Физика плазмы, 2021, T. 47, № 6, стр. 541-561
Моделирование положительного коронного разряда от плоскопараллельной системы горизонтальных заземленных проводов в электрическом поле грозового облака
М. С. Мокров a, *, Ю. П. Райзер a
a Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия
* E-mail: mmokrov@gmail.com
Поступила в редакцию 23.12.2020
После доработки 21.01.2021
Принята к публикации 23.01.2021
Аннотация
Теоретически рассматривается нестационарная положительная корона, развивающаяся в свободном пространстве от системы заземленных проводов, подвешенных на одинаковой высоте и находящихся в нарастающем однородном электрическом поле грозового облака. Для расчета характеристик короны разработана двумерная компьютерная модель, в которой разряд описывается уравнением для плотности положительных ионов одного сорта и уравнением Пуассона для электрического поля. Для простоты предполагается, что провода многоэлектродной системы тождественны и расстояния между любыми двумя соседними проводами одинаковы. Рассмотрен случай, когда число проводов в системе бесконечно и задача сводится к изучению короны от одного провода и случай системы из восьми коронирующих проводов. На основе численного решения уравнений двумерной модели, рассчитаны коронный ток, распределение объемного заряда, генерируемого короной, и электрического поля в окружающем провода пространстве. В случае короны от бесконечного числа проводов рассчитан режим, когда коронный ток выходит на насыщение и зависит только от скорости роста грозового поля и расстояния между проводами. Результаты могут представлять интерес для последующих оценок влияния коронного разряда на эффективность многотросовой молниезащиты.
1. ВВЕДЕНИЕ
Нестационарная корона, возникающая в грозовую погоду у острых выступов заземленных объектов, подробно изучалась в последние 20 лет. Особенность этого явления состоит в том, что заряды, генерируемые короной вблизи коронирующего острия, устремляются вверх к грозовому облаку, заполняя свободное пространство, поэтому стационарное состояние установиться не может. Поэтому характеристики нестационарной короны в естественных условиях существенно отличаются от характеристик лабораторной короны, когда стационарное состояние устанавливается сравнительно быстро. В частности, ток нестационарной короны определяется скоростью роста напряжения на промежутке, а не самой величиной напряжения [1].
В грозовых условиях роль приложенного напряжения играет разность потенциалов между заземленным объектом и потенциалом внешнего поля в месте расположения объекта, E0(t)h, где E0(t) – медленно нарастающее во времени электрическое поле грозового облака, направленное вертикально вверх, h – высота объекта. Корона возникает от объекта с радиусом закругления r0 ≪ h, когда электрическое поле на его поверхности превысит поле зажигания короны Ecor. Пространственный заряд, внедряемый в окружающее пространство коронным разрядом, приводит к перераспределению электрического поля вблизи объекта. Как оказалось, такое действие заряда позволяет подавлять возбуждение восходящих молний от высоких заземленных сооружений [1–4]. В недавней статье [5] высказано предположение, что присутствие заряда, внедренного короной, может объяснять снижение вероятности удара молнии в статический ветрогенератор электрической энергии по сравнению с вращающимся ветрогенератором, около которого облако пространственного заряда короны не успевает сформироваться.
Эффект пространственного заряда короны приводит к уменьшению электрического поля у земли, как это следует из наблюдений [6–8] в условиях, когда поверхность земли покрыта густой растительностью. Растительный покров (ветки деревьев, кустов, траву) можно уподобить заземленным проводникам, острия которых находятся достаточно высоко над земной поверхностью. Индивидуальные короны от таких электродов перекрываются в единый плоский ионный слой, верхняя граница которого достигает высот в несколько сотен метров [6–8]. Пространственный ионный заряд, сосредоточенный в области между земной поверхностью и верхней границей ионного слоя, создает свое собственное поле, направленное вдоль вертикали противоположно внешнему грозовому полю E0. В результате измеренные значения грозового поля на земной поверхности оказались существенно ниже, чем поле E0 над верхней границей ионного слоя [6–8].
С практической точки зрения, многоэлектродные системы могут быть использованы для повышения надежности молниезащиты объектов [2, 9–11]. Для защиты не слишком высоких сооружений, занимающих значительную площадь, предложено разместить над ними плоскопараллельную решетку заземленных проводов (грозотросов), подвешенных на опорах, которые вынесены за пределы защищаемой территории [12]. Предполагается, что экранирующий эффект объемного заряда короны от проводов усилит их защитное действие. Поэтому представляет интерес информация о характеристиках короны, ее токе, распределении и величине заряда, внедренного коронирующими проводами. Одной из задач является выяснение условий, при которых можно создать однородный плоский слой объемного заряда над защищаемой территорией благодаря эффекту короны от проводов. В настоящей работе эти вопросы рассматриваются теоретически, на основе численного моделирования.
Моделирование нестационарной короны даже от одиночных заземленных электродов в грозовых условиях сталкивается с большими вычислительными трудностями. Строго говоря, процесс коронирования, как минимум, двумерен, а расчетная область охватывает масштабы от малого радиуса закругления электрода r0 ~ 1 см до расстояний в сотни метров, которые сравнимы с длиной промежутка облако–земля. В серии работ [1, 4, 13–16] на основе приближенной квазиодномерной (1D) модели короны впервые были рассчитаны характеристики короны от заземленных сферических электродов и стержней с полусферической головкой, которые являются прототипами молниеотводов, и сделаны оценки влияния короны на притяжение молний к высоким заземленным объектам. Позднее те же вопросы исследовались более детально в статьях [17, 18] на основе двумерной (2D) модели нестационарной короны и моделей [19, 20] возбуждения встречного лидера от объекта.
Надо сказать, что в статьях [17, 18] опровергаются выводы [4, 15] о заметном подавлении молнии эффектом короны, и говорится, что неверные оценки получились в результате использования чрезмерно упрощенной одномерной модели. В статье [21], суммирующей результаты многолетних исследований [1, 4, 13–16], показано, что это утверждение не справедливо, а отличия приближенной 1D и строгой 2D-моделей короны не столь радикальны, чтобы сильно повлиять на условие возникновения встречного лидера. Возможно, расхождение результатов [17, 18] и [21] объясняется использованием разных критериев возбуждения стримеров и лидеров от объекта. Поэтому вопрос о влиянии короны на молнию остается открытым.
В двумерной цилиндрической геометрии характеристики нестационарной короны от уединенного заземленного провода (молниезащитного троса) изучались в работе [22] на основе приближенной квазиодномерной квазистационарной аналитической модели, подобной примененной в [1, 4]. Также в [22] рассматривался вопрос о влиянии короны на притяжение молний к тросу. В двумерной постановке задача о нестационарной короне от уединенного заземленного провода рассматривалась в [23].
Нестационарная корона от многоэлектродной системы, состоящей из одинаковых сферических проводников, заземленных тонкими проволоками, и находящихся на одинаковой высоте h над плоской земной поверхностью в однородном грозовом поле впервые теоретически рассмотрена в [24, 25] (расчеты также выполнены для родственной системы из вертикальных тонких заземленных стрежней с полусферической головкой). На плоскости земли проводники размещались вдоль концентрических окружностей с радиусами rk = = kD (k = 1, 2, …, N) вокруг одного проводника. Предполагалось, что вдоль окружности с номером k равномерно размещено 6k проводников. Краевыми эффектами пренебрегалось и считалось, что заряды всех электродов одинаковы. Для расчета короны от такой системы использовалась усовершенствованная 1D модель [1, 4, 13–16, 21], а в предельном случае бесконечного числа проводников, – аналитическая теория. Путем варьирования входных параметров задачи: числа окружностей с проводниками N, высот проводников h, характерного расстояния между соседними проводниками D, характерного времени нарастания грозового поля E0(t), получено множество данных о динамике коронного тока во времени [24] и временной эволюции вертикального электрического поля на земле и разных высотах [25]. Найдены условия, при которых характеристики короны от названной многоэлектродной системы оказываются такими же, как от плоской поверхности, эмитирующей ионы. В этом случае индивидуальные короны от проводников объединяются, над электродами формируется плоский ионный слой, а плотность тока нестационарной короны определяется только скоростью нарастания со временем грозового поля E0.
Целью данной работы является расчет характеристик нестационарной положительной короны, развивающейся от многоэлектродной системы плоскопараллельных одинаковых заземленных проводов (молниезащитных тросов), коронирующих во внешнем медленно нарастающем электрическом поле грозового облака. Расчет короны от многоэлектродной системы проводится на основе 2D компьютерной модели [23], развитой ранее для расчета короны от одиночного провода в грозовых условиях.
Отметим, что рассматриваемая здесь задача о нестационарной короне имеет общие черты с электростатическими задачами о стационарной короне. Стационарная корона от многоэлектродной системы электрофильтров была рассчитана для 2D системы длинных параллельных проводов [26, 27] и для трехмерной системы c заостренными электродами [26, 28]. Множество статей посвящено короне от линий электропередач с постоянным напряжением. Рассматривалась, например, задача о короне от одного горизонтального провода [29–31]; от двухполюсной нерасщепленной линии [32] и линии с полюсами, расщепленными на несколько проводов [33]; при этом в [30–33] учитывалось еще действие бокового ветра. В [34] на основе 2D численной модели описаны результаты проведенного в той же работе эксперимента, в котором продемонстрирована возможность использования стационарного коронного разряда от длинной тонкой проволоки в потоке воздуха (ветра) для управляемой электризации изолированного проводящего тела. Однако, во всех этих работах, в отличие от рассматриваемого нами случая, стационарное состояние устанавливается быстро, а короткая нестационарная стадия коронного разряда интереса не представляет.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И УРАВНЕНИЯ
Рассматриваем положительную корону от плоскопараллельной системы длинных одинаковых заземленных проводов радиуса r0, подвешенных на высоте h и коронирующих в медленно нарастающем вертикальном электрическом поле грозового облака E0(t). Как обычно, предполагаем, что рост поля E0(t) описывается двумя простыми законами. В первом случае поле E0(t) растет линейно в течение времени τ, достигает максимума и затем поддерживается постоянным:
(1)
$\begin{gathered} {{E}_{0}}\left( t \right) = {{E}_{{0\;{\text{max}}}}}t{\text{/}}\tau ,\quad t < \tau ; \\ {{E}_{0}}\left( t \right) = {{E}_{{0\;\max }}},\quad t \geqslant \tau \\ \end{gathered} $Во втором случае поле растет по релаксационному закону:
(2)
${{E}_{0}}\left( t \right) = {{E}_{{{\text{0}}\;{\text{max}}}}}\left[ {1 - \exp ( - t{\text{/}}\tau )} \right]$Расстояние между соседними проводами D считаем одинаковым. В первом случае расчет короны проведем для многоэлектродной периодической системы, состоящей из бесконечного числа проводов. В силу периодичности системы достаточно рассмотреть корону от одного провода, а действие остальных проводов заменить периодическими граничными условиями. Во втором случае принимаем, что система состоит из восьми параллельных проводов. Такое число выбрано в результате компромисса между затратами труда, машинным временем и полезной информацией, которую можно ожидать от расчета.
