учетом граничных условий ${{n}_{{d2}}} = {{n}_{{i2}}} = {{n}_{{e2}}} = 0$, ${{u}_{{d2}}} = 0$, ${{{v}}_{{e2}}} = {{{v}}_{{i2}}} = 0$ при $~\left| \xi \right| \to \infty $, после интегрирования дают следующие результаты:

$\begin{gathered} {{n}_{{d2}}} = \frac{{{{n}_{{d0~~}}}\left( {\frac{3}{2}\phi _{1}^{2} - {{{\left( {V - {{u}_{{d0~~}}}} \right)}}^{2}}{{\phi }_{2}}} \right)}}{{{{{\left( {V - {{u}_{{d0~}}}} \right)}}^{4}}}},\quad {{n}_{{d2}}} = \frac{{{{n}_{{d0~~}}}\left( {\frac{3}{2}\phi _{1}^{2} - {{{\left( {V - {{u}_{{d0~~}}}} \right)}}^{2}}{{\phi }_{2}}} \right)}}{{{{{\left( {V - {{u}_{{d0~}}}} \right)}}^{4}}}}, \\ {{n}_{{i2}}} = - \frac{{{{n}_{{i0}}}\left( {2{{\phi }_{2}}{{{\left( {\alpha - {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{2}} - {{\phi }_{1}}^{2}\left( {\alpha - 3{{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}} \right)} \right)}}{{2{{{\left( {\alpha - {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{3}}}}, \\ \end{gathered} $
(25)
${{{v}}_{{i2}}} = - \frac{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)\left( {2{{\phi }_{2}}{{{\left( {\alpha - {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{2}} + {{\phi }_{1}}^{2}\left( {\alpha + {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}} \right)} \right)}}{{2{{{\left( {\alpha - {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{3}}}},$
$\begin{gathered} {{n}_{{e2}}} = - \frac{{{{n}_{{e0}}}\left( {2{{\phi }_{2}}{{{\left( {Q{{\gamma }_{e}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}} - 1} \right)}}^{2}} + {{\phi }_{1}}^{2}\left( {1 - 3Q{{\gamma }_{e}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}}} \right)} \right)}}{{2{{{\left( {Q{{\gamma }_{e}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}} - 1} \right)}}^{3}}}}, \\ {{{v}}_{{e2}}} = - \frac{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)\left( {2{{\phi }_{2}}{{{\left( {Q{{\gamma }_{e}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}} - 1} \right)}}^{2}} - {{\phi }_{1}}^{2}\left( {Q{{\gamma }_{e}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}} + 1} \right)} \right)}}{{2{{{\left( {Q{{\gamma }_{e}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}} - 1} \right)}}^{3}}}}, \\ \end{gathered} $
используя ${{n}_{{d2}}}$, ${{n}_{{e2}}}$и ${{n}_{{i2}}}$ в уравнении Пуассона второго порядка, $ - {{Z}_{d}}{{n}_{{d2}}} - {{n}_{{e2}}} + {{n}_{{i2}}} = 0$, получим следующее уравнение
$\begin{gathered} - \frac{{3{{n}_{{d0}}}{{Z}_{d}}{{\phi }_{1}}}}{{{{{\left( {V - {{u}_{{d0}}}} \right)}}^{4}}}} + \frac{{{{n}_{{e0}}}\left( {1 - 3Q{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{e}}} \right){{\phi }_{1}}}}{{{{{\left( { - 1 + Q{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{e}}} \right)}}^{3}}}} + \\ \, + \frac{{{{n}_{{i0}}}\left( {\alpha - 3{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{i}}} \right){{\phi }_{1}}}}{{{{{\left( {\alpha - {{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}{{\gamma }_{i}}} \right)}}^{3}}}} = 0, \\ \end{gathered} $
которое аналогично уравнению (24).

