Физика плазмы, 2023, T. 49, № 3, стр. 209-259

2.1. Приближение мелкой воды для течений вращающейся плазмы во внешнем вертикальном магнитном поле

В данном разделе приведем обзор линейных волн в двумерных течениях вращающейся плазмы во внешнем вертикальном магнитном поле в приближении мелкой воды [48]. В этом случае в магнитогидродинамическом приближении мелкой воды появляются дополнительные слагаемые, приводящие, при постоянном параметре Кориолиса $f = 2\Omega $ (стандартная  f-плоскость, Ω – скорость вращения слоя плазмы), к возникновению в линейном приближении двух типов быстрых волн: магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн [4]. При учете сферичности (стандартная $\beta $-плоскость) в линейном приближении исследуются высокочастотные магнитные инерционно-гравитационