Физика плазмы, 2021, T. 47, № 2, стр. 99-108

1. ВВЕДЕНИЕ

Электронный циклотронный резонансный нагрев (ЭЦРН) широко применяется в современных тороидальных устройствах магнитного удержания высокотемпературной плазмы. В настоящее время ЭЦРН рассматривается как наиболее надежный метод локального нагрева электронов во вращающемся магнитном острове. Согласно современным представлениям считается, что этот локальный нагрев позволит осуществлять контроль неоклассической тиринг-моды в токамаке-реакторе ИТЭР. Полная мощность СВЧ‑излучения, генерируемая мегаваттными гиротронами и планируемая к применению в ИТЭР, составляет 20 МВт. В настоящее время обсуждается использование ЭЦР-нагрева плазмы и в термоядерной установке следующего поколения Д-ЕМО. С этой целью уже сейчас начата разработка стационарных СВЧ-генераторов – гиротронов с выходной мощностью излучения 2–5 МВт [1, 2]. Поскольку приближается время физического пуска ИТЭР, актуальной задачей является исследование до момента начала ее функционирования всех аспектов поведения СВЧ-волн в высокотемпературной плазме и анализ возможности возбуждения паразитных физических эффектов, которые могут сопровождать их распространение и значительно ухудшать эффективность и локальность дополнительного нагрева электронов. Важность этой задачи подчеркивается как результатами последних экспериментов по ЭЦРН-плазмы, так и теоретическими предсказаниями. В частности, недавние экспериментальные наблюдения свидетельствуют о возможности возбуждения аномальных явлений при распространении мощных пучков СВЧ-волн в плазме тороидальных ловушек. Среди этих явлений можно выделить аномальное рассеяние греющего излучения [3–5] и генерацию групп высокоэнергичных ионов [6, 7] при дополнительном нагреве электронов в условиях, когда не существует линейных механизмов передачи энергии между этими заряженными частицами. Теоретическая модель [8–11], расширяющая традиционную схему описания трехволнового взаимодействия [12, 13] и учитывающая наличие немонотонных профилей плотности и магнитного поля и возможность запирания вблизи их максимумов дочерних волн, позволяет детально описать аномальное рассеяние [14], наблюдавшееся в экспериментах. Она интерпретирует аномальное рассеяние как результат нелинейного слияния различных дочерних волн, возбуждающихся при первичных и вторичных распадах СВЧ-волны накачки. Кроме того, эта теоретическая модель может объяснить появление “хвостов” на ионной функции распределения как результат резонансного взаимодействия ионов с низкочастотными ионными бернштейновскими волнами, генерируемыми при параметрической неустойчивости [9, 15]. Возможность значительного аномального поглощения волны накачки, предсказанная аналитически в работах [16–19], нашла подтверждение в модельных экспериментах на линейной установке [20], а предсказание излучения на частоте, равной половине частоты волны накачки [21], – в экспериментах по ЭЦРН в токамаке ASDEX-Upgrade [22].

Одним из “узких” мест при распространении СВЧ-волны в плазме токамака является область периферии, где могут наблюдаться как когерентные плазменные образования (блобы, филаменты), плотность в которых существенно выше фоновой, так и области с большим градиентом плазменных параметров. В частности, на границе плазмы может располагаться периферийный транспортный барьер. С одной стороны, характерный пространственный масштаб профиля плотности в барьере, как правило, много больше вакуумной длины волны СВЧ-колебаний, а дрейфовая турбулентность в нем подавлена, что не позволяет ожидать в этой области значительного линейного и нелинейного отражения или рассеяния греющего излучения. С другой стороны, наличие большого градиента плотности может оказывать существенное влияние на свойства волн промежуточного диапазона частот и приводить к появлению новых окон прозрачности для них [23, 24]. Как мы покажем ниже, в периферийном транспортном барьере термоядерной установки возможны, во-первых, существование потенциальных волн, отсутствующих в однородной среде, и, во-вторых, локализация этих волн, родственных косым ленгмюровским волнам (КЛВ), вдоль направления неоднородности из-за градиентных эффектов и в тороидальном направлении из-за гофрировки магнитного поля. Порог возбуждения таких двумерно локализованных волн, как было показано ранее в [8–10], во многих случаях оказывается существенно ниже значений, предсказанных для генерации нелокализованных дочерних волн [25], и может быть превзойден в экспериментах с мульти-мега-ваттными пучками СВЧ-волн.

