Физика плазмы, 2020, T. 46, № 7, стр. 667-672

1. ВВЕДЕНИЕ

Коротковолновые асимптотические численные методы традиционно применяются при моделировании распространения микроволновых пучков в плазме. Наиболее часто используемыми из них являются лучевые методы: “ray tracing” (RT) [1, 2] и его расширенный вариант “beam tracing” (BT) [3–5], учитывающий поперечные дифракционные эффекты в модели гауссова пучка. В основе RT лежит предположение об эйкональном характере пространственного изменения поля волны (приближение геометрической оптики), а для применимости BT дополнительно требуется параксиальный характер распределения поля. В неоднородной плазме магнитных ловушек распространение микроволновых пучков иногда, на некоторых сегментах их траекторий, выходит за рамки указанных приближений. В таких зонах стандартное применение лучевых методов бывает либо спорно, либо невозможно. Однако вычислительная эффективность лучевых методов побуждает к поиску возможностей обхода этих ограничений путем развития исходного теоретического аппарата и соответствующей модификации численных процедур. Ряд подобных задач уже решен. Так, в [6] была обоснована пригодность RT к неэйкональным режимам распространения микроволн. В [7] предложена схема применения BT в случаях сильной аберрации пучка или его распада на несколько волновых образований. В [8] показана возможность использования BT при наличии на траектории пучка каустик типа “cusp”, где пучок превращается в пространственно сложный волновой объект. Еще одним из микроволновых режимов распространения в плазме, исключавших применение BT, оставался случай бифуркации лучевых траекторий в зоне, где совместно верны дисперсионные соотношения для двух различных волновых мод. Это явление, известное также как линейная трансформация мод, принято теоретически описывать решениями укороченной системы из двух волновых уравнений (например, [1, 2, 9, 10]). Асимптотики таких решений позволяют определить эйкональные амплитуды двух мод за пределами зоны их резонансного взаимодействия. Однако для нахождения распределения поля во всем объеме плазмы в виде гауссовых пучков такой алгоритм не годится.

Заметим, что линейная трансформация мод в плазме также может происходить при туннелировании через область непрозрачности в r-пространстве или в k-пространстве волновых векторов (см., например, [11]). Это иной, более сложный эффект, который может рассматриваться как бифуркация лучевых траекторий лишь при исчезающе малой толщине слоя непрозрачности. При электронно-циклотронном нагреве плазмы в токамаках и стеллараторах бифуркации микроволновых пучков встречаются, например, в случаях прохождения вводимого извне пучка через область слабоанизотропной периферийной плазмы и, в некотором диапазоне плотностей, при строго перпендикулярном прохождении пучка через область резонанса на второй гармонике гирочастоты. В последнем случае пересечение дисперсионных зависимостей различных мод вызвано сильным импульсообразным увеличением показателя преломления необыкновенной волны вблизи резонанса из-за релятивистских поправок в тензоре диэлектрической проницаемости [12].

В данной работе представлен новый подход к проблеме бифуркации волн, заключающийся в использовании 3-мерного “ad hoc” гибридного $\left. \mathbf{r} \right|\mathbf{k}$-представления для двух гауссовых пучков в зоне бифуркации (BZ). Свободные параметры этого представления должны быть выбраны так, чтобы оси обоих пучков в нем локально совпадали. В таком представлении сохраняется параксиальный характер распространения волн, а значит, метод BT в принципе применим. При этом исходное уравнение BT для амплитуды “родительского” пучка в BZ следует временно заменить на систему из двух связанных уравнений типа Баддена–Кравцова [9, 10], а после их расцепления возможен обратный переход в r-пространство и дальнейший расчет распространения двух независимых пучков стандартным методом. Прочие же уравнения BT остаются справедливыми в BZ, и поэтому модифицированная процедура BT будет непрерывной при прохождении BZ и, соответственно, легко реализуемой.

2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ГИБРИДНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Лучевая траектория, также называемая бихарактеристикой, представляет собой кривую в 6‑мерном континууме – совокупности r-пространства и k-пространства. Обозначим ее вектором ${{({{{\mathbf{R}}}^{{(m)T}}}{{{\mathbf{K}}}^{{(m)T}}})}^{T}}$, являющимся вещественной функцией некоторой вещественной переменной s, где m – индекс рассматриваемой волновой моды, а T обозначает транспозицию¹¹. Проекция лучевой траектории на r-пространство выполняет роль расчетного “каркаса” в RT или задает ось гауссова пучка в BT. Гауссов микроволновый пучок математически является 3‑мерным объектом, и его электрическое поле в r-пространстве (в дальнейшем – в r-представлении) имеет вид

Здесь ${{\Phi }^{{\left( m \right)}}}$ – вещественная функция s, а вектор ${\mathbf{E}}_{R}^{{\left( m \right)}}$ и симметричная матрица 3 × 3 ${{{\mathbf{Q}}}^{{\left( m \right)}}}$ – комплексные функции s, причем ${{\dot {\Phi }}^{{\left( m \right)}}} = {{{\mathbf{K}}}^{{\left( m \right)}}}^{T}{{{\mathbf{\dot {R}}}}^{{\left( m \right)}}}$ и ${{{\mathbf{Q}}}^{{\left( m \right)}}}{{{\mathbf{\dot {R}}}}^{{\left( m \right)}}} = {{{\mathbf{\dot {K}}}}^{{\left( m \right)}}}$ (точка обозначает производную по s; подробнее об этих соотношениях, сохраняющихся при BT, см. [8]). Стандартный вариант BT включает в себя нахождение всех упомянутых функций на некотором интервале значений $s$ путем численного интегрирования соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Во многих практических задачах гауссов пучок вида (1) – достаточно хорошее приближение для распределения поля в пространстве. В случаях же, когда квадратичная по ${\mathbf{r}} - {{{\mathbf{R}}}^{{\left( m \right)}}}$ аппроксимация для комплексной фазовой функции ${{\Theta }^{{\left( m \right)}}}$ недостаточно точна, распределение поля обычно может быть представлено суммой конечного числа пучков вида (1) с различными осевыми траекториями [7].

Существуют ситуации, когда параксиальное разложение вида (1) для ${{\Theta }^{{\left( m \right)}}}$ вообще непригодно. Так, в каустике вблизи точки стагнации, где ${{{\mathbf{\dot {R}}}}^{{\left( m \right)}}} = {\mathbf{0}}$, матрица $\operatorname{Re} {{{\mathbf{Q}}}^{{\left( m \right)}}}$ имеет сингулярное поведение. Однако это не является непреодолимым препятствием для BT, так как в k-представлении (после фурье-преобразования по r) распределение поля (1) имеет аналогичный вид гауссова пучка и при ${{{\mathbf{\dot {K}}}}^{{\left( m \right)}}} \ne {\mathbf{0}}$ сохраняет параксиальный и эйкональный характер. Поэтому в подобных зонах можно игнорировать формальную неприменимость модели (1) и временно переходить от интегрирования уравнения для ${{{\mathbf{Q}}}^{{\left( m \right)}}}$ к интегрированию уравнения для обратной матрицы – гессиана фазы пучка в k-представлении. При этом амплитуда и фаза прошедшего пучка за каустикой вычисляются так же, как если бы каустика отсутствовала [8].

Более сложен случай нарушения приближения (1) в области резонансного взаимодействия двух мод (скажем, с индексами 1 и 2) в неоднородной плазме, где соответствующие лучевые траектории, пересекаясь, могут быстро расходиться. Так как в BZ могут быть непараллельны не только векторы ${{{\mathbf{\dot {R}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$ и ${{{\mathbf{\dot {R}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$, но также ${{{\mathbf{\dot {K}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$ и ${{{\mathbf{\dot {K}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$, переход в k-представление не способен вернуть задаче параксиальный характер. Тем не менее локальную параксиальность в BZ может обеспечить переход в некоторое 3-мерное гибридное ${\mathbf{r}}{\text{|}}{\mathbf{k}}$-представление, которое содержит две компоненты r-представления и одну k-представления (или наоборот), причем среди них отсутствуют сопряженные пары вида $\left( {{{r}_{\alpha }},{{k}_{\alpha }}} \right)$. По сути, такое представление является частичным фурье-преобразованием вдоль некоторого направления в пространстве. Формальные математические аспекты переходов в представления такого типа рассматриваются в [13]. Пусть для определенности ${\mathbf{h}} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{k}_{1}}}&{{{r}_{2}}}&{{{r}_{3}}} \end{array}} \right)}^{T}}$, тогда проекция лучевой траектории ${{\left( {{{{\mathbf{R}}}^{{\left( m \right)T}}}\;{{{\mathbf{K}}}^{{\left( m \right)T}}}} \right)}^{T}}$ на h-пространство – вектор ${{{\mathbf{H}}}^{{\left( m \right)}}} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {K_{1}^{{\left( m \right)}}}&{R_{2}^{{\left( m \right)}}}&{R_{3}^{{\left( m \right)}}} \end{array}} \right)}^{T}}$, – очевидно, будет зависеть от выбора направлений координатных ортов (в отличие от “чистых” r- и k-представлений). Основная идея рассматриваемого подхода заключается в том, что правильным выбором ортов можно добиться локальной параллельности векторов ${{{\mathbf{\dot {H}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$ и ${{{\mathbf{\dot {H}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$ в BZ. В дальнейшем будем называть h-представлением именно такой вариант ${\mathbf{r}}{\text{|}}{\mathbf{k}}$-представления. Алгоритм выбора ортов может быть следующим. Пусть орт ${{{\mathbf{e}}}_{1}}$ находится в той же плоскости, что и векторы ${{{\mathbf{\dot {R}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$ и ${{{\mathbf{\dot {R}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$, тогда, независимо от выбора остальных ортов, проекции ${{{\mathbf{\dot {R}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$ и ${{{\mathbf{\dot {R}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$ на плоскость $\left( {{{r}_{2}},{{r}_{3}}} \right)$ параллельны. Следовательно, $\dot {R}_{2}^{{(2)}}{\text{/}}\dot {R}_{2}^{{(1)}} = \dot {R}_{3}^{{(2)}}{\text{/}}\dot {R}_{3}^{{(1)}} = \xi (\theta )$, где $\theta $ – угол между ${{{\mathbf{e}}}_{1}}$ и ${{{\mathbf{\dot {R}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$. Зависимость $\xi \left( \theta \right)$ имеет вид ${{C}_{1}} + {{C}_{2}}\operatorname{ctg} \theta $. При этом функция $\zeta \left( \theta \right) = $ $ = {{\dot {K}_{1}^{{\left( 2 \right)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\dot {K}_{1}^{{\left( 2 \right)}}} {\dot {K}_{1}^{{\left( 1 \right)}}}}} \right. \kern-0em} {\dot {K}_{1}^{{\left( 1 \right)}}}}$ – существенно более пологая, чем $\xi \left( \theta \right)$. Для параллельности ${{{\mathbf{\dot {H}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$ и ${{{\mathbf{\dot {H}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$ требуется $\zeta = \xi $, что и достигается подбором $\theta $.

Выясним связь между функциями, характеризующими гауссов пучок в r- и h-представлениях, на участках траектории, примыкающих к BZ, где параксиальное приближение справедливо в обоих представлениях. Как и при переходе к k-представлению [8], будем считать амплитуду ${\mathbf{E}}_{R}^{{\left( m \right)}}$ практически неизменной на коротком интервале $\Delta s$, который вносит основной вклад в интеграл Фурье. Тогда фурье-преобразование выражения (1) по координате ${{r}_{1}}$ приводит к следующему виду электрического поля волны в h-представлении²²:

Здесь $\Xi $ – комплексная фазовая функция пучка в h-представлении, а комплексная матрица V – ее гессиан. Таким образом, $\mathcal{E}\left( {\mathbf{h}} \right)$ математически также представляет собой гауссов пучок. Новые функции переменной s в (2) связаны со старыми так:

