1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Физика плазмы
  4. T. 46, № 4, 2020

Физика плазмы, 2020, T. 46, № 4, стр. 380-384

Эффективность нелинейного взаимодействия обыкновенной волны с продольными колебаниями в сильно неоднородной магнитоактивной плазме

А. Ю. Попов a, *, П. В. Третинников a, Е. З. Гусаков a, Л. В. Симончик b

a Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН
Санкт-Петербург, Россия

b Институт физики НАН Беларуси
Минск, Республика Беларусь

* E-mail: a.popov@mail.ioffe.ru

Поступила в редакцию 09.10.2019
После доработки 21.11.2019
Принята к публикации 21.11.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Получено выражение для высокочастотной квадратичной восприимчивости сильно неоднородной магнитоактивной плазмы, которое описывает нелинейную связь волны обыкновенной поляризации с продольными колебаниями.

Ключевые слова: нелинейная связь волн, высокочастотная восприимчивость сильно неоднородной плазмы, квадратичная восприимчивость

1. ВВЕДЕНИЕ

В последние годы возобновился интерес к исследованию нелинейных явлений, которые могут сопровождать взаимодействие электромагнитного излучения большой мощности с плазмой в термоядерных установках с магнитным удержанием. Эти явления активно изучались теоретически и в модельных экспериментах в 60-е, 70-е гг. прошлого века (см., например, [1–7]). Было обнаружено, что наиболее опасными среди них с точки зрения предсказуемости распространения волновых пучков и их поглощения является параметрическое возбуждение в плазме собственных колебаний, которое может сопровождаться аномальным нагревом, частичным отражением греющего излучения и генерацией групп ускоренных частиц. В результате исследований был достигнут значительный прогресс в понимании природы этих явлений, сценариев их развития в неоднородной плазме и порогов возбуждения [8–11]. Базируясь на модели, развитой в [8–11], в конце 80‑х–начале 90-х гг. были, в частности, проанализированы сценарии распада мощных пучков СВЧ-волн в условиях экспериментов по электронному циклотронному (ЭЦ) нагреву [12–14]. Пороги возбуждения этих нелинейных явлений, которые как было показано в [8–11], определялись эффектами конвективного выноса дочерних волн из узких в неоднородной плазме областей трехволнового взаимодействия, оказались столь высоки, что казалось бы не оставляли возможности наблюдения параметрических распадных неустойчивостей где бы то ни было, за исключением экспериментов по дополнительному нагреву в тороидальных ловушках с использованием сильно замедленных электронных бернштейновских волн (cм., например, [15–22]). Однако в последние годы были получены экспериментальные данные, которые показали возможность низкопорогового возбуждения каскада последовательных распадов мощных пучков СВЧ-волн как в тороидальных магнитных ловушках [23–27], так и в модельных экспериментах на линейной установке [28]. Для интерпретации этих данных предложены теоретические модели, основанные на возможности подавления конвективных потерь энергии дочерних волн при их запирании в плазме [29–33], предсказания которых позволили добиться, в том числе, и количественного согласия с экспериментальными зависимостями [34, 35]. Все это привлекло к теме, которая казалась ранее глубоко проработанной, пристальное внимание, поскольку в настоящее время мощный ЭЦ-дополнительный нагрев активно используется в современных установках для удержания высокотемпературной плазмы. Кроме того, в следующем десятилетии планируется использование мощных пучков СВЧ-волн обыкновенной поляризации (до 20 МВт) для ЭЦ-нагрева плазмы и контроля неоклассических магнитных островов в международном экспериментальном термоядерном реакторе ITER. ЭЦ-нагрев плазмы при еще большем уровне СВЧ-мощности обсуждается применительно к демонстрационному термоядерному реактору DEMO. Следует отметить, что в периферийной плазме современных токамаков в большом количестве присутствуют филаменты или блобы [36], с которыми связана значительная доля переноса энергии и частиц в этой области и в которых могут запираться дочерние волны, возбуждаемые при параметрическом распаде СВЧ‑накачки. Можно предположить, что эти образования будут присутствовать и в будущих установках реакторного масштаба, так что взаимодействие мощного СВЧ-излучения с этими объектами представляет непосредственный практический интерес. Однако аномальные явления при распространении ЭЦ-волн обыкновенной поляризации до сих пор не были подробно изучены. Следует отметить, что в теоретической работе [37], применительно к экспериментам на токамаке FTU и стеллараторе W-7AS, была показана принципиальная возможность низкопорогового возбуждения продольных волн в условиях немонотонного профиля плотности плазмы в результате параметрической распадной неустойчивости обыкновенной волны. Но вопрос о возможности возбуждения таких нелинейных процессов на периферии плазмы в присутствии плазменных филаментов (блобов), пересекающих волновой пучок, остается открытым.