Схемы расположения проводов для названных случаев показаны на рис. 1. Координаты центров проводов, составляющих периодическую систему, равны xk = D/2 + kD, yk = h, где k = 0, ±1, ±2, и т.д., см. рис. 1(a). Центры восьми проводов расположены в точках xk = –7D/2 + (k – 1)D, yk = h, k = 1, …, 8, рис. 1(б).
Рис. 1.
Схематическое изображение плоскопараллельных многоэлектродных систем из одинаковых заземленных проводов в однородном грозовом поле E0: (a) бесконечная решетка проводов; (б) система из восьми проводов.
Коронный процесс описываем уравнением непрерывности для плотности ионов nion одного сорта и уравнением Пуассона для потенциала электростатического поля ${\mathbf{E}}{\kern 1pt} ' = - \nabla \varphi {\kern 1pt} '$, созданного зарядами проводов и пространственным зарядом ионов. Изменениями nion и $\varphi {\kern 1pt} '$ вдоль направления, параллельного осям проводов, координату вдоль которого обозначим z, пренебрегаем, т.е. имеем дело с плоской электростатической задачей. Тогда система уравнений для nion и $\varphi {\kern 1pt} '$ имеет вид:
(3)
$\frac{{\partial {{n}_{{ion}}}}}{{\partial t}} + {\text{div}}\left[ {{{n}_{{ion}}}{{\mu }_{{ion}}}\left( {{\mathbf{E}}{\kern 1pt} '\; + {{{\mathbf{E}}}_{0}}} \right)} \right] = 0$(4)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi {\kern 1pt} '}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi {\kern 1pt} '}}{{\partial {{y}^{2}}}} = - \frac{{e{{n}_{{ion}}}}}{{{{\varepsilon }_{0}}}},$где μion – подвижность ионов, ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Принимаем, что подвижность положительных ионов в воздухе при нормальных условиях равна μion= 1.5 см2/(В ⋅ с) [35]. Потенциал грозового поля $\varphi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ отсчитываем от земли, где у = 0, так что $\varphi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ = –Е0у.
Граничные условия к системе (3), (4) таковы. Полагаем, что потенциал $\varphi {\kern 1pt} '$ = 0 на поверхности земли. Поскольку провода заземлены, то суммарный потенциал в центрах проводов равен нулю, $\varphi {\kern 1pt} '\; + \varphi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ = 0, т.е $\varphi {\kern 1pt} '$ = E0(t)h. Задача о короне от бесконечной системы проводов симметрична относительно прямых x = 0 и x = D (см. рис. 1a), а о короне от восьми проводов симметрична относительно прямой x = 0 (см. рис. 1б). На этих линиях задаются граничные условия симметрии $\partial \varphi {\kern 1pt} '{\text{/}}\partial x$ = 0 и $\partial {{n}_{{ion}}}{\text{/}}\partial x$ = 0.
Поскольку коронный разряд возникает в свободном пространстве, а в численном счете расчетная область неизбежно ограничена, особого внимания требует постановка граничных условий для потенциала $\varphi {\kern 1pt} '$ на свободных границах расчетных областей. Этими границами являются верхняя граница прямоугольной расчетной области в случае короны от бесконечной системы проводов и линии AB и BC на рис. 1б в случае короны от восьми проводов. Когда система проводов и зарядов бесконечна вдоль направления x, потенциал $\varphi {\kern 1pt} '$ не убывает на бесконечности при y → ∞ [36]. В этом случае условие для $\varphi {\kern 1pt} '$ на верхней границе может быть выведено в предположении, что над верхней границей объемный заряд ионов равен нулю [37] или, другими словами, что ионный фронт не достигает этой границы за все время моделирования. Когда система проводов и зарядов конечна, то граничным условием для потенциала в свободном пространстве служит условие, что на бесконечности потенциал равен нулю $\varphi {\kern 1pt} '$ = 0. Используя это условие, и снова полагая, что весь объемный заряд ионов сосредоточен внутри расчетной области (см. рис. 1б), мы найдем потенциал $\varphi {\kern 1pt} '$ на линиях AB и BC. Подробно эти вопросы обсуждаются в следующем разделе.
В тонком слое вблизи коронирующих проводов идут процессы фотоионизации, электронного прилипания, электрон-ионной рекомбинации, ионной конверсии и др., которые обычно учитывают, когда моделируют корону из первых принципов в промежутках сантиметровой длины [38–41]. Нашей целью является расчет характеристик короны на расстояниях от проводов в десятки, сотню метров, что несопоставимо больше толщины ионизационного слоя вблизи электрода, которая при атмосферных условиях порядка радиуса закругления электрода [42]. Во всех расчетах этой статьи мы принимаем, что радиус проводов равен r0 = 1 см. Поэтому можно исключить рассмотрение слоя. С этой целью, как и в работах [1, 4, 11, 13–18, 21–25], предполагаем, что поле на коронирующем проводе равно пороговому полю для зажигания короны Ecor
где Ecor дается формулой Пика(6)
${{E}_{{cor}}}{\text{(}}{{r}_{{\text{0}}}}{\text{)}} = 31(1 + 0.308r_{0}^{{ - 1/2}})\;{\text{кВ с}}{{{\text{м}}}^{{ - 1}}},\;\;~~{{r}_{0}}\;[{\text{см}}].$Условие (5) для поля на проводе хорошо обосновано, когда внешнее электрическое поле нарастает медленно, с характерным временем не меньше τ ~ 10–2 с, как это следует из результатов лабораторных экспериментов [43, 44] и численного моделирования [45]. По данным [46], грозовое поле нарастает за времена τ ~ 10–100 с. Следовательно, формула (5) справедлива для случая короны в грозовом поле.
По мере накопления зарядов грозовой ячейки, внешнее поле E0 сначала растет со временем, а затем выходит на насыщение. Согласно электростатике, внешнее грозовое поле усиливается у заземленных проводов. Когда поле на проводе достигает порога Ecor, у провода зажигается корона.
До момента зажигания короны предполагается, что плотность ионов nion в окружающем провода пространстве равна нулю, и ток короны на этой стадии равен нулю. После зажигания короны, принимая во внимание эволюцию грозового поля E0(t), мы внедряем ионы в первую расчетную ячейку у поверхности провода, чтобы компенсировать превышение поля на проводе E(r0) над Ecor и удовлетворить условию (5).
После зажигания короны ток на единицу длины каждого провода можно представить в виде
где nion(r0, t) – плотность ионов на проводе. Алгоритм расчета коронного тока рассматривается в следующем разделе.3. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
В расчетных областях, показанных на рис. 1, вводилась блочная сетка. Каждый провод помещался в квадратный блок сетки, а длину стороны этого квадрата принимали равной расстоянию между соседними проводами D. Такой выбор оправдан в том случае, когда высота подвеса проводов h сравнима c расстоянием D, что мы и будем предполагать в дальнейшем. В квадратных блоках строилась криволинейная неортогональная сетка O-типа, для координат узлов которой, x и y, решались уравнения эллиптического типа [47]. Вне квадратных блоков сетки с проводами вводились 2 либо 3 прямоугольных блока с прямоугольной сеткой.
Примеры построенных сеток даны на рис. 2: на рис. 2a – для расчета периодической системы проводов, а на рис. 2б – для расчета системы из восьми проводов. В силу принятого условия симметрии при x = 0, в последнем случае индивидуально рассматривается только половина от общего числа проводов.
Рис. 2.
Пример расчетных сеток: (a) для расчета периодической системы проводов; (б) для расчета системы из 8 проводов с условием симметрии при x = 0. Высота подвеса проводов h = 40 м, расстояние между соседними проводами D = 20 м. На вставках показана в крупном масштабе сетка около проводов.
Каждый шаг по времени начинается с решения уравнения Пуассона для потенциала $\varphi {\kern 1pt} '$ (4). Уравнение (4) приводится к конечно-разностному виду методом конечного объема [48, 49]. В блоках с прямоугольной сеткой использовалась стандартная пятиточечная аппроксимация. В блоках с криволинейной сеткой после интегрирования по контрольному “объему” ячейки, градиенты потенциала в центрах граней ячеек рассчитывались “методом интегрирования по траекториям” [50]. Решение задачи во всей расчетной области находилось путем сшивания решений на границах блоков. Для этого использовался итерационный метод Шварца–Неймана [51]. Итерационный процесс начинается с того, что задаются пробные значения $\varphi {\kern 1pt} '$ на стыках блоков сетки. Принимая их в качестве граничных условий для $\varphi {\kern 1pt} '$, находится приближенное распределение $\varphi {\kern 1pt} '$ в каждом блоке сетки. Затем граничные значения $\varphi {\kern 1pt} '$ на стыках блоков уточняются. Полагая производные $\varphi {\kern 1pt} '$ по координатам равными по обе стороны от межблочной границы, мы находим граничные значения $\varphi {\kern 1pt} '$ через известные с предыдущей итерации значения $\varphi {\kern 1pt} '$ во внутренних, приграничных узлах сетки.
В случае бесконечной периодической системы проводов, решение уравнения Пуассона в прямоугольных блоках сетки (см. рис. 2a) находилось методом Фурье, а сетка по x бралась равномерной c центрами ячеек ${{x}_{i}} = \left( {i + 1{\text{/}}2} \right)\Delta x$, i = 0, M, $\Delta x$ – шаг сетки, xM = x0 + D. В самом деле, для фиксированного y, представим $\varphi _{i}^{'} = \varphi {\kern 1pt} '({{x}_{i}},y)$ и ${{n}_{{ion\,i}}} = $ $ = {{n}_{{ion\,i}}}({{x}_{i}},y)$ в виде разложения по косинусам:
(8)
$\begin{gathered} \varphi {\kern 1pt} '({{x}_{i}},y) = \\ \, = \frac{1}{M}\hat {\varphi }_{0}^{'}(y) + \frac{2}{M}\sum\limits_{m = 1}^{M - 1} {\hat {\varphi }_{m}^{'}} (y)\cos \left[ {\frac{{\pi m}}{M}\left( {i + \frac{1}{2}} \right)} \right], \\ i = 0,M - 1. \\ \end{gathered} $Функция (8) автоматически удовлетворяет граничным условиям $\partial \varphi {\kern 1pt} '{\text{/}}\partial x = 0$ при x = 0 и x = D. В аналогичный (8) ряд для ${{n}_{{ion\,i}}}$ входят коэффициенты ${{\hat {n}}_{{ion\,0}}}$ и ${{\hat {n}}_{{ion\,m}}}$. Раскроем в уравнении Пуассона (4) производную по x в конечно-разностном виде:
(9)
$\begin{gathered} \frac{{\varphi _{{i + 1}}^{'} - 2\varphi _{i}^{'} + \varphi _{{i - 1}}^{'}}}{{{{{(\Delta x)}}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi _{i}^{'}}}{{\partial {{y}^{2}}}} = - \frac{e}{{{{\varepsilon }_{0}}}}{{n}_{{ion\,i}}}, \\ i = 1,M - 1, \\ \end{gathered} $(10)
$\begin{gathered} \frac{1}{N}\left( {\frac{{{{d}^{2}}\hat {\varphi }_{0}^{'}}}{{dy{}^{2}}} + \frac{e}{{{{\varepsilon }_{0}}}}{{{\hat {n}}}_{{ion\,0}}}} \right) + \\ \, + \frac{2}{M}\sum\limits_{m = 1}^{M - 1} {\left( { - {{\lambda }_{m}}\hat {\varphi }_{m}^{'} + \frac{{{{d}^{2}}\hat {\varphi }_{m}^{'}}}{{d{{y}^{2}}}} + \frac{e}{{{{\varepsilon }_{0}}}}{{{\hat {n}}}_{{ion\,m}}}} \right)} \times \\ \, \times \cos \left[ {\frac{{\pi m}}{M}\left( {i + \frac{1}{2}} \right)} \right] = {\text{ }}0,\quad i = {\text{ }}0,M - 1, \\ \end{gathered} $Из (10) следует, что
(11)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}\hat {\varphi }_{0}^{'}}}{{dy{}^{2}}} = - \frac{e}{{{{\varepsilon }_{0}}}}{{{\hat {n}}}_{{ion0}}}, \\ \frac{{{{d}^{2}}\hat {\varphi }_{m}^{'}}}{{d{{y}^{2}}}} - {{\lambda }_{m}}\hat {\varphi }_{m}^{'} = - \frac{e}{{{{\varepsilon }_{0}}}}{{{\hat {n}}}_{{ion\,m}}},\quad m = 1,M - 1. \\ \end{gathered} $Граничные условия для каждой гармоники (11) ставятся следующим образом. Если значение потенциала на границе приближенно известно, как в случае потенциала на стыке прямоугольного и квадратного блоков сетки, где оно берется с предыдущей “межблочной” итерации, то граничными условиями для (11) служат коэффициенты разложения этого потенциала в ряд (8). Они находятся по формулам:
На земле, ясно, что все $\hat {\varphi }_{m}^{'}$ = 0, $m = 0,M - 1$.
Особого рассмотрения требует условие на верхней границе расчетной области y = ymax. Оно получается из сшивки решения уравнения Пуассона с решением уравнения Лапласа [37]. При y ≥ ymax объемного заряда нет, nion = 0. Отсюда и из первого уравнения (11) находим зависимость от высоты компоненты $\hat {\varphi }_{0}^{'}$ потенциала: $\hat {\varphi }_{0}^{'}(y)$ = с1 + + с2y, где с1, с2 = const. Но поскольку из электростатики известно, что бесконечный, однородный вдоль x, заряженный плоский слой над проводящей поверхностью не создает над собой вертикального электрического поля (см. также [24, 25]), имеем с2 = 0, и находим граничное условие: $d\hat {\varphi }_{0}^{'}{\text{/}}dy = 0$. При m = 1, M–1, из (11) получим: $\hat {\varphi }_{m}^{'}(y)$ = ${{c}_{3}}{{e}^{{ - \sqrt {{{\lambda }_{m}}} y}}} + {{c}_{4}}{{e}^{{\sqrt {{{\lambda }_{m}}} y}}}$. Потенциал не может экспоненциально стремиться к бесконечности при $y \to \infty $ в пустом пространстве, поэтому c4 = 0 и $\hat {\varphi }_{m}^{'}(y)$ = ${{c}_{3}}{{e}^{{ - \sqrt {{{\lambda }_{m}}} y}}}$. Дифференцируя последнее равенство по y, получим граничное условие $d\hat {\varphi }_{m}^{'}{\text{/}}dy = - \sqrt {{{\lambda }_{m}}} \hat {\varphi }_{m}^{'}(y)$, m = 1, M–1.
С описанными граничными условиями уравнения (11) приводятся к конечно-разностному виду на сетке вдоль оси y и решаются методом прогонки. Искомое решение затем получается из выражения (8) :
(12)
$\begin{gathered} \varphi _{{i,j}}^{'} = \frac{1}{M}\hat {\varphi }_{{0,j}}^{'} + \frac{2}{M}\sum\limits_{m = 1}^{M - 1} {\hat {\varphi }_{{m,j}}^{'}} \cos \left[ {\frac{{\pi m}}{M}\left( {i + \frac{1}{2}} \right)} \right], \\ ~i = {\text{ }}0,M - 1. \\ \end{gathered} $В случае системы из восьми проводов, для расчета потенциала $\varphi {\kern 1pt} '$ на внешней границе, т.е. отрезках AB и BC на рис. 1б, исходим из теоремы Грина [36, 52, 53], примененной в четверти плоскости, x > 0, y > 0, где содержится половина от общего числа проводов. Пусть Ω – четверть плоскости с исключенными из нее четырьмя кругами проводов. Внешняя граница $\partial \Omega $ области Ω состоит из полупрямых x = 0, y ≥ 0 и y = 0, x ≥ 0 и дуги четверти окружности бесконечного радиуса, проведенной из начала координат.
Потенциал в произвольной точке с радиус-вектором ${\mathbf{r}}$, проведенным из начала координат O, дается формулой [36, 52]:
(13)
$\begin{gathered} \varphi {\kern 1pt} '({\mathbf{r}}) = \int\limits_\Omega {G({\mathbf{r}},{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')\rho ({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')d\Omega {\kern 1pt} '\; + } \\ \, + {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial \Omega + \partial {{\Omega }_{1}}} {\left( {G({\mathbf{r}},{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')\frac{{\partial \varphi {\kern 1pt} '}}{{\partial n{\kern 1pt} '}} - \varphi {\kern 1pt} '\frac{{\partial G({\mathbf{r}},{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')}}{{\partial n{\kern 1pt} '}}} \right)dl{\kern 1pt} '} , \\ \end{gathered} $Функция Грина $G({\mathbf{r}},{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')$, т.е. потенциал, создаваемый в точке ${\mathbf{r}}$ = (x, y) нитью, проходящей через точку ${\mathbf{r}}{\kern 1pt} '$ = $(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ')$ и несущей единичный погонный заряд, при условии симметрии на полупрямой $x{\kern 1pt} '$ = 0 $\partial G({\mathbf{r}},x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} '){\text{/}}\partial x{\kern 1pt} ' = 0$ и равенства $G({\mathbf{r}},x{\kern 1pt} ',0) = 0$ на земле, выражается формулой [53]11
(14)
$\begin{gathered} G({\mathbf{r}},{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ') = \frac{1}{{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}} \times \\ \times \;\ln \left\{ {\frac{{[{{{(x\, - \,x{\kern 1pt} ')}}^{2}}\, + \,{{{(y\, + \,y{\kern 1pt} ')}}^{2}}][{{{(x\, + \,x{\kern 1pt} ')}}^{2}}\, + \,{{{(y\, + \,y{\kern 1pt} ')}}^{2}}]}}{{[{{{(x\, - \,x{\kern 1pt} ')}}^{2}}\, + \,{{{(y\, - \,y{\kern 1pt} ')}}^{2}}][{{{(x\, + \,x{\kern 1pt} ')}}^{2}}\, + \,{{{(y\, - \,y{\kern 1pt} ')}}^{2}}]}}} \right\}. \\ \end{gathered} $Применим теперь формулу (13) для расчета искомого потенциала на отрезках на AB и BC. Поскольку мы считаем, что $\rho \equiv 0$ вне OABC (см. рис. 1б), первый интеграл по Ω в (13) сводится к интегралу по OABC. Вычислим интеграл по контуру $\partial \Omega $. На полупрямой $x{\kern 1pt} '$ = 0, $y{\kern 1pt} '$ ≥ 0 (ось симметрии) имеем, ${{\left. {\partial \varphi {\kern 1pt} '{\text{/}}\partial x{\kern 1pt} '} \right|}_{{x{\kern 1pt} ' = 0}}}$ = ${{\left. {\partial G({\mathbf{r}},x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} '){\text{/}}\partial x{\kern 1pt} '} \right|}_{{x{\kern 1pt} ' = 0}}}$ = 0, а на полупрямой $y{\kern 1pt} '$ = 0, $x{\kern 1pt} '$ ≥ 0 (поверхность земли) – $\varphi {\kern 1pt} ' = G({\mathbf{r}},x{\kern 1pt} ',0) = 0$. Поэтому вклад этих участков в контурный интеграл дает нуль. В силу граничного условия на бесконечности $\varphi {\kern 1pt} '$ = 0, полагаем, что интеграл по бесконечно удаленной дуге окружности также равен нулю22. Таким образом, интеграл по контуру $\partial \Omega $ равен нулю, и выражение (13) дает
(15)
$\begin{gathered} \varphi {\kern 1pt} '({\mathbf{r}}) = \int\limits_{OABC} {G({\mathbf{r}},{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')\rho ({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')dS{\kern 1pt} '\; + } \\ \, + {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial {{\Omega }_{1}}} {\left( {G({\mathbf{r}},{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')\frac{{\partial \varphi {\kern 1pt} '}}{{\partial n{\kern 1pt} '}} - \varphi {\kern 1pt} '\frac{{\partial G({\mathbf{r}},{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')}}{{\partial n{\kern 1pt} '}}} \right)dl{\kern 1pt} '} , \\ \end{gathered} $Во второй интеграл в (15) входит поле на проводах ${{E}_{n}} = - \partial \varphi {\kern 1pt} '{\text{/}}\partial n = \partial \varphi {\kern 1pt} '{\text{/}}\partial n{\kern 1pt} '$. Здесь ${\mathbf{n}}$ – внешняя нормаль к проводу, антипараллельная внешней нормали ${\mathbf{n}}{\kern 1pt} '$ к границе $\partial {{\Omega }_{1}}$. После зажигания короны, согласно условию (5), поле на проводе равно порогу зажигания короны Ecor . Поэтому, если корона горит на всех проводах, граничный потенциал на отрезках AB и BC может быть найден из (15) путем простого однократного интегрирования.