Соответственно, рассматривая уравнения третьего порядка по т, получим

(26)
$\begin{gathered} {{n}_{{d0}}}\frac{{\partial {{u}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} + {{u}_{{d0}}}\frac{{\partial {{n}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{d1}}}\frac{{\partial {{u}_{{d2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{d2}}}\frac{{\partial {{u}_{{d1}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{u}_{{d1}}}\frac{{\partial {{n}_{{d2}}}}}{{\partial \xi }} + {{u}_{{d2}}}\frac{{\partial {{n}_{{d1}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{n}_{{d1}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{n}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $
(27)
${{u}_{{d0}}}\frac{{\partial {{u}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} + {{u}_{{d1}}}\frac{{\partial {{u}_{{d2}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{u}_{{d1}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{u}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} - \frac{{\partial {{\phi }_{3}}}}{{\partial \xi }} = 0,$
(28)
$\begin{gathered} {{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i3}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{i0}}}\frac{{\partial {{n}_{{i3}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{{v}}_{{i1}}}\frac{{\partial {{n}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{i2}}}\frac{{\partial {{n}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{n}_{{i1}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{n}_{{i3}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $
$\alpha \frac{{\partial {{n}_{{i3}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{\phi }_{3}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{\phi }_{2}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{i2}}}\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \xi }} + {{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}{{{v}}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i3}}}}}{{\partial \xi }} + $
(29)
$\begin{gathered} \, + {{\gamma }_{i}}{{{v}}_{{i0}}}{{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + {{\gamma }_{i}}{{{v}}_{{i0}}}{{n}_{{i2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + {{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}{{v}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{\gamma }_{i}}{{n}_{{i1}}}{{{v}}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + {{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}{{{v}}_{{i2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} + V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \tau }} - \\ \end{gathered} $
$\, - V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i3}}}}}{{\partial \xi }} - V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i2}}}}}{{\partial \xi }} - V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{i1}}}}}{{\partial \xi }} = 0,$
(30)
$\begin{gathered} {{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e3}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{e0}}}\frac{{\partial {{n}_{{e3}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + {{n}_{{e2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + {{{v}}_{{e1}}}\frac{{\partial {{n}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + {{{v}}_{{e2}}}\frac{{\partial {{n}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + V\frac{{\partial {{n}_{{e1}}}}}{{\partial \tau }} - V\frac{{\partial {{n}_{{e3}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} - {{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{\phi }_{3}}}}{{\partial \xi }} - {{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{\phi }_{2}}}}{{\partial \xi }} - {{n}_{{e2}}}\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial {{n}_{{e3}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \, + Q{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}{{{v}}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e3}}}}}{{\partial \xi }} + Q{{\gamma }_{e}}{{{v}}_{{e0}}}{{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + \\ \end{gathered} $
(31)
$\, + Q{{\gamma }_{e}}{{{v}}_{{e0}}}{{n}_{{e2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + Q{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}{{{v}}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} + Q{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e1}}}{{{v}}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + $
$\begin{gathered} \, + Q{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}{{{v}}_{{e2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} + QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \tau }} - QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e3}}}}}{{\partial \xi }} - \\ \, - QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e1}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e2}}}}}{{\partial \xi }} - QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e2}}}\frac{{\partial {{{v}}_{{e1}}}}}{{\partial \xi }} = 0, \\ \end{gathered} $
(32)
$ - {{Z}_{d}}\frac{{\partial {{n}_{{d3}}}}}{{\partial \xi }} - \frac{{\partial {{n}_{{e3}}}}}{{\partial \xi }} + \frac{{\partial {{n}_{{i3}}}}}{{\partial \xi }} + \frac{{{{\partial }^{3}}{{\phi }_{1}}}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} = 0.$

Находя величины $\partial {{n}_{{d3}}}{\text{/}}\partial \xi $, $\partial {{n}_{{e3}}}{\text{/}}\partial \xi $ и $\partial {{n}_{{i3}}}{\text{/}}\partial \xi $ из (26)–(31), подставляя их в (32) и используя (24) и (14), получим мКдФ-уравнение

(33)
$\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \tau }} + p{\kern 1pt} '{{\phi }_{1}}^{2}\frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial \xi }} + q{\kern 1pt} '\frac{{{{\partial }^{3}}{{\phi }_{1}}}}{{\partial {{\xi }^{3}}}} = 0,$
где

$\begin{gathered} p{\kern 1pt} ' = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{15{{n}_{{d0}}}{{Z}_{d}}}}{{{{{\left( {V - {{u}_{{d0}}}} \right)}}^{6}}}}\mathop + \limits_{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}^{^{{^{{^{{}}}}}}} } \right. \\ \, + \frac{{{{n}_{{e0}}}\left( {15{{Q}^{2}}\gamma _{e}^{2}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{4}} - 4Q{{\gamma }_{e}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}} + 1} \right)}}{{{{{\left( {Q{{\gamma }_{e}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}} - 1} \right)}}^{5}}}} - \\ \, - \left. {\frac{{{{n}_{{i0}}}\left( {{{\alpha }^{2}} - 4\alpha {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}} + 15\gamma _{i}^{2}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{4}}} \right)}}{{{{{\left( {\alpha - {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{5}}}}} \right] \times \\ \end{gathered} $
(34)
$\, \times \left[ {\frac{{2V{{n}_{{d0}}}{{Z}_{d}}}}{{{{{\left( {V - {{u}_{{d0}}}} \right)}}^{3}}}} + \frac{{2QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0}}}\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}{{{{{\left( {Q{{\gamma }_{e}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0}}}} \right)}}^{2}} - 1} \right)}}^{2}}}} + } \right.$
$\begin{gathered} \, + {{\left. {\frac{{2V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0}}}\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}{{{{{\left( {\alpha - {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0}}}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{2}}}}} \right]}^{{ - 1}}}, \\ q{\kern 1pt} ' = \left[ {\frac{{2V{{n}_{{d0~}}}{{Z}_{d}}}}{{{{{\left( {V - {{u}_{{d0~}}}} \right)}}^{3}}}} + \frac{{2QV{{\gamma }_{e}}{{n}_{{e0~}}}\left( {V - {{{v}}_{{e0~}}}} \right)}}{{{{{\left( {Q{{\gamma }_{e}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{e0~}}}} \right)}}^{2}} - 1} \right)}}^{2}}}} + } \right. \\ \, + {{\left. {\frac{{2V{{\gamma }_{i}}{{n}_{{i0~}}}\left( {V - {{{v}}_{{i0~}}}} \right)}}{{{{{\left( {\alpha - {{\gamma }_{i}}{{{\left( {V - {{{v}}_{{i0~}}}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{2}}}}} \right]}^{{ - 1}}}. \\ \end{gathered} $

4. РЕШЕНИЯ ТИПА СОЛИТОННЫХ ВОЛН ДЛЯ КДФ- И МОДИФИЦИРОВАННЫХ КДФ-УРАВНЕНИЙ

Введя преобразование $\eta = \xi - {{C}_{1}}\tau $, где ${{C}_{1}}$ – скорость солитона в линейном $\eta $-пространстве и используя граничные условия ${{\phi }_{1}} = \partial {{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial \eta = $ $ = {{\partial }^{2}}{{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial {{\eta }^{2}} = 0$ при $\left| \eta \right| \to 0$, получим решение КдФ-уравнения (22) в виде

(35)
${{\phi }_{1}} = {{\phi }_{0}}{{\operatorname{sech} }^{2}}\left( {\frac{\eta }{\Delta }} \right).$

Амплитуда и ширина солитонных волн соответственно определяются выражениями

${{\phi }_{0}} = \frac{{3{{C}_{1}}}}{p}\quad {\text{и}}\quad \Delta = \sqrt {\frac{{4q}}{{{{C}_{1}}}}} .$

Используя то же преобразование, интегрируя мКдФ-уравнение (33) и используя граничные условия ${{\phi }_{1}} = {{\partial }^{2}}{{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial {{\eta }^{2}} = 0$ при $\left| \eta \right| \to \pm \infty $, (для мКдФ-уравнения используется ${{\phi }_{1}}$) получаем решение вида

(37)
$\phi _{1}^{'} = \phi _{0}^{'}\operatorname{sech} \left( {\frac{\eta }{{{{\Delta }_{1}}}}} \right),$
где амплитуда и ширина солитонных волн в мКдФ-уравнении (33) соответственно

(38)
$\phi _{0}^{'} = \sqrt {\frac{{6{{C}_{1}}}}{{p{\kern 1pt} '}}} \quad {\text{и}}\quad {{\Delta }_{1}} = \sqrt {\frac{{q{\kern 1pt} '}}{{{{C}_{1}}}}} .$

5. ОБСУЖДЕНИЕ

Впервые для модели плазмы, содержащей электроны и ионы со слабыми релятивистскими эффектами в присутствии отрицательно заряженных подвижных пылевых частиц, установлена генерация мКдФ-солитонов на основе величины возмущения т, попутно с дискретизированными КдФ-солитонами. Для этого случая, амплитуды КдФ и мКдФ-солитонов, рассчитанные с учетом и без учета релятивистских эффектов при различной величине возмущения т, представлены в табл. 1. Процесс определения значений возмущения $\epsilon $ подробно объяснен в первом абзаце “Обсуждения” в недавней работе [25].