Поскольку размеры плазменного филамента (блоба) обычно сравнимы с локальной длиной волны греющего излучения, пространственная неоднородность плазмы, как было показано ранее в работах [38, 39] применительно к распаду необыкновенной волны, может оказывать существенное влияние на величину нелинейной связи дочерних коротковолновых колебаний с волной накачки. Этот эффект плазменной неоднородности может быть особенно существенным при параметрическом возбуждении волн с близкими частотами (в однородной плазме в этом случае нелинейное взаимодействие оказывается полностью подавленным [1]). Ранее эта задача в литературе не обсуждалась, что делает актуальным последовательный вывод выражения для нелинейной восприимчивости и подробный анализ эффективности нелинейного взаимодействия обыкновенной волны с продольными колебаниями в сильно неоднородной магнитоактивной плазме.

2. ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ СИЛЬНО НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Рассмотрим параметрический распад волны накачки обыкновенной поляризации, которая распространяется поперек внешнего магнитного поля H, направленного по оси z, вдоль направления неоднородности плазмы x. Электрическое и магнитное поле этой волны могут быть представлены в виде

(1)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{E}}}_{0}} = {{{\mathbf{e}}}_{z}}{{E}_{0}}\left( x \right)\exp \left( {i\int\limits_{}^x {{{k}_{0}}} \left( {x{\text{'}}} \right)dx{\text{'}} - i{{\omega }_{0}}t} \right) + c.c., \\ {{{\mathbf{H}}}_{0}} = - {{{\mathbf{e}}}_{y}}\frac{{c{{k}_{0}}}}{{{{\omega }_{0}}}}{{E}_{0}}\left( x \right) \times \\ \, \times \exp \left( {i\int\limits_{}^x {{{k}_{0}}} \left( {x{\text{'}}} \right)dx{\text{'}} - i{{\omega }_{0}}t} \right) + c.c., \\ \end{gathered} $
где ${{{\mathbf{e}}}_{{y,z}}}$ – единичные векторы вдоль соответствующего направления, ${{E}_{0}}\left( x \right)$ – амплитуда волны, ${{k}_{0}}$ – локальное значение волнового числа, c.c. – член, полученный из первого в результате комплексного сопряжения. Электрические поля дочерних электростатических колебаний могут быть выражены через их потенциалы ${{\varphi }_{{1,2}}}$:
(2)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{E}}}_{1}} = - i{{{\mathbf{q}}}_{1}}{{\varphi }_{1}}\left( x \right) \times \\ \, \times \exp \left( {i\int\limits_{}^x {{{q}_{{1x}}}} \left( {x{\text{'}}} \right)dx{\text{'}} + i{{q}_{y}}y + i{{q}_{z}}z + i{{\omega }_{1}}t} \right) + c.c., \\ {{{\mathbf{E}}}_{2}} = - i{{{\mathbf{q}}}_{2}}{{\varphi }_{2}}\left( x \right) \times \\ \, \times \exp \left( {i\int\limits_{}^x {{{q}_{{2x}}}} \left( {x{\text{'}}} \right)dx{\text{'}} + i{{q}_{y}}y + i{{q}_{z}}z - i{{\omega }_{2}}t} \right) + c.c., \\ \end{gathered} $