Отметим, что все свойства новых функций в (2) аналогичны свойствам соответствующих функций в r-представлении гауссова пучка (1). Из (3) следует, что при обратном переходе к r-представлению имеют место соотношения

Для выполнения процедуры BT внутри BZ необходимо задать начальные значения всех функций в (2) для пучка, выделяющегося из “родительского” (чья мода имеет индекс 1) с уже известными значениями ${{{\mathbf{H}}}^{{\left( 1 \right)}}}$, ${{{\mathbf{P}}}^{{\left( 1 \right)}}}$,${{{\mathbf{V}}}^{{\left( 1 \right)}}}$ и ${{\Psi }^{{\left( 1 \right)}}}$. Начальные значения для нового пучка соответствуют точке бифуркации, а значит, ${{{\mathbf{H}}}^{{\left( 2 \right)}}} = {{{\mathbf{H}}}^{{\left( 1 \right)}}}$ и ${{{\mathbf{P}}}^{{\left( 2 \right)}}} = {{{\mathbf{P}}}^{{\left( 1 \right)}}}$. Начальное значение ${{{\mathbf{V}}}^{{\left( 2 \right)}}}$ определяется следующими условиями. Возможность формирования нового пучка в существующем поле “родительского” пучка подразумевает (i) идентичность их поперечных профилей интенсивности поля и (ii) согласованность кривизны их волновых фронтов. Первое условие означает $\operatorname{Im} {{{\mathbf{V}}}^{{\left( 2 \right)}}} = \operatorname{Im} {{{\mathbf{V}}}^{{\left( 1 \right)}}}$, а для выполнения второго требуется, чтобы $\operatorname{Re} {{{\mathbf{V}}}^{{\left( 2 \right)}}}$ одновременно удовлетворяло уравнениям ${{{\mathbf{V}}}^{{\left( 2 \right)}}}{{{\mathbf{\dot {H}}}}^{{\left( 1 \right)}}} = {{{\mathbf{\dot {P}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$ и ${{{\mathbf{V}}}^{{\left( 2 \right)}}}{{{\mathbf{\dot {H}}}}^{{\left( 2 \right)}}} = {{{\mathbf{\dot {P}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$, которые однозначно определяют 6 независимых компонент $\operatorname{Re} {{{\mathbf{V}}}^{{\left( 2 \right)}}}$. Так как поляризации двух пучков различны, выбор начального значения ${{\Psi }^{{\left( 2 \right)}}}$ не столь очевиден; он станет ясен из результатов разд. 3.

3. АМПЛИТУДНЫЕ УРАВНЕНИЯ В BZ

Все уравнения BT, за исключением амплитудных, остаются справедливыми для пучков в h‑представлении в BZ и поэтому здесь не приводятся. Уравнения же для $\mathcal{E}_{H}^{{\left( 1 \right)}}$ и $\mathcal{E}_{H}^{{\left( 2 \right)}}$ могут быть получены из векторного волнового уравнения максимально общего вида, записанного в h-представлении. Исходное нелокальное волновое уравнение в r-представлении для монохроматической волны в слабонеоднородной стационарной среде имеет вид (подробнее см. [6–8])

где дисперсионное ядро L – матрица 3 × 3, чей конкретный вид для дальнейшего изложения не существен. Из (5) непосредственно следует волновое уравнение в h-представлении с дисперсионным ядром $\mathcal{L}\left( {{\mathbf{h}}{\text{''}},{\mathbf{h}}} \right)$ = = ${{(2\pi )}^{{ - 2}}}\int {\exp (i{\mathbf{h}}{\text{'}}{{{\text{'}}}^{T}}{\mathbf{p}}){\mathbf{\Lambda }}({\mathbf{p}},{\mathbf{h}}){{d}^{3}}{\mathbf{p}}} $, где ${\mathbf{p}} = {{(\begin{array}{*{20}{c}} { - {{r}_{1}}}&{{{k}_{2}}}&{{{k}_{3}}} \end{array})}^{T}}$, а дисперсионный тензор ${\mathbf{\Lambda }}\left( {{\mathbf{p}},{\mathbf{h}}} \right)$ отличается от своего аналога в r-представлении ${\mathbf{\Lambda }}\left( {{\mathbf{k}},{\mathbf{r}}} \right)$ = = $\int {\exp \left( { - i{{{\mathbf{k}}}^{T}}{\mathbf{r}}{\text{''}}} \right){\mathbf{L}}\left( {{\mathbf{r}}{\text{''}},{\mathbf{r}}} \right){{d}^{3}}{\mathbf{r}}{\text{''}}} $ лишь формальным обозначением переменных. Как и в r-представлении [6], поле $\mathcal{E}\left( {{\mathbf{h}},t} \right)$ может быть представлено суперпозицией локально плоских волн вида ${\mathbf{A}}\left( {{\mathbf{p}},{\mathbf{h}}} \right)\exp \left( {i{{{\mathbf{p}}}^{T}}{\mathbf{h}} - i\omega t} \right)$ с амплитудой, являющейся медленной функцией h. Уравнение (6) по виду подобно уравнению (5), поэтому подобным же образом (см. [7]) получаем уравнение для ${\mathbf{A}}$(здесь и далее подразумевается суммирование от 1 до 3 по повторяющимся греческим индексам). При выводе (7) слагаемые, содержащие производные по ${\mathbf{h}}$, полагались величинами первого порядка малости, при этом последнее слагаемое имеет тот же порядок малости только из-за поперечной неоднородности пучка.

Пусть ${\mathbf{D}} = \operatorname{diag} ({{\lambda }^{{(1)}}},{{\lambda }^{{(2)}}},{{\lambda }^{{(3)}}})$ и ${\mathbf{X}} = ({{{\mathbf{x}}}^{{(1)}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{{\mathbf{x}}}^{{(2)}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{{\mathbf{x}}}^{{(3)}}})$, где ${{\lambda }^{{\left( \alpha \right)}}}$ – собственные значения матрицы ${\mathbf{\Lambda }}$, а ${{{\mathbf{x}}}^{{\left( \alpha \right)}}}$ – соответствующие им правые собственные векторы, причем $\left| {{{{\mathbf{x}}}^{{\left( \alpha \right)}}}} \right| = 1$. Тогда ${\mathbf{\Lambda X}} = {\mathbf{XD}}$ и, следовательно, ${\mathbf{\Lambda }} = {\mathbf{XD}}{{{\mathbf{X}}}^{{ - 1}}}$. Умножим (7) слева на ${{{\mathbf{X}}}^{{ - 1}}}$ и введем вектор ${\mathbf{z}} = {{{\mathbf{X}}}^{{ - 1}}}{\mathbf{A}}$. Так как ${\mathbf{A}} = {{z}_{\alpha }}{{{\mathbf{x}}}^{{\left( \alpha \right)}}}$, компоненты ${{z}_{\alpha }}$ – комплексные амплитуды собственных мод. Кроме того, введем обозначения

В результате из (7) получаем

В случае, если рассматриваемая точка лежит на общей оси гауссовых пучков различных мод, можно считать ${{{{\partial }^{2}}{{z}_{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}{{z}_{m}}} {\partial {{h}_{\alpha }}\partial {{h}_{\beta }}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{h}_{\alpha }}\partial {{h}_{\beta }}}} \approx iV_{{\alpha \beta }}^{{\left( m \right)}}{{z}_{m}}$ (без суммирования по m).

Рассмотрим область резонансного взаимодействия двух свободно распространяющихся мод, где $\left| {{{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}} \right|,\left| {{{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}}} \right| \ll 1$ и $\left| {{{\lambda }^{{\left( 3 \right)}}}} \right| \sim 1$, тогда $\left| {{{z}_{3}}} \right| \ll \left| {{{z}_{1}}} \right|,\left| {{{z}_{2}}} \right|$; умножив первые два уравнения системы (9) соответственно на $z_{1}^{*}$ и $z_{2}^{*}$, в ведущем порядке малости имеем

где $m = 1,2$ и ${{\theta }_{m}} = \arg {{z}_{m}}$. Сделаем ряд упрощающих предположений, не необходимых, но позволяющих избавиться в окончательных уравнениях от учета второстепенных для данной работы эффектов. Будем считать дисперсионный тензор эрмитовым (${\mathbf{\Lambda }} = {\mathbf{\Lambda }}{{{\text{*}}}^{T}}$, $\operatorname{Im} {{\lambda }^{{\left( m \right)}}} = 0$) в рассматриваемой области и, соответственно, пренебрегать диссипацией энергии мод. Кроме того, заметим, что в среднем недиагональные элементы матрицы ${{{\mathbf{G}}}_{\alpha }}$ по абсолютной величине значительно меньше ее диагональных элементов: при $m \ne n$ величины ${{{\mathbf{x}}}^{{\left( m \right)*T}}}\left( {{{\partial {\mathbf{\Lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {\mathbf{\Lambda }}} {\partial {{p}_{\alpha }}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{p}_{\alpha }}}}} \right){{{\mathbf{x}}}^{{\left( n \right)}}}$ стремятся к нулю в случаях близости ${{{\mathbf{x}}}^{{\left( m \right)}}}$ или ${{{\mathbf{x}}}^{{\left( n \right)}}}$ к одному из собственных векторов матрицы ${{\partial {\mathbf{\Lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {\mathbf{\Lambda }}} {\partial {{p}_{\alpha }}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{p}_{\alpha }}}}$, так как ${{{\mathbf{x}}}^{{\left( m \right)*T}}}{{{\mathbf{x}}}^{{\left( n \right)}}} = {{\delta }_{{mn}}}$. Как известно из рассмотрения в r‑представлении [7], недиагональные элементы ${{{\mathbf{G}}}_{\alpha }}$ ответственны за эффект слабого нерезонансного взаимодействия между модами, поэтому в данном контексте ими можно пренебречь. Наконец, будем полагать, что BZ не совпадает с каустикой, то есть амплитуда ${\mathbf{A}}\left( {{\mathbf{p}},{\mathbf{h}}} \right)$ отлична от нуля лишь в небольшой окрестности значения ${\mathbf{p}} = {{\partial {{\Psi }^{{\left( 1 \right)}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\Psi }^{{\left( 1 \right)}}}} {\partial {\mathbf{h}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {\mathbf{h}}}}$, а значит, в BZ вдоль общей оси взаимодействующих пучков допустима факторизация ${{z}_{m}}({\mathbf{p}},{{{\mathbf{H}}}^{{(m)}}}(s))$ = = $\mathcal{E}_{H}^{{\left( m \right)}}(s)\exp \left( {i{{\Psi }^{{(m)}}}(s)} \right)g({\mathbf{p}})$. Тогда, учитывая, что ${{\partial {{\lambda }^{{\left( m \right)}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\lambda }^{{\left( m \right)}}}} {\partial {\mathbf{p}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {\mathbf{p}}}} = {{{\mathbf{\dot {H}}}}^{{\left( m \right)}}}$, переход к лучевым уравнениям осуществляется с помощью замены

Подставляя (11) в вещественные части уравнений (10), получаем систему уравнений типа Баддена–Кравцова [9, 10] для абсолютных значений амплитуд

где

Мнимые части уравнений (10) дают дисперсионные уравнения

где введено обозначение ${{{\mathbf{\hat {P}}}}^{{\left( m \right)}}} = {{\partial \arg \mathcal{E}_{H}^{{\left( m \right)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \arg \mathcal{E}_{H}^{{\left( m \right)}}} {\partial {\mathbf{h}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {\mathbf{h}}}} + $ $ + \;{{\left| {x_{\alpha }^{{\left( m \right)}}} \right|}^{2}}{{\partial \arg x_{\alpha }^{{\left( m \right)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \arg x_{\alpha }^{{\left( m \right)}}} {\partial {\mathbf{h}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {\mathbf{h}}}}$. Этот вектор, очевидно, определяет эволюцию фазы ${{\psi }^{{\left( m \right)}}} = \int {{{{\left( {{{\partial {{\lambda }^{{\left( m \right)}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\lambda }^{{\left( m \right)}}}} {\partial {\mathbf{p}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {\mathbf{p}}}}} \right)}}^{T}}{{{{\mathbf{\hat {P}}}}}^{{\left( m \right)}}}ds} $ функции $\mathcal{E}_{H}^{{\left( m \right)}}$ – дополнительного к ${{\Psi }^{{\left( m \right)}}}$ сдвига фазы пучка.

Формирование и рост мощности нового пучка происходят при условии фазовой когерентности, которое, как следует из (12) и (13), имеет вид $\operatorname{Im} W = 0$, $\operatorname{Re} W < 0$. Это условие определяет начальное значение функции ${{\Psi }^{{\left( 2 \right)}}}$. В случае $\left| {{{U}^{{\left( m \right)}}}} \right| \ll \left| W \right|$ темп перекачки энергии между двумя пучками можно оценить с помощью простого уравнения

которое приближенно соответствует системе (12). С ростом s величина $\left| {\arg W} \right|$ возрастает, так как в общем случае ${{\dot {\Psi }}^{{\left( 1 \right)}}} \ne {{\dot {\Psi }}^{{\left( 2 \right)}}}$. Начиная со значений $\left| {\arg W} \right| \sim 1$ резонансное взаимодействие двух мод практически прекращается, так как вклад противоположных по знаку полупериодов $\operatorname{Re} W$ почти полностью компенсируется. Весь интервал эффективного взаимодействия пучков оказывается короче, чем характерная длина участка, где ${{{\mathbf{\dot {H}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$ и ${{{\mathbf{\dot {H}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$ параллельны. Превращение пучков в независимо распространяющиеся подразумевает замены $\operatorname{Re} W \to 0$ и $\operatorname{Im} W \to 0$ в (12) и (13), после чего в процедуре BT может быть осуществлен обратный переход от h- к r-представлению и стандартной технике расчета.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе описан принцип модификации стандартного метода BT, позволяющей использовать его в зонах бифуркации микроволновых пучков в неоднородной плазме, сопровождающейся линейной трансформацией мод. Основным результатом статьи является описанный в разд. 2 метод перехода в 3-мерное гибридное пространственно-спектральное представление, выбранное таким образом, что в нем оси двух пучков локально совпадают. Это дает принципиальную возможность, оставаясь в рамках параксиального приближения, применять для расчетов в BZ обычные уравнения BT, за исключением амплитудных уравнений. Вероятно, этот метод может быть использован для понижения размерности и в ряде других волновых задач в трехмерно-неоднородных конфигурациях; он более универсален и гибок, чем использованный в [8] метод перехода в k-представление.

В разд. 3 показано, что амплитуды взаимодействующих пучков в h-представлении подчиняются системе связанных обыкновенных дифференциальных уравнений типа Баддена–Кравцова, которые переходят в стандартные независимые уравнения BT за пределами BZ. Полученные уравнения, как следует из их вывода, допускают обобщения на физически и практически интересные ситуации, в которых важен учет диссипации (BZ находится в области резонансного поглощения, темп которого весьма различен для участвующих мод). В типичных схемах электронно-циклотронного нагрева плазмы в токамаках и стеллараторах такие ситуации не являются экзотическими.

Детали численной реализации предложенного подхода в коде TRUBA [14], аналитические результаты, связанные с дисперсионными зависимостями мод и наличием диссипации, и демонстрационные расчеты будут содержаться в отдельной, более обширной статье.

Работа выполнена в рамках исследований по государственному заданию “Физика высокотемпературной плазмы. Фундаментальные проблемы динамики, удержания и нагрева плазмы в трехмерных магнитных конфигурациях” (НИОКТР АААА-А19-119121790086-9, тема № 0024-2019-0006).