В том случае, когда короны нет, поле на проводе $\partial \varphi {\kern 1pt} '{\text{/}}\partial n{\kern 1pt} '$ неизвестно и само зависит от распределения потенциала во всем пространстве. Поэтому для расчета $\varphi {\kern 1pt} '$ используем итерации, как в [54]. Сначала, используя начальное приближение для ${{E}_{n}}$, по (15) вычисляется пробный потенциал на отрезках AB и BC. Этот потенциал служит приближенным граничным условием задачи на многоблочной сетке. После сходимости “межблочных” итераций, о которых говорилось выше, рассчитываются значения поля $\partial \varphi {\kern 1pt} '{\text{/}}\partial n{\kern 1pt} '$на проводах. Эти поля подставляются во второе слагаемое в (15), и в результате находится уточненное значение потенциала на отрезках AB и BC. С этими новыми значениями $\varphi {\kern 1pt} '$ начинается следующий цикл внешних итераций, и процедура повторяется до сходимости. К счастью, этот трудоемкий итерационный процесс нужен только на первом временном шаге. В дальнейшем начальное приближение для потенциала берется с предыдущего шага, что резко снижает число и трудоемкость всего итерационного процесса. Заметим, что интегралы от обоих членов в (15) численно находятся нами по правилу средней точки.
Отметим, что в статье [54], где ищется решение трехмерного уравнения Пуассона для поля, создаваемого в свободном пространстве пространственным зарядом и зарядами проводников, интеграл, аналогичный нашему первому интегралу в правой части (15), вычисляется не путем суммирования, как у нас. Этот интеграл, трудоемкий для вычисления в трехмерном случае, выражается через решение вспомогательной задачи для уравнения Пуассона, как это было впервые предложено в [55, 56] для расчета потенциала, создаваемого пространственным зарядом. Если имеется в распоряжении “быстрый” метод решения уравнения Пуассона, то удается значительно сэкономить вычислительные ресурсы. Такой оптимизацией алгоритма мы здесь не занимаемся.
На каждом шаге по времени, после того как распределение потенциала и поля в расчетной области найдены, рассчитывается плотность коронного тока j на проводе. Плотность заряда элемента dl провода равна σ = ε0En, а плотность тока – j = ${{\varepsilon }_{0}}{\text{d}}{{E}_{n}}{\text{/d}}t$. Раскрывая это выражение на одном временном шаге ∆t, получим:
(16)
$j = {{\varepsilon }_{0}}\left[ {{{E}_{n}}({{t}^{p}} + \Delta t) - {{E}_{n}}({{t}^{p}})} \right]{\text{/}}\Delta t,$После расчета коронного тока на данном временном шаге решалось уравнение непрерывности для ионов (3). Также как и уравнение Пуассона, оно приводилось к конечно-разностному виду методом конечного объема. Использовалась смешанная неявная схема первого-второго порядка точности по пространству [48, 49] с коррекцией потоков [26, 49]. Для интегрирования по времени использовались схема Эйлера, либо Кранка–Николсона первого и второго порядка точности, соответственно. Тестовые расчеты не показали заметной разницы в результатах по обеим схемам, поэтому предпочтение было отдано более простой схеме Эйлера.
Поток ионов, втекающий в первые ячейки сетки, граничащие с проводом, одинаков для всех ячеек и равен j/e, где j дается формулой (16). Этот поток служит граничным условием для ионного уравнения (3). При решении ионного уравнения на многоблочной сетке, на стыке блоков сетки закон сохранения ионного потока выполнялся. После расчета распределения ионов, решение системы (3)–(5) на данном временном шаге считалось завершенным. Принятый временной шаг составлял $\Delta t$ = 10–2–10–1 с.
4. ЗАЖИГАНИЕ КОРОНЫ ОТ МНОГОЭЛЕКТРОДНОЙ СИСТЕМЫ ПРОВОДОВ
Грозовое поле E0cor, достаточное для возбуждения короны от проводов, в принципе, находится в двумерной программе, путем сравнения рассчитанного поля вблизи проводов E(r0) с порогом возбуждения короны Ecor (6). Однако, для удобства анализа, ниже рассчитаем E0cor для двух рассматриваемых многоэлектродных систем также аналитическими методами, пользуясь тем, что радиусы проводов r0 очень малы по сравнению с расстоянием между проводами D и высотой их подвеса h, r0 ≪ D и r0 ≪ h. В таком случае, при расчете потенциала данного провода можно считать, что заряды соседних проводов и отражений всех проводов в земле сосредоточены в их центрах.
4.1. Периодическая бесконечная система проводов
Исходная формула для потенциала провода, создаваемого собственным зарядом провода и зарядами всех остальных проводов бесконечной системы, имеет вид:
(17)
$\begin{gathered} U = \frac{q}{{4\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {\frac{{dz}}{{\sqrt {{{z}^{2}} + r_{0}^{2}} }} - \frac{{dz}}{{\sqrt {{{z}^{2}} + {{{(2h)}}^{2}}} }}} \right)} + \frac{q}{{4\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}} \times \\ \, \times 2\sum\limits_{k = 1}^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\frac{{dz}}{{\sqrt {{{z}^{2}} + {{{(kD)}}^{2}}} }} - \frac{{dz}}{{\sqrt {{{z}^{2}} + {{{(2h)}}^{2}} + {{{(kD)}}^{2}}} }}} \right)} } , \\ \end{gathered} $Вычисляя интегралы в (17), получаем
(18)
$U = \frac{q}{{2\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}}\left( {\ln \frac{{2h}}{{{{r}_{0}}}} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\ln \left[ {1 + {{{\left( {\frac{{2h}}{{kD}}} \right)}}^{2}}} \right]} } \right)$Бесконечный ряд в (18) сводится к бесконечному произведению под знаком логарифма. Применяя к произведению формулу Эйлера [57] $\prod\nolimits_{k = 1}^\infty {\left[ {1 + {{{\left( {\frac{x}{{k\pi }}} \right)}}^{2}}} \right]} = \frac{{\operatorname{sh} x}}{x}$, найдем, что
(19)
$\begin{gathered} \sum\limits_{k = 1}^\infty {\ln \left[ {1 + {{{\left( {\frac{{2h}}{{kD}}} \right)}}^{2}}} \right]} = \ln \prod\limits_{k = 1}^\infty {\left[ {1 + {{{\left( {\frac{{2h}}{{kD}}} \right)}}^{2}}} \right]} = \\ \, = \ln \left[ {\frac{{{\text{sh}}\left( {\pi 2h{\text{/}}D} \right)}}{{\pi 2h{\text{/}}D}}} \right] \\ \end{gathered} $Подставляя (19) в (18) и переходя от погонного заряда q к полю E(r0), получим:
(20)
$U = E({{r}_{0}}){{r}_{0}}\left( {\ln \frac{{2h}}{{{{r}_{0}}}} + \ln \left[ {\frac{{\operatorname{sh} (\pi 2h{\text{/}}D)}}{{\pi 2h{\text{/}}D}}} \right]} \right)$Отсюда пороговое грозовое поле ${{E}_{{0cor}}}$ для зажигания короны от бесконечной системы проводов равно:
(21)
${{E}_{{0cor}}}h = {{E}_{{cor}}}({{r}_{0}}){{r}_{0}}\left( {\ln \frac{{2h}}{{{{r}_{0}}}} + \ln \left[ {\frac{{\operatorname{sh} (\pi 2h{\text{/}}D)}}{{\pi 2h{\text{/}}D}}} \right]} \right),$Величины ${{E}_{{0cor}}}$, рассчитанные по формуле (21) и нормированные на пороговое грозовое поле для зажигания короны от одиночного провода E0cor s, для двух высот подвеса проводов h даны на рис. 3. Видно, что для данной высоты подвеса h при уменьшении расстояния между проводами D пороговое поле E0cor резко возрастает.
Рис. 3.
Пороговое грозовое поле E0cor для зажигания короны от провода бесконечной периодической системы заземленных проводов, нормированное на порог зажигания короны от одиночного провода E0cor s, в зависимости от отношения расстояния между соседними проводами к высоте их подвеса над землей D/h. Радиусы проводов r0 = 1 см. E0cor s = 216.4 и 74.7 В/см при h = 15 и 50 м, соответственно.