где ${{{\mathbf{q}}}_{{1,2}}} = \left( {{{q}_{{1,2x}}},{{q}_{y}},{{q}_{z}}} \right)$ и ${{q}_{{2x}}} = {{q}_{{1x}}} + {{k}_{0}}$. При записи ВКБ выражений (1) и (2), описывающих поля взаимодействующих волн, мы предполагали, что компоненты их волновых векторов вдоль направления неоднородности удовлетворяют неравенствам ${{k}_{0}}{{L}_{n}} > 1$, ${{q}_{{1,2x}}}{{L}_{n}} \gg 1$, где ${{L}_{n}} = {{\left| {d\ln \bar {n}{\text{/}}dx} \right|}^{{ - 1}}}$ – характерный масштаб неоднородности плотности $\bar {n}$ плазмы. Для того чтобы описать нелинейную связь продольных колебаний (2) в присутствии накачки (1), найдем выражение для нелинейной (квадратичной) восприимчивости, которая определяет нелинейную связь двух дочерних волн в присутствии волны накачки (1)
$\begin{gathered} \left( {{\mathbf{q}}_{2}^{2} + \chi _{e}^{l}} \right){{\varphi }_{2}} + \chi _{e}^{{nl}}\left( {{{E}_{0}}} \right){{\varphi }_{1}} = 0, \\ \left( {{\mathbf{q}}_{1}^{2} + \chi _{e}^{{l*}}} \right){{\varphi }_{1}} + \chi _{e}^{{nl}}\left( {{{E}_{0}}} \right){\text{*}}{{\varphi }_{2}} = 0, \\ \end{gathered} $
где $\chi _{e}^{l}$ и $\chi _{e}^{{nl}}$ – линейная и билинейная электронные восприимчивости. Под термином “билинейная восприимчивость” мы понимаем свертку $\chi _{e}^{{nl}}({{E}_{0}}) = ({{\varepsilon }_{{ijk}}} + {{\varepsilon }_{{ikj}}}){{q}_{{2i}}}{{q}_{{1j}}}{{E}_{0}}{{\delta }_{{kz}}}$, где ${{\delta }_{{kz}}}$ – символ Кронекера и ${{\varepsilon }_{{ijk}}}$ – элементы многокомпонентного тензора диэлектрической проницаемости плазмы [40]. Величина $\chi _{e}^{{nl}}$ определяется через нелинейную плотность заряда $\rho _{2}^{{(2)}}$, появляющуюся на частоте соответствующей дочерней волны в результате биений второй волны и накачки, т.е.

(3)
$\chi _{e}^{{nl}}\left( {{{E}_{0}}} \right){{\varphi }_{1}} = - 4\pi \rho _{2}^{{(2)}}.$

Чтобы определить $\chi _{e}^{{nl}}$, рассмотрим уравнения гидродинамики

(4)
$\frac{{\partial {{n}_{e}}}}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( {{{n}_{e}}{\mathbf{u}}} \right) = 0,$
(5)
$\frac{{\partial {\mathbf{u}}}}{{\partial t}} + \left( {{\mathbf{u}} \cdot \nabla } \right){\mathbf{u}} = - {{\omega }_{c}}{\mathbf{u}} \times {{{\mathbf{e}}}_{z}} - \frac{{{\text{|}}e{\text{|}}}}{{{{m}_{e}}}}{{{\mathbf{E}}}_{0}} - \frac{{{\text{|}}e{\text{|}}}}{{{{m}_{e}}с}}{\mathbf{u}} \times {{{\mathbf{H}}}_{0}},$
где (4) – уравнение непрерывности, (5) – уравнение баланса сил, ${{\omega }_{c}} = - {\text{|}}{{\omega }_{{ce}}}{\text{|}}$, ${{\omega }_{{ce}}}$ – электронная циклотронная частота. Сначала рассмотрим линейный отклик плазмы на присутствие волны накачки (1). Осцилляторная скорость электронов в электрическом поле этой электромагнитной волны имеет только продольную компоненту и равна

