Физика плазмы, 2021, T. 47, № 11, стр. 1007-1015

1. ВВЕДЕНИЕ

Запуск токамака JT-60SA [1] и входящее в конечную стадию сооружение токамака ИТЭР [2] означают переход на существенно более высокий уровень исследований в УТС, чем прежде. При естественных отличиях в целях научных программ все установки следующего поколения, включая Токамак с Реакторными Технологиями (TRT) [3–5], должны быть стационарными термоядерными системами с большим $\beta \equiv 2{{\mu }_{0}}\bar {p}{\text{/}}{{{\mathbf{B}}}^{2}}$ – отношением усредненного по полоидальному сечению давления плазмы p к магнитному давлению ${{{\mathbf{B}}}^{2}}{\text{/}}(2{{\mu }_{0}})$.

Фактически, это значения на уровне нескольких процентов (менее 3% в проекте TRT), но большими их называют из-за опасной близости к предельным значениям, превышение которых приводит к развитию неустойчивостей. Проблемы устойчивости до сих пор остаются критическими для тороидальных систем [6–10], хотя в исследованиях на токамаках достигнут значительный прогресс [6, 7, 11–16]. Однако с увеличением масштаба эксперимента возникают новые задачи, потому что порождаемые неустойчивостями выбросы тепла и магнитной энергии приводят к повреждениям стенки и внутрикамерных элементов. Одной из наибольших опасностей являются срывы [6, 7, 11–19], избежать которых при работе в напряженных режимах токамака практически невозможно. Анализ импульсных нагрузок при срывах становится необходимостью.

Работа посвящена расчету электромагнитных сил на стенку вакуумной камеры, которые могут возникнуть на ранней стадии срывов в токамаке TRT. Анализ основан на вычислениях с помощью кода DINA [20–22] и сравнении с недавними аналитическими предсказаниями [23–26]. Одно из них состояло в том, что большая радиальная сила на стенку вакуумной камеры токамака

где ${\mathbf{j}} = \nabla \times {\mathbf{B}}{\text{/}}{{\mu }_{0}}$ – плотность тока, а ${{{\mathbf{e}}}_{r}} \equiv \nabla r$, может быть произведена одним только тепловым срывом (TQ) еще до того момента, когда начинается изменение тока плазмы (срыв тока, CQ). Проведенное здесь численное исследование подтверждает это и дает точные количественные характеристики для TRT.

В целом, здесь реализована та же схема, по которой ранее вычислялись подобные силы для токамака ИТЭР в [22]. Это позволяет лишь кратко представить основные элементы метода, сосредоточившись на описании ключевых пунктов постановки задачи и на результатах расчетов.

Точно также аналитические соотношения вводятся с минимальными пояснениями и ссылками на работы, в которых содержатся подробные обоснования и определения. Для справки, полный список обозначений, часть из которых появится ниже в формулах, приведен в начале статьи [26].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Параметры токамака TRT приведены в [3–5]. Соответственно в нашей задаче большой радиус вакуумной камеры ${{R}_{w}} = 2.15$ м, малый радиус плазмы (по горизонтальной оси) $b = 0.55$ м, а ее вытянутость $K = 2$. Двухслойная вакуумная камера с толщиной каждого слоя в полоидальном сечении ${{d}_{w}} = {\text{2}}{\text{.5}}$ см схематически показана на рис. 1 красными точками.

В токамаке TRT планируется работа с плазмой во внешнем тороидальном поле ${{B}_{0}} = 8$ Тл с продольным током J до 5 МА [3–5]. При этом предполагается достижение ${{\beta }_{N}} \cong 2$, где

– фактор Тройона [6, 27]. Опасность срывов в таких режимах TRT будет так же велика, как и в других токамаках. Для сравнения, значения рассчитанных пределов по устойчивости плазмы без учета стабилизации стенкой: $\beta _{N}^{{no\;wall}} = 2 - 2.5$ в токамаке ИТЭР [7, 28], $\beta _{N}^{{no\;wall}} = 1.8 - 2.2$ в токамаке DIII-D [29] и $\beta _{N}^{{no\;wall}} = 2$ в токамаке JT-60SA [30].