В настоящей статье мы исследуем аномальное рассеяние СВЧ-волн накачки необыкновенной поляризации на колебаниях промежуточного частотного диапазона, локализованных в периферийном транспортном барьере термоядерной установки.

2. ПУЧОК ВОЛН НАКАЧКИ В ОБЛАСТИ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Учитывая, что параметрический распад возможен в узкой окрестности вокруг точки, где выполнены распадные условия для частот и волновых векторов нелинейно связанных волн, введем локальную декартову систему координат $(x,y,z)$ и будем пренебрегать эффектами кривизны и шира магнитного поля, свойственными тороидальным установкам. Координата x совпадает с направлением неоднородности, координата y направлена вертикально и координата z – вдоль магнитного поля, модуль напряженности которого в этом узком вдоль направления неоднородности слое имеет вид

где $\bar {H}$ – среднее значение магнитного поля на магнитной поверхности, N – количество тороидальных катушек, R – большой радиус установки и δ – параметр, характеризующий величину гофрировки магнитного поля. Примем, что начало системы координат совпадает с положением антенны. Например, для установки ASDEX-Upgrade $N = 36$, $R = 1.65$ м и $\delta \simeq 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 1.5\% $ в экваториальной плоскости на границе плазмы со стороны слабого магнитного поля [26].

Будем считать, что гауссов пучок волн накачки необыкновенной поляризации распространяется вдоль направления неоднородности поперек магнитного поля. В выбранной системе координат при падении на слой плазмы, в котором возможен параметрический распад этих волн, он может быть представлен в виде

где ${{P}_{0}}$ – мощность пучка, w и ${{w}_{f}}$ – параметры, характеризующие ширину пучка и кривизну его фронта, ${{n}_{x}} = \sqrt {n_{ \bot }^{2} - n_{y}^{2}} $, ${{n}_{z}}$ и ${{n}_{ \bot }}$ – продольный и поперечный коэффициенты преломления, причем последний является решением биквадратного дисперсионного уравнения ${{\upsilon }_{{gx}}}$ – компонента групповой скорости в направлении неоднородности, и ${{{\mathbf{e}}}_{0}} = {\mathbf{e}}\left( {{{\omega }_{0}},{{n}_{y}},{{n}_{z}}} \right)$ – вектор поляризации волны. В уравнении (3) ε, g и η – компоненты тензора диэлектрической проницаемости “холодной” плазмы. Для параметров плазмы, характерных для центрального ЭЦРН на второй гармонике резонанса в окрестности транспортного барьера выполняются соотношения

C учетом неравенств (4) компоненты тензора “холодной” плазмы имеют вид $\eta = 1 - \frac{{\omega _{{pe}}^{2}}}{{{{\omega }^{2}}}},$ $\varepsilon \cong \eta - $ $ - \;\frac{{\omega _{{pe}}^{2}}}{{{{\omega }^{2}}}}\frac{{\omega _{{ce}}^{2}}}{{{{\omega }^{2}}}},$ $g \cong \frac{{\omega _{{ce}}^{{}}}}{\omega }\frac{{\omega _{{pe}}^{2}}}{{{{\omega }^{2}}}} \ll 1$, ${{\omega }_{{pe}}}$, ${{\omega }_{{ce}}}$ – электронная плазменная и электронная циклотронная частоты. Кроме того, поперечный коэффициент преломления равен