(6)
$u_{{0z}}^{{(1)}} = - i\frac{{{\text{|}}e{\text{|}}{{E}_{0}}}}{{{{m}_{e}}{{\omega }_{0}}}}.$

В выражении (6) верхний индекс “(1)” маркирует компоненту скорости, полученную в приближении линейном по амплитудам взаимодействующих волн. Поскольку компонента “x” у электрического поля этой волны отсутствует, то она не создает возмущения квазиравновесного неоднородного распределения плотности $\bar {n} = \bar {n}\left( x \right)$, т.е. $n_{0}^{{(1)}} = 0$.

В линейном приближении компоненты скорости на частоте первой дочерней волны (см. первое выражение в (2)) являются решением системы алгебраических уравнений

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\omega }_{1}}}&{ - i{{\omega }_{c}}}&0 \\ {i{{\omega }_{c}}}&{{{\omega }_{1}}}&0 \\ 0&0&{{{\omega }_{1}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {u_{{1x}}^{{(1)}}} \\ {u_{{1y}}^{{(1)}}} \\ {u_{{1z}}^{{(1)}}} \end{array}} \right) = \frac{{{\text{|}}e{\text{|}}}}{{{{m}_{e}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{{1x}}}} \\ {{{q}_{y}}} \\ {{{q}_{z}}} \end{array}} \right){{\varphi }_{1}}$
и могут быть представлены в виде
(7)
$\begin{gathered} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {u_{{1x}}^{{(1)}}} \\ {u_{{1y}}^{{(1)}}} \\ {u_{{1z}}^{{(1)}}} \end{array}} \right) = \frac{{{\text{|}}e{\text{|}}}}{{{{m}_{e}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1{\text{/}}{{\Delta }_{1}}}&0&0 \\ 0&{1{\text{/}}{{\Delta }_{1}}}&0 \\ 0&0&{1{\text{/}}\omega _{1}^{2}} \end{array}} \right) \times \\ \, \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\omega }_{1}}}&{i{{\omega }_{c}}}&0 \\ { - i{{\omega }_{c}}}&{{{\omega }_{1}}}&0 \\ 0&0&{{{\omega }_{1}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{{1x}}}} \\ {{{q}_{y}}} \\ {{{q}_{z}}} \end{array}} \right){{\varphi }_{1}}, \\ \end{gathered} $
где ${{\Delta }_{i}} = \omega _{i}^{2} - \omega _{c}^{2}$, i = 1, 2. Подстановка этих компонент скорости в уравнение непрерывности (4) позволяет найти линейную поправку $n_{1}^{{(1)}} \propto \exp \left( {i{{\omega }_{1}}t} \right)$ к квазиравновесному неоднородному распределению плотности $\bar {n} = \bar {n}\left( x \right)$ на частоте первой продольной волны
(8)
$n_{1}^{{(1)}} = i\bar {n}\frac{{u_{{1x}}^{{(1)}}}}{{{{L}_{n}}{{\omega }_{1}}}} - \bar {n}\frac{{{\mathbf{q}} \cdot {\mathbf{u}}_{1}^{{(1)}}}}{{{{\omega }_{1}}}},$
где ${{L}_{n}} = {{\left| {d\ln \bar {n}{\text{/}}dx} \right|}^{{ - 1}}}$.

Билинейные компоненты скорости, являющиеся решением системы уравнений (5) для колебаний на частоте второй дочерней волны ${{\omega }_{2}}$, имеют вид

(9)
$\begin{gathered} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {u_{{2x}}^{{(2)}}} \\ {u_{{1y}}^{{(2)}}} \\ {u_{{2z}}^{{(2)}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1{\text{/}}{{\Delta }_{1}}}&0&0 \\ 0&{1{\text{/}}{{\Delta }_{1}}}&0 \\ 0&0&{1{\text{/}}\omega _{1}^{2}} \end{array}} \right) \times \\ \, \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\omega }_{2}}}&{ - i{{\omega }_{c}}}&0 \\ {i{{\omega }_{c}}}&{{{\omega }_{2}}}&0 \\ 0&0&{{{\omega }_{2}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{z}}u_{{0z}}^{{(1)}}u_{{1x}}^{{(1)}} - i\frac{{{\text{|}}e{\text{|}}}}{{{{m}_{e}}}}\frac{{{{k}_{0}}u_{{1z}}^{{(1)}}}}{{{{\omega }_{0}}}}{{E}_{0}}} \\ {{{q}_{z}}u_{{0z}}^{{(1)}}u_{{1y}}^{{(1)}}} \\ {{{q}_{z}}u_{{0z}}^{{(1)}}u_{{1z}}^{{(1)}}} \end{array}} \right). \\ \end{gathered} $

Индекс “(2)” относится к компонентам скорости частицы, появляющимся в результате биений двух колебаний. Соответственно, нелинейная плотность заряда $\rho _{2}^{{(2)}}$ на частоте второй дочерней волны в соответствии с (4) равна

(10)
$\rho _{2}^{{(2)}} = - {\text{|}}e{\text{|}}\left( {\frac{{{{{\mathbf{q}}}_{2}}}}{{{{\omega }_{2}}}}\left( {\bar {n}{\mathbf{u}}_{2}^{{(2)}} + n_{1}^{{(1)}}u_{{0z}}^{{(0)}}{{{\mathbf{e}}}_{z}}} \right) - \frac{1}{{{{\omega }_{2}}}}\frac{i}{{{{L}_{n}}}}\bar {n}u_{{2x}}^{{(2)}}} \right).$

Подставим в выражение (10) выражения (6), (8) и (9). Приведем подобные слагаемые в получившемся выражении. Опуская громоздкие, но несложные выкладки и используя (3), окончательно получим нелинейную восприимчивость неоднородной замагниченной плазмы

(11)
$\begin{gathered} \chi _{e}^{{nl}} = - i\frac{{\omega _{{pe}}^{2}{{\omega }_{c}}c{{q}_{z}}}}{{{{\omega }_{0}}\left( {\omega _{1}^{2} - \omega _{c}^{2}} \right)\left( {\omega _{2}^{2} - \omega _{c}^{2}} \right)}}\frac{{{{E}_{0}}}}{H} \times \\ \, \times \left( \begin{gathered} q_{z}^{2}\frac{{\left( {\omega _{1}^{2} - \omega _{c}^{2}} \right)\left( {\omega _{2}^{2} - \omega _{c}^{2}} \right)}}{{\omega _{1}^{2}\omega _{2}^{2}}}\Delta \omega - q_{{1x}}^{2}\frac{{\omega _{2}^{2} - \omega _{c}^{2}}}{{{{\omega }_{2}}}} + \hfill \\ \, + {{k}_{0}}\frac{{\omega _{1}^{2} - \omega _{c}^{2}}}{{{{\omega }_{1}}}}\left( {{{q}_{{2x}}} - i\left( {\frac{1}{{{{L}_{n}}}} - {{q}_{y}}\frac{{{{\omega }_{c}}}}{{{{\omega }_{2}}}}} \right)} \right) + \hfill \\ + \;{{q}_{{1x}}}\left( { - i\Delta \omega \left( {\frac{1}{{{{L}_{n}}}} - {{q}_{y}}\frac{{{{\omega }_{c}}}}{{{{\omega }_{2}}}}} \right) + {{q}_{{2x}}}{{\omega }_{1}}\left( {1 - \frac{{\omega _{c}^{2}}}{{{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}}} \right)} \right) + \hfill \\ \, + {{q}_{y}}\left( {{{q}_{y}}\Delta \omega - i{{q}_{{2x}}}\frac{{{{\omega }_{c}}}}{{{{\omega }_{2}}}}\Delta \omega - } \right. \hfill \\ \left. {\, - \frac{{{{\omega }_{c}}}}{{{{L}_{n}}}}\left( {\frac{{\omega _{1}^{2} + \omega _{2}^{2} - {{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}} - \omega _{c}^{2}}}{{{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}}} \right)} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right). \\ \end{gathered} $

