Физика плазмы, 2020, T. 46, № 5, стр. 408-418

Аномальный перенос электронов в одномерной электронно-циклотронной дрейфовой турбулентности

А. Смоляков ab*, Т. Зинтель a, Л. Кёдель a, Д. Сидоренко a, А. Умнов b, Е. Сорокина bc, Н. Марусов bc

a Department of Physics and Engineering Physics, University of Saskatchewan
SK S7N 5E2 Saskatoon, Canada

b Российский университет дружбы народов
Москва, Россия

c НИЦ “Курчатовский институт”
Москва, Россия

* E-mail: andrei.smolyakov@usask.ca

Поступила в редакцию 12.11.2019
После доработки 09.12.2019
Принята к публикации 19.12.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Электрический дрейф электронов в скрещенных электрическом и магнитном полях и связанный с ним поперечный ток – источники сильной неустойчивости плазмы. В условиях, характерных для плазменных ускорителей, эта неустойчивость приводит к возбуждению квазикогерентных нелинейных волн, служащих причиной аномального переноса электронов. В работе с помощью численного моделирования методом частиц в ячейках (Particle in Cell – PIC) исследована нелинейная стадия развития данного процесса. Показано, что аномальный ток пропорционален величине приложенного электрического поля, что соответствует постоянной подвижности электронов. При этом скейлинг плотности тока повторяет зависимость доминирующей резонансной длины волны от напряженностей электрического и магнитного полей , что ясно указывает на циклотронную природу неустойчивости.

Ключевые слова: циклотронный резонанс, плазменные ускорители, нелинейная динамика, метод частиц в ячейке, аномальный перенос, неустойчивости плазмы

1. ВВЕДЕНИЕ

Ток поперек внешнего удерживающего магнитного поля является источником сильных неустойчивостей плазмы, см. [1, 2] и [3, 4] применительно к ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$ ускорителям плазмы. Механизм переноса электронов в плазменных ускорителях и схожих магнетронных системах до сих пор плохо изучен. Возобновление интереса к данной проблеме связано с открытием новых режимов работы холловских двигателей [5] и магнетронов [6, 7]. В гидродинамическом пределе неустойчивости, связанные с градиентом плотности, ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$-дрейфом и столкновениями, исследовались в [816]. Существует и другой механизм неустойчивости, связанный с резонансом на электронно-циклотронной частоте, ${{\omega }_{{ce}}}$, смещенной на величину ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$-дрейфа, ${{v}_{E}}$: $\omega - k{{v}_{E}} - m{{\omega }_{{ce}}} = 0$ (ω – частота, k – волновой вектор, m – номер циклотронного обертона). В литературе такая неустойчивость обсуждалась под разными названиями [2, 1720], здесь же мы будем использовать термин электронно-циклотронная дрейфовая неустойчивость (ЭЦДН) (Electron-Cyclotron-Drift Instability – ECDI), подчеркивая тем самым проявления циклотронного резонанса, значимые даже на нелинейной стадии эволюции системы. Рассматриваемая неустойчивость не требует наличия ни градиентов плотности плазмы или магнитного поля, ни столкновений, таким образом она может быть доминирующей в режимах с сильным электрическим полем. Применительно к проблеме аномальной резистивности в бесстолкновительных ударных волнах в космосе и турбулентного нагрева ЭЦДН рассматривалась ранее в [2125]. На возможность развития ЭЦДН в ускорителях холловского типа было указано в [2, 20].

В устройствах создания электрической тяги ЭЦДН возбуждается ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$-током электронов, при этом неустойчивые волны также распространяются в сторону ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$-дрейфа. Так, в холловских ускорителях с радиальным магнитным полем, B, и осевым электрическим полем, E, это направление является азимутальным (см. рис. 1а). Возникающие флуктуации азимутального электрического поля ${{\tilde {E}}_{\theta }}$ приводят к смещению электронов вдоль ускоряющего канала, в результате чего в системе генерируется аномальный электронный ток вдоль оси системы. В геометрии цилиндрического магнетронного разряда магнитное поле направлено вдоль оси системы, а электрическое поле – по радиусу (см. рис. 1б). При этом ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$-дрейф электронов и флуктуации электрического поля также направлены по азимуту, но аномальный перенос происходит уже в радиальном направлении. При 1D2V (одномерное в координатном пространстве, двумерное в пространстве скоростей) моделировании методом частиц в ячейке (PIC) направление аномального переноса, связанное со смещением частиц во флуктуирующем электрическом поле, не разрешается; при этом отслеживается и измеряется величина самого смещения, определяющая значение турбулентного переноса [5, 26, 27].

Рис. 1.

Конфигурации скрещенных электрического и магнитного полей и используемые системы координат в холловском двигателе (а), цилиндрическом магнетронном разряде (б).

