Физика плазмы, 2021, T. 47, № 1, стр. 3-21

2.1. Уравнения динамики филаментов

В работе рассматривается движение блобов, характеризующихся длиной L и поперечным радиусом $\delta $, в плазме с малым значением параметра $\beta = 8\pi p{\text{/}}{{B}^{2}} < {{m}_{e}}{\text{/}}{{m}_{i}}$. Для описания переноса филаментов используются уравнения для плотности, n, и завихренности, $\varpi $, плазмы, температуры электронов, ${{T}_{e}}$, и продольной компоненты векторного потенциала, ${{A}_{\parallel }}$:

Здесь $\varpi = {{\nabla }_{ \bot }}(n{{\nabla }_{ \bot }}\varphi ) \approx n\nabla _{ \bot }^{2}\varphi $ – завихренность плазмы в приближении Буссинеска (границы применимости этого приближения обсуждаются ниже), ${{p}_{e}} = n{{T}_{e}}$ – давление электронов, ${{{\mathbf{b}}}_{0}} = {\mathbf{B}}{\text{/}}B$ – единичный вектор вдоль направления невозмущенного магнитного поля B$,$ $\kappa = ({{{\mathbf{b}}}_{0}} \cdot \nabla ){{{\mathbf{b}}}_{0}} \sim - {{{\mathbf{e}}}_{x}}{\text{/}}{{R}_{c}}$ и ${{R}_{c}}$ – вектор и радиус кривизны силовых линий магнитного поля соответственно,${{j}_{\parallel }} = ne({{V}_{{i\parallel }}} - {{V}_{{e\parallel }}})$ – продольный электрический ток в плазме, σ = $ = 1.96n{{e}^{2}}{{\tau }_{{ei}}}{\text{/}}{{m}_{e}}$ – продольный коэффициент электропроводности плазмы, ${{\tau }_{{ei}}} = 3m_{e}^{{1/2}}T_{e}^{{3/2}}{\text{/}}$ ${\text{/}}(4\sqrt {2\pi } n{{e}^{4}}ln{{\Lambda }_{{ei}}})$ – характерное время электрон-ионных столкновений, $ln{{\Lambda }_{{ei}}} = 10$ – кулоновский логарифм, ${{\omega }_{i}} = eB{\text{/}}({{m}_{i}}c)$ – циклотронная частота ионов, $e$ – элементарный электрический заряд, ${{m}_{i}}$ и ${{m}_{e}}$ – массы иона и электрона соответственно, $c$ – скорость света.

Дифференциальные операторы, входящие в систему уравнений (1)–(4), определены следующим образом: $d{\text{/}}dt = \partial {\text{/}}\partial t + {{{\mathbf{V}}}_{E}} \cdot \nabla $ – полная производная по времени, где ${{{\mathbf{V}}}_{{\text{E}}}} = (c{\text{/}}B)({{{\mathbf{b}}}_{0}} \times \nabla \varphi )$ – скорость дрейфа плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях, $\partial _{\parallel }^{0} = {{{\mathbf{b}}}_{0}} \cdot \nabla $ – производная вдоль направления магнитного поля, определенная на невозмущенном векторе ${{{\mathbf{b}}}_{0}}$, и ${{\nabla }_{\parallel }}( \ldots ) = B\partial _{\parallel }^{0}[( \ldots ){\text{/}}B]$ – продольная (т.е. вдоль вектора ${{{\mathbf{b}}}_{0}}$) компонента оператора дивергенции.

Подчеркнем, что в уравнениях (1)–(4) отсутствуют слагаемые вида ${\mathbf{\tilde {b}}} \cdot \nabla f \equiv [(\nabla {{A}_{\parallel }} \times {{{\mathbf{b}}}_{0}}){\text{/}}B] \cdot \nabla f$, связанные с возмущением силовых линий магнитного поля, или магнитным флаттером. Как показывают оценки этих слагаемых [44], они имеют порядок величины $\beta (L{\text{/}}\delta )$ по сравнению с производными $\partial _{\parallel }^{0}f$ и поэтому могут быть опущены в плазме со значениями $\beta < \delta {\text{/}}L$. По этой же причине в законе Ома (4) отсутствует слагаемое ${{{\mathbf{V}}}_{E}} \cdot \nabla {{A}_{\parallel }}$, также имеющее порядок малости $\beta (L{\text{/}}\delta ) < 1$ по сравнению с ведущим членом $\partial _{\parallel }^{0}\varphi $. Оценка величины параметра $\beta (L{\text{/}}a)$ для пристеночной плазмы вблизи сепаратрисы токамака Т‑15МД в разряде с низкой плотностью [45, 46] ($n \sim {{10}^{{13}}}$ см^–3, ${{T}_{e}} \sim 50$ эВ, $B \sim 2$ Тл, ${{R}_{c}} \sim 1.5$ м, $L \approx 55$ м, $\delta \sim 1.5$ см) составляет $\beta (L{\text{/}}\delta ) \approx 0.18 \ll 1$, позволяя пренебречь вкладом магнитного флаттера в движение плазмы.

Заметим, что под понятием возмущения магнитного поля в работе подразумевается дополнительное поле ${\mathbf{\tilde {B}}} = \nabla {{A}_{\parallel }} \times {{{\mathbf{b}}}_{0}}$, возникающее за счет собственных электрических токов, циркулирующих внутри филаментов. Для характерных параметров плазмы блобов величина поля ${\mathbf{\tilde {B}}}$ оказывается существенно меньше величины равновесного магнитного поля B [30, 44]. Малость $\tilde {B} \ll B$ позволяет в явном виде выделить в уравнениях динамики плазмы слагаемые, связанные с искривлением линий магнитного поля, приводя к записи продольной производной ${{\partial }_{\parallel }}f$ в виде ${{\partial }_{\parallel }}f = {\mathbf{b}} \cdot \nabla f = {{{\mathbf{b}}}_{0}} \cdot \nabla f + {\mathbf{\tilde {b}}} \cdot \nabla f \equiv \partial _{\parallel }^{0}f + {{\tilde {\partial }}_{{||}}}f$, где ${{\tilde {\partial }}_{{||}}}f = {\mathbf{\tilde {b}}} \cdot \nabla f = [(\nabla {{A}_{\parallel }} \times {{{\mathbf{b}}}_{0}}){\text{/}}B] \cdot \nabla f$ – производная от функции $f$ вдоль направления вектора ${\mathbf{\tilde {b}}}$ [44]. Операторы пространственных производных, входящие при этом в уравнения движения плазмы, оказываются определены параметрами равновесной магнитной геометрии установки.

Отметим, что использованное выше значение длины филамента, $L = 55$ м, было рассчитано напрямую на основе данных о магнитном равновесии плазменного шнура в установке [45, 46]. Найденное значение при этом превышает оценочное, $2\pi q{{R}_{c}} \sim 40$ м, получаемое для значений коэффициента запаса устойчивости в пристеночной области токамака, $q = (a{\text{/}}{{R}_{c}})({{B}_{t}}{\text{/}}{{B}_{p}})$ ~ 4–5 (для оценки взяты малый радиус токамака $a = 0.67$ м, большой радиус ${{R}_{c}} = 1.5$ м, отношение тороидальной и полоидальной компонент магнитного поля ${{B}_{t}}{\text{/}}{{B}_{p}} \sim 10$ [47, 48]). Подобное различие между точным и оценочным значениями длины L связано с тем, что по мере удаления от магнитной оси установки отношение величин тороидальной и полоидальной компонент магнитного поля может увеличиваться, приводя к уменьшению угла наклона силовой линии по отношению к тороидальной оси установки и, как результат, к росту L.

Связь тока ${{j}_{\parallel }}$ и продольной компоненты векторного потенциала ${{A}_{\parallel }}$ задается законом Ампера и может быть представлена в виде

где $\nabla _{ \bot }^{2} = {{\nabla }^{2}} - \nabla _{\parallel }^{2}$ – поперечная компонента оператора Лапласа.

Кратко перечислим основные физические приближения, использованные при записи уравнений модели. Ионы однократно ионизованы и имеют температуру ${{T}_{i}} \ll {{T}_{e}}$ (приближение холодных ионов). Диффузия компонентов плазмы и распространение ионного звука вдоль силовых линий магнитного поля отсутствует, поскольку считается, что характерное время стекания плазмы на стенку, ${{\tau }_{\parallel }} \sim L{\text{/}}{{c}_{s}}$ (${{c}_{s}} = \sqrt {{{T}_{e}}{\text{/}}{{m}_{i}}} $ – скорость ионного звука), значительно больше характерных временных масштабов движения блобов поперек силовых линий магнитного поля, ${{\tau }_{ \bot }} \sim \delta {\text{/}}{{V}_{{\text{E}}}}$, т.е. ${{\tau }_{\parallel }} \gg {{\tau }_{ \bot }}$. Для филамента с длиной $L \sim 55$ м, радиусом $\delta \sim 1.5$ см и температурой электронов ${{T}_{e}}\sim $ ~ 50 эВ, движущегося в магнитном поле $B \sim 2$ Тл с радиусом кривизны силовых линий ${{R}_{c}} \sim 1.5$ м, ${{\tau }_{\parallel }}$ оказывается величиной порядка 1 мс, что значительно превышает характерный временной масштаб поперечного смещения филамента ${{\tau }_{ \bot }}$ ~ 8–10 мкс (для оценки ${{\tau }_{ \bot }}$ взято соотношение ${{\tau }_{ \bot }}$ ~ $ \sim ({{R}_{c}}{\text{/}}L)(\delta {\text{/}}{{\rho }_{s}})(\delta {\text{/}}{{c}_{s}})$ [42]). Аналогично, перетекание тепла вдоль линий магнитного поля за счет механизмов теплопроводности, ${{\tau }_{{q,dif.}}}$, и конвекции, ${{\tau }_{{q,conv.}}}$, также считается происходящим на масштабах времени, значительно превосходящих ${{\tau }_{ \bot }}$. Для теплопроводностного механизма передачи тепла имеем ${{\tau }_{{q,dif.}}} \sim (3n{{L}^{2}}){\text{/}}(2{{\varkappa }_{{e\parallel }}}) \sim 0.5{{m}_{e}}{{L}^{2}}{\text{/}}({{T}_{e}}{{\tau }_{{ei}}})$ (${{\varkappa }_{{e\parallel }}} = 3.16n{{T}_{e}}{{\tau }_{{ei}}}{\text{/}}{{m}_{e}}$ – продольный коэффициент теплопроводности электронов), в то время как для конвективного механизма при оценках ${{q}_{{e\parallel ,conv.}}} \approx 2.5n{{T}_{e}}{{V}_{{e\parallel }}}$, ${{V}_{{e\parallel }}} \sim {{c}_{s}}$ (плазма течет вдоль линий магнитного поля как целое) – ${{\tau }_{{q,conv.}}} \sim 0.6{{\tau }_{\parallel }} \sim {{\tau }_{\parallel }}$. Вновь принимая для оценки указанные выше параметры плазмы Т-15МД, находим ${{\tau }_{{q,dif.}}} \sim 200$ мкс, ${{\tau }_{{q,conv.}}} \sim 700$ мкс, так что оба масштаба оказываются значительно больше ${{\tau }_{ \bot }}$. По этой причине в уравнении (3) отсутствует вклад от продольного потока тепла электронов. Частота столкновений электронов и нейтральных частиц, ${{\nu }_{{en}}}$, считается малой по сравнению с частотой электрон-ионных столкновений, ${{\nu }_{{ei}}}$, так что вклад нейтралов в закон Ома не учитывается. При записи уравнения (4) также опущен инерционный член $n{{m}_{e}}d{{V}_{{e\parallel }}}{\text{/}}dt$. Это связано с тем, что для крупномасштабных возмущений ${{A}_{\parallel }}$ с характерным поперечным масштабом $\delta $ вклад инерционного слагаемого в закон Ома имеет порядок малости ${{[c{\text{/}}({{\omega }_{{pe}}}\delta )]}^{2}} \ll 1$ для плазмы с плотностью ${{n}_{0}} \sim {{10}^{{13}}}$ см^–3 при $\delta \sim 1$ см. Числа Рейнольдса для поперечных диссипативных эффектов, таких как поперечные вязкость и диффузия, велики по сравнению с единицей, $\mathop {{\text{Re}}}\nolimits_\eta ,\mathop {{\text{Re}}}\nolimits_D > 1$, так что влиянием этих величин на движение филаментов можно пренебречь. Далее, поскольку уравнения динамики плазмы получены в гидродинамическом приближении, они справедливы при выполнении условий ${\text{K}}{{{\text{n}}}_{\parallel }} = {{\lambda }_{{ei}}}{\text{/}}L \ll 1$ (${{\lambda }_{{ei}}} = {{v}_{{Te}}}{{\tau }_{{ei}}}$, ${{v}_{{Te}}} \sim $ $ \sim \sqrt {{{T}_{e}}{\text{/}}{{m}_{e}}} $ – длина свободного пробега и тепловая скорость электронов соответственно), ${\text{K}}{{{\text{n}}}_{ \bot }} = $ $ = {{\rho }_{s}}{\text{/}}\delta \ll 1$. Наконец, нужно отметить, что использование приближения Буссинеска для завихренности плазмы [$\varpi = {{\nabla }_{ \bot }}(n{{\nabla }_{ \bot }}\varphi ) \approx n\nabla _{ \bot }^{2}\varphi \Leftrightarrow $ $ \Leftrightarrow {{\nabla }_{ \bot }}n \cdot {{\nabla }_{ \bot }}\varphi \ll n\nabla _{ \bot }^{2}\varphi $] оправдано, как показывает численный анализ эффекта [49], в случае не слишком больших плотностей филаментов, ${{n}_{b}}$, ${{n}_{b}}{{{\text{/}}}_{0}} < 2{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 3$, часто встречающихся в экспериментах [24].

Отдельно отметим, что в правых частях уравнений (1) и (3) удержаны слагаемые, имеющие порядок малости ${\text{{\rm K}}}{{{\text{n}}}_{ \bot }} \ll 1$ по сравнению с ведущими членами в левых частях соответствующих уравнений. Как показывают оценки устойчивости динамики блобов в случае однородного распределения температуры компонентов плазмы [20], учет подобных слагаемых необходим для получения физически правильной зависимости инкремента резистивной дрейфовой неустойчивости ${{\gamma }_{{{\text{RDW}}}}}$ от поперечного волнового числа ${{k}_{ \bot }}$, исключающей неограниченный рост ${{\gamma }_{{{\text{RDW}}}}}$ с уменьшением поперечного масштаба неустойчивых возмущений.

В работе принята ортогональная система координат. Ось y направлена вдоль силовых линий магнитного поля ${{{\mathbf{b}}}_{0}} = {\text{const}}$, ось x ориентирована в радиальном направлении (нормально к магнитным поверхностям, от сепаратрисы к стенке вакуумной камеры), ось z перпендикулярна обеим осям x и y. Геометрия области, в которой рассматривается движение филамента (плоский слой), и геометрия пристеночной плазмы токамака представлены на рис. 1. Заметим, что оси z и ζ, строго говоря, не совпадают друг с другом. Однако, как будет обсуждаться ниже, ось z может рассматриваться в качестве аналога магнитной оси установки, поскольку в этом направлении приняты периодические граничные условия для всех параметров плазмы. Подчеркнем, что используемая в работе система координат модельная и не учитывает ряд геометрических эффектов, таких как деформация формы филамента при изменении формы потоковой трубки [30, 35], магнитный шир [33, 34], тороидальность и т.д., которые могут влиять на характер движения филаментов на периферии установки [42]. Такой выбор системы отсчета позволяет минимизировать воздействие геометрии магнитного поля на динамику плазмы и анализировать именно совместное влияние электромагнитных эффектов и температурных неоднородностей в плазме на движение филаментов [23].

Система уравнений (1)–(4) замыкается при помощи следующей системы граничных условий. В направлении оси z для всех параметров плазмы использованы периодические граничные условия. Вдоль оси x на границах рассматриваемой области движения блобов приняты граничные условия Неймана (нулевой градиент поля в соответствующем направлении). Их применение при условии, что блоб находится на достаточном удалении от радиальных стенок области расчетов не вносит сколь-нибудь заметных искажений в результаты численных расчетов.

Вдоль оси y принят следующий набор граничных условий. Поскольку торцы блоба считаются находящимися в электрическом контакте с проводящими стенками, то вдоль направления магнитного поля, на концах силовых линий используются граничные условия для предслоя. Ток внутри предслоя содержит лишь электростатическую компоненту, определяемую как

в то время как на входе в предслой продольный ток обладает как электростатической, так и электромагнитной компонентами при этом для определения $\partial {{A}_{\parallel }}{\text{/}}\partial t{{{\text{|}}}_{{ \pm L/2}}}$ приняты граничные условия Неймана, и $\Lambda \approx 3$ – нормированный на электронную температуру плавающий потенциал. Взятые совместно, условия (6) и (7) позволяют определить распределение потенциала φ на границе “плазма–предслой”.

Нужно отметить, что условие (6) для тока, текущего в предслое, записано в линеаризованной форме, наиболее просто реализуемой в численной схеме расчетной программы. Использование вместо него точного граничного условия ограничивает предельное значение тока, который может быть пропущен через предслой, влияя тем самым на баланс токов в блобе и характер его распространения в плазме [50]. Несмотря на это, качественные выводы о характере влияния электромагнитных и температурных эффектов на движение филаментов, представленные в работе, не поменяются. По этой причине ниже используется граничное условие для ${{j}_{\parallel }}$ именно в форме (6).

Для оставшихся параметров плазмы: плотности n, завихренности $\varpi $ и температуры ${{T}_{e}}$ на торцах филамента приняты граничные условия Неймана, $\partial _{\parallel }^{0}f{{{\text{|}}}_{{ \pm L/2}}} = 0$ ($f = n,\varpi ,{{T}_{e}}$). Их использование отражает принятое выше предположение о том, что перетекание плазмы и перенос энергии электронами вдоль силовых линий почти отсутствуют на временных масштабах порядка ${{\tau }_{ \bot }}$.

2.2. Оценки влияния электромагнитных и температурных эффектов на движение блобов

Электромагнитные эффекты, которые могут оказывать влияние на движение блобов, – скин-эффект и распространение альфвеновских волн вдоль силовых линий магнитного поля. Действие первого механизма связано с тем, что токи, существующие внутри филамента и движущиеся вместе с ним поперек силовых линий магнитного поля, порождают вихревые электрические поля, влияющие на баланс токов в плазме блоба, при условии малости отношения глубины скин-слоя ${{\delta }_{s}}$ к характерному поперечному размеру филамента δ. Действительно, подставляя соотношение (5) для закона Ампера в закон Ома (4), после преобразований находим

где ${{D}_{m}} = {{c}^{2}}{\text{/}}(4\pi \sigma )$ – коэффициент диффузии магнитного поля в плазме. При условии δ > δ_s = $ = \sqrt {{{D}_{m}}{{\tau }_{ \bot }}} $, или ${{\tau }_{ \bot }} < {{\tau }_{s}} = {{\delta }^{2}}{\text{/}}{{D}_{m}}$, где ${{\delta }_{s}}$ и ${{\tau }_{s}}$ – глубина скин-слоя и скиновое время соответственно, слагаемое $\partial {{A}_{\parallel }}{\text{/}}\partial t$ в левой части уравнения оказывается сравнимым или даже большим, чем ${{D}_{m}}\nabla _{ \bot }^{2}{{A}_{\parallel }}$, так что процесс формирования и установления картины распределения токов внутри филамента становится комбинацией электростатического и электромагнитного откликов.

Сравнение параметров ${{\tau }_{s}}$ и ${{\tau }_{ \bot }}$ показывает [42, 43], что для филаментов, поперечный размер которых меньше критического $\delta < {{\delta }_{*}} = $ $ = {{\rho }_{s}}{{[{{L}^{2}}{\text{/}}(2{{R}_{c}}{{\rho }_{s}})]}^{{1/5}}}$ (${{\rho }_{s}} = {{c}_{s}}{\text{/}}{{\omega }_{i}}$ – ионный гирорадиус), отношение $\delta {\text{/}}{{\delta }_{s}} > 1$ (или ${{\tau }_{s}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} > 1$) выполнено при условии ${{[D_{m}^{2}{{R}_{c}}{\text{/}}(2c_{s}^{2})]}^{{1/3}}} = {{\delta }_{{sb}}} < \delta < {{\delta }_{*}}$ (в этом случае характерный временной масштаб поперечного движения филамента ${{\tau }_{ \bot }} = \sqrt {{{R}_{c}}\delta {\text{/}}2} {\text{/}}{{c}_{s}}$). В обратном пределе блобов с большим поперечным сечением, $\delta > {{\delta }_{ * }}$, отношение $\delta {\text{/}}{{\delta }_{s}}$ оказывается больше единицы, когда ${{\delta }_{*}} < \delta < {{\delta }_{{lb}}} = $ $ = (L{\text{/}}{{R}_{c}})[\rho _{s}^{2}{{c}_{s}}{\text{/}}{{D}_{m}}]$, при этом ${{\tau }_{p}} = ({{R}_{c}}{\text{/}}L){{(\delta {\text{/}}{{\rho }_{s}})}^{2}} \times $ $ \times \;(\delta {\text{/}}{{c}_{s}})$. Параметры ${{\delta }_{{sb}}}$ и ${{\delta }_{{lb}}}$ определяются физическими и геометрическими параметрами филаментов, в частности температурой электронов плазмы. Для пристеночной плазмы токамака Т‑15МД [45, 46], $B \sim 2$ Тл, ${{R}_{c}} \sim 1.5$ м, $L \approx 55$ м, $n \sim {{10}^{{13}}}$ см^–3, и температура электронов, при которой масштабы ${{\delta }_{{sb}}}$ и ${{\delta }_{{lb}}}$ начинают удовлетворять соотношению ${{\delta }_{{sb}}} < {{\delta }_{{lb}}}$, оказывается равной $T_{e}^{ * } \sim $ ~ 15 эВ. В частности, в разрядах с низкой плотностью плазмы температура электронов вблизи сепаратрисы установки может достигать значения ${{T}_{e}} \sim 50$ эВ [45]. Отвечающие этой температуре масштабы ${{\delta }_{{sb}}}$ и ${{\delta }_{{lb}}}$ равны 0.1 см и 26 см соответственно. Кроме того, поскольку мы рассматриваем плазму с малым значением $\beta < {{m}_{e}}{\text{/}}{{m}_{i}}$, то для выполнения условия вмороженности магнитного поля, $\delta {\text{/}}{{\delta }_{s}} > 1$, концентрация частиц плазмы не должна превышать пороговое значение, определяемое как $n < {{n}_{*}} = \{ {{B}^{2}}{\text{/}}[8\pi (T_{e}^{*} + {{T}_{i}})]\} ({{m}_{e}}{\text{/}}{{m}_{i}})$. Для разряда в дейтерии при условии ${{T}_{i}} \approx 50$ эВ, это условие принимает вид $n < n_{*}^{{{\text{T}} - 15{\text{MD}}}} = 4.2 \times {{10}^{{13}}}$ см^–3.