Таблица 1.

Характеристики КдФ- и мКдФ-солитонов, основанные на начальной подвижности электронов, ионов и основного параметра т при $\sigma = 0.09$, $\alpha = 0.1$ и ${{Z}_{d}} = 11$

$v$ p p' $\phi $ $\phi '{\kern 1pt} $ т ${{v}_{{e0}}}$ ${{v}_{{i0}}}$ ${{\gamma }_{e}}$ ${{\gamma }_{i}}$
48.0074 0.036459 0.06416 0.573706 0.432471 {0.0808538} 74 40 1.022351 1.006531
47.7641 0.073401 0.046569 0.404333 0.507626 {0.0849041} 75 40 1.022959 1.006531
47.496 0.123047 0.043861 0.312288 0.523061 {0.08977} 76 40 1.023576 1.006531
49.9899 0.035722 0.060789 0.57959 0.444303 {0.0810389} 76 42 1.023576 1.0072
47.1986 0.191854 0.047212 0.250095 0.504157 {0.0957501} 77 40 1.0242 1.006531
49.7467 0.071334 0.044583 0.410149 0.518808 {0.0851081} 77 42 1.0242 1.0072
49.4786 0.119219 0.042168 0.317262 0.533455 {0.0900002} 78 42 1.024833 1.0072
51.9735 0.035037 0.057713 0.585228 0.455988 {0.0812176} 78 44 1.024833 1.007902
49.181 0.185636 0.045505 0.254249 0.513524 {0.0960178} 79 42 1.025473 1.0072
51.7303 0.069432 0.042749 0.415729 0.529822 {0.0853064} 79 44 1.025473 1.007902
51.462 0.115708 0.0406 0.322039 0.54366 {0.0902256} 80 44 1.026122 1.007902
53.9579 0.034402 0.054895 0.59061 0.467544 {0.0813914} 80 46 1.026122 1.008637
51.1643 0.179946 0.043924 0.258238 0.522687 {0.0962818} 81 44 1.02678 1.007902
53.7145 0.06768 0.041049 0.421077 0.540676 {0.0855006} 81 46 1.02678 1.008637
53.4461 0.112481 0.039144 0.326626 0.55368 {0.0904477} 82 46 1.027445 1.008637
55.9429 0.033813 0.052304 0.595729 0.478986 {0.0815616} 82 48 1.027445 1.009404
53.1481 0.174727 0.042455 0.262066 0.531648 {0.0965436} 83 46 1.028118 1.008637
55.6994 0.066063 0.039471 0.426198 0.551379 {0.0856918} 83 48 1.028118 1.009404
55.4308 0.10951 0.037789 0.331027 0.56352 {0.0906678} 84 48 1.0288 1.009404
57.9285 0.033269 0.049913 0.600582 0.490325 {0.0817294} 84 50 1.0288 1.010204
55.1323 0.16993 0.04109 0.265739 0.540411 {0.0968046} 85 48 1.02949 1.009404
57.6848 0.064571 0.038002 0.431094 0.561936 {0.0858812} 85 50 1.02949 1.010204
57.4158 0.106771 0.036525 0.335246 0.573183 {0.0908869} 86 50 1.030188 1.010204
57.1169 0.165513 0.039817 0.269262 0.548979 {0.097066} 87 50 1.030894 1.010204
48.0112 0.036344 0.064276 0.574616 0.432083 {0.0808041} 74 40 1.022351 1.006531
47.7681 0.073227 0.046595 0.404814 0.507483 {0.0848465} 75 40 1.022959 1.006531
47.5002 0.122783 0.043862 0.312623 0.523053 {0.0897019} 76 40 1.023576 1.006531
49.9937 0.035611 0.060895 0.580498 0.443915 {0.0809889} 76 42 1.023576 1.0072
47.2031 0.191445 0.047196 0.250362 0.50424 {0.0956674} 77 40 1.0242 1.006531
49.7507 0.071166 0.044607 0.410634 0.518665 {0.0850502} 77 42 1.0242 1.0072
49.4828 0.118964 0.042169 0.317602 0.533449 {0.0899316} 78 42 1.024833 1.0072
51.9773 0.034929 0.057811 0.586134 0.455601 {0.0811673} 78 44 1.024833 1.007902
49.1856 0.185241 0.04549 0.25452 0.513609 {0.0959344} 79 42 1.025473 1.0072
51.7343 0.069269 0.042772 0.416218 0.52968 {0.0852481} 79 44 1.025473 1.007902
51.4663 0.11546 0.040601 0.322384 0.543656 {0.0901565} 80 44 1.026122 1.007902
53.9617 0.034297 0.054986 0.591514 0.467159 {0.0813408} 80 46 1.026122 1.008637
51.1688 0.179563 0.043909 0.258513 0.522775 {0.0961978} 81 44 1.02678 1.007902
53.7185 0.067521 0.041071 0.421571 0.540536 {0.0854419} 81 46 1.02678 1.008637
53.4504 0.112241 0.039144 0.326975 0.553678 {0.0903782} 82 46 1.027445 1.008637
55.9467 0.033711 0.052388 0.596631 0.478601 {0.0815107} 82 48 1.027445 1.009404
53.1526 0.174355 0.042441 0.262346 0.53174 {0.096459} 83 46 1.028118 1.008637
55.7034 0.065909 0.039491 0.426695 0.551239 {0.0856328} 83 48 1.028118 1.009404
55.435 0.109277 0.037789 0.33138 0.56352 {0.0905978} 84 48 1.0288 1.009404
57.9323 0.033169 0.049991 0.601482 0.489942 {0.0816782} 84 50 1.0288 1.010204
55.1369 0.169568 0.041075 0.266023 0.540506 {0.0967194} 85 48 1.02949 1.009404
57.6888 0.064421 0.038021 0.431595 0.561798 {0.0858218} 85 50 1.02949 1.010204
57.4201 0.106544 0.036525 0.335604 0.573185 {0.0908165} 86 50 1.030188 1.010204
57.1215 0.16516 0.039803 0.269549 0.549077 {0.0969802} 87 50 1.030894 1.010204