Электронно-циклотронная дрейфовая неустойчивость тесно связана с ионно-звуковой неустойчивостью и при определенных условиях становится весьма схожа с ионно-звуковой модой в незамагниченной плазме, возбуждаемой относительным движением электронной и ионной компонент плазмы. В связи с этим в некоторых работах ее также называют модифицированной ионно-звуковой неустойчивостью [2, 28]. Во многих современных работах [26, 27, 2931] результаты PIC-моделирования ЭЦДН в условиях холловских ускорителей интерпретируются с использованием квазилинейного выражения для переноса электронов в виде ${{\Gamma }_{z}} = c\left\langle {\tilde {n}{{{\tilde {E}}}_{\theta }}} \right\rangle {\text{/}}B$ (c – скорость света), предполагая, что фазовый сдвиг между флуктуациями плотности $\tilde {n}$ и электрического поля ${{\tilde {E}}_{\theta }}$ может быть определен так же как и для незамагниченной ионно-звуковой турбулентности, когда вся роль магнитного поля состоит в поддержании электронного пучка со скоростью ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$-дрейфа. В такой теории используется выражение для инкремента неустойчивости в незамагниченной плазме, достигающего максимального значения на обратной электронной дебаевской длине при полном отсутствии циклотронных эффектов.

В нашей предыдущей работе [32] было установлено, что предположение о незамагниченной ионно-звуковой турбулентности неприменимо к ЭЦДН в типичных условиях холловских ускорителей. Электронно-циклотронная дрейфовая неустойчивость сохраняет существенные черты замагниченной моды, такие как драйв неустойчивости на электронно-циклотронных резонансах: дискретные резонансы при $\omega - k{{v}_{{E \times B}}} - m{{\omega }_{{ce}}} = 0$ ясно прослеживаются как в инкрементах, так и в нелинейном аномальном токе. Было также обнаружено, что аномальный осевой перенос гораздо выше оценки ${{\Gamma }_{z}} = \left\langle {\tilde {n}{{{\tilde {E}}}_{\theta }}} \right\rangle {\text{/}}B$.

В настоящей работе мы исследуем ЭЦДН и связанный с ней аномальный перенос в одномерном нелинейном PIC-моделировании, используя модель виртуальной длины в осевом направлении. При одномерном моделировании динамики плазмы во внешних скрещенных электрическом ${{{\mathbf{E}}}_{0}}$ и магнитном ${{{\mathbf{B}}}_{0}}$ полях моделируется периодическая область вдоль ${{{\mathbf{E}}}_{0}} \times {{{\mathbf{B}}}_{0}}$ направления. Это направление также соответствует направлению индуцированных флуктуаций электрического поля $\widetilde {\mathbf{E}}$, приводящих к смещению электронов вдоль направления $\widetilde {\mathbf{E}} \times {{{\mathbf{B}}}_{0}}$, совпадающего с направлением внешнего электрического поля ${{{\mathbf{E}}}_{0}}$, т. е. вдоль оси системы. Поэтому аномальный перенос электронов вдоль ${{{\mathbf{E}}}_{0}}$ сопровождается их сильным нагревом. При одномерном моделировании с периодическими граничными условиями в азимутальном направлении частицы могут ускоряться вдоль ${{{\mathbf{E}}}_{0}}$ множество раз, что приводит к неограниченному нагреву в отсутствие стоков энергии. Для преодоления этой проблемы в [5] была предложена модель виртуальной осевой длины. В этой модели отслеживается результирующее смещение частицы в осевом направлении, и при превышении смещения определенной величины (виртуальной длины) частица удаляется из системы и заменяется на другую (холодную) частицу. Выбор длины определяется длиной области ускорения в холловском двигателе, составляющей порядка 1–2 см. Такая модель эффективно описывает удаление горячих частиц из области ускорения и приток холодных частиц, рождающихся в результате ионизации плазмы. С помощью модели виртуальной длины в настоящей работе исследуются особенности ЭЦДН и ее насыщение с целью выявления резонансных (циклотронных) эффектов и определения скейлинга аномального переноса в зависимости от величины электрического и магнитного полей и плотности плазмы.

2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ЭЦДН

Линейная теория электронно-циклотронной дрейфовой неустойчивости (ЭЦДН) хорошо разработана и описана в [2, 17]. В данном разделе для разъяснения сделанных предположений и обозначений мы изложим ключевые моменты линейной модели в прямой геометрии. Будем рассматривать плазму в скрещенных электрическом и магнитном полях, при этом электрическое поле ${{{\mathbf{E}}}_{0}} = {{E}_{0}}{\mathbf{\hat {z}}}$ направлено в осевом направлении, а магнитное поле ${{{\mathbf{B}}}_{0}} = {{B}_{0}}{\mathbf{\hat {x}}}$ – в радиальном, что соответствует геометрии холловских ускорителей.