4.2. Плоскопараллельная система из восьми одинаковых проводов
Поскольку теперь положение каждого провода по отношению к другим различно, поля на проводах E(r0), индуцированные зарядами проводов и их отражениями в земле, не одинаковы. Ясно, что при заданном потенциале провода заряды и поля у серединных проводов меньше, чем у крайних, т.к. серединные провода подвергается действию ближних зарядов с двух сторон, а крайние – только с одной. Поэтому за порог зажигания короны в такой системе следует принять порог возбуждения короны от крайних проводов.
Составим систему для погонных зарядов проводов qk. Потенциал $\varphi {\kern 1pt} '$ в центре каждого провода, $\varphi {\kern 1pt} '$ = E0(t)h ≡ U складывается из потенциала, создаваемого собственным зарядом провода и зарядами соседних проводов. Например, для крайнего левого провода системы с зарядом q1, расположенного в точке c координатой x = –7/2D (рис. 1б), по аналогии с (17) мы находим
(22)
$\begin{gathered} U = \frac{{{{q}_{1}}}}{{4\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {\frac{{dz}}{{\sqrt {{{z}^{2}} + r_{0}^{2}} }} - \frac{{dz}}{{\sqrt {{{z}^{2}} + {{{(2h)}}^{2}}} }}} \right)} + \\ + \frac{1}{{4\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}}\sum\limits_{k = 2}^8 {{{q}_{k}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\frac{{dz}}{{\sqrt {{{z}^{2}} + {{{\left[ {(k - 1)D} \right]}}^{2}}} }} - } \right.} } \\ \, - \left. {\frac{{dz}}{{\sqrt {{{z}^{2}} + {{{(2h)}}^{2}} + {{{\left[ {(k - 1)D} \right]}}^{2}}} }}} \right), \\ \end{gathered} $(23)
$U = \frac{1}{{4\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}}\left\{ {{{q}_{1}}\ln {{{\left( {\frac{{2h}}{{{{r}_{0}}}}} \right)}}^{2}} + \sum\limits_{k = 2}^8 {{{q}_{k}}\ln \left[ {1 + {{{\left( {\frac{{2h}}{{kD}}} \right)}}^{2}}} \right]} } \right\}$Принимая в качестве избранного провода поочередно все провода системы, и записывая выражения для потенциала, аналогичные (23), получим линейную систему уравнений для зарядов qk. Поскольку заряды на проводах, расположенных симметрично относительно прямой x = 0 одинаковы, число неизвестных зарядов равно четырем. Решая систему для qk при заданном E0(t) находим такое внешнее поле E0cor, при котором поле на крайних проводах E1(r0) = q1/(2πε0r0) (либо E8) достигает порога (6). Величина E0cor, нормированная на порог зажигания короны от одиночного провода, приведена на рис. 4.
Рис. 4.
Пороговое грозовое поле E0cor для зажигания короны от крайнего провода плоскопараллельной системы, состоящей из восьми заземленных проводов, нормированное на порог зажигания короны от одиночного провода E0cor s в зависимости от отношения расстояния между соседними проводами D к высоте их подвеса h для двух высот подвеса проводов. Радиус проводов r0 = 1 см. E0cor s = 216.4 и 74.7 В/см при h = = 15 и 50 м, соответственно.
5. РАСЧЕТ ПОТЕНЦИАЛА, ИНДУЦИРОВАННОГО ЗАРЯДАМИ ПРОВОДОВ В ПУСТОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Простой проверкой численного метода решения уравнения электростатики в свободном пространстве, является расчет распределения поля, создаваемого зарядами системы проводов в отсутствие короны и сравнение с аналитическим решением, которое можно легко получить, если D ≫ r0 и h ≫ r0 , и которое справедливо на расстояниях от проводов r1 ≫ r0. Для периодической системы проводов эта задача полностью эквивалентна давно вошедшей в учебники [58, 59] задаче о поле бесконечной периодической плоскопараллельной решетки одинаковых проводов, которая имеет потенциал U и находится на некотором расстоянии от параллельной ей заземленной плоскости.
При аналитическом расчете потенциала в произвольной точке плоскости $\varphi {\kern 1pt} '(x,y)$ будем считать, что погонный заряд каждого провода q и его отражения в земле сосредоточен в его центре. Тогда в случае бесконечной периодической системы проводов над проводящей плоскостью, суммируя вклады в потенциал $\varphi {\kern 1pt} '(x,y)$ от каждого провода и от всех отражений в земле, получим (см. Приложение)
(24)
$\begin{gathered} \varphi {\kern 1pt} '(x,y) = \frac{q}{{4\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}} \times \\ \, \times \ln \left\{ {\frac{{\operatorname{ch} \left[ {2\pi (h + y){\text{/}}D} \right] + \cos \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right)}}{{\operatorname{ch} \left[ {2\pi (h - y){\text{/}}D} \right] + \cos \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right)}}} \right\}, \\ q = 2\pi {{r}_{0}}{{\varepsilon }_{{\text{0}}}}E({{r}_{0}}) = \frac{{2\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}U}}{{\ln \left[ {\frac{{\operatorname{sh} (\pi 2h{\text{/}}D)}}{{\pi {{r}_{0}}{\text{/}}D}}} \right]}} \\ \end{gathered} $Перепишем это выражение в виде ряда. Пусть y > h. Вынося за скобки под знаком логарифма exp[2π(y + h)/D] > 1 в числителе и exp[2π(y – h)/D] > > 1 в знаменателе и преобразуя логарифм отношения этих экспонент, получим:
(25)
$\begin{gathered} \varphi {\kern 1pt} '(x,y) = \frac{{qh}}{{{{\varepsilon }_{{\text{0}}}}D}} + \\ \, + \frac{q}{{4\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}}\ln \left\{ {\frac{{1 + 2{{a}_{1}}\cos \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right) + a_{1}^{2}}}{{1 + 2{{a}_{2}}\cos \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right) + a_{2}^{2}}}} \right\}, \\ \end{gathered} $Пользуясь известной формулой [57]:
(26)
$\begin{gathered} \ln \left( {1 + 2a\cos \theta + {{a}^{2}}} \right) = 2\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{{( - 1)}}^{{m - 1}}}{{a}^{m}}}}{m}\cos (m\theta )} , \\ \left| a \right| < 1, \\ \end{gathered} $(27)
$\begin{gathered} \varphi {\kern 1pt} '(x,y) = \frac{{qh}}{{{{\varepsilon }_{{\text{0}}}}D}} + \frac{q}{{2\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}} \times \\ \, \times \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{{( - 1)}}^{m}}}}{m}} \left\{ {\exp \left[ { - \frac{{2\pi m(y + h)}}{D}} \right] - } \right. \\ \, - \left. {\exp \left[ { - \frac{{2\pi m(y - h)}}{D}} \right]} \right\}\cos \left( {\frac{{2\pi mx}}{D}} \right),\quad y > h \\ \end{gathered} $Из выражения (27) видно, что над проводами, т.е. при y ≫ h, потенциал $\varphi {\kern 1pt} '$ быстро стремится к постоянной величине, $\varphi {\kern 1pt} '(x,y) = qh{\text{/}}({{\varepsilon }_{{\text{0}}}}D)$. Поэтому при удалении от проводов вверх на расстояния в несколько длин Δy ≈ D/(2π), электрическое поле $E{\kern 1pt} ' = - \nabla \varphi {\kern 1pt} '$, индуцированное зарядами системы проводов, практически исчезает.
При y < h представим (24) в виде аналогичном (25). В (24) под знаком логарифма в числителе снова выносим за скобки множитель $\exp [2\pi (y + h){\text{/}}D]$ > 1, тогда как в знаменателе теперь выделяем множитель $\exp [2\pi (h - y){\text{/}}D] > 1$. Преобразуя логарифм отношения последних экспонент, перепишем (24) в виде
(28)
$\begin{gathered} \varphi {\kern 1pt} '(x,y) = \frac{{qy}}{{{{\varepsilon }_{{\text{0}}}}D}} + \\ \, + \frac{q}{{4\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}}\ln \left\{ {\frac{{1 + 2{{a}_{1}}\cos \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right) + a_{1}^{2}}}{{1 + 2{{{\tilde {a}}}_{2}}\cos \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right) + \tilde {a}_{2}^{2}}}} \right\}, \\ \end{gathered} $(29)
$\begin{gathered} \varphi {\kern 1pt} '(x,y) = \frac{{qy}}{{{{\varepsilon }_{{\text{0}}}}D}} + \frac{q}{{2\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}} \times \\ \, + \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{{( - 1)}}^{m}}}}{m}} \left\{ {\exp \left[ { - \frac{{2\pi m(y + h)}}{D}} \right] - } \right. \\ \, - \left. {\exp \left[ {\frac{{2\pi m(y - h)}}{D}} \right]} \right\}\cos \left( {\frac{{2\pi mx}}{D}} \right),\quad y < h \\ \end{gathered} $Из (29) следует, что если высота подвеса проводов достаточно велика, h ≫ D, то при смещении от проводов вертикально вниз на расстояния в несколько длин D/(2π), потенциал $\varphi {\kern 1pt} '$ фактически перестает зависеть от x и растет линейно с высотой y. Это соответствует однородному, направленному вниз электрическому полю, $E_{y}^{'} = - q{\text{/}}({{\varepsilon }_{{\text{0}}}}D)$.
В общем случае для компонент электрического поля ${\mathbf{E}}{\kern 1pt} ' = - \nabla \varphi {\kern 1pt} '$ из (24) получаем
(30)
$\begin{gathered} E_{x}^{'} = \frac{q}{{2{{\varepsilon }_{{\text{0}}}}D}}\left\{ {\frac{{\sin \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right)}}{{\operatorname{ch} \left[ {2\pi (h + y){\text{/}}D} \right] + \cos \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right)}} - } \right. \\ \, - \left. {\frac{{\sin \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right)}}{{\operatorname{ch} \left[ {2\pi (h - y){\text{/}}D} \right] + \cos \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right)}}} \right\} \\ \end{gathered} $(31)
$\begin{gathered} E_{y}^{'} = - \frac{q}{{2{{\varepsilon }_{{\text{0}}}}D}}\left\{ {\frac{{\operatorname{sh} \left[ {2\pi (h + y){\text{/}}D} \right]}}{{\operatorname{ch} \left[ {2\pi (h + y){\text{/}}D} \right] + \cos \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right)}} + } \right. \\ \left. {\, + \frac{{\operatorname{sh} \left[ {2\pi (h - y){\text{/}}D} \right]}}{{\operatorname{ch} \left[ {2\pi (h - y){\text{/}}D} \right] + \cos \left( {2\pi x{\text{/}}D} \right)}}} \right\} \\ \end{gathered} $Сравнение полей $E_{y}^{'}$, полученных аналитическим расчетом и двумерным численным расчетом по методике раздела 3, дано на рис. 5 для расстояний от проводов больше 1 м. Видно, что согласие результатов очень хорошее. Также хорошо согласуются и соответствующие распределения потенциала $\varphi {\kern 1pt} '(x,y)$. Анализ показывает, что в масштабе рис. 6, где построены эквипотенциальные кривые, рассчитанные численно, различие с аналитическим выражением (24) заметить трудно.
Рис. 5.
Распределение поля $E_{y}^{'}$, индуцированного периодической системой заземленных проводов, подвешенных над землей,
вдоль вертикальной прямой, проходящей через центр провода. (a) под проводом, (б) над
проводом. Непрерывная кривая – двумерное моделирование, 
– расчет по формуле (31), h = 40 м, D = 20 м. Провода помещены во внешнее грозовое поле E0 = 100 В/см, которое ниже порога зажигания короны E0cor = 185.8 В/см.
Рис. 6.
Линии равного потенциала $\varphi {\kern 1pt} '$, индуцированного периодической системой заземленных проводов для условий рис. 5.
В случае системы, состоящей из восьми параллельных заземленных проводов, подвешенных над землей, выражение для потенциала $\varphi {\kern 1pt} '(x,y)$, индуцированного зарядами проводов и их отражений в земле, имеет вид
(32)
$\varphi {\kern 1pt} '(x,y) = \frac{1}{{4\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}}\sum\limits_{k = 1}^8 {{{q}_{k}}\ln \left[ {\frac{{{{{\left( {x - {{x}_{{\text{k}}}}} \right)}}^{2}} + {{{(y + h)}}^{2}}}}{{{{{\left( {x - {{x}_{{\text{k}}}}} \right)}}^{2}} + {{{(y - h)}}^{2}}}}} \right]} ,$Компоненты электрического поля ${\mathbf{E}}{\kern 1pt} ' = - \nabla \varphi {\kern 1pt} '$ от названной системы проводов даются формулами:
(33)
$\begin{gathered} E_{x}^{'} = \frac{2}{{\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}}\sum\limits_{k = 1}^8 {\frac{{{{q}_{k}}yh}}{{{{{\left( {x - {{x}_{{\text{k}}}}} \right)}}^{3}}}} \times } \\ \, \times \frac{1}{{[1 + {{{(y - h)}}^{2}}{\text{/}}{{{\left( {x - {{x}_{{\text{k}}}}} \right)}}^{2}}][1 + {{{(y + h)}}^{2}}{\text{/}}{{{\left( {x - {{x}_{{\text{k}}}}} \right)}}^{2}}]}} \\ \end{gathered} $(34)
$\begin{gathered} E_{y}^{'} = - \frac{1}{{\pi {{\varepsilon }_{{\text{0}}}}}}\sum\limits_{k = 1}^8 {\frac{{{{q}_{k}}h}}{{{{{\left( {x - {{x}_{{\text{k}}}}} \right)}}^{2}}}} \times } \\ \, \times \frac{{[1 + ({{h}^{2}} - {{y}^{2}}){\text{/}}{{{\left( {x - {{x}_{{\text{k}}}}} \right)}}^{2}}]}}{{[1 + {{{(y - h)}}^{2}}{\text{/}}{{{\left( {x - {{x}_{{\text{k}}}}} \right)}}^{2}}][1 + {{{(y + h)}}^{2}}{\text{/}}{{{\left( {x - {{x}_{{\text{k}}}}} \right)}}^{2}}]}} \\ \end{gathered} $Поле, полученное двумерным расчетом, хорошо согласуется с формулой (34) (см. рис. 7). Распределение потенциала $\varphi {\kern 1pt} '(x,y)$, рассчитанное по двумерной программе, также очень близко $\varphi {\kern 1pt} '(x,y)$ по формуле (32) во всем пространстве за исключением малой области вблизи проводов. Опуская детали этого сравнения, на рис. 8 мы приводим распределение потенциала, полученное двумерным расчетом.
Рис. 7.
Зависимость от высоты вертикального поля $E_{y}^{'}$, индуцированного зарядами плоскопараллельной системы восьми одинаковых заземленных
проводов, подвешенных над землей, вдоль прямой, проходящей через центр крайнего провода
с координатами (x, y) = (7/2D, h): (a) под проводом, (б) над проводом. Непрерывная кривая – двумерное численное решение,
– расчет по формуле (34). D = 20 м, h = 40 м, внешнее грозовое поле E0 = 100 В/см. Порог зажигания короны от крайнего провода системы E0cor = 122.1 В/см.
Рис. 8.
Линии равного потенциала $\varphi {\kern 1pt} '$, индуцированного зарядами плоскопараллельной системы из восьми одинаковых заземленных проводов, подвешенных над землей и помещенных в грозовое поле E0 = = 100 В/см. Остальные параметры – те же, что на рис. 7.
6. РЕЗУЛЬТАТЫ ДВУМЕРНЫХ РАСЧЕТОВ НЕСТАЦИОНАРНОЙ КОРОНЫ
6.1. Бесконечная периодическая система проводов
Уравнения (3) и (4) численно решались методом, описанным в разд. 3. На рис. 9 представлены рассчитанные зависимости тока короны на единицу длины провода, нормированные на максимальное значение тока в каждом расчете. Для удобства анализа результатов принимается “линейный” закон роста грозового поля (1). В расчетах варьировались два входных параметра: расстояние между проводами D и постоянная времени τ в формуле (1). Рис. 9a построен для самого малого из принятых τ, τ = 10 с; рис. 9в – для самого большого, τ = 20 с. В системе проводов, в которой соседние провода расположены ближе друг к другу, пороговое поле E0cor выше (рис. 3), поэтому для любого τ при D = 20 м корона зажигается несколько позднее, чем при D = 40 м.
Рис. 9.
Зависимость от времени нормированного тока короны I(t)/Imax от бесконечной периодической системы заземленных проводов, подвешенных на высоте h = 40 м, для различных характерных времен нарастания грозового поля τ в линейном законе (1) с E0max = 400 В/см и для двух расстояний между соседними проводами D. (a) τ = 10 c, Imax = = 0.71 μA/м при D = 20 м, Imax = 1.417 μA/м при D = 40 м; (б) τ = 15 c, Imax = 0.473 μA/м при D = 20 м, Imax = 0.944 μA/м при D = 40 м; (с) τ = 20 c, Imax = 0.355 μA/м при D = 20 м, Imax = 0.707 μA/м при D = 40 м.
После зажигания короны ток на единицу длины провода сначала растет, а потом выходит на насыщение до тех пор, пока рост грозового поля не прекращается. Рассчитанная величина погонного коронного тока на плато хорошо согласуется с теоретической формулой
где j – предельная плотность коронного тока от идеальной плоской поверхности, эмитирующей ионы. Формула для j выведена в [15] (см. также [24, 25]). Например, при E0max = 400 В/см, τ = 15 c, D = 20 м, ток по формуле (35) равен I = = 0.471 μA/м, тогда как в двумерном расчете получилось 0.473 μA/м.Как видно из рис. 9, время выхода коронного тока на насыщение, отсчитанное от момента зажигания короны, при D = 20 м меньше, чем при D = 40 м. Когда грозовое поле перестает расти, ток коронного разряда резко падает и быстро стремится к нулю (см. рис. 9). Согласно формуле (35), для плоского ионного слоя ток должен был бы прекратиться мгновенно. Как видно из рис. 9, при меньшем расстоянии между проводами, ток с проводов спадает быстрее. Аналогичные эффекты проявились в 1D-модели короны от сферических проводников [24].
Эволюция во времени тока короны от бесконечной периодической системы проводов в случае, когда грозовое поле нарастает по релаксационному закону (2) дана на рис. 10. Рассчитанное значение тока через некоторое время после зажигания короны также хорошо согласуется с формулой (35) для тока плоского слоя. Например, при τ = 10 c в момент t = 15 c ток короны, согласно численному расчету равный I = 0.158 μA/м, практически не отличается от тока по (35).
Рис. 10.
Зависимость от времени тока короны от бесконечной периодической системы заземленных проводов для различных характерных времен нарастания грозового поля τ в релаксационном законе (2) с E0max = 400 В/см, D = 20 м. Высота подвеса проводов h = 40 м.
На рис. 11 показаны двумерные распределения плотности ионов nion около проводов в заданный момент времени t = 15 c для двух случаев: при расчете рис. 11a задавалось, что грозовое поле E0(t) растет по “линейному” закону (1), а при расчете рис. 11б – по релаксационному (2) и прочих равных условиях. Эволюции во времени погонного тока короны для условий рис. 11(a) и рис. 11б показаны пунктирными кривыми на рис. 9a и на рис. 10, соответственно.
Рис. 11.
Линии равных плотностей ионов, внедренных коронным разрядом от бесконечной периодической системы проводов в момент времени t = 15 с от начала роста грозового поля (a) по линейному закону (1), (б) по релаксационному закону (2). Высота подвеса проводов h = 40 м, расстояние между соседними проводами D = 20 м, E0max = = 400 В/см, τ = 10 с.
Когда грозовое поле нарастает по “линейному” закону, к моменту t = 15 c ток короны уже прекратился. С этим связан резкий спад концентрации ионов вблизи провода, который можно видеть из рис. 11a.
Интересно отметить, что рассчитанные на рис. 11 распределения nion(x, y) для обоих законов нарастания поля двумерны: на данной высоте y концентрация ионов зависит от координаты x, будучи симметричной относительно вертикальной плоскости x = D/2, проходящей через центр провода. Такая картина отличается от однородного вдоль x распределения, которое получилось бы в случае короны от идеальной плоской поверхности, эмитирующей ионы.
С другой стороны, в двумерном ионном облаке электрическое поле, созданное объемным зарядом, перераспределяется так, что его горизонтальная составляющая становится малой. Это видно из рассчитанного двумерного распределения потенциала $\varphi {\kern 1pt} '$ (см. рис. 12). На высотах 50–70 м, где поле зарядов проводов уже очень мало, эквипотенциали идут практически параллельно оси х, а электрическое поле, созданное объемным зарядом, направлено вниз. Под действием суммарного поля, грозового и поля объемного заряда, заряды движутся в основном вверх. Вблизи верхней границы ионного облака появляются небольшие горизонтальные составляющие поля объемного заряда.
Рис. 12.
Линии равного потенциала $\varphi {\kern 1pt} '$, индуцированного объемным зарядом короны и зарядами бесконечной периодической системы проводов. Рисунки (a) и (б) сделаны для условий рис. 11 (a) и (б), соответственно.
Поскольку вопрос о динамике электрического поля в разных точках важен, ниже мы приводим рассчитанные зависимости от времени суммарного вертикального электрического поля, складывающегося из грозового поля E0 и поля $E_{y}^{'}$, индуцированного объемным зарядом и зарядами проводов, на разных высотах над проводами (рис. 13).
Рис. 13.
Зависимость от времени суммарного вертикального электрического поля на разных высотах, указанных на рисунке, над проводом коронирующей бесконечной периодической системы проводов. Высота подвеса проводов h = 40 м, расстояние между проводами D = 20 м. Порог зажигания короны в этих условиях E0cor = 185.8 В/см. Пунктирной кривой показана эволюция внешнего грозового поля: оно растет линейно от нуля до E0max = 400 В/см в течение τ = = 20 с, а затем поддерживается постоянным.
Как видно из рис. 13, суммарное поле на данной высоте сначала практически совпадает с внешним полем E0 и растет линейно, затем его рост резко замедляется и оно стремится к постоянной величине, зависящей от высоты. После того как внешнее грозовое поле перестает расти, суммарное поле на данной высоте начинает падать. Такое поведение поля качественно согласуется как с теорией, так и с расчетами [25]. Отметим, что, как показано в [25], в случае идеальной плоской поверхности, эмитирующей ионы, в поле E0, растущем линейно, электрическое поле над коронирующей плоскостью становится постоянным во времени, как только плоский ионный фронт достигает высоты рассматриваемого места. В нашем случае ионный фронт не является плоским. У нас фронт также размыт счетной диффузией. Поэтому мы не приводим здесь сравнения результатов с теорией.
Суммарное электрическое поле на земле под проводом коронирующей бесконечной периодической системы дано на рис. 14. При линейном законе роста внешнего поля E0, поле на земле после зажигания короны немного возрастает, выходит на насыщение, а после прекращения роста E0 слегка спадает. Когда соседние провода системы находились на расстоянии D = 20 м, вариации поля на земле за все время расчета короны при выбранных входных параметрах не превышали 10%.
6.2. Плоскопараллельная система из восьми одинаковых проводов
Приведем характеристики коронного разряда для системы из восьми заземленных проводов. На рис. 15 дан приведенный ток I(t)/Imax на единицу длины провода для четырех пар проводов, расположенных симметрично относительно серединной плоскости x = 0, где Imax – это максимальный достигнутый ток в каждом расчете. Из рис. 15 видно, что крайние провода системы, расположенные в точках x = ±7D/2, коронируют более интенсивно. Динамика тока от остальных трех пар проводов приблизительно одинакова. Тем не менее, ток от проводов, ближайших к центру системы, получился меньше, чем от проводов в точках x = ±5D/2: на 17% и 11% при D = 20 и 40 м, соответственно. Масштабом плотности тока короны служит величина j = Imax/D. Для проводов, расположенных в точках x = ±D/2, плотность тока равна j = 0.047 μA/м2 и j = 0.043 μA/м2 при D = 20 и 40 м, соответственно. В рассматриваемых условиях эти величины на 34% и 22% выше, чем предельная плотность тока j = 0.035 μA/м2 (35) от идеальной плоской поверхности, эмитирующей ионы. Поэтому следует ожидать, что концентрация ионов, генерируемых серединными проводами, будет выше той, которая получилась при моделировании короны от бесконечной системы проводов, при прочих равных условиях.
Рис. 15.
Зависимость от времени нормированного коронного тока от плоскопараллельной системы восьми одинаковых заземленных проводов, подвешенных над землей, для двух расстояний между соседними проводами D. Высота всех проводов h = 40 м. Каждый рисунок соответствует одной паре проводов, помещенных в точки x, симметричные относительно прямой x = 0, (a) x = ±D/2, Imax = 0.94 μA/м при D = 20 м, Imax = 1.71 μA/м при D = 40 м; (б) x = ±3D/2, Imax = 0.98 μA/м при D = 20 м, Imax = 1.76 μA/м при D = 40 м; (в) x = ± 5D/2, Imax = 1.13 μA/м при D = 20 м, Imax = = 1.92 μA/м при D = 40 м; (г) x = ± 7D/2, Imax = 3.15 μA/м при D = 20 м, Imax = 3.64 μA/м при D = 40 м. Грозовое поле растет по закону (1) E0max = 400 В/см, τ = 10 с.
На рис. 16 дано распределение плотности ионов nion, внедренных в окружающее пространство коронным разрядом от системы из восьми заземленных проводов. Грозовое поле, расстояние между проводами, и момент окончания расчета были выбраны такими же, что и на рис. 11a, где рассчитывалась периодическая система проводов. Сравнивая плотность ионов над тремя проводами, ближайшими к серединной плоскости x = 0 на рис. 16, и величину nion на рис. 11a, мы видим, что на рис. 16 плотность ионов на данной высоте на десятки процентов выше. При этом ионное облако более вытянуто вверх (на 10–20 м) по сравнению с рис. 11а.
Рис. 16.
Линии равных плотностей ионов nion, внедренных коронным разрядом от системы из восьми заземленных проводов в момент времени t = 15 с от начала роста грозового поля по линейному закону (1). Высота подвеса проводов h = 40 м, расстояние между соседними проводами D = 20 м, E0max = 400 В/см, τ = = 10 с. Провода, лежащие при x<0, заменялись в расчете граничным условием симметрии при x = 0.
Более существенно отличается распределение плотности ионов nion у крайнего провода. Из рис. 16 видно, что плотность ионов над крайним проводом оказывается в несколько раз выше по сравнению с величиной nion над остальными проводами. Из-за краевых эффектов заряды в ионном облаке у крайнего провода, двигаясь под действием грозового поля E0 вверх, также смещаются вправо.
На рис. 17 приведены линии потенциала $\varphi {\kern 1pt} '$, индуцированного объемным зарядом ионов и зарядами проводов. Рисунок 17 сделан для тех же условий и того же момента времени, что рис. 16. Видно, что на высотах 50–70 м над первой, второй и третьей парами проводов, которым соответствуют точки с координатами x = 10, 30 и 50 м, эквипотенциали идут практически параллельно оси х. На расстояниях 10 м от проводов вверх и вплоть до высот 110 м, горизонтальная составляющая поля ${\mathbf{E}}{\kern 1pt} '$ над этими проводами не превышает 15 В/см. Отмеченное выше движение вправо ионов у крайнего провода связано с горизонтальной составляющей поля $E_{x}^{'}$ ≈ 200 В/см, которая сравнима с масштабом заданного вертикального грозового поля E0max.
Рис. 17.
Линии равного потенциала $\varphi {\kern 1pt} '$, создаваемого объемным зарядом и зарядами восьми проводов в момент времени t = 15 c от начала роста грозового поля. Входные данные те же, что на рис. 16.
Заметим, что из результатов, представленных на рис. 17, следует, что потенциал $\varphi {\kern 1pt} '$ на верхней ВС и боковой АВ границах расчетной области (см. рис. 1б) создается в основном объемным зарядом. Действительно вклад первого члена от объемного заряда в потенциал (15) на отрезках АВ и ВС составляет почти 90% от суммарного потенциала.
На рис. 18 приведены зависимости от времени суммарного вертикального электрического поля на разных высотах над крайними проводами в случае, когда внешнее грозовое поле сначала растет линейно, а потом стабилизируется. Ход кривых рис. 18 трудно интерпретировать теоретически; качественно он отличается от того, что получилось при расчете временной эволюции суммарного поля в различных точках над проводом периодической системы (рис. 13)..
Рис. 18.
Зависимость от времени суммарного вертикального электрического поля на разных высотах, указанных на рисунке, над крайними проводами, расположенными в точках x = ±70 м, системы из восьми коронирующих заземленных проводов. Расстояние между соседними проводами D = 20 м, высота подвеса h = 40 м. Грозовое поле растет по линейному закону (1) с E0max = 400 В/см и τ = 10 c. Порог зажигания короны от крайнего провода E0cor = = 122.1 В/см.
На рис. 19 приведено суммарное поле на земле под крайними проводами системы после зажигания короны. Это поле сначала растет, достигает максимума в момент прекращения линейного роста грозового поля, а потом начинает падать.
Рис. 19.
Зависимость от времени электрического поля на земле под крайними проводами, расположенными в точках x = ±7/2D, системы из восьми коронирующих проводов для двух расстояний D между соседними проводами. Высота подвеса проводов и внешнее грозовое поле взяты такими же, как при расчете рис. 18.
Для анализа зависимостей рис. 18 и 19 следовало бы провести дополнительные численные эксперименты, варьируя число проводов в системе. Эта работа требует отдельного исследования.
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье разработана двумерная компьютерная модель для расчета нестационарного коронного разряда от плоскопараллельных систем заземленных проводов, подвешенных над землей и находящихся во внешнем однородном поле грозового облака.
Рассмотрен случай бесконечной периодической системы проводов, когда теоретический анализ сводится к расчету короны от одного провода с периодическими граничными условиями и случай системы из восьми проводов. В последнем случае вычислительная работа была сокращена путем применения условия симметрии, т.е. сокращения вдвое числа проводов, рассматриваемых непосредственно.
Для проверки метода решения двумерной электростатической задачи, проведено сравнение с аналитическими решениями рассчитанных по двумерной программе распределений потенциала, создаваемого зарядами проводов, в пустом пространстве над землей.
Найдено пороговое внешнее грозовое поле E-0cor для возбуждения короны от провода бесконечной периодической системы и от крайних проводов системы, состоящей из восьми проводов.
Рассчитаны характеристики короны от двух названных систем: тока, распределения объемного заряда и потенциала, индуцированного зарядами проводов и объемным зарядом. Приведены рассчитанные зависимости от времени суммарного электрического поля на разных высотах над проводами и на земле.
Для бесконечной периодической системы проводов расчет сделан для режима, рассмотренного ранее в случае короны от многоэлектродной системы многих стержней, когда ток короны зависит только от расстояния D между соседними коронирующими электродами, а плотность коронного тока j = ${{\varepsilon }_{0}}d{{E}_{0}}(t){\text{/}}dt$ – только от скорости нарастания внешнего грозового поля.
Работа одного из авторов (М.С. Мокрова) поддержана РФФИ, грант № 18-38-00051-мол-а.
Список литературы
Базелян Э.М., Райзер Ю.П. // УФН. 2000. Т. 170. С. 753–769 [Bazelyan E.M. and Raizer Yu.P. The mechanism of lightning attraction and the problem of lightning initiation by lasers // Phys. Usp. 2000. Vol. 43. P. 701–16].
Golde, R.H. (Ed.), Lightning. New York: Academic, 1977.
Rakov V.A. and Uman M.A. Lightning: Physics and Effects. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.
Aleksandrov N.L., Bazelyan E.M., Carpenter R.B. Jr, Drabkin M.M. and Raizer Yu.P. // J. Phys. D: Appl. Phys. 2001. V. 34. P. 3256–66.
Montanyà J., van der Velde O., and Williams E.R. // J. Geophys. Res. Atmos. 2014. V. 119. P. 1455–1462, https://doi.org/10.1002/2013JD020225
Standler R.B. and Winn W.P. // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 1979. V. 105. P. 285–302.
Soula S. and Chauzy S. // Journal of Geophysical Research. 1991. V. 96. P. 22327–22336.
Soula S. // Journal of Geophysical Research. 1994. V. 99. P. 10759–10765.
Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Физика молнии и молниезащиты. М.: Физматлит, 2001. [Bazelyan E.M. and Raizer Yu.P. Lightning physics and lightning protection. Bristol: IOP, 2000.]
Bazelyan E.M. and Drabkin M.M. Scientific and technical basis for preventing lightning strikes to earth bound objects // In: Power Engineering Society General Meeting, IEEE, 13–17 July. 2003. V. 4. P. 2201–2208.
Rizk F.A.M. Analysis of space charge generating devices for lightning protection: performance in slow varying fields // IEEE Trans. Power Deliv. 2010. V. 25. P. 1996–2006.
Э.М. Базелян, частное сообщение, 2015.
Александров Н.Л., Базелян Э.М., Драбкин М.М., Карпентер Р.Б., Райзер Ю.П. // Физика плазмы. 2002. Т. 28. № 11. С. 1032–1045. [Aleksandrov N.L., Bazelyan E.M., Carpenter R.B. Jr, Drabkin M.M. and Raizer Yu.P. // Plasma Phys. Rep. 2002. Vol. 28. P. 953–964].
Aleksandrov N.L., Bazelyan E.M., D’Alessandro F. and Raizer Yu.P. // J. Phys. D: Appl. Phys. 2005. V. 38. P. 1225–38.
Bazelyan E.M., Raizer Yu.P. and Aleksandrov N.L. // Plasma Sources Sci. Technol. 2008. V. 17. P. 024015.
Bazelyan E.M., Raizer Yu.P., Aleksandrov N.L. and D’Alessandro F. // Atmos. Res. 2009. V. 94. P. 436–47.
Becerra M. // J. Phys. D: Appl. Phys. 2013. V. 46. P. 135205.
Becerra M. // Atmospheric Research. 2014. V. 149. P. 316.
Becerra M. and Cooray V. // J. Phys. D: Appl. Phys. 2006. V. 39. P. 3708.
Becerra M. and Cooray V. // J. Phys.D: Appl. Phys. 2006. V. 39. P. 4695.
Bazelyan E.M., Raizer Yu.P. and Aleksandrov N.L. // Atmospheric Research. 2015. V. 153. P. 74–86.
Rizk F.A.M. // IEEE Trans. Power Deliv. 2011. V. 26. P. 1156–65.
Mokrov M.S., Raizer Yu.P. and Bazelyan E.M. // J. Phys. D: Appl. Phys. 2013. V. 46. P. 455202.
Bazelyan E.M., Raizer Yu.P. and Aleksandrov N.L. // Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. 2014. V. 109. P. 80.
Bazelyan E.M., Raizer Yu.P. and Aleksandrov N.L. // Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. 2014. V. 109. P. 91.
Neimarlija N., Demirdzic I. and Muzaferija S. // Journal of Electrostatics. 2009. V. 67. P. 37–47.
Medlin A. J., Fletcher C.A.J. and Morrow R. // J. Electrostat. 1998. V. 43. P. 39–60.
Guo B.Y., Guo J., Yu A.B. // Journal of Electrostatics. 2014. V. 72. P. 301–310.
Davis J.L. and Hoburg J.F. // Journal of Electrostatics.1986. V. 18. P. 1–22.
Nguyen N.C., Guerra-Garcia C., Peraire J. and Martinez-Sanchez M. // Journal of Electrostatics. 2017. V. 89. P. 1.
Medlin A.J., Morrow R. and Fletcher C.A.J. // J. Electrostat. 1998. V. 43. P. 61–77.
Lu T., Feng H., Cui X., Zhao Z. and Li L. /IEEE Transactions on Magnetics. 2010. V. 46. № 8. P. 2939–2942. https://doi.org/10.1109/TMAG.2010.2044149
Qiao J., Zou J., Yuan J., Lee J. B. and Ju M. // IEEE Transactions on Magnetics. 2016. V. 52. № 3. P. 1–4. https://doi.org/10.1109/TMAG.2015.2481725
Guerra-Garcia C., Nguyen N.C., Mouratidis T. and Martinez-Sanchez M. // J. Geophys. Res. Atmos. 2020. 125(16): e2020JD032908.
Chauzy S. and Rennela C. // Journal of Geophysical Research. 1985. V. 90. № D4. P. 6051–6057.
Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. [Tamm I.E. Fundamentals of The Theory of Electricity. Mir, 1979.]
Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. М.: Энергоатомиздат, 1989. [Birdsall C.K. and Langdon A.B. Plasma Physics via Computer Simulation. Taylor & Francis, 2004. Chapter 14. P. 318–322].
Zheng Y., Zhang B., and He J. // Physics of Plasmas. 2011. Vol. 18. P. 123503.
Liu L. and Becerra M. // J. Phys. D: Appl. Phys. 2016. V. 49. P. 225202.
Dordizadeh P., Adamiak K. and Castle P.G.S. // Plasma Sources Sci. Technol. 2016. V. 25. P. 065009.
Ferreira N.G.C., Santos D.F.N., Almeida P.G.C., Naidis G.V. and Benilov M.S. // J. Phys. D: Appl. Phys. 2019. V. 52. P. 355206.
Райзер Ю.П. Физика газового разряда. Долгопрудный: Изд. дом “Интеллект”, 2009. [Raizer Yu.P. Gas Discharge Physics. Berlin: Springer, 1991. Chapter 12].
Waters R.T., Rickard T.E.S., Stark W.B. // International Symposium on Hochspannungstechnik Munchen, 1972. P. 104.
Bogdanova N.B., Pevchev B.G., Popkov V.I. // Izv. Akad. Nauk SSSR: Energ. Transp. 1978. V. 16. P. 96–100.
Morrow R. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. V. 30. P. 3099–3114.
Gopalakrishnan V., Pawar S.D., Murugavel P. and Johare K.P. // J. Atmos. Sol.-Terr. Phys. 2011. V. 73. P. 1876–82.
Azarenok B.N. // Comput. Math. Math. Phys. 2009. V. 49. P. 797–809.
Fletcher C.A.J. Computational Techniques for Fluid Dynamics. V. 1. Fundamental and general techniques. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1991.
Ferziger J.H. and Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer. 2002.
Wesseling P. Principles of Computational Fluid Dynamics. Berlin: Springer. 2001.
Toselli A. and Widlund O. Domain Decomposition Methods – Algorithms and Theory. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2005.
Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. [Jackson J.D. Classical Electrodynamics. New York-London: John Wiley & Sons, Inc., 1962].
Greenberg M.D. Applications of Green’s Functions in Science and Engineering. New York: Dover Publications, 2015.
Miller G.H. // Journal of Computational Physics. 2008. V. 227. P. 7917–7928.
Hagenow K.V. and Lackner K., Proc. 7th Conf. on the Numerical Simulation of Plasmas, New York, 1975. P. 140.
Lackner K. Computation of ideal MHD equlibria // Computer Physics Communication. 1976. V. 12. P. 33–44.
Лаврентьев M.A. и Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей, М.: ИЛ, 1961. [Buchholz H. Elektrische und magnetische Potentialfelder. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer-Verlag, 1957].
Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: ИЛ, 1954. Гл. 4. С. 111. [Smythe W.R. Static and dynamic electricity. Taylor &Francis, 1989. Chapter 4. P. 107].
Дополнительные материалы отсутствуют.
Пн.-пт.: 10.00-19.00