Величина возмущений ($\epsilon $), требуемая для генерации КдФ-солитонов, как в релятивистском, так и для нерелятивистском динамическом случае, приводит к увеличению вогнутой формы (демонстрирующему естественную тенденцию притяжения) из-за увеличения ${{Z}_{d}}$ (рис. 1а) при фиксированной подвижности ионов ${{{v}}_{{i0}}} = 5$ (малая), ${{{v}}_{{e0}}} = 150$ (очень большая), $\sigma = 0.07$ и $\alpha = 0.1$. Для релятивистских мКдФ-солитонов, величина возмущения намного меньше, чем для КдФ-солитонов. Очень большая начальная подвижность электронов, ${{{v}}_{{e0}}} = 150$, по-видимому, обеспечивает результирующую релятивистскую скорость основной части плазмы, что требует меньшей величины возмущений для релятивистского случая. При непрерывном увеличении заряда пылевых частиц ${{Z}_{d}}$ в плазме, разбавленная плазма естественно требует постепенно увеличивающейся величины возмущений для получения мКдФ-солитонов с уменьшающимися амплитудами $\phi _{0}^{'}$ (рис. 1б). В соответствии с эффектами от возмущения, увеличение заряда пылевых частиц ${{Z}_{d}}$ приводит к выпуклой кривой уменьшения амплитуды мКдФ-солитонов $\phi _{0}^{'}$ (рис. 1б), как для релятивистских, так и нерелятивистских случаев при одном и том же наборе параметров. Очевидно, что меньшая величина заряда пылевых частиц ${{Z}_{d}}$, предполагающая меньшую степень сопротивления, приводит к увеличению амплитуды мКдФ-солитонов при более низком значении ${{Z}_{d}}$ для обоих случаев.

Рис. 1.

Зависимость величины возмущения $\epsilon $ (a) и амплитуды профиля $\phi _{0}^{'}$ (б) мКдФ-солитонов от заряда пылевых частиц ${{Z}_{d}}$ для фиксированных ${{v}_{{i0}}} = 5$, ${{v}_{{e0}}} = 150$, $\alpha = 0.1$, и $\sigma = 0.07$.

Снова величина возмущения $\epsilon $, связанная с начальной подвижностью релятивистских электронов $67 < {{{v}}_{{e0}}} < 121$ при фиксированном (малом) ${{Z}_{d}} = 18$, равномерно уменьшается при увеличении ${{{v}}_{{e0}}}$ с небольшой нелинейностью при малых ${{{v}}_{{e0}}}$ (рис. 2а), как для релятивистских, так и для нерелятивистских случаев. Конечно, для нерелятивистской плазмы требуется существенно большая величина возмущений. С физической точки зрения, когда более легкие электроны имеют сильную начальную подвижность при малом ${{Z}_{d}} = 18$ (фиксированном), то оказывается выгодным достижение релятивистской скорости при меньшей величине возмущений, поскольку ${{{v}}_{{e0}}}$ постепенно увеличивается, чтобы генерировать мКдФ-солитоны. Это хорошо видно на рис. 2а. В отличие от убывающего прироста амплитуд мКдФ-солитонов на рис. 1б, соответствующие амплитуды в этом случае достигают высоких значений с ростом ${{v}_{{e0}}}$ (вплоть до 121) при ${{Z}_{d}} = 18$, ${{{v}}_{{i0}}} = 5$, $\sigma = 0.07$, и $\alpha = 0.11$. Это объясняется дополнительными эффектами от сильного релятивистского потока электронов, а также от небольшого фиксированного заряда пыли ${{Z}_{d}} = 18$ (рис. 2б). Однако меньшая величина ${{Z}_{d}}$ оказывается недостаточной для ограничения быстрого роста амплитуды.

Рис. 2.

Зависимость величины возмущения $o$ (a) и амплитуды мКдФ-солитона (б) от подвижности электронов ${{v}_{{e0}}}$ для фиксированных значений ${{v}_{{i0}}} = 5$, $\alpha = 0.11$, $\sigma = 0.07$, и ${{Z}_{d}} = 18$.

Если комплексная плазма возникает при небольшой исходной подвижности массивных ионов $4 < {{{v}}_{{i0}}} < 25$ (рис. 3а), то впоследствии, после того, как механические воздействия создают релятивистскую плазму при небольшом заряде пыли ${{Z}_{d}} = 15$, величина возмущения, необходимая для генерации мКдФ-солитонов, оказывается очень маленькой по сравнению с рис. 2а. В то же время, величина возмущения почти линейно и равномерно уменьшается с увеличением подвижности ионов, ${{{v}}_{{i0}}} \to 20$. Если массивные ионы имеют высокую начальную подвижность (рис. 3а), что приводит к сильному удару, обусловленному, конечно, подвижностью электронов ${{v}_{{e0}}} = 90$, то величина возмущения, необходимая для последующей генерации мКдФ-солитонов, оказывается значительно меньше (${\text{т}} \to 0.028$). И наоборот, в случае высокой начальной подвижности более легких электронов при малых ${{{v}}_{{i0}}} = 5$ и ${{Z}_{d}} = 18$, необходимое возмущение оказывается очень большим, как это показано на рис. 2а.

Рис. 3.

Зависимость величины возмущения (a) и амплитуды профиля (б) мКдФ-солитонов от подвижности ионов при ${{v}_{{e0}}} = 90$, $\sigma = 0.07$, $\alpha = 0.11$ и ${{Z}_{d}} = 15$.

В конце концов, высокая амплитуда ($\phi _{0}^{'}$) мКдФ-солитонов по-видимому, возникает из-за сильного воздействия начальной подвижности массивных ионов, $4 < {{v}_{{i0}}} < 25$, в равной степени дополненного сильной подвижностью электронов, ${{v}_{{e0}}} = 90$ при малом ${{Z}_{d}} = 15$ (рис. 3б). При учете релятивистских эффектов, амплитуды мКдФ-солитонов уменьшаются с ${{v}_{{i0}}}$, оставаясь всегда выше соответствующих нерелятивистских аналогов (рис. 3б). Более высокая подвижность массивных ионов, по-видимому, в основном определяет рост амплитуд в обоих случаях, который дополняется небольшим возмущением (рис. 3а).

С другой стороны, объединенная (комбинированная) высокая подвижность массивных ионов ($4 < {{v}_{{i0}}} < 25$) и электронов (${{v}_{{e0}}} = 90$) обеспечивает быстрый рост релятивистских и нерелятивистских КдФ-солитонов при слабой нелинейности с малым зарядом пыли ${{Z}_{d}} = 15$. При увеличении подвижности ионов ${{{v}}_{{i0}}}$, энергия частиц передается в волну, демонстрируя дальнейшую тенденцию (из-за потерь) замедления роста амплитуды солитонов (рис. 4). Кроме того, с релятивистскими эффектами, амплитуды КдФ-солитонов всегда остаются больше амплитуд нерелятивистских солитонов, и всегда сохраняют вогнутый характер.

Рис. 4.

Зависимость амплитуды профиля КдФ-солитонов от подвижности ионов при ${{v}_{{e0}}} = 90$, $\sigma = 0.07$, $\alpha = 0.11$ и ${{Z}_{d}} = 15$.

Нелинейный коэффициент p для генерации КдФ-солитонов как для релятивистских, так и для нерелятивистских случаев уменьшается вогнутым образом, и, следовательно, при увеличении возмущения ($\epsilon $) амплитуда увеличивается при параметрах, заданных для рис. 5a. Интересно, что существует критическое значение ${{{\text{т}}}_{{crit}}}$ (0.092), где нелинейный коэффициент p без релятивистских эффектов заменяет p с релятивистскими эффектами, но всегда остается меньше при всех ${\text{т}} < {{{\text{т}}}_{{crit}}}$.

Рис. 5.

Зависимость нелинейного коэффициента p для релятивистских и нерелятивистских КдФ-солитонов (a) и $p{\kern 1pt} '$ для релятивистских и нерелятивистских мКдФ-солитонов (б) от величины возмущения т.

Но для мКдФ-солитонов, которые являются побочными продуктами КдФ-солитонов за счет нелинейности более высокого порядка, нелинейный коэффициент $p{\kern 1pt} '$ как в релятивистском, так и в нерелятивистском случае уменьшается с ростом возмущения т (рис. 5б), что приводит к различному ${{{\text{т}}}_{{crit}}}$. Оказалось, что изменение ${{{\text{т}}}_{{crit}}}$ при росте нелинейного коэффициента $p{\kern 1pt} '$, соответствующего мКдФ-солитонам, происходит вблизи ${{{\text{т}}}_{{crit}}}$ (0.073), что намного меньше, чем ${{{\text{т}}}_{{crit}}}$ на рис. 5б. Это связано с переходом от нелинейности меньшего порядка для КдФ-солитонов, чем для мКдФ-солитонов, так как параметр возмущения т такой же во всем, кроме порядка. Для т более высокого порядка, передающего меньшую величину возмущений, нелинейность, участвующая в генерации мКдФ-солитонов, практически одинакова, как в релятивистской, так и в нерелятивистской плазме (рис. 5б). Точнее говоря, генерация мКдФ-солитонов неразрывно связана с сильной нелинейностью, поэтому два нелинейных эффекта, характеризуемые коэффициентами $p{\kern 1pt} '$ для релятивистского и p для нерелятивистского случая, несколько различаются (рис. 5).

Верхний предел нелинейных коэффициентов p, характеризующий нелинейность релятивистской и нерелятивистской плазменной среды для КдФ-солитонов (рис. 5а), значительно меньше, чем для соответствующего $p{\kern 1pt} '$, представляющего мКдФ-солитоны (рис. 5б). В противном случае они, как правило, имеют ту же величину, что и вблизи $o$~0.1. В отличие от эквивалентных значений $p{\kern 1pt} '$ на начальной стадии возмущения для обоих случаев мКдФ-солитонов (рис. 5б), нелинейный коэффициент p, связанный с КдФ-солитонами, сильно отличается на начальной стадии возмущения (рис. 5а). Поскольку существование КдФ-солитонов является следствием слабой нелинейности, релятивистские эффекты в плазме значительно перекрывают нелинейные коэффициенты p в нерелятивистском случае (рис. 5б).

Амплитуды профилей ($\phi _{0}^{'}$) как релятивистского (внизу), так и нерелятивистского (вверху) мКдФ-солитона, соответствующие двум основным начальным параметрам: $1 < {{v}_{{i0}}} < 8$ и 105 < $ < {{v}_{{e0}}} < 120$ при фиксированном ${{Z}_{d}} = 18$ (рис. 6), хорошо представляются после обработки поверхности, различающей их величины. Нерелятивистские амплитуды профилей лежат выше, чем релятивистские амплитуды.

Рис. 6.

Амплитуды релятивистских и нерелятивистских мКдФ-солитонов в зависимости от начальной подвижности электронов (${{v}_{{e0}}}$) и ионов (${{v}_{{i0}}}$).

Ускоренные электроны, выходящие из солнечной короны, проникающие с релятивистской скоростью в магнитосферу Юпитера и смешивающиеся с выбрасываемой пылью, могут быть подходящей средой для плазмы такого состава.

Список литературы

  1. Wadati M. // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 32. P. 1681.

  2. Shukla P.K., Mamun A.A. // Introduction to Dusty Plasma Physics / Bristol, U.K.: Institute of Physics, 2002.

  3. Watanabe S. // J. Phys. Soc. Japan. 1984. V. 53. P. 950.

  4. Baboolal S., Bharuthram R., Hellberg M.A. // J. Plasma Phys. 1989. V. 41. P. 341.

  5. Tagare S.G., Reddy R.V. // Plasma Phys. Control. Fusion. 1987. V. 29. P. 671.

  6. Kalita B.C., Kalita M.K. // Phys. Fluids B. 1990. V. 2. P. 674.

  7. Kalita B.C., Barman S.N. // J. Phys. Soc. Japan. 1995. V. 643. P. 784.

  8. Kalita B.C., Das R. // Phys. Plasmas. 1998. V. 5. P. 3588.

  9. Kalita B.C., Das R. // J. Phys. Soc. Japan. V. 71. 12. P. 2918 2002.

  10. Ludwig G.D., Ferreira J.L., Nakamura Y. // Phys. Rev. Lett. V. 52. P. 275. 1984.

  11. Nakamura Y. // J. Plasma Phys. V. 38. P. 461 1987.

  12. Das G.C., Singh S.S., Singh K.I. // Chaos, Solitons & Fractals. V. 7. P. 309. 1996.

  13. Saini N.S., Kaur B., Gill T.S. // Phys. Plasmas. 2016. V. 23. P. 123705.

  14. Verheest F. // J. Plasma Phys. 2015. V. 81. P. 905810605.

  15. Roychoudhury R., Venkatesan S.K., Das C. // Phys. Plasmas. 1997. V. 4. P. 4232.

  16. Farina D., Lontano M. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 4146.

  17. Nijoh Y. // Phys. Fluids B. 1992. V. 4. P. 2830.

  18. Chatterjee P., Roychoudhury R. // Phys. Plasmas. 1994. V. 1. 2148.

  19. Sahu B., Roychoudhury R. // Phys. Plasmas. 2004. V. 11. P. 1947.

  20. Kalita B.C., Deka M. // Astrophys. Space Sci. 2013. V. 3432. P. 609

  21. Kalita B.C., Das S. // Astrophys. Space Sci. 2014. V. 352. P. 585.

  22. El-Labany S.K., Shaaban S.M. J. Plasma Phys. 1995. V. 53. P. 245.

  23. Esfandyari A.R., Khorram S., Rostami A. // Phys. Plasmas. 2001. V. 8. P. 4753.

  24. Kaur H., Gill T.S., Saini N.S. // Chaos, Solitons & Fractals. 2009. V. 42. P. 1638.

  25. Kalita B.C., Das S., Bhattacharjee D. // Phys. Plasmas. 2017. V. 24. P. 102121.

  26. Lundin R., Zakharov A., Pellinen R., Borg H., Hult-qvist B., Pissarenko N., Dubinin E.M., Barabash S.W., Liede I., Koskinen H. // Nature. V. 341. 6243, 609. 1989.

  27. Popel S.I., Zelenyi L.M., Golub A.P., Dubinskii A.Yu. // Planetary Space Sci. V. 156. P. 71 2018.

  28. Popel S.I., Morozova T.I. // Plasma Phys. Repts. 2017. V. 43. P. 566.

Дополнительные материалы отсутствуют.