Здесь моделируется тепловой срыв плазмы в TRT из состояния с продольным током $J = 5$ МА, ${{\beta }_{p}} = {\text{0}}{\text{.61}}$ и внутренней индуктивностью на единицу длины плазменного шнура ${{\ell }_{i}}(3) = 0.69$ со стандартными определениями [22]

Здесь ${{B}_{p}}$ – полоидальное магнитное поле, $B_{J}^{2}$ – средняя величина $B_{p}^{2}$ на границе плазмы, ${{V}_{{pl}}}$ – объем плазмы. При этом на границе плазмы запас устойчивости ${{q}_{{99}}} = 3.84$, а координаты магнитной оси ${{R}_{a}} = {\text{2}}{\text{.19}}$ м, ${{z}_{a}} = {\text{0}}{\text{.5}}$ м. Исходная равновесная конфигурация показана на рис. 1.

В расчетах предполагалось, что, как и в случае, рассмотренном в [22], до срыва профили температур и плотности параболические со средними значениями ${{n}_{e}} = 9.6 \times {{10}^{{19}}}$ м^–3, $T_{e}^{{avr}} = T_{i}^{{avr}} = $ = 11.5 кэВ, а на границе плазмы $T_{e}^{{bnd}} = T_{i}^{{bnd}} = 10$ эВ и $n_{e}^{{bnd}} = 9.55 \times {{10}^{{19}}}$ м^–3. Профили плотности тока плазмы и температуры электронов в этом состоянии показаны на рис. 2.

Модель TRT с двухслойной вакуумной камерой (двойной стенкой), которая в коде DINA заменяется набором плотно расположенных кольцевых проводников, показана на рис. 3. Можно сказать, что стенка разделена на N частей продольными разрезами, и наведенный ток в стенке моделируется набором N тороидальных токов. Такое разбиение и алгоритм расчета, основанного на законе Ома для стенки

подробно описаны в [22]. Здесь используется только тороидальная компонента (5), а проводимость σ материала обоих слоев вакуумной камеры в расчетах считается однородной (${{\sigma }^{{ - 1}}} = 8.25 \times $ × 10^–7 Ом ⋅ м).

TQ это явление, при котором практически мгновенно почти вся тепловая энергия плазмы теряется [6, 7]. На рис. 4 это представлено как быстрое падение ${{\beta }_{p}}$ до нуля. В этой постановке оно не связано с какими-либо процессами, а задается как исходное условие. Предполагается, что после TQ температура падает до 10 эВ с однородным распределением по радиусу, а величина и профиль плотности не меняются. На принятой шкале времени TQ начинается в момент 0.6 мс и продолжается 0.1 мс. Для сравнения, резистивное время стенки TRT, которое обычно оценивают [8, 9] как

(${{b}_{w}}$ – малый радиус стенки), составляет примерно 60 мс, что в 600 раз больше заданной длительности TQ. Стенка вакуумной камеры должна реагировать на порождаемое таким TQ изменение магнитного поля ${\mathbf{B}}$ как идеальный проводник.

В подобной постановке задача о возникающих силах на стенку рассматривалась аналитически в [23–26] для плазмы и стенки круглого сечения. Здесь плазма и стенка вытянуты по вертикали, но можно ожидать, что основные закономерности, установленные в [23–26], должны проявляться и в нашем случае [22, 31, 32]. В частности, мы проверяем предсказание о генерации большой радиальной силы при TQ до начала CQ, хотя наличие опасных электромагнитных нагрузок в токамаках обычно связывают со срывом тока [6, 7, 11–19, 33–44], иногда явно указывая, что сила пропорциональна $dJ{\text{/}}dt$ [7, 36, 42].

Расчет ${{F}_{r}}$ производится в геометрии TRT в предположении, что магнитные поля, создаваемые полоидальными и тороидальными катушками, неизменны. Здесь интеграл (1) вычисляется как сумма подобных сил на каждое кольцо, показанное на рис. 3. Локальные распределения наведенных токов и сил также показаны ниже.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Вместе с начальными данными, включая быстрый TQ, на рис. 4 также показаны результаты расчетов – временная эволюция внутренней индуктивности ${{\ell }_{i}}$, тока плазмы J и тока ${{J}_{w}}$, индуцированного в стенке, в процессе TQ и последующих 0.7 мс CQ.

Падение давления при развитии такого TQ сопровождается уменьшением смещения Шафранова с максимальным эффектом на магнитной оси, как показано на рис. 5a. Для некруглой плазмы такой реакции сопутствует вертикальное движение, которое начинается в момент TQ и далее развивается в неустойчивость VDE (Vertical Displacement Event) вверх. На рис. 5a уход магнитной оси по вертикали оказывается довольно большим. Следует ожидать быстрого контакта плазмы со стенкой.

Рассчитанные изменения малого радиуса и вытянутости плазмы показаны на рис. 5б. Ее граница заметно искажается в пределах 1 мс от начала срыва. Если площадь поперечного сечения плазмы оценивать как $\pi K{{b}^{2}}$, то в точке, где две кривые на рис. 5б пересекаются (в момент времени примерно 1.37 мс), она составляет лишь 18% от первоначальной.

Связанные с этим изменения ψ вне плазмы индуцируют токи в стенке. Их распределение, рассчитанное с помощью кода DINA, показано на рис. 6. Плотность наведенного тока в стенке ${{{\mathbf{j}}}_{w}}$ хотя и велика, дает ${{J}_{w}} = 0$ в процессе TQ, см. рис. 4. Позже ${{{\mathbf{j}}}_{w}}$ растет так, чтобы противодействовать CQ с $dJ{\text{/}}dt < 0$ в плазме. Соответственно, $d{{J}_{w}}{\text{/}}dt > 0$. В наших расчетах длительность TQ и весь рассматриваемый интервал времени составляют лишь малую часть резистивного времени стенки, поэтому величина полного тока $J + {{J}_{w}}$ в системе плазма + стенка должна оставаться неизменной вплоть до конца расчета. Результаты расчетов на рис. 4 согласуются с этими ожиданиями.

Полоидальные распределения радиальной $F_{r}^{i}$ и вертикальной $F_{z}^{i}$ компонент силы на внутренней ($i \leqslant 58$) и внешней ($59 \leqslant i \leqslant 120$) стенках в различные моменты времени в течение 0.7 мс после начала TQ показаны на рис. 7 и 8. Здесь i – номер проводника, введенный на рис. 3. Рассчитанная по (1), но с интегрированием по объему проводника i, отрицательная $F_{r}^{i}$ описывает силу, направленную к центру тора. Радиальная сила на верхних и нижних частях стенки оказалась малой.

Сила, появляющаяся на внешней (дальней от центра) части стенки, увеличивается после TQ приблизительно в три раза к концу рассматриваемого интервала времени. Ясно, что это даст главный вклад в полный интеграл ${{F}_{r}}$. Отметим, что масштаб $F_{z}^{i}$ на рис. 8 меньше, чем для $F_{r}^{i}$ на рис. 7.

Эволюция распределения рассчитанной силы на первую стенку сразу после TQ и в начале CQ иллюстрируется на рис. 9.

Временная эволюция интегральных сил на стенку TRT показана на рис. 10. Следует отметить значительную величину ${{F}_{r}}$ сразу после TQ. Производимые только TQ силы, описанные в [23–26, 31, 32] и моделируемые в настоящей работе, развиваются при $dJ{\text{/}}dt = 0$ (неизменный ток в плазме), перед стадией CQ. Токи в стенке генерируются из-за $d{\mathbf{B}}{\text{/}}dt \ne 0$, вызываемой практически скачкообразным $dp{\text{/}}dt < 0$. Мы подтвердили, что при таких условиях и типичных параметрах TRT тепловой срыв может индуцировать существенные вихревые тороидальные токи в стенке. При $dJ{\text{/}}dt = 0$ они имеют дипольную структуру так, что ${{J}_{w}} = 0$. Сила ${{F}_{r}}$ – результат их взаимодействия с полоидальным полем.

4. ОБСУЖДЕНИЕ

Согласно формуле (44) из [25]

полученной в приближении большого аспектного отношения для токамака с круглыми плазмой и стенкой, при тепловом срыве интегральная радиальная сила должна определяться только изменением запасенной в плазме тепловой энергии где δ означает приращение. В этом приближении полный объем плазмы ${{V}_{{pl}}} = 2{{\pi }^{2}}{{R}_{0}}{{b}^{2}}$, а $2\pi b{{B}_{J}} = {{\mu }_{0}}J$, поэтому для TQ при постоянном токе J равенст-во (7) сводится к

Величина ${{F}_{r}}$ в (7) и (9) является суммой двух сил

где два слагаемых соответствуют разбиению с индексами t и p, обозначающими тороидальную и полоидальную компоненты. Первые слагаемые в (10) и (11) дают силу на стенку, представленную набором тороидальных кольцевых проводников (филаментов), как показано на рис. 3. Именно $F_{r}^{{fil}}$ вычислялась выше для TRT, см. рис. 3, 6, 7, 9 и 10. При такой имитации металлического окружения допускается протекание в нем лишь тороидального тока, тогда как аналитическая теория с результатом (7) учитывает также и полоидальный ток в стенке ${{I}_{w}}$, возникающий при TQ.