В предельном случае однородной плазмы (${{L}_{n}} \to \infty $) и однородной накачки (${{k}_{0}} = 0$) выражение (11) сводится к хорошо известному выражению (cм. [40])

(12)
$\begin{gathered} \chi _{e}^{{nl}} = - i\frac{{\omega _{{pe}}^{2}{{\omega }_{c}}c{{q}_{z}}}}{{{{\omega }_{0}}}} \times \\ \, \times \Delta \omega \left( {\frac{{q_{z}^{2}}}{{\omega _{1}^{2}\omega _{2}^{2}}} + \frac{{q_{ \bot }^{2}}}{{\left( {\omega _{1}^{2} - \omega _{c}^{2}} \right)\left( {\omega _{2}^{2} - \omega _{c}^{2}} \right)}}} \right)\frac{{{{E}_{0}}}}{H}. \\ \end{gathered} $

При равенстве частот дочерних волн величина $\chi _{e}^{{nl}} = 0$, что говорит о том, что нелинейная связь в этом случае возможна только из-за эффекта неоднородности плазмы, оказывающего дестабилизирующее влияние на волну накачки. Этот эффект впервые упоминался в обзоре [41] применительно к процессу, который является обратным параметрическому распаду, а именно, к слиянию двух электростатических ленгмюровских волн, составляющих солитон. Это слияние при больших градиентах плотности может приводить к генерации дипольного электромагнитного излучения. Отметим, что эффект увеличения нелинейной связи трех СВЧ-волн из-за неоднородности плазмы, приводящий к появлению возможности низкопорогового параметрического распада, впервые был предсказан в работе [35] применительно к необыкновенной волне накачки. Развитая в [35] теоретическая модель позволила объяснить и с разумной точностью описать зависимости, наблюдавшиеся при гигантском аномальном поглощении (до 80% мощности пучка накачки) необыкновенной волны в модельных экспериментах на линейной установке [28], которые проводились в условиях, когда линейные механизмы диссипации волны в плазме практически отсутствовали.

Приведем еще одно полезное предельное выражение для нелинейной восприимчивости (11). Рассмотрим случай, когда выполняется соотношение ${{k}_{0}}{{L}_{n}} < 1$ и $\Delta \omega = 0$. В этом пределе выражение (11) сводится к выражению

(13)
$\chi _{e}^{{nl}} = i\frac{{16\omega _{{pe}}^{2}\omega _{с}^{2}c{{q}_{z}}}}{{\omega _{0}^{3}\left( {\omega _{0}^{2} - 4\omega _{c}^{2}} \right)}}\frac{{{{q}_{y}}}}{{{{L}_{n}}}}\frac{{{{E}_{0}}}}{H}.$

3. ВЫВОДЫ

В работе получено выражение для нелинейной (квадратичной) высокочастотной восприимчивости сильно неоднородной плазмы, которое описывает нелинейную связь обыкновенной волны с двумя продольными колебаниями. Результаты развивают представления нелинейной электродинамики и могут быть полезны при анализе нелинейных эффектов при воздействии СВЧ-излучения на ионосферу, а также при СВЧ-нагреве в токамаках, развивающихся на периферии плазмы, где имеет место большой градиент плотности (в транспортном барьере, а также в блобах и филаментах). Кроме того, полученные выражения для билинейной восприимчивости можно использовать при анализе модельных экспериментов на лабораторных линейных установках.