и вектор поляризации имеет вид где ${{{\mathbf{\bar {e}}}}_{x}}$, ${{{\mathbf{\bar {e}}}}_{y}}$, ${{{\mathbf{\bar {e}}}}_{z}}$ – единичные орты соответствующей системы координат. В итоге мы можем представить поле волны накачки в следующем виде: где вектор ${{{\mathbf{A}}}_{0}} = {\mathbf{A}}\left( {{{\omega }_{0}}} \right)$, характеризующий поперечное распределение разных компонент электрического поля волны, равен

Отметим, что в электрическом поле пучка необыкновенной волны накачки, как и в случае плоской волны, доминирует полоидальная компонента. Тем не менее, мы удерживаем здесь и малую компоненту, направленную вдоль магнитного поля и приводящую к существенному росту нелинейной связи параметрически возбуждаемых волн.

Далее проанализируем распад пучка волн накачки (2), в результате которого возбуждаются рассеянная необыкновенная волна на частоте ${{\omega }_{s}}$ и косые ленгмюровские волны (КЛВ) на частоте ${{\omega }_{L}}$. Частоты дочерних волн удовлетворяют неравенствам ${{\omega }_{{pi}}} \leqslant {{\omega }_{L}} = {{\omega }_{0}} - {{\omega }_{s}} \ll {{\omega }_{{pe}}}$. В последующих разделах рассмотрим поведение дочерних волн в области периферийного транспортного барьера.

3. НИЗКОЧАСТОТНАЯ ДОЧЕРНЯЯ КЛ-ВОЛНА В ОКРЕСТНОСТИ ТРАНСПОРТНОГО БАРЬЕРА

Потенциал КЛВ в неоднородной плазме в отсутствие нелинейной накачки описывается уравнением Пуассона

где дифференциальный оператор имеет вид

Компоненты тензора “холодной” плазмы в выражении (9) равны

где ${{\omega }_{{pi}}}$ – ионная плазменная частота. В дифференциальном операторе (9) присутствует член, пропорциональный функции $ \sim {\kern 1pt} \partial g\left( {{{\omega }_{L}}} \right){\text{/}}\partial x$, который является следствием неоднородности плазмы и играет важную роль на периферии плазмы в области транспортного барьера. Основной вклад в производную по координате недиагональной компоненты тензора диэлектрической проницаемости вносит пространственная производная от плотности плазмы. Кроме того, как $\varepsilon \left( {{{\omega }_{L}}} \right)$, так и $g\left( {{{\omega }_{L}}} \right)$ зависят от продольной координаты $z$ из-за гофрировки магнитного поля.

Далее будем искать решение, которое описывает волну, которая бежит в направлении y, т.е. $\phi \propto \exp \left( {i{{q}_{y}}y} \right)$. В этом случае уравнение (8) сводится к

Функция $\left| {\partial g\left( {{{\omega }_{L}}} \right){\text{/}}\partial x} \right|$ имеет локальный максимум в области периферийного транспортного барьера. Чтобы проиллюстрировать этот факт, возьмем профиль плотности, который является близким к тем, что измерялись в области транспортного барьера на токамаке ASDEX-Upgrade [27], см. рис. 1. На этом же рисунке показана пространственная производная профиля плотности, которая имеет локальный максимум в области барьера. В окрестности этого максимума мы можем аппроксимировать функцию параболой

Наибольшее время в потенциальной яме вдоль направления неоднородности КЛВ проводит в окрестностях точек поворота, где выполняется неравенство ${{q}_{y}} \gg \left| {\partial {\text{/}}\partial x} \right|$. Учитывая параболическую аппроксимацию (12) и раскладывая коэффициенты уравнения также по степеням координаты z, получим

где использованы обозначения

Решение этого уравнения выражается через полиномы Эрмита

где ${{B}_{{pr}}}\;\; = \;\;\operatorname{const} ,$ ${{\tilde {\phi }}_{p}}(Kx)\;\; = \;\;\sqrt {\frac{K}{{\sqrt \pi {{2}^{p}}p!}}} \;\; \times $ $ \times \;\exp \left( { - \frac{{{{K}^{2}}{{x}^{2}}}}{2}} \right){{H}_{p}}\left( {Kx} \right)$. Частота КЛВ определяется условием

В отсутствие градиента плотности ($Q = 0$) такая КЛ-волна, распространяющаяся практически перпендикулярно внешнему магнитному полю, существовать не может. Появление новых областей прозрачности для КЛВ в неоднородной плазме было впервые обнаружено в работе [23]. В дальнейшем в [24] была показана возможность существования быстрых квазипотенциальных волн промежуточного диапазона частот, распространяющихся строго поперек магнитного поля. Кроме того, в [24] продемонстрировано, что при большом значении градиента плотности такие колебания могут быть локализованы в направлении неоднородности. Эта волна обладает примечательным свойством. В некотором диапазоне волновых векторов в пределах области локализации вдоль направления неоднородности она меняет знак групповой скорости в поперечном внешнему магнитному полю и градиенту плотности $y$-направлении

При усреднении по области локализации КЛ-волна, обладающая y-компонентой волнового вектора, примерно равной

имеет среднее значение групповой скорости, близкое к нулю:

Для этой волны единственным источником потерь из области распада в направлении поперечной координаты y является дифракция – более медленный процесс, нежели конвективный вынос. Этот факт делает возможным предполагать, что именно такие КЛ-волны, имеющие поперечное значение волнового вектора, близкое к значению (17), являются наиболее неустойчивыми и возбуждаются при распаде волны накачки прежде всего.

4. ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ДОЧЕРНЯЯ НЕОБЫКНОВЕННАЯ ВОЛНА В ОБЛАСТИ РАСПАДА

Обсудим поведение дочерней высокочастотной волны необыкновенной поляризации. В отсутствие нелинейного взаимодействия частное решение, которое описывает электрическое поле дочерней необыкновенной волны, распространяющейся в обратном волне накачки направлении, в приближении Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна (ВКБ) имеет вид (см. (2))

где ${{{\mathbf{e}}}_{s}} = {\mathbf{e}}\left( {{{\omega }_{s}}} \right)$ – вектор поляризации. В отличие от волны накачки дочерняя КЛВ имеет большую компоненту волнового вектора вдоль координаты y, удовлетворяющую распадному условию $({{\omega }_{s}}{\text{/}}c){{n}_{{sy}}} \approx {{q}_{y}}$. В случае профиля плотности рис. 1, более подробно рассматриваемом в настоящей статье, компоненты показателя преломления дочерней волны необыкновенной поляризации удовлетворяет условию

В этом случае пучок волн необыкновенной поляризации распространяется квазипоперечно по отношению к пучку волн накачки c основной компонентой вектора поляризации, направленной вдоль направления неоднородности,

В следующем разделе будет получена система уравнений, которая описывает нелинейную связь дочерних волн в присутствии пучка волн накачки.

5. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ ДОЧЕРНИХ ВОЛН В ОКРЕСТНОСТИ ТРАНСПОРТНОГО БАРЬЕРА

На рис. 2 демонстрируется возможность нелинейного возбуждения КЛВ в условиях, типичных для токамака ASDEX-Upgrade. Пунктирной линией показана сумма волновых чисел ${{k}_{x}}({{\omega }_{0}},x)\, + $ $ + \;{{k}_{x}}({{\omega }_{s}},x)$, где ${{k}_{x}}\left( {{{\omega }_{{0,s}}}} \right) = {{\omega }_{{0,s}}}{{n}_{x}}\left( {{{\omega }_{{0,s}}}} \right){\text{/}}c$, волны накачки ${{f}_{0}}$ и дочерней волны ${{f}_{s}}$. Волновое число низкочастотной КЛ дочерней волны ${{q}_{x}} = $ ${{q}_{x}}({{q}_{y}})$, которое определяется при решении уравнения (8) методом ВКБ и соответствует локализованной в плазме радиальной моде с номером $p = 142$, изображено на рисунке сплошной линией. Отметим, что разница между ближайшими собственными частотами порядка $\Delta \omega = 2\pi ({{f}_{p}} - {{f}_{{p - 1}}}) \approx $ ${{10}^{7}}$ рад/с. Как будет показано ниже, инкремент неустойчивости много меньше этого значения, что позволяет говорить о существовании дискретного спектра собственных мод. Дисперсионные кривые приведены для профиля плотности, изображенного на рис. 1, магнитного поля в центре ${{H}_{0}} = 2.25$ Тл и электронной температуры в области взаимодействия ${{T}_{e}} = 0.3$ кэВ. Отметим, что в точках, где кривые пересекаются, выполнены распадные резонансные условия. Таким образом, вблизи этих точек ${{x}_{d}}$, положение которых определяется решением уравнения $\Delta K = {{k}_{x}}\left( {{{\omega }_{0}},{{x}_{d}}} \right) + $ $ + \;{{k}_{x}}\left( {{{\omega }_{s}},{{x}_{d}}} \right) - {{q}_{x}} = 0$, возможно развитие параметрической распадной неустойчивости.

Для описания параметрической неустойчивости пучка волн накачки (2) учтем в уравнениях Пуассона и Максвелла нелинейные плотности заряда и тока, описывающие трехволновое взаимодействие. Уравнение Пуассона для потенциала КЛВ в присутствии волны накачки имеет вид

где нелинейная плотность заряда ρ равна (см. Приложение, где соответствующее выражение приведено в фурье-представлении)

Уравнение (21) описывает потенциал волны промежуточного диапазона частот, источником являются биения между волной накачки и рассеянной волной (правая часть уравнения). В присутствии нелинейной плотности заряда амплитуда ${{B}_{{pr}}}$ в выражении (14) перестает быть постоянной величиной. Подставим (14) в уравнение (21). Умножим обе части этого уравнения на ${{\tilde {\phi }}_{p}}\left( {{{K}_{x}}x} \right){\kern 1pt} *{{\tilde {\phi }}_{r}}\left( {{{K}_{z}}z} \right){\kern 1pt} *$ и проинтегрируем по координатам x и z. В интеграле по координате z дважды проведем интегрирование по частям и выразим вторую производную функции ${{\tilde {\phi }}_{r}}\left( {{{K}_{z}}z} \right){\text{*}}$ через ее саму, используя свойства полиномов Эрмита. В результате получим

Здесь введено обозначение $\Lambda = {{\left. {{{\left\langle {\frac{{{{\partial }^{2}}D}}{{2\partial q_{y}^{2}}}} \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle {\frac{{{{\partial }^{2}}D}}{{2\partial q_{y}^{2}}}} \right\rangle } {\left\langle {\frac{{\partial D}}{{\partial {{\omega }_{L}}}}} \right\rangle }}} \right. \kern-0em} {\left\langle {\frac{{\partial D}}{{\partial {{\omega }_{L}}}}} \right\rangle }}} \right|}_{{q_{y}^{{(0)}}}}}$, коэффициенты дифракции КЛВ усреднены по области ее локализации. Процедура усреднения определяется следующим образом: $\left\langle F \right\rangle = $ $ = \int_{ - \infty }^\infty {dx} \int_{ - \infty }^\infty {dz} F\left( {x,z} \right){{\left| {{{{\tilde {\phi }}}_{p}}\left( {{{K}_{x}}x} \right)} \right|}^{2}}{{\left| {{{{\tilde {\phi }}}_{r}}\left( {{{K}_{z}}z} \right)} \right|}^{2}}$. В левой части уравнения (22) мы опустили член, описывающий конвективные потери КЛВ в направлении координаты y. Для случая, показанного на рис. 2, ${{q}_{y}} = 24$ см^–1 близко к оптимальному значению (17) и значения усредненных по области локализации групповой скорости и коэффициента дифракции равны ${{u}_{{Ly}}} \approx 2 \times {{10}^{3}}$ см/с, $\Lambda \approx 3 \times $ × 10⁶ см²/с, соответственно.