При выполнении условия ${{\tau }_{s}} > {{\tau }_{ \bot }}$, на движение блобов оказывает влияние еще один электромагнитный эффект, связанный с возбуждением и распространением в плазме альфвеновских волн. Характерный временной масштаб этого процесса – время прохождения волны вдоль филамента, ${{\tau }_{A}} = L{\text{/}}{{V}_{A}}$, где ${{V}_{A}} = B{\text{/}}\sqrt {4\pi n{{m}_{i}}} $ – альфвеновская скорость. При ${{\tau }_{A}} \sim {{\tau }_{ \bot }}$ возмущения электростатического потенциала, накапливающиеся внутри блоба в результате распространения электромагнитного импульса тока вдоль силовых линий магнитного поля, должны приводить к заметным продольным вариациям скорости движения филаментов, отсутствующим в электростатическом приближении [38]. Сравнение масштабов ${{\tau }_{A}}$ и ${{\tau }_{ \bot }}$ показывает [43], что для выполнения неравенства ${{\tau }_{A}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} > 1$ размер филаментов δ должен удовлетворять следующим условиям

Используя приведенные выше параметры пристеночной плазмы вблизи сепаратрисы токамака Т-15МД в сценарии разряда с малой плотностью плазмы, $B \sim 2$ Тл, ${{R}_{c}} \sim 1.5$ м, $L \approx 55$ м, $n \sim $ ~ 10¹³ см^‒3, ${{T}_{e}} \sim 50$ эВ, ${{\delta }_{*}} = 0.9$ см, находим: ${{\tau }_{A}} = 5.6$ мкс и неравенства (9) выполнены при $\delta < 10$ см ($\delta < {{\delta }_{*}}$) и $\delta < 1.4$ см ($\delta > {{\delta }_{*}}$). В частности, для блобов с радиусом $\delta \sim 1.5$ см (движение филаментов с подобными параметрами будет рассматриваться ниже), ${{\tau }_{ \bot }} = 7.2$ мкс и ${{\tau }_{A}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} \approx 0.8$.

Распространение альфвеновских волн вдоль силовых линий магнитного поля будет приводить к осцилляциям продольного тока и электростатического потенциала в плазме, вызывая колебания скорости движения блоба поперек силовых линий магнитного поля [38, 39, 43]. Альфвеновские волны, приходящие на стенку вакуумной камеры вдоль открытых силовых линий магнитного поля, будут частично отражаться обратно в плазму. Коэффициент отражения волны зависит от соотношения между скиновым временем стенки (${{\tau }_{{sk}}}$ в обозначениях работы [51]) и характерным временем электромагнитного возмущения (в рассматриваемой задаче такими масштабами выступают время поперечного смещения филамента ${{\tau }_{ \bot }}$ и альфвеновское время ${{\tau }_{A}}$). Оценки величины скинового времени для стенки вакуумной камеры токамака Т-15МД показывают [51], что ${{\tau }_{{sk}}} \sim 60$ мкс, тогда как полученные выше оценки времен ${{\tau }_{ \bot }}$ и ${{\tau }_{A}}$ составляют порядка 5–7 мкс, что на порядок меньше ${{\tau }_{{sk}}}$. В результате стенка токамака может считаться почти идеальным проводником с вмороженным в него магнитным полем, так что альфвеновские волны, приходящие на стенку (например, на пластины дивертора), будут практически полностью отражаться обратно в плазму. Наложение падающей и отраженной волн внутри филамента приведет к формированию стоячих альфвеновских волн [40], колебания электрического вектора в которых должно будет приводить к периодическому изменению характера циркуляции токов внутри блоба и, как результат, колебаниям скорости движения филамента с характерными временем порядка ${{\tau }_{A}}$.

Подчеркнем, что продольный ток, образующийся внутри филамента, имеет дипольную структуру (в частности, это можно видеть из условия непрерывности токов (2), из которого следует, что ${{j}_{\parallel }} \propto \int {dl{{{\mathbf{b}}}_{0}} \times \kappa \cdot \nabla {{p}_{e}}} $). В общем случае, наряду с дипольной компонентой внутри филаментов также может присутствовать и униполярная компонента, связанная, например, с протеканием термоэлектрического тока между пластинами дивертора, $j_{\parallel }^{T} = - 3\sigma \partial _{\parallel }^{0}({{T}_{e}}{\text{/}}e)$. Выброс в периферийную область установки филаментов, температура плазмы которых превосходит температуру окружающей их среды, может приводить при этом к изменению направления течения тока $j_{\parallel }^{T}$. Так, при условии, что плазма центральной части филамента горячее, чем плазма на концах блоба (например, за счет охлаждения плазмы филамента в области его контакта со стенкой установки под действием механизмов продольной теплопроводности), термоэлектрический ток потечет в направлении от центральной части филамента к приемным пластинам, в отличие от случая равновесной плазмы без блобов, в которой ток $j_{\parallel }^{T}$ течет в направлении от горячей пластины внешнего дивертора к холодной пластине дивертора внутреннего.

Наряду с униполярной термоэлектрической компонентой, филаменты также могут переносить токи, циркулирующие непосредственно внутри сепаратрисы, как, например, в случае развития периферийных локализованных мод [40]. Подобные униполярные токовые компоненты оказываются достаточно сильными, чтобы существенно влиять на структуру магнитного поля в области транспортного барьера токамака [40] и приводить к необходимости учета электромагнитного взаимодействия филаментов с проводящей стенкой при описании движения плазмы [36, 52]. Анализ динамики подобных плазменных образований выходит за рамки настоящей работы и ниже не рассматривается.

В электромагнитном режиме движения филамента в распределении продольного тока ${{j}_{\parallel }}$ внутри блоба появляется дополнительная компонента, связанная с вмороженностью магнитного поля в плазму. При этом выражение для ${{j}_{\parallel }}$ в приближении ${{T}_{e}},{{T}_{i}} = {\text{const}}$ может быть представлено в следующем виде [43]:

где оператор $\hat {K}$ определен как ($f({\mathbf{r}},t)$ – произвольная функция координат и времени)

В этом выражении пространственное интегрирование идет по плоскости ${{S}_{ \bot }}$, перпендикулярной магнитным силовым линиям и проходящей через точку с координатой $y$, а $\rho (x,z,\xi ,\eta ) = $ $ = \mathop {\left[ {{{{(x - \xi )}}^{2}} + {{{(z - \eta )}}^{2}}} \right]}\nolimits^{1/2} $ – расстояние между точками $(x,z)$ и $(\xi ,\eta )$ в плоскости ${{S}_{ \bot }}$. Для нормы оператора ${\text{||}}\hat {K}{\text{||}}$ справедлива оценка ${\text{||}}\hat {K}{\text{||}} = {{\tau }_{ \bot }}{\text{/}}({{\tau }_{ \bot }} + {{\tau }_{s}})$ [43].

Основное влияние, которое оказывает протекание электромагнитного тока на движение плазмы состоит в перераспределении электростатического потенциала вдоль силовых линий магнитного поля [43]. При условии замыкания тока ${{j}_{g}}$, вызванного дрейфом заряженных частиц в неоднородном магнитном поле, через продольный ток ${{j}_{\parallel }}$, величина последнего может быть оценена из условия непрерывности $\nabla \cdot {\mathbf{j}} = 0$ как ${{j}_{\parallel }} \sim (L{\text{/}}\delta ){{j}_{g}}$. В то же время из (10) следует, что ${{j}_{\parallel }} \sim \sigma {\text{||}}\hat {K}{\text{||}}\,{\text{|}}\partial _{\parallel }^{0}\varphi {\text{|}}$. Собирая обе оценки вместе, находим, что продольное электрическое поле, устанавливающееся внутри филамента, ${{E}_{\parallel }} = {\text{|}}\partial _{\parallel }^{0}\varphi {\text{|}} \sim (L{\text{/}}\delta )({{j}_{g}}{\text{/}}\sigma {\text{||}}\hat {K}{\text{||}})$. С увеличением проводимости плазмы, отношение ${{\tau }_{s}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }}$ растет, а норма ${\text{||}}\hat {K}{\text{||}} = 1{\text{/}}(1 + {{\tau }_{s}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }})$ уменьшается. Это приводит к росту поля ${{E}_{\parallel }} \propto $ $ \propto 1{\text{/||}}\hat {K}{\text{||}} = (1 + {{\tau }_{s}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }})$ и, как результат, увеличению падения потенциала вдоль силовых линий магнитного поля, ${{\Delta }_{\parallel }}\varphi = - \int {{{E}_{\parallel }}dl} $. Рост величины ${{\Delta }_{\parallel }}\varphi $ может вызвать переход филамента в режим движения, промежуточный между режимом ограничения продольного тока проводимостью предслоя (так называемый “sheath-limited regime” [23], для которого характерно пренебрежимо малое изменение $\phi $ вдоль линий магнитного поля) и резистивным баллонным режимом переноса (“resistive-ballooning regime” [23]), при котором продольное падение $\phi $ оказывается сравнимо с потенциалом внутри блоба, приводя к изгибу филамента). Как показывают оценки [43], в случае равномерного распределения параметров плазмы вдоль силовых линий магнитного поля геометрические границы перехода между двумя режимами симметрично расположены относительно геометрического центра блоба. При этом концевые части филаментов, отстоящие от ближайшей проводящей поверхности на расстояние не более ${{\Delta }_{{sh}}} = (L{\text{/}}2)(2{\text{||}}\hat {K}{\text{||}})({{\lambda }_{{ei}}}{\text{/}}L)({{v}_{{Te}}}{\text{/}}{{c}_{s}})$, движутся в режиме с ограничением тока проводимостью предслоя, тогда как центральная часть блоба длиной $L - 2{{\Delta }_{{sh}}}$ движется в резистивном баллонном режиме, изгибаясь поперек линий B.

Результаты анализа влияния электромагнитных эффектов, полученные в пределе ${{T}_{e}},{{T}_{i}} = {\text{const}}$, могут быть качественно обобщены на случай неоднородного распределения температуры электронов внутри блоба. Для оценки вклада профиля ${{T}_{e}}({\mathbf{r}},t)$ в величину тока ${{j}_{\parallel }}$ и потенциала φ, рассмотрим его модельное представление

где ${{T}_{{e0}}} = {\text{const}}$ – фоновое значение температуры электронов, а $\delta {{T}_{e}}({\mathbf{r}},t)$ – небольшая поправка к ${{T}_{e}}$ внутри филамента, причем $\delta {{T}_{e}}{\text{/}}{{T}_{{e0}}} \sim \epsilon < 1$. В этом случае в уравнении (8) проводимость плазмы σ и векторный потенциал ${{A}_{\parallel }}$ могут быть разложены в ряд по малому параметру $\epsilon $. Удерживая в разложениях два первых члена, находим где ${{\sigma }_{0}} = \sigma ({{T}_{{e0}}})$ и $A_{\parallel }^{{(1)}} \sim \epsilon A_{\parallel }^{{(0)}}$. При этом в силу представления (14) продольный ток ${{j}_{\parallel }}$ также может быть записан в виде суммы двух компонент: где $j_{\parallel }^{{(i)}} = - (c{\text{/}}4\pi )\nabla _{ \bot }^{2}A_{\parallel }^{{(i)}}$, $i = 0,1$, и $j_{\parallel }^{{(1)}}{\text{/}}j_{\parallel }^{{(0)}} \sim \epsilon < 1$.

Подставляя соотношения (13), (14) в уравнение (8), разделяя слагаемые по порядкам параметра $\epsilon $, получим

Решение уравнения (16) относительно $A_{\parallel }^{{(0)}}$ может быть записано в виде [43, 53]

где $F({\mathbf{r}},t) = - с\left[ {\partial _{\parallel }^{0}\varphi - ({{T}_{{e0}}}{\text{/}}e)\partial _{\parallel }^{0}lnn} \right]$, а

– функция Грина для связанного с (16) двумерного параболического уравнения

С учетом тождества для компоненты продольного тока $j_{\parallel }^{{(0)}} = - (c{\text{/}}4\pi )\nabla _{ \bot }^{2}A_{\parallel }^{{(0)}}$ и равенства (10) (полученного в пределе ${{T}_{e}} = {\text{const}}$) выражение для $j_{\parallel }^{{(0)}}$ может быть записано как

где оператор $\hat {K}$ определен соотношением (11), в котором коэффициент диффузии магнитного поля заменен на ${{D}_{{m0}}}$.

Аналогичные преобразования для уравнения (17) приводят к следующему выражению для $A_{\parallel }^{{(1)}}$:

где

Используя связь $j_{\parallel }^{{(1)}} = - (c{\text{/}}4\pi )\nabla _{ \bot }^{2}A_{\parallel }^{{(1)}}$, находим

при этом ток $j_{\parallel }^{{(0)}}$ задан соотношением (21).

Собирая полученные выражения для $j_{\parallel }^{{(0)}}$ и $j_{\parallel }^{{(1)}}$ вместе, для полного продольного тока ${{j}_{\parallel }}$ получаем

где

В электростатическом пределе, ${{\tau }_{s}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} \ll 1$, ${\text{||}}\hat {K}{\text{||}} \to 1$, и соотношение (25) принимает вид

C учетом разложения (13), $\sigma = $ $ = {{\sigma }_{0}}\left[ {1 + (3{\text{/}}2)(\delta {{T}_{e}}{\text{/}}{{T}_{{e0}}})} \right]$, слагаемые в правой части равенства (27) могут быть объединены вместе, так что окончательное выражение для ${{j}_{\parallel }}$ принимает форму закона Ома в электростатическом пределе в пренебрежении инерцией электронов

Рассмотрим теперь электромагнитный режим движения филаментов. В этом случае ${{\tau }_{s}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} > 1$, норма ${\text{||}}\hat {K}{\text{||}} < 1$, и поправка, связанная с неоднородностью распределения температуры электронов, в выражении для продольного тока (25) оказывается порядка $(3{\text{/}}2)\epsilon {\text{||}}\hat {K}{\text{||}} \sim (3{\text{/}}2)\epsilon [{{\tau }_{ \bot }}{\text{/}}({{\tau }_{s}} + {{\tau }_{ \bot }})]$ по сравнению с ведущим членом разложения, $j_{\parallel }^{{es}}$. В пределе хорошо проводящей плазмы, ${\text{||}}\hat {K}{\text{||}} \to 0$, вклад второго слагаемого в правой части (25) становится пренебрежимо мал, и ток ${{j}_{\parallel }}$ оказывается равен

Найденное выражение для ${{j}_{\parallel }}$ переходит в соотношение (10) в пределе ${{T}_{e}} = {\text{const}}$. Отличие между полученными равенствами заключается в дополнительном учете в (29) неоднородного распределения температуры электронов вдоль силовой линии, приводящее к падению потенциала внутри филамента вследствие термоэлектрического эффекта. В силу идентичности обоих представлений (10) и (29) для тока ${{j}_{\parallel }}$ обсуждавшиеся выше качественные выводы о характере влияния электромагнитных эффектов на движение филамента останутся теми же, что и при ${{T}_{e}} = {\text{const}}$. Разница между двумя случаями будет заключаться в том, что при неоднородном распределении ${{T}_{e}}$ условие вмороженности магнитного поля в плазму, а значит и эффекты, с ним связанные, будут выражены в различной степени в зависимости от величины ${{T}_{e}}$. Кроме того, наличие пространственного распределения ${{T}_{e}}$ может приводить к внутреннему вращению филаментов [15, 24], что должно учитываться при анализе их динамики.

Отмеченный механизм вращения блобов связан с поперечной неоднородностью распределения плавающего потенциала плазмы, ${{\varphi }_{f}} \approx 3({{T}_{e}}{\text{/}}e)$, возникающей при условии ${{\nabla }_{ \bot }}{{T}_{e}} \ne 0$ [15]. В этом случае в плазме формируется электрическое поле ${\mathbf{E}}_{ \bot }^{T} = - {{\nabla }_{ \bot }}{{\varphi }_{f}} = - 3{{\nabla }_{ \bot }}({{T}_{e}}{\text{/}}e)$, приводящее к образованию дополнительной компоненты скорости конвекции плазмы ${\mathbf{V}}_{E}^{T} \equiv {{{\mathbf{V}}}_{r}} = (c{\text{/}}B){\mathbf{E}}_{ \bot }^{T}e \times s{{{\mathbf{b}}}_{0}} = $ $ = 3(c{\text{/}}B){{{\mathbf{b}}}_{0}} \times {{\nabla }_{ \bot }}({{T}_{e}}{\text{/}}e)$. Скорость ${{{\mathbf{V}}}_{r}}$ направлена по касательной к линиям уровня ${{T}_{e}} = {\text{const}}$, вызывая движение плазмы вокруг точек, где ${{\nabla }_{ \bot }}{{T}_{e}} = 0$. Для оценки величины ${{V}_{r}}$ учтем, что значение ${\text{|}}{{\nabla }_{ \bot }}{{T}_{e}}{\text{|}}$, а значит и скорости вращения осесимметричного блоба максимальны на средней линии профиля ${{T}_{e}}$ (на расстоянии $ \sim {\kern 1pt} \delta {\text{/}}2$ от оси филамента при гауссовом распределении ${{T}_{e}}$). В этом случае ${{V}_{r}} \sim $ $ \sim 3\alpha {{T}_{{e0}}}c{\text{/}}(eB\delta )$, где параметр $\alpha = (T_{e}^{m} - {{T}_{{e0}}}){\text{/}}{{T}_{{e0}}}$, $T_{e}^{m}$ – максимальная температура электронов на оси филамента, а ${{T}_{{e0}}}$ – температура электронов плазмы, окружающей блоб. Тогда характерное время вращения блоба в окрестности средней линии ${{T}_{e}}$ будет равным ${{\tau }_{r}} \sim \pi \delta {\text{/}}{{V}_{r}} \sim \pi {{\delta }^{2}}eB{\text{/}}(3{{T}_{{e0}}}\alpha c) = $ $ = (\pi {\text{/}}3\alpha ){{\omega }_{i}}{{(\delta {\text{/}}{{c}_{{s0}}})}^{2}}$, где ${{c}_{{s0}}} = \sqrt {{{T}_{{e0}}}{\text{/}}{{m}_{i}}} $. Сравнивая ${{\tau }_{r}}$ с приведенными выше временными масштабами поперечного движения блоба ${{\tau }_{ \bot }}$ (так же определенными на средней линии ${{T}_{e}}$, на кривой ${{T}_{e}}(\delta {\text{/}}2) \approx {{T}_{{e0}}}(1 + \alpha {\text{/}}2)$), находим, что для выполнения условия ${{\tau }_{r}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} < 1$ (при котором вращение блоба будет оказывать существенное влияние на его движение), величина параметра $\alpha $ должна удовлетворять условиям

где ${{\rho }_{{s0}}} = {{c}_{{s0}}}{\text{/}}{{\omega }_{i}}$. Используя для оценки представленные ранее параметры пристеночной плазмы токамака Т-15МД, находим, что для филаментов с малым поперечным размером, $\delta < {{\delta }_{*}}$, неравенство ${{\tau }_{r}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} < 1$ выполнено при $\alpha {\text{/}}\sqrt {1 + \alpha {\text{/}}2} > 2.1{{(\delta {\text{/}}{{\delta }_{*}})}^{{3/2}}}$. При $\delta = {{\delta }_{ * }}$ этому условию отвечают значения $\alpha > 3.5$, или $T_{e}^{m}{\text{/}}{{T}_{{e0}}} > 4.5$. Для блобов с $\delta {\text{/}}{{\delta }_{*}} = 0.5$, соотношение (30) смягчается и оказывается справедливо при $\alpha > 0.6$, или $T_{e}^{m}{\text{/}}{{T}_{{e0}}} > 1.6$. Для филаментов с большим поперечным сечением, $\delta > {{\delta }_{ * }}$, условие ${{\tau }_{r}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} < 1$ требует, чтобы $\alpha {\text{/}}{{(1 + \alpha {\text{/}}2)}^{{3/2}}} > $ $ > 2.1({{\delta }_{*}}{\text{/}}\delta )$. Поскольку величина отношения $\alpha {\text{/}}{{(1 + \alpha {\text{/}}2)}^{{3/2}}} < 0.77$ для любого α, то неравенство (31) может быть выполнено лишь при $\delta {\text{/}}{{\delta }_{*}} > 2.7$. Отвечающие этому условию значения параметра $\alpha $ оказываются в диапазоне $\alpha \sim 4$, или $T_{e}^{m}{\text{/}}{{T}_{{e0}}} \sim 5$.

Параметры токамака Т-15МД близки к параметрам токамака DIII-D, поэтому для оценки реализуемости полученных значений $T_{e}^{m}{\text{/}}{{T}_{{e0}}}$, при которых вращение блоба вследствие поперечной неоднородности распределения ${{\varphi }_{f}}$ будет оказывать заметное влияние на движение филамента, мы можем воспользоваться данными именно с этой установки. Экспериментальные наблюдения показывают, что хотя величина температуры электронов внутри блобов может почти втрое превышать температуру окружающей плазмы [24], в пристеночной области DIII-D блобы, как правило, характеризуются меньшими значениями отношения $T_{e}^{m}{\text{/}}{{T}_{{e0}}}$, не превышающими 1.5 в окрестности сепаратрисы и убывающими вплоть до единицы в дальней области скрэп-слоя [7]. По этой причине можно ожидать, что на периферии Т-15МД будут формироваться блобы, температура электронов которых будет находиться в диапазоне $1 \leqslant {{T}_{e}}{\text{/}}{{T}_{{e0}}} \leqslant 1.5$. В этом случае, с учетом полученных выше оценок на величину α, движение филаментов будет представлять главным образом радиальное смещение на стенку, на которое будет накладываться медленное (по сравнению с характерным временем ${{\tau }_{ \bot }}$) вращение блобов вокруг собственной оси.

В заключение отметим, что неоднородное распределение электронной температуры внутри блоба не единственный механизм, который может приводить к вращению филамента. Даже в случае ${{T}_{e}} = {\text{const}}$, оно может возникать под действием больцмановского потенциала ${{\varphi }_{B}} \sim ({{T}_{e}}{\text{/}}e)ln(n{\text{/}}{{n}_{{sh}}})$ (${{n}_{{sh}}}$ – концентрация плазмы на торце филамента), появление которого связано с установлением равновесного распределения потенциала плазмы вдоль силовых линий магнитного поля [54]. В случае, когда профили $n({\mathbf{r}})$ и ${{n}_{{sh}}}({\mathbf{r}})$ отличны друг от друга (например, плазма в центре филамента плотнее, чем на торцах), потенциал ${{\varphi }_{B}}$ оказывается отличен от нуля, вызывая вращение блоба вокруг собственной оси. Оценки влияния этого эффекта на движение филамента на периферии токамака в случае униполярной структуры ${{\varphi }_{f}}({\mathbf{r}})$ были получены, например, в работе [55]. Анализ динамики плазмы в случае, когда распределение ${{\varphi }_{f}}({\mathbf{r}})$ не имеет униполярной структуры, может быть найден в [42]. Ниже мы будем предполагать, что распределение плотности плазмы блоба почти однородно вдоль силовых линий магнитного поля, так что внутреннее вращение филамента будет определяться главным образом неоднородностью распределения температуры электронов.

3.1. Параметры расчетов

Для численного анализа совместного влияния электромагнитных и температурных эффектов на движение блобов были использованы параметры, сходные с параметрами пристеночной плазмы токамака Т-15МД [45–48]. Плотность и температура электронов плазмы, окружающей филамент, были равны ${{n}_{0}} = {{10}^{{13}}}$ см^–3, ${{T}_{{e0}}} = 50$ эВ соответственно. Величина индукции магнитного поля установки $B = 2$ Тл, радиус кривизны силовых линий ${{R}_{c}} = 1.5$ м. Длина и поперечный размер блобов составляли $L = 55$ м и $\delta = 1.5$ см соответственно. В начальный момент времени филаменты характеризовались гауссовыми профилями плотности и температуры электронов плазмы

где ${{x}_{0}} = - 0.25{{\Delta }_{x}}$, ${{y}_{0}} = L{\text{/}}2$, ${{\Delta }_{x}} = {{\Delta }_{z}} = 10\delta = 15$ см – размеры области расчетов вдоль осей x и z соответственно, ${{\delta }_{y}} = \{ \infty ;L{\text{/}}2\} $ – характерный масштаб изменения ${{T}_{e}}$ вдоль силовых линий магнитного поля. Параметр s принимал два значения, 0 и 1, отвечающих случаям однородного ($s = 0$) и неоднородного ($s = 1$) распределения температуры ${{T}_{e}}$. Филаменты начинали движение с нулевой начальной скоростью, токи и потенциалы формировались внутри блобов самосогласованно с движением плазмы.

Подчеркнем, что форма филамента, используемая при расчетах, цилиндрическая. Эксперименты показывают (см., например, [9, 24]), что поперечное сечение филаментов может не иметь правильной концентрической формы, а быть вытянутым эллиптическим. Тем не менее для того, чтобы исключить влияние формы блобов на результаты моделирования, были выбраны аксиально-симметричные профили плотности и температуры плазмы (32), (33).

Приведенным параметрам соответствует следующий набор безразмерных физических величин, описывающих движение филаментов. Критический размер блоба ${{\delta }_{*}} = 0.9$ см, и $\delta {\text{/}}{{\delta }_{*}} \approx 1.6$. Отношения времен ${{\tau }_{s}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} = 17.2$ (магнитное поле вморожено в плазму блоба), ${{\tau }_{A}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} = 0.8$ (распространение альфвеновских волн вдоль линий магнитного поля происходит на масштабах, сравнимых с ${{\tau }_{ \bot }}$, приводя к изгибу филамента), ${{\tau }_{r}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} = 2$ (вращение оказывает умеренное воздействие на движение блоба), ${{\tau }_{{q,conv.}}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} \approx 94$, ${{\tau }_{{q,dif.}}}{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }} \approx 28$ (переносом тепла электронами вдоль линий магнитного поля можно пренебречь). Приведенное значение параметра ${{\beta }_{n}} = \beta ({{m}_{i}}{\text{/}}{{m}_{e}})$ для плазмы, окружающей филамент, ${{\beta }_{n}} = 0.18 < 1$. Продольное и поперечное числа Кнудсена равны ${\text{K}}{{{\text{n}}}_{\parallel }} = 0.068$, ${\text{K}}{{{\text{n}}}_{ \bot }} = 0.034$ соответственно.

Расчеты проводились в программе, написанной в среде BOUT++ [56]. Для расчетов были использованы расчетные сетки с числом узлов ${{N}_{x}} \times {{N}_{y}} \times {{N}_{z}}$ = 260 × 31 × 257 по осям x, y, z соответственно. Интегрирование уравнений (1)–(4) по времени выполнялось с использованием метода Гира, реализованном в программе CVODE из пакета SUNDIALS [57]. Для лучшего пространственного разрешения поперечной динамики плазмы операторы пространственных производных вдоль осей x и z были дискретизированы с использованием центрально-разностной схемы четвертого порядка/схемы WENO третьего порядка для обыкновенных производных/производных вверх по потоку. Для производных вдоль оси y была использована требующая меньших вычислительных затрат центрально-разностная схема второго порядка.

3.2. Результаты расчетов

Результаты контрольного расчета динамики блоба с использованием электростатического (ЭС) приближения при ${{T}_{e}} = {\text{const}}$ представлены на рис. 2. Основная особенность течения плазмы, показанная на всех изображениях рисунка, состоит в том, что на всей траектории движения блоба его форма остается почти неизменной – филамент движется как единое целое. Аналогичный расчет, выполненный в электромагнитном (ЭМ) приближении, показан на рис. 3. Можно видеть, что в ЭМ-случае динамика филамента заметно отличается от результатов электростатического расчета. Наблюдается сильное искривление филамента в его центральной части, связанное с большей скоростью движения плазмы в этом сегменте плазменной трубки, по сравнению с концевыми участками блоба, в результате возбуждения и распространения в плазме альфвеновских волн [30, 31, 38, 39, 41, 43]. Относительное смещение между центральным и торцевыми сечениями филамента приводит к образованию небольшого больцмановского потенциала, имеющего дипольную структуру [42], под действием которого плазма испытывает слабое вращение по часовой стрелке в центральном сечении филамента и против часовой стрелки – на его концах.

На рис. 4а показаны временные зависимости скорости перемещения центра масс филамента, ${{V}_{x}} = d{{X}_{c}}{\text{/}}dt$ (${{X}_{c}} = \int {xndS} {\text{/}}\int {ndS} $ – x-координата центра масс блоба), измеренные в центральном и торцевом поперечных сечениях для случаев, показанных на рис. 2 и 3. На графиках видно, что скорости движения плазмы в ЭС- и ЭМ-расчетах совпадают лишь вблизи концов блоба, тогда как в ЭМ-случае центральная часть филамента характеризуется скоростью движения, примерно в 2–2.5 раза превышающей скорость течения плазмы на торцах блоба. При этом в ЭМ-расчете величина скорости ${{V}_{x}}$, определенная в центральном сечении филамента, испытывает колебания с периодом ~11 мкс. Этот временной интервал связан с распространением электромагнитного импульса тока вдоль силовых линий магнитного поля, приводящему к накоплению потенциала в плазме блоба и, как результат, большей скорости течения плазмы ${{V}_{x}}$ [38, 39, 41]. Период осцилляций примерно равен удвоенному альфвеновскому времени ${{\tau }_{A}}$ [43], которое, напомним, в рассматриваемой задаче составляет ${{\tau }_{A}} \approx 5.6$ мкс. Снижение амплитуды периодических колебаний ${{V}_{x}}$ связано с изменением формы филамента, сопровождающимся уменьшением эффективного поперечного размера блоба $\delta $ и, как результат, понижением степени вмороженности магнитного поля в плазму, характеризуемой величиной отношения $\delta {\text{/}}{{\delta }_{s}}$.

На рис. 5 и 6 показана динамика плотности плазмы, рассчитанная в электростатическом и электромагнитном приближениях при условии, что профиль температуры электронов ${{T}_{e}}$ имеет гауссову форму (33) в направлении поперек линий магнитного поля (${{\nabla }_{ \bot }}{{T}_{e}} \ne 0$, $\partial _{\parallel }^{0}{{T}_{e}} = 0$). На изображениях видно, что в электростатическом расчете наблюдается когерентное движение филамента, как и в ситуации с ${{T}_{e}} = {\text{const}}$. Центральная и концевые части блоба движутся с почти одинаковыми скоростями, при этом наличие неоднородного поперечного профиля плавающего потенциала ${{\varphi }_{f}}$ приводит к согласованному вращению филамента вокруг оси, накладывающемуся на радиальное движение плазменной трубки. В электромагнитном приближении блоб также вращается вокруг собственной оси, однако этот процесс сопровождается изгибом филамента поперек линий магнитного поля в результате распространения продольного электромагнитного импульса тока, с последующим образованием небольшого дипольного больцмановского потенциала, как и в случае ${{T}_{e}} = {\text{const}}$.

Временные зависимости скорости движения центра масс блоба ${{V}_{x}}$, полученные в ЭС- и ЭМ‑приближениях на основе данных, показанных на рис. 5 и 6, собраны на графиках на рис. 4б. Видно, что поведение величины скорости ${{V}_{x}}$ в обоих случаях демонстрирует те же особенности, что и в расчетах с постоянной температурой электронов, рис. 40 а. В ЭМ-расчете пиковое значение скорости ${{V}_{x}}$ в центральной части блоба на начальном этапе движения филамента превосходит значение ${{V}_{x}}$, определенное в ЭС-приближении, почти в 2 раза. Со временем величина этого отношения снижается вместе с амплитудой альфвеновских колебаний ${{V}_{x}}$ в связи с уменьшением эффективного поперечного размера филамента δ, приводящим к ухудшению условия вмороженности магнитного поля в плазму. Незначительные периодические колебаний скорости течения плазмы на концах филаментов обусловлены внутренним вращением блобов в этих областях. Необходимо отметить, что в ЭС- и ЭМ-приближениях при ${{\nabla }_{ \bot }}{{T}_{e}} \ne 0$ величина скорости ${{V}_{x}}$ оказывается выше, чем в серии контрольных расчетов. Это обусловлено более высокими, по сравнению с окружающей плазмой, значениями температуры электронов в приосевых частях филамента, приводящими к большим скоростям течения плазмы, чем в случаях с ${{T}_{e}} = {\text{const}}$.

На рис. 7 показано движение филамента, полученное в ЭМ-приближении при условии, что температура электронов изменяется как поперек, так и вдоль силовых линий магнитного поля, ${{\nabla }_{ \bot }}{{T}_{e}} \ne 0$, $\partial _{\parallel }^{0}{{T}_{e}} \ne 0$. На представленных изображениях видно, что режим движения филамента оказывается промежуточным между случаями, показанными на рис. 3 и 6. Центральная и концевые части блоба, как и ранее, испытывают внутреннее вращение и перемещаются в радиальном направлении. При этом центральный сегмент филамента движется аналогично случаю с ${{\nabla }_{ \bot }}{{T}_{e}} \ne 0$, тогда как плазма на торцах блоба испытывает вращение более слабое, по сравнению с показанным на рис. 6.

Временные зависимости скорости движения центра масс плазмы в центре и на конце блоба, измеренные в расчетах с ${{\nabla }_{ \bot }}{{T}_{e}} \ne 0$, $\partial _{\parallel }^{0}{{T}_{e}} \ne 0$, показаны на рис. 4в. На рисунке видно, что скорость центральной части филамента, как и в предыдущих случаях, испытывает периодические осцилляции с периодом порядка 11 мкс, близким к величине $2{{\tau }_{A}}$ [43]. При этом сама зависимость ${{V}_{x}}(t)$ почти совпадает с зависимостью ${{V}_{x}}(t)$, показанной на рис. 4б для того же сечения филамента. Аналогично значения скорости течения плазмы на торцах филамента примерно соответствуют значениям, полученным в контрольном расчете и расчете с ${{\nabla }_{ \bot }}{{T}_{e}} \ne 0$, ${{\partial }_{\parallel }}{{T}_{e}} = 0$.