Работа выполнена при поддержке гранта Б-РФФИ F18R-040 – РФФИ 18-52-00010.

Список литературы

  1. Силин В.П. Параметрическое воздействие излучения большой мощности на плазму. М.: Наука, 1973.

  2. Геккер И.Р., Сизухин О.В. // Письма ЖЭТФ. 1969. Т. 9. С. 408. [I.R. Gekker, O.V. Sizukhin // JETP Lett. 1969. V. 9. P. 243]

  3. Батанов Г.М., Сарксян К.А. // Письма ЖЭТФ. 1971. Т. 13. С. 539. [G.M. Batanov, K.A. Sarksyan // JETP Lett. 1971. V. 13. P. 384]

  4. Porkolab M., Arunasalam V., Ellis R.A. // Phys. Rev. Lett. 1972. V. 29. P. 1438.

  5. Андреев Н.Е., Батанов Г.М., Сарксян К.А. // ЖЭТФ. 1973. Т. 63. С. 1247. [N.E. Andreev, G.M. Batanov, K.A. Sarksyan // JETP. 1973. V. 36. P. 659]

  6. Porkolab M., Arunasalam V., Luhman N.C. // Plasma Phys. 1975. V. 17. P.405

  7. Батанов Г.М., Коврижных Л.М., Петров А.Е., Сапожников А.В., Сарксян К.А., Сахаров А.С., Скворцова Н.Н. // ЖЭТФ. 1983. Т. 85. С. 1209. [ G.M. Batanov, L.M. Kovrizhnykh, A.E. Petrov, A.V. Sapozh-nikov, K.A. Sarksyan, A.S. Sakharov, N.N. Skvor-tsova // JETP. 1983. V. 8. P.703]

  8. Piliya A.D. // Proc. 10th Conf. Phenomena in Ionized Gases, Oxford, 1971. P. 320.

  9. Perkins F.W., Flick J. // Phys. Fluids. 1971. V. 14. P. 2012.

  10. Rosenbluth M.N. // Phys. Rev. Lett. 1972. V. 29. P. 565.

  11. Пилия А.Д. // ЖЭТФ. 1973. Т. 64. С. 1237. [A.D. Piliya // Sov. Phys. JETP. 1973. V. 37. P. 629]

  12. Porkolab M., Cohen B.I. // Nucl. Fusion. 1988. V. 28. P. 239.

  13. Cohen B.I., Cohen R.H., Nevins W.M., Rognlien T.D. // Rev. Mod. Phys. 1991. V. 63. P. 949.

  14. Litvak A.G., Sergeev A.M., Suvorov E.V., Tokman M.D., Khazanov I.V. // Phys. Fluids B. 1993. V. 5. P. 4347.

  15. McDermott F.S., Bekefi G., Hackett K.E., Levine J. S., Porkolab M. // Phys. Fluids. 1982. V. 25. P. 1488.

  16. Wilhelm R., Erckmav N., Janzen G., Kasparek W., Muller G., Rauchle E., Schuller P.G., Schwrorer K., Tumm M. and W7-A Team // Plasma Phys. Control. Fusion. 1984. V. 26. P. 1433.

  17. Булыгинский Д.Г., Дьяченко В.В., Ирзак М.А., Ларионов М.М., Левин Л.С., Серебреный Г.А., Шусто-ва Н.В. // Физика плазмы. 1986. Т. 12. С. 138. [D.G. Bulyginsky, V.V. Dyachenko, M.A. Irzak, M.M. Larionov, L.S. Levin, G.A. Serebrenniy, N.V. Shu-stova // Sov. J. Plasma Phys., 12, 77 (1986)]

  18. Laqua H.P., Erckmann V., Hartfuß H.J., Laqua H., W7‑AS Team, ECRH Group // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 3467.