Далее получим уравнение для высокочастотной дочерней волны. С этой целью подставим в неоднородные уравнения Максвелла, содержащие в правой части нелинейную плотность тока, выражение (18). Свернем эти три уравнения с вектором поляризации ${\mathbf{e}}_{s}^{*}$, определение которого дано ранее в выражении (20). В присутствии нелинейного взаимодействия волны накачки и низкочастотных колебаний, описываемых нелинейной плотностью тока, амплитуда ${{A}_{s}}$ перестает быть постоянным множителем и становится функцией координат. Координатная зависимость описывается следующим неоднородным уравнением, содержащим нелинейную вынуждающую силу:

где $n_{{sy}}^{{(0)}} = q_{y}^{{(0)}}c{\text{/}}{{\omega }_{s}}$ и $J = {\mathbf{e}}_{s}^{*}{\mathbf{j}} = {{j}_{x}} - \frac{{{{n}_{{sx}}}}}{{{{n}_{{sy}}}}}{{j}_{y}} \cong $ $ \cong \frac{c}{{4\pi }}\frac{{\omega _{{ce}}^{2}\omega _{{pe}}^{2}}}{{\omega _{0}^{2}\omega _{L}^{2}}}\frac{{\left( {{{{\mathbf{E}}}_{0}} \cdot {{{\mathbf{e}}}_{y}}} \right)}}{{\bar {H}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{z}^{2}}}}\phi $ (см. Приложение). Несмотря на то что волна распространяется преимущественно в направлении y (т.к. в силу неравенства (19) компоненты скорости этой волны удовлетворяют неравенству ${{u}_{{sx}}},{{u}_{{sz}}} \ll {{u}_{{sy}}}$), из-за малой ширины области нелинейного взаимодействия вдоль направления неоднородности характерное время ее выхода из нее, ${{\tau }_{x}}$, оказывается много меньше, чем вдоль направления y (${{\tau }_{y}}$). На рис. 3 приведена зависимость безразмерного параметра $\frac{{{{\tau }_{x}}}}{{{{\tau }_{y}}}} = \frac{{{{l}_{d}}}}{{2w}}\left| {\frac{{n_{{sy}}^{{(0)}}}}{{{{n}_{x}}\left( {{{\omega }_{s}}} \right)}}} \right| \ll 1$ от размера пучка. Видно, что уже при радиусе пучка порядка 2 см мы можем пренебречь вторым и третьим членом в левой части уравнения (23). Опуская эти члены, а затем интегрируя по координате x с учетом граничного условия ${{\left. {{{A}_{s}}} \right|}_{{x \to \infty }}} = 0$, получим амплитуду рассеянной высокочастотной волны

Подставим (24) в правую часть уравнения (22). После несложных преобразований и интегрирования по частям получим

где ${{\tilde {w}}^{2}} = {{w}^{2}} + w_{f}^{4}{\text{/}}{{w}^{2}}$ – эффективная ширина пучка накачки, а коэффициент, описывающий экспоненциальное усиление КЛВ, имеет вид

В (26) введено обозначение

Аппроксимируя невязку распадного резонансного условия (см. рис. 2) в пределах слоя нелинейного взаимодействия как

где ${{x}_{d}}$ – положение точки распада, которое определяется из уравнения $d\Delta K{\text{/}}dx = 0 \to {{x}_{d}}$, ${{l}_{d}} = \left( {\left| {{{d}^{2}}\Delta K{\text{/}}d{{x}^{2}}} \right|/6} \right)_{{{{x}_{d}}}}^{{ - 1/3}}$ – размер области взаимодействия, $\Delta K\left( {{{x}_{d}}} \right)$ – невязка распадного резонансного условия для волновых чисел нелинейно связанных волн в точке ${{x}_{d}}$, мы можем свести выражение (27) к более простому виду здесь $s = \sqrt {x{\text{/}}{{l}_{d}}} $, $\eta = {{K}_{z}}z$.