Считается, что ионы не замагничены, а замагниченные электроны дрейфуют в y (азимутальном) направлении: ${{{\mathbf{v}}}_{0}} \equiv {{{\mathbf{v}}}_{E}} = c{{E}_{0}}{\text{/}}{{B}_{0}}{\mathbf{\hat {y}}}$. Линейное дисперсионное соотношение может быть записано в виде $1 + {{\epsilon }_{i}} + {{\epsilon }_{e}} = 0$, где ${{\epsilon }_{e}}$ и ${{\epsilon }_{i}}$ – электронная и ионная восприимчивости соответственно. Отклик холодных незамагниченных ионов определяется простым выражением ${{\epsilon }_{i}} = - \omega _{{pi}}^{2}{\text{/}}{{\omega }^{2}}$, где ${{\omega }_{{pi}}}$ – ионная плазменная частота. Электронная часть имеет вид

(1)
$\begin{gathered} {{\epsilon }_{e}} = \frac{1}{{{{k}^{2}}\lambda _{D}^{2}}}\left[ {1 + \frac{{\omega - {\mathbf{k}} \cdot {{{\mathbf{v}}}_{0}}}}{{\sqrt 2 {{k}_{x}}{{v}_{{Te}}}}}\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{e}^{{ - b}}}{{{\text{I}}}_{m}}\left( b \right)} \right. \times \\ \left. { \times \;Z\left( {\frac{{\omega - {\mathbf{k}} \cdot {{{\mathbf{v}}}_{0}} + m{{\omega }_{{ce}}}}}{{\sqrt 2 {{k}_{x}}{{v}_{{Te}}}}}} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Здесь $k \equiv \left| {\mathbf{k}} \right| = \sqrt {k_{x}^{2} + k_{y}^{2}} $, где ${{k}_{x}}$ и ${{k}_{y}}$ – компоненты волнового вектора k вдоль магнитного поля и в периодическом ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$ направлении соответственно, $b = {{k}^{2}}\rho _{e}^{2}$, $\rho _{e}^{2} = v_{{Te}}^{2}{\text{/}}\omega _{{ce}}^{2},$ $v_{{Te}}^{2} = {{T}_{e}}{\text{/}}{{m}_{e}}$, $\lambda _{D}^{2} = $ $ = {{T}_{e}}{\text{/}}(4\pi {{e}^{2}}{{n}_{0}})$, ${{T}_{e}}$ – температура электронов, ${{m}_{e}}$ – масса электронов, e – элементарный заряд, ${{n}_{0}}$ – равновесная плотность плазмы, $Z(\xi )$ – плазменная дисперсионная функция, ${{I}_{m}}(x)$ – модифицированная функция Бесселя первого рода.

Решение линейного дисперсионного уравнения (1) обсуждалось во множестве работ (см., например, [17, 20, 33, 34]). Здесь мы представим решение из работы [35], см. рис. 2. При малой величине компоненты волнового вектора вдоль магнитного поля инкремент неустойчивости ведет себя как набор дискретных мод вблизи резонансов $\omega - k{{v}_{E}} = m{{\omega }_{{ce}}}$. В приближении холодной плазмы неустойчивость сводится к реактивной (бездиссипативной) неустойчивости Бунемана [36], как обсуждалось в [35]. При конечной величине ${{k}_{x}}$ вдоль магнитного поля в системе возникают другие, длинноволновые, моды. Это так называемая модифицированная бунемановская двухпотоковая неустойчивость. Однако при конечной температуре электронов, когда ${{k}_{x}}{{v}_{{Te}}} > {{\omega }_{{ce}}}$, неустойчивость переходит в диссипативную неустойчивость ионно-звукового типа, раскачиваемую ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$ потоком электронов (механизм обратный затуханию Ландау). Такая неустойчивость называется модифицированной ионно-звуковой неустойчивостью [2, 28]. Типичный вид инкремента неустойчивости показан на рис. 2: при малых ${{k}_{x}}$ отчетливо прослеживаются острые резонансные пики, а при больших ${{k}_{x}}$ резонансы перекрываются, что приводит к значительному снижению инкрементов, описываемых “незамагниченным” дисперсионным соотношением, которое предсказывает гладкую зависимость инкремента от волнового числа с максимумом ${{\gamma }_{m}} = {{\omega }_{{pi}}}\sqrt {\pi {\text{/}}54} {{v}_{E}}{\text{/}}{{v}_{{Te}}}$ при ${{k}_{y}} = {{k}_{m}} = 1{\text{/}}\sqrt 2 {{\lambda }_{D}}$ и с действительной частью частоты ${{\omega }_{m}} = {{\omega }_{{pi}}}{\text{/}}\sqrt 3 $ в системе отсчета ионов [27, 37]. В этом пределе эффекты циклотронного резонанса не прослеживаются. Перекрытие резонансов также может происходить из-за нелинейных эффектов и столкновений. Вопрос о том, переходит ли ЭЦДН в моду ионно-звукового типа, как в незамагниченной плазме, или существенным образом определяется циклотронным резонансом, является давней проблемой [18, 38, 39] в теории индуцированной током турбулентности плазмы в магнитном поле.

Рис. 2.

Линейный инкремент ЭЦДН (1) для различных значений волнового вектора вдоль магнитного поля. Режим незамагниченной ионно-звуковой неустойчивости соответствует ${{k}_{x}}{{\lambda }_{D}} = 0.08$. Рисунок воспроизведен с разрешения [35].

3. НЕЛИНЕЙНОЕ PIC-МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЦДН И АНОМАЛЬНОГО ТОКА ЭЛЕКТРОНОВ

Как отмечалось ранее и было проиллюстрировано на рис. 2, в рамках линейной теории при достаточно больших значениях волнового вектора вдоль магнитного поля ЭЦДН становится схожей с ионно-звуковой модой в незамагниченной плазме. Столкновения также могут приводить к перекрытию и размытию циклотронных резонансов, эффективно переводя неустойчивость в ионно-звуковой режим, если частота электрон-нейтральных столкновений или эффективная частота из-за численных шумов, ν, действительных или численных, достаточно велика $\left( {\nu {\text{/}}{{\omega }_{{ce}}}} \right){{k}^{2}}\rho _{e}^{2} > \pi {\text{/}}2$. Нелинейное уширение резонансов [40] может иметь схожий эффект при достаточно большой амплитуде флуктуаций: $\left( {\omega _{{pe}}^{2}{\text{/}}\omega _{{ce}}^{2}} \right){{\tilde {E}}^{2}}{\text{/}}\left( {8\pi {{n}_{0}}{{T}_{e}}} \right) > \mathop {\left( {k{{\rho }_{e}}} \right)}\nolimits^{ - 1} $ [32], где ${{\omega }_{{pe}}}$ – электронная плазменная частота. Остается неясным, является ли какой-либо из указанных механизмов достаточно эффективным для перевода неустойчивости в незамагниченный режим, так что эффекты магнитного поля могут быть опущены на нелинейной стадии насыщения системы при параметрах, характерных для холловских ускорителей плазмы.

Разница между турбулентностью ионно-звукового типа в незамагниченной плазме и в плазме в магнитном поле активно обсуждалась ранее в различных условиях и на многих примерах, которые показали, что даже слабое магнитное поле, ${{\omega }_{{ce}}} < {{\omega }_{{pe}}}$, сильно влияет на турбулентность [38, 39, 41, 42]. Отметим, что PIC-моделирования в условиях приближенных к холловским ускорителям, проводились неоднократно в 1D (азимутальной) и 2D (азимутально-аксиальной) геометриях. При этом направление вдоль магнитного поля не рассматривалось, ${{k}_{x}} = 0$, а следовательно, линейный переход в ионно-звуковой режим неустойчивости был невозможен. Тогда, единственным механизмом размытия циклотронных резонансов является нелинейное уширение.

В наших предыдущих одномерных расчетах было показано, что нелинейное уширение резонансов является неэффективным и мода на нелинейной стадии существенным образом остается в режиме циклотронного резонанса, приводящем к относительно квазикогерентной нелинейной волне. Также была продемонстрирована тенденция к формированию обратного каскада с генерацией крупномасштабных мод с длиной волны порядка размера области моделирования [35]. Полный аномальный ток оказался гораздо выше ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$ квазилинейной оценки ${{\Gamma }_{z}} = c\left\langle {\tilde {n}{{{\tilde {E}}}_{y}}} \right\rangle {\text{/}}{{B}_{0}}$. Проведенные расчеты, однако, были ограничены относительно малыми длительностями в 1–2 мкс из-за отсутствия насыщенного стационарного состояния ввиду неограниченного роста температуры электронов.

В настоящей работе используется модель виртуальной осевой длины, обеспечивающая эффективное охлаждение электронов и позволяющая, тем самым, достичь нелинейного насыщения электронной температуры. В конфигурации электрического и магнитного полей, типичной для области ускорения плазмы в холловских двигателях, проведена серия расчетов ЭЦДН с целью определения параметрических зависимостей характеристик мод на стадии нелинейного насыщения неустойчивости, а также зависимости величины аномального тока от напряженности электрического и магнитного полей и плотности плазмы. Для расчетов использован неявный PIC-код EDIPIC [43, 44]. EDIPIC основан на широко используемом методе частиц в ячейке для решения кинетических уравнений для ионов и электронов в самосогласованном электрическом поле. Электрическое поле рассчитывается на фиксированной сетке, в то время как заряженные частицы следуют лагранжевым траекториям, а кинетические уравнения решаются методом характеристик. Заряды частиц интерполируются на фиксированную сетку, а электрическое поле отображается обратно на лагранжевы позиции частиц. Эта техника подробно описана в [4547], а детали конкретного применения EDIPIC представлены в [43]. EDIPIC – открытый код (доступен из [44]), используемый несколькими научными группами в мире. Код электростатический и включает столкновения частиц, однако в описанных расчетах столкновения не учитывались. EDIPIC широко протестирован для различных приложений [48], а его недавняя 2D версия была подвергнута сравнительному тестированию для ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$ неустойчивости [49] несколькими научными группами.

Расчеты были проведены для нескольких значений магнитного поля $B = 200$, 100 и 400 Гс, электрического поля $E = 5$, 10, 20 и 40 кВ/м, и плотности плазмы ${{n}_{0}} = {{10}^{{17}}}$, 2 × 1017, и 0.5 × 1017 м–3. Рассматривался азимутальный сегмент длины ${{l}_{y}} = 26.7$ мм (вдоль направления ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$ дрейфа) с периодическими граничными условиями. Плазма в начальный момент времени характеризовалась начальной температурой ${{T}_{e}}$ = 10 эВ, атомный вес ионов – 130. Виртуальная осевая длина была выбрана равной ${{l}_{z}} = 10$ мм, что соответствует типичной длине ускорительной области холловского двигателя. Энергия электронов, проходящих эту дистанцию, изменялась случайным образом из ${{T}_{e}} = 10$ эВ максвелловского распределения; позиции электронов не менялись. В работе [26] был предложен несколько иной метод, в котором “новые” электроны охлаждались аналогичным образом, но при этом их позиции также рандомизировались в азимутальном направлении. Такой процесс эквивалентен сильным столкновениям и потому вносил бы слишком большие искажения в исследуемый нами аномальный перенос, поэтому в настоящей работе он не использовался.

Во всех расчетах использовалась последняя версия кода EDPIC [44] с адаптированным генератором случайных чисел. Вычисления проводились на одном и том же компьютерном кластере (Plato в университете Saskatchewan) во избежание межмашинных вариаций. Размер пространственной сетки был выбран таким образом, чтобы иметь 3 точки на дебаевской длине, рассчитанной при ${{T}_{e}} = 10$ эВ. Верхний предел для скорости электронов был выбран равным $12{{v}_{{Te}}}$, что соответствует выполнению условия Куранта (CFL condition) вплоть до электронной температуры в 1440 эВ. Число частиц на ячейку – MPC = 2141. Результаты расчетов показаны на рис. 3–9.

Рис. 3.

Распространение возмущений ионной плотности вблизи t = 25 мкс. Доминирующей является квазипериодическая мода с длиной волны, удовлетворяющей условию резонанса $2\pi {{v}_{E}}{\text{/}}\lambda \simeq {{\omega }_{{ce}}}$ для базовых параметров плазмы $B = 200$ Гс, $E = 20$ кВ/м, $n = {{10}^{{17}}}$ м–3. Легко различима огибающая крупномасштабная мода, на которую наложена мелкомасштабная квазикогерентная мода.

Рис. 4.

Пространственное распределение плотности ионов при различных значениях электрического и магнитного полей в момент времени 10 мкс. Рисунки при различных электрических полях построены для $B = 200$ Гс, при различных магнитных полях – для $E = 20$ кВ/м.

Рис. 5.

Пространственный спектр Фурье флуктуаций плотности (произвольные единицы измерения) для момента времени, показанного на рис. 4. Вертикальные штрихованные линии отмечают длину волны с максимальной амплитудой. Средние значения длин волн (за период времени с 10 по 25 мкс) показаны на рис. 8в, г и 9б.

Рис. 6.

Временная эволюция полной тепловой энергии электронов (a); результирующего осевого тока ${{J}_{z}}$ (b), ${{J}_{{E \times B}}}$ тока (c) для базовых значений параметров. Показаны исходные данные и данные, прошедшие через фильтр низких частот ($\delta t = 1$ мкс). Вертикальные линии показывают временной интервал, использованный для расчета усредненного тока, показанного на рис. 8 и 9.

Рис. 7.

Осевой ток ${{J}_{z}} = - e\int {{{v}_{z}}f{{d}^{2}}v} $, обработанный с помощью фильтра низких частот ($\delta t = 1$ мкс) и ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}$-ток: ${{J}_{{E \times B}}} = ec\left\langle {\tilde {n}{{{\tilde {E}}}_{y}}{\text{/}}{{B}_{0}}} \right\rangle $ при различных значениях электрического и магнитного полей. Разница между ${{J}_{z}}$ и ${{J}_{{E \times B}}}$ становится значительной при больших магнитных и меньших электрических полях, что соответствует скейлингу доминирующей длины волны $\lambda \sim E{\text{/}}{{B}^{2}}$: размагничивание электронов усиливается на меньших длинах волн.

Рис. 8.

Скейлинг аномального тока (a) и (б), длина волны доминирующей моды (в) и (г), отношение ${{J}_{z}}{\text{/}}{{J}_{{E \times B}}}$ (д) и (е), температура электронов (ж) и (з) как функции электрического (a),(в), (д), (ж) и магнитного (б), (г), (е), (з) полей соответственно. Штриховые линии на рисунках (в) и (г) показывают кривую $\lambda = 2\pi {{v}_{E}}{\text{/}}{{\omega }_{{ce}}}$.

Рис. 9.

Скейлинги аномального тока и длины волны доминирующей моды как функции плотности плазмы.

Типичное поведение ЭЦДН в нелинейном режиме аналогично тому, которое наблюдалось в [32], а также недавно было подтверждено в [50]: в неустойчивости доминирует резонанс $m = 1$, который приводит к возбуждению когерентной моды, соответствующей условию ${{k}_{y}}{{v}_{E}} = {{\omega }_{{ce}}}$. Стоит отметить, что в линейной теории моды с высшими m могут иметь большие инкременты и обычно начинают расти первыми [32, 35]. Однако, с ростом электронной температуры и нелинейным обратным каскадом, мода $m = 1$ становится доминирующей на нелинейной стадии. Из рис. 3 и 4, и Фурье-спектра, рис. 5, также ясно видно, что в системе возникают крупномасштабные структуры, с масштабом длины порядка размера области моделирования, как и в [32]. Для соответствующих значений электрического и магнитного полей доминирующие Фурье гармоники отмечены на рис. 5 вертикальными линиями. Их усредненные по времени значения показаны на рис. 8 и 9 как доминирующие длины волн.