Влияние тока ${{I}_{w}}$ на силы на стенку обсуждалось в [25, 45], а затем в [31, 32, 46, 47]. В [45] впервые было численно показано, что возникающие при срывах полоидальные токи могут оказывать существенное влияние как на полную радиальную силу, так и на нормальную силу на стенку в токамаке IGNITOR. В примере, рассмотренном в [45], наведенный ток ${{I}_{w}}$ достигал 1 МА при CQ. В аналитической модели, приводящей к (7), его величина дается равенством [48] (см. также (39) в [47])

где ${{I}_{g}} \equiv 2\pi {{R}_{0}}{{B}_{0}}{\text{/}}{{\mu }_{0}}$ – полный полоидальный ток в катушках, создающих тороидальное поле ${{B}_{0}}$ на оси $r = {{R}_{0}}$, ${{B}_{J}} \equiv {{\mu }_{0}}J{\text{/}}(2\pi b)$ – среднее значение полоидального поля на границе плазмы, ${{V}_{{pl}}}$ и ${{V}_{g}}$ – объемы плазмы и вакуумного зазора плазма–стенка. Радиальная сила, связанная с этим током, должна быть равна [25] где индекс pt указывает на происхождение этой парциальной силы: взаимодействие полоидального тока с тороидальным полем. Это общее выражение получено для стенки, которая реагирует на быстрые изменения магнитного поля как идеальный проводник. Такая модель всегда годится для быстрых событий, включая естественные (спонтанные) срывы и вынужденное гашение разряда [6, 7, 11–17, 19, 39, 41, 43] с помощью напуска газа или инжекции твердых частиц.

При подстановке в (13) тока ${{I}_{w}}$ из (12) для TQ с неизменным током J получается

где последняя величина определена равенством (9), в котором в данном случае следует оставить лишь слагаемое с $\delta {{\beta }_{p}}$. Для TQ в левой части (10) ${{F}_{r}} \to F_{r}^{{TQ}}$, а в правую часть следует подставить (14). Эти операции дают

Именно с этим предсказанием необходимо сравнивать результаты расчета.

В настоящей работе тепловой срыв плазмы и его последствия, представленные на рис. 4–10, моделируются точно так же, как делалось ранее в [22] для токамака ИТЭР с начальными значениями ${{\beta }_{p}} = {\text{0}}{\text{.62}}$ и ${{\ell }_{i}}(3) = 0.72$. Здесь для токамака TRT использованы почти такие же ${{\beta }_{p}} = {\text{0}}{\text{.61}}$ и ${{\ell }_{i}}(3) = 0.69$, но ток плазмы в 3 раза меньше, чем в ИТЭР. Поэтому, согласно (9) и (15), радиальная сила $F_{r}^{{fil}}$ в TRT должна быть в 9 раз меньше, чем в ИТЭР. Результат, представленный на рис. 10, дает $F_{r}^{{fil}} = 8.2$ МН в TRT сразу после TQ. Величина 73.8 МН, получаемая после умножения на 9 как оценка для ИТЭР, отличается от рассчитанного в [22] значения 70 МН менее, чем на 5.5%. Это подтверждает, что простой скейлинг (9) с $F_{r}^{{fil}} = 2F_{r}^{{TQ}} \propto {{J}^{2}}\delta {{\beta }_{p}}$ даже без учета изменения ${{\ell }_{i}}$ вполне может быть использован для экстраполяций.

Последнее говорит только о пропорциональности $F_{r}^{{fil}}$ и $F_{r}^{{TQ}}$ квадрату тока J и величине $\delta {{\beta }_{p}}$, на которую указывают (9) и (15), но остается еще вопрос об абсолютной величине силы. При подстановке $\delta {{\beta }_{p}} = {\text{0}}{\text{.61}}$ и $J = 5$ МА мы получим из (9) $F_{r}^{{TQ}} = 4.79$ МН, а из (15) $F_{r}^{{fil}} = 9.58$ МН вместо численно рассчитанного $F_{r}^{{fil}} = 8.2$ МН. Известно, что форма плазмы существенно влияет на распределения токов и полей, поэтому одной из причин несовпадения на 17% могут быть отличия в геометрии. Напомним, что здесь расчеты проводились для существенно некруглой плазмы, помещенной в вакуумную камеру с некруглым сечением, см. рис. 1 и 3, а при выводе формулы (7) они считались круглыми.

Этот вопрос требует отдельного рассмотрения, чтобы понять причину столь высокой точности аналитической теории. Возможно, это указание на слабую зависимость радиальной интегральной силы от вытянутости плазмы и стенки. С практической точки зрения более важной является проверка предсказания (15) применительно к TRT. Отметим, что справедливость оценки (12), приводящей к (13), (14) и (15), можно проверить экспериментально с помощью магнитных измерений [47].

Необходимость включения полоидальных токов в задачу и в целом аналитические предсказания, включая (7) и (15), были подтверждены сравнением с точными результатами численного моделирования с помощью кода CarMa0NL в [31, 32, 49]. Дополнительное аналитическое исследование [50], проведенное после демонстрации в [31, 32] зависимости локальных сил от положения плазмы относительно стенки, показало, что оно практически не сказывается на интегральной радиальной силе, когда в (10) учтены оба слагаемых.

Из сказанного можно сделать вывод, что, согласно (15), производимая TQ интегральная радиальная сила $F_{r}^{{TQ}}$ должна быть в два раза меньше приведенного на рис. 10 значения $F_{r}^{{fil}}$. Это справедливо для сплошной хорошо проводящей оболочки без разрезов. В реальной установке стенка несимметрична, в ней есть неоднородности, разрезы и отверстия. В таких случаях для расчета силы необходимо учитывать трехмерность стенки, как в работах [51, 52], а для оценок вместе с (7) следует пользоваться полученными в [25] выражениями для парциальных сил $F_{r}^{{fil}}$ и $F_{r}^{{pt}}$, связанных с токами ${{J}_{w}}$ и ${{I}_{w}}$.

В обсуждении выше мы оперировали положительными значениями, но равенства (7) и (9) показывают, что при падении давления плазмы сила $F_{r}^{{TQ}}$ должна быть отрицательной. Это объясняет знак радиальной силы на рис. 10 – она действует на сжатие тора.

Неожиданным является быстрое появление хотя и небольшой, но заметной вертикальной силы ${{F}_{z}}$ на рис. 10. Для ${{F}_{z}}$ и для так называемой боковой силы справедливо равенство [53]

где c – постоянный вектор (${{{\mathbf{e}}}_{z}} \equiv \nabla z$ для получения ${{F}_{z}}$), а интегрирование выполняется по аксиально-симметричной тороидальной оболочке $w + $, охватывающей стенку с внешней стороны. В начальный момент времени, когда токов в стенке нет, ${{{\mathbf{F}}}_{w}} = 0$. Этот результат должен сохраняться при любых процессах внутри вакуумной камеры, если на поверхности $w + $ магнитное поле B не меняется. Последнее означает реакцию стенки на внутренние процессы как идеального проводника. При быстрых процессах, как в нашем случае, должно быть в точности ${{F}_{z}} = 0$.

При аксиальной симметрии полоидальные токи, наводимые в стенке, не меняют тороидального поля в области за стенкой. Поэтому из (16) следует, что вертикальная сила ${{F}_{z}}$ от таких токов не зависит. Это позволяет рассматривать результат для ${{F}_{z}}$ на рис. 10 как полную силу, хотя стенка в расчетах была заменена тороидальными кольцами. Отклонение от ${{F}_{z}} = 0$ в наших расчетах может означать, что разбиение стенки на рис. 3 является грубым. На это указывают и небольшие выбросы на кривых как для первой, так и для второй стенки на рис. 6–8.

В то же время почти нулевые значения плотности тока и силы для второй стенки показывают, что экранирующее действие первой стенки воспроизводится достаточно хорошо.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассчитана эволюция плазмы при быстром TQ, тороидальные токи, наведенные в стенке, и силы их взаимодействия с полоидальным магнитным полем. Вычисления выполнены для геометрии токамака TRT. Показано, что радиальная компонента такой силы в токамаке TRT может достигать ~ 8 МН. Будучи неоднородно распределенной по стенке, которая здесь моделируется набором кольцевых проводников, эта сила имеет максимумы, примерно в 2.8 раза превышающие средний уровень. Тем самым доказано, что сила, произведенная тепловым срывом, может существенно увеличивать локальные нагрузки.

Рассмотрение подтверждает выводы аналитической теории и указывает на необходимость включения в код DINA дополнительного блока для расчета наводимого полоидального тока в стенке. Учет этого тока позволит улучшить точность предсказаний для токамака TRT.

Авторы благодарны С.В. Коновалову за постоянную поддержку.