Уравнение (25) описывает абсолютную неустойчивость волны, испытывающей дифракционные потери и локализованное усиление [10, 28]. Для того чтобы показать это аналитически, предположим, что мощность волны накачки существенно превышает порог возбуждения неустойчивости. В этом случае функция $\exp \left( { - \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{w}^{2}}}}} \right)$ может быть разложена в ряд Тейлора, $\exp \left( { - {{y}^{2}}{\text{/}}{{w}^{2}}} \right) \simeq 1 - {{y}^{2}}{\text{/}}{{w}^{2}}$, а решение уравнения выражается через функцию параболического цилиндра, амплитуда которой экспоненциально растет во времени с инкрементом [10, 28]

В свою очередь, поправка к частоте КЛВ равна

В выражениях (30) и (31) $\tan \left( \psi \right) = \frac{{\operatorname{Im} \left( {{{\gamma }_{0}}} \right)}}{{\operatorname{Re} \left( {{{\gamma }_{0}}} \right)}}$ и $l \in \mathbb{Z}$.

Грубую оценку порога возбуждения неустойчивости можно получить, положив $\gamma = 0$ в выражении (30),

Отметим, что согласно (31) и (27) порог абсолютной неустойчивости по мощности, определяемый из условия равенства нулю инкремента, зависит от ширины пучка волны накачки только за счет зависимости от этого параметра фактора ${{\kappa }^{3}}$. Согласно соотношению (30) эта зависимость насыщается при ${{w}^{2}}K_{z}^{2} > 1$, когда ширина пучка накачки превосходит размер области локализации КЛВ вдоль по магнитному полю. Для примера рассмотрим случай, когда область параметрического распада (${{x}_{d}}$) расположена в окрестности фокуса пучка $x = R$. При этом, если выполнены условия ${{w}^{2}}\;\; \gg \;\;\frac{c}{{{{\omega }_{0}}}}\int_{{{x}_{d}}}^R {\frac{{dx{\kern 1pt} '}}{{{{{\left( {\varepsilon \left( {{{\omega }_{0}},x{\kern 1pt} '} \right)\;\; - \;\;g{{{\left( {{{\omega }_{0}},x{\kern 1pt} '} \right)}}^{2}}{\text{/}}\varepsilon \left( {{{\omega }_{0}},x{\kern 1pt} '} \right)} \right)}}^{{1/2}}}}}} $ и ${{w}^{2}}\;\; \gg \;\;\frac{c}{{{{\omega }_{0}}}}\int_x^R {dx{\kern 1pt} '\frac{{1 + g{{{\left( {{{\omega }_{0}},x{\kern 1pt} '} \right)}}^{2}}{\text{/}}\varepsilon {{{\left( {{{\omega }_{0}},x{\kern 1pt} '} \right)}}^{2}}}}{{{{{\left( {\varepsilon \left( {{{\omega }_{0}},x{\kern 1pt} '} \right){\kern 1pt} \; - {\kern 1pt} \;g{{{\left( {{{\omega }_{0}},x{\kern 1pt} '} \right)}}^{2}}{\text{/}}\varepsilon \left( {{{\omega }_{0}},x{\kern 1pt} '} \right)} \right)}}^{{1/2}}}}}} $, дифракцией пучка поперек и вдоль магнитного поля в резонансном слое можно пренебречь, что позволяет считать его фронт плоским, пренебрегая малой кривизной и полагая ${{w}_{f}} = 0$. Для типичных параметров экспериментов выполняется строгое неравенство ${{\left( {{{\omega }_{{сe}}}\omega _{{pe}}^{2}{\text{/}}\omega _{0}^{3}} \right)}^{2}} \ll 1$. В этом случае приведенные выше критерии значительно упрощаются и сводятся к одному ${{w}^{2}} \gg $ $ \gg \frac{c}{{{{\omega }_{0}}}}\int_{{{x}_{d}}}^R {\frac{{dx{\kern 1pt} '}}{{\varepsilon {{{\left( {{{\omega }_{0}},x{\kern 1pt} '} \right)}}^{{1/2}}}}}} $.

На рис. 4 проиллюстрирована аналитическая зависимость инкремента неустойчивости (30) от мощности пучка накачки для двух значений радиуса пучка (номера мод КЛВ $p = 142$, $r = 0$) в случае плоского фронта волны. На этом же рисунке символами указаны значения инкремента, полученные численно в результате решения уравнения (25). Как видно, аналитическое решение хорошо описывает значения инкремента в надпороговой области, однако сильно занижает его около порога. В результате оказывается существенно завышенным и значение порога неустойчивости. На рис. 5 приведены зависимости порога возбуждения неустойчивости от размера пучка для случая плоского фронта волны, которые определены в результате численного решения уравнения (25) для типичных параметров экспериментов на токамаке ASDEX-Upgrade (см. подписи к рис. 1 и 2), а также из аналитического соотношения (32). Как видно из рисунка, численно определенная зависимость порога от ширины пучка находится в качественном соответствии с предсказаниями аналитического рассмотрения, а именно, зависимость выходит на насыщение, когда размер пучка порядка размера области локализации КЛВ вдоль магнитного поля ($1{\text{/}}{{K}_{z}} = 9$ см). Тем не менее, численное значение порога оказывается существенно ниже грубой аналитической оценки.

Отметим, что рассеяние волны накачки возможно и в результате параметрического возбуждения собственных, распространяющихся по малому обходу токамака, полоидальных мод нижнегибридной волны. Грубая оценка инкремента этого нелинейного процесса дает значение, которое меньше в квадрат отношения малого радиуса токамака и диаметра пучка накачки раз, чем то, что определено в настоящей статье (см. выражение (30)). Тем не менее, порог возбуждения собственных полоидальных мод, определяемый затуханием нижнегибридной волны при распространении по малому обходу в токамаке, может быть ниже, чем в рассмотренном в статье случае. Это позволяет говорить о возможности нелинейного возбуждения таких полоидальных собственных мод в современных экспериментах с уровнем мощности в микроволновом пучке меньшем мегаватта. Кроме того, следует сказать, что возбуждение собственных полоидальных мод можно ожидать на стадии насыщения неустойчивости, рассмотренной в настоящей работе. Этот процесс будет проанализирован в отдельной статье.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье продемонстрирована возможность возбуждения абсолютной параметрической распадной неустойчивости рассеяния необыкновенной волны накачки на угол порядка 90 градусов при ее прохождении через периферийный транспортный барьер в магнитной ловушке. Как следствие неустойчивости также раскачивается косая ленгмюровская волна, локализованная в зоне барьера и между локальными пробками магнитного поля. Порог неустойчивости может быть превзойден при использовании для электронного циклотронного нагрева плазмы на второй гармонике резонанса мульти-мега ваттных греющих пучков. В результате развития этой неустойчивости может снижаться эффективность ЭЦР-нагрева плазмы и меняться профиль вкладываемой мощности.

Работа выполнена при поддержке проекта РНФ 16-12-10043; расчет коэффициентов нелинейной связи проведен в рамках государственного контракта ФТИ им. А.Ф. Иоффе 0040-2014-0023.