Для расчета усредненных за длительный промежуток времени величин, таких как аномальный ток, был выбран интервал между 10 и 25 мкс, на котором ток и температура электронов были практически неизменны (см. рис. 6). Для базовых расчетных параметров временная эволюция тепловой энергии электронов и аномального тока показаны на рис. 6. На этих рисунках для демонстрации усредненного тока использовался фильтр низких частот (1 мкс), при этом данные, усредненные на большом временном интервале, показанные на рис. 8 и 9, были рассчитаны по исходным сигналам без какой-либо фильтрации.

Электронно-циклотронная дрейфовая неустойчивость обеспечивает эффективный механизм нагрева электронов. Как отмечалось ранее, электроны изначально загружаются в систему и затем заменяются на новые с температурой ${{T}_{e}} = 10$ эВ. Электроны нагреваются как в турбулентных азимутальных колебаниях электрического поля, так и за счет аномального смещения в направлении равновесного электрического поля. Как следует из рис. 6a, 8ж и 8з, температура электронов насыщается (в основном случае) на 70 эВ, что выше, чем типичные значения температуры в холловских ускорителях, в которых заметную роль играют двумерные потери энергии и потери энергии в пристеночном плазменном слое, отсутствующие в нашей модели. Температура электронов изотропна в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, из-за эффективного перемешивания магнитным полем. Поскольку функция распределения электронов отклоняется от максвелловского распределения [32], значения, показанные на рис. 6 и 8, вообще говоря, соответствуют кинетической энергии частиц.

Аномальный ток в нашем моделировании рассчитывался напрямую по функции распределения электронов, ${{J}_{z}} = - e\int {{{v}_{z}}f{{d}^{2}}v} $, и усреднялся в азимутальном направлении. Параллельно рассчитывалась величина ${{J}_{{E \times B}}} = ce\left\langle {\tilde {n}{{{\tilde {E}}}_{y}}{\text{/}}{{B}_{0}}} \right\rangle $, как среднее от произведения флуктуаций плотности электронов и осевой скорости электрического дрейфа во флуктуирующем азимутальном электрическом поле. Разность между реальным током ${{J}_{z}}$ и ${{J}_{{E \times B}}}$ позволят определить степень “замагниченности” электронов. Ясно, что если ларморовский радиус электрона ${{\rho }_{e}}$ гораздо меньше длины волны флуктуаций ${{\rho }_{e}} \ll \lambda $, а характерная частота флуктуаций ниже электронной циклотронной частоты, $\omega \ll {{\omega }_{{ce}}}$, то скорость электрона должна быть близка к дрейфовой скорости ${{{\mathbf{v}}}_{E}} = c{\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}{\text{/}}{{B}^{2}}$. Когда эти условия не удовлетворены, электроны “размагничиваются”, и их скорость отличается от ${{{\mathbf{v}}}_{E}} = c{\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}{\text{/}}{{B}^{2}}$. Для базовых параметров плазмы, ${{T}_{e}} \simeq 70$ эВ, $B = 200$ Гс, $E = 20$ кВ/м, электронный ларморовский радиус, ${{\rho }_{e}} \simeq 1$ мм, немного меньше длины волны возмущений, составляющей порядка 2 мм (см. рис. 8в). Как показано на рис. 7, электроны “размагничиваются”, а разница между ${{J}_{z}}$ и ${{J}_{{E \times B}}}$ увеличивается при больших значениях магнитного поля и меньших значениях электрического поля, поскольку при этом длина волны доминирующей моды становится сопоставима с электронным ларморовским радиусом, в соответствии со скейлингами ${{\rho }_{e}} \sim 1{\text{/}}B$ и $\lambda \sim E{\text{/}}{{B}^{2}}$. Также отношение ${{J}_{z}}{\text{/}}{{J}_{{E \times B}}}$ показано на рис. 8д и 8е. Вариация величины электрического и магнитного полей показала, что доминирующая длина волны (усредненная на интервале 10–25 мкс) находится практически в идеальном соответствии с выражением $\lambda = 2\pi {{v}_{E}}{\text{/}}{{\omega }_{{ce}}}$, как показано на рис. 8в и 8г. В расчетах не наблюдается никакой зависимости длины волны от плотности плазмы, что ожидалось бы для ионно-звуковой моды, см. рис 9б. Аналогичные результаты сообщались в работе [50].

Проведенные расчеты также продемонстрировали формирование длинноволновых (длина волны порядка размера области моделирования) структур, что видно из рис. 3, а также на спектре на рис. 5. Обращает на себя внимание аккумуляция энергии в области $k \simeq 2\pi {\text{/}}L$. Поскольку используемая модель не обладает полноценным механизмом диссипации энергии для крупномасштабных структур (нет стоков энергии на масштабе расчетной области), не стоит ожидать того, что крупномасштабная структура достигнет стационарного состояния, при этом, однако, возможно относительно сложное перемеживание между крупномасштабными и мелкомасштабными флуктуациями. Проблема динамики крупномасштабных структур лежит за рамками настоящей работы. Поэтому время моделирования было ограничено интервалом времени до момента, прежде чем крупномасштабные структуры начинают доминировать в турбулентности. При более длительных расчетах, мы наблюдали спонтанный переход в состояние с одной единственной доминирующей длинноволновой модой; обычно такой переход сопровождался сильным увеличением аномального тока. Такие режимы в настоящей работе не показаны.

Одним из наиболее важных результатов проведенного исследования является скейлинг величины аномального тока в зависимости от величины электрического и магнитного полей. Аномальный ток, показанный на рис. 8a, уверенно демонстрирует скейлинг с постоянной аномальной подвижностью, ${{J}_{z}} = {{\sigma }^{{an}}}{{E}_{z}}$. Рис. 8б показывает обратную пропорциональность тока квадрату магнитного поля, который, таким образом, повторяет зависимость длины волны, ${{J}_{z}} \sim \lambda \sim 1{\text{/}}{{B}^{2}}.$ Эта же зависимость наблюдается и на рис. 8в и г, что указывает на то, что длинноволновые моды дают больший вклад в аномальный перенос. Плотность тока, как и ожидается, связана линейно с плотностью плазмы, см. рис. 9a. Важно отметить, что доминирующая длина волны не зависит от плотности плазмы (рис. 9б) в отличие от предсказаний теории незамагниченной ионно-звуковой турбулентности, в которой наиболее неустойчивая мода имеет масштаб дебаевской длины [26, 27, 37].

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведена серия одномерных нелинейных расчетов ЭЦДН с целью исследования стадии нелинейного насыщения неустойчивости, возникающего при этом аномального тока и их зависимости от параметров плазмы. При моделировании использована модель виртуальной осевой длины, позволяющая корректно учесть конечное время пребывания частиц в области ускорения. Расчеты подтвердили квазикогерентную природу неустойчивости на нелинейном этапе развития с доминирующей длиной волны, соответствующей первой гармонике резонанса, $m = 1$, $\omega \ll {{k}_{y}}{{v}_{E}} \simeq {{\omega }_{{ce}}}$. Аналогично полученным ранее результатам [32] продемонстрирована нелинейная генерация длинноволновых мод с механизмом, близким к модуляционной неустойчивости [51]. Интересным и несколько неожиданным результатом является линейная зависимость аномального тока от величины электрического поля, соответствующая постоянной (независящей от электрического поля) аномальной подвижности электронов. Вариация электрического и магнитного полей показала, что скейлинг аномального тока повторяет зависимость доминирующей длины волны. Эти результаты напрямую демонстрируют циклотронную природу неустойчивости в противовес предположению о незамагниченной ионно-звуковой турбулентности, принятому в ряде предшествующих работ.

Работа частично поддержана грантом № 17-12-01470 Российского научного фонда.

Список литературы

  1. Арефьев В.И., Гордеев A.В., Рудаков Л.И. // Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. 1969. V. 2. P. 65.

  2. Арефьев В.И. // ЖТФ. 1969. Т. 39. С. 1973.

  3. Морозов A.И. // Физика плазмы. 2003. Т. 29. С. 261.

  4. Арефьев В.И., Кирдяшев K.П. // ЖТФ. 1975. Т. 45. С. 527.

  5. Boeuf J.P. // J. Applied Phys. 2017. V. 121. P. 24.

  6. Hecimovic A. // J. Phys. D-Applied Phys. 2016. V. 49. P. 18lt01.

  7. Hecimovic A., Schulz-von der Gathen V., Boke M., von Keudell A., Winter J. // Plasma Sources Science & Technology. 2015. V. 24. P. 045005.

  8. Есипчук Ю.В., Тилинин Г.Н. // ЖТФ. 1976. Т. 46. С. 718.

  9. Nikitin V., Tomilin D., Lovtsov A., Tarasov A. // Eropean Phys. Lett. 2017. V. 117. P. 45001.

  10. Smolyakov A.I., Chapurin O., Frias W., Koshkarov O., Romadanov I., Tang T., Umansky M., Raitses Y., Kaganovich I.D., Lakhin V.P. // Plasma Phys. Controlled Fusion. 2017. V. 59. P. 014041.

  11. Tomilin D. // Phys. Plasmas. 2013. V. 20. P. 042103.

  12. Lakhin V.P., Ilgisonis V.I., Smolyakov A.I., Soroki-na E.A., Marusov N.A. // Phys. Plasmas. 2018. V. 25. P. 012107.

  13. Lakhin V.P., Ilgisonis V.I., Smolyakov A.I., Soroki-na E.A., Marusov N.A. // Phys. Plasmas. 2018. V. 25. P. 012106.

  14. Marusov N.A., Sorokina E.A., Lakhin V.P., Ilgisonis V.I., Smolyakov A.I. // Plasma Sources Science & Technology. 2019. V. 28. P. 015002.

  15. Litvak A.A., Fisch N.J. // Phys. Plasmas. 2001. V. 8. P. 648.

  16. Chable S., Rogier F. // Phys. Plasmas. 2005. V. 12. P. 033504.

  17. Gary S.P. // Plasma Phys. Controlled Fusion. 1973. V. 15. P. 399.

  18. Lampe M., Manheimer W.M., McBride J.B., Orens J.H. // Phys. Fluids. 1972. V. 15. P. 2356.

  19. Forslund D.W., Morse R.L., Nielson C.W. // Phys. Rev. Lett. 1970. V. 25. P. 1266.

  20. Adam J.C., Heron A., Laval G. // Phys. Plasmas. 2004. V. 11. P. 295.

  21. Gary S.P., Biskamp D. // J. Phys. Part A. General. 1971. V. 4. P. L27.

  22. Forslund D., Nielson C., Morse R., Fu J. // Phys. Fluids. 1972. V. 15. P. 1303.

  23. Lampe M., McBride J.B., Manheimer W.M., Sudan R.N., Shanny R., Orens J.H., Papadopolous K. // Phys. Fluids. 1972. V. 15. P. 662.

  24. Biskamp D., Chodura R. // Phys. Fluids. 1973. V. 16. P. 893.

  25. Galeev A.A., Sagdeev R.Z. // Handbook of Plasma Physics, Basic Plasma Physics. V. 2, Supplement. Amsterdam: North-Holland, 1984.

  26. Lafleur T., Baalrud S.D., Chabert P. // Phys. Plasmas. 2016. V. 23. P. 053502.

  27. Lafleur T., Baalrud S.D., Chabert P. // Phys. Plasmas. 2016. V. 23. P. 053503.

  28. Barrett P.J., Taylor R.J., Sellen J.M., Fried B.D., Ken-nel C.F. // Phys. Rev. Lett. 1972. V. 28. P. 337.

  29. Katz I., Mikellides I.G., Hofer R.R., Ortega A.L. // 34th Internat. Electric Propulsion Confer. 2015. P. IEPC-2015-402.

  30. Katz I., Ortega A.L., Jorns B., Mikellides I.G. // 52nd AIAA/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference 2016. P. AIAA 2016-4534.

  31. Lafleur T., Baalrud S.D., Chabert P. // Plasma Sources Sci. Technology. 2017. V. 26. P. 024008.

  32. Janhunen S., Smolyakov A., Chapurin O., Sydorenko D., Kaganovich I., Raitses Y. // Phys. Plasmas. 2018. V. 25. P. 011608.

  33. Ducrocq A., Adam J.C., Heron A., Laval G. // Phys. Plasmas. 2006. V. 13. P. 102111.

  34. Cavalier J., Lemoine N., Bonhomme G., Tsikata S., Honore C., Gresillon D. // Phys. Plasmas. 2013. V. 20. P. 082107.

  35. Janhunen S., Smolyakov S., Sydorenko D., Jimenez M., Kaganovich I., Raitses Y. // Phys. Plasmas. 2018. V. 25. P. 082308.

  36. Buneman O. // Plasma Phys. (J. Nuclear Energy Part C). 1962. V. 4. P. 111.

  37. Boeuf J.P., Garrigues L. // Phys. Plasmas. 2018. V. 25. P. 061204.

  38. Forslund D.W., Morse R.L., Nielson C.W. // Phys. Fluids. 1972. V. 15. P. 2363.

  39. Lindman E.L. // J. Statistical Phys. 1985. V. 39. P. 769.

  40. Dum C.T., Sudan R.N. // Phys. Rev. Lett. 1969. V. 23. P. 1149.

  41. Muschietti L., Lembege B. // J. Geophys. Res.-Space Phys. 2013. V. 118. P. 2267.

  42. Biskamp D., Chodura R. // Plasma Phys. and Controlled Fusion Research. 1971. V. 2. P. 265.

  43. Sydorenko D.Y. PhD thesis, University of Saskatchewan, 2006.

  44. https://bitbucket.org/sjanhune/edipic/wiki/home.

  45. Birdsall C.K., Langdon A.B. // Plasma Physics via Computer Simulation. Bristol: Adam Hilger, 1991.

  46. Умнов А.М., Хименес М.Х., Балмашнов А.А., Степина С.П. // Прикладная физика. 2016. Т. 114. С. 52.

  47. Andreev V.V., Chuprov D.V., Ilgisonis V.I., Novitsky A.A., Umnov A.M. // Phys. Plasmas. 2017. V. 24. P. 093518.

  48. Sydorenko D., Smolyakov A., Kaganovich I., Raitses Y. // Phys. Plasmas. 2006. V. 13. P. 014501.

  49. Charoy T., Boeuf J.O., Bourdon A., Carlsson J.A., Cha-bert P., Cuenot D., Eremin R., Garrigues L., Hara K., Kaganovich T.A., Powis I.D., Smolyakov D., Sydoren- ko A., Villafana A., Tavant W., Vermorel A. // Plasma Sources Sci. Technology. 2019. V. 28. P. 105010.

  50. Asadi Z., Taccogna F., Sharifian M. // Frontiers in Phys. 2019 V. 7. P. 140.

  51. Lakhin V.P., Ilgisonis V.I., Smolyakov A.I., Soroki-na E.A. // Phys. Plasmas. 2016. V. 23. P. 102304.

Дополнительные материалы отсутствуют.