  19. Shevchenko V., Baranov Y., O’Brien M., Saveliev A. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 89. 265005.

  20. Laqua H.P., Maassberg H., Marushchenko N.B., Volpe F., Weller A., and W7-AS Team // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90. 075003.

  21. Gusakov E.Z., Surkov A.V. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2007. V. 49. P. 631.

  22. Shevchenko V., Cunningham G., Gurchenko A.D., Gusakov E., Lloyd B., O’Brien M., Saveliev A., Surkov A., Volpe F., Walsh M. // Fusion Sci. Technol. 2007. V. 52. P.202.

  23. Westerhof E., Nielsen S.K., Oosterbeek J.W., Salew-ski M., de Baar M.R., Bongers W.A., Bürger A., Hen-nen B.A., Korsholm S.B., Leipold F., Moseev D., Stej-ner M., Thoen D.J., and the TEXTOR Team // Phys. Rev. Lett. 2009. V. 103. 125001.

  24. Nielsen S.K., Salewski M., Westerhof E., Bongers W., Korsholm S.B., Leipold F., Oosterbeek J.W., Moseev D., Stejner M. and the TEXTOR Team // Plasma Phys. Control. Fusion. 2013. V. 55. 115003.

  25. Coda S. for the TCV Team // Nucl. Fusion. 2015. V. 55. 104004.

  26. Martinez M., Zurro B., Baciero A., Jiménez-Rey D., Tribaldo V. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2018. V. 60. 025024.

  27. van Milligen B.Ph., Carreras B.A., Hidalgo C., Cappa A. and TJ-II Team // Phys. Plasmas. 2018. V. 25. 062503.

  28. Altukhov A.B., Arkhipenko V.I., Gurchenko A.D., Gusakov E.Z., Popov A.Yu., Simonchik L.V., Usachonak M.S. // Europhys. Lett. 2019. V. 126. 15002.

  29. Gusakov E.Z., Popov A.Yu. // Phys. Rev. Lett. 2010. V. 105. 115003.

  30. Gusakov E.Z., Popov A.Yu. // Europhys. Lett. 2012. V. 99. 15001.

  31. Popov A.Yu., Gusakov E.Z. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2015. V. 57. 025022.

  32. Popov A.Yu., Gusakov E.Z. // Europhys. Lett. 2016. V. 116. 45002.

  33. Попов А.Ю., Гусаков Е.З. // Письма ЖЭТФ. 2017. Т. 105. С. 64. [ A.Yu. Popov, E.Z. Gusakov // JETP Lett. 2017. V. 105. P. 78]

  34. Gusakov E.Z., Popov A.Yu. // Phys. Plasmas. 2016. V. 23. 082503.

  35. Гусаков Е.З., Попов А.Ю., Третинников П.В. // Письма в ЖЭТФ. 2018. Т. 108. С. 83.

  36. La Bombard B., Umansky M.V., Boivin R.L., Goetz J.A., Hughes J., Lipschultz B., Mossessian D., Pitcher C.S., Terry J.L., Alcator Group // Nucl. Fusion. 2000. V. 40. P. 2041.

  37. Gusakov E.Z., Popov A.Yu. // Phys. Plasmas. 2018. V. 25. 012101.

  38. Popov A.Yu., Tretinnikov P.V., Gusakov E.Z. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2019. V. 61. 105008.

  39. Попов А.Ю., Третинников П.В., Гусаков Е.З., Симончик Л.В. // Физика плазмы (принято к печати).

  40. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. // Основы электродинамики плазмы / Под ред. А.А. Рухадзе. М.: Высшая школа, 1978.

  41. Петвиашвили В.И., Яньков В.В. Вопросы теории плазмы. Вып. 14 / Под ред. Б.Б. Кадомцева. М.: Энергоатомиздат, 1985. С. 27.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Физика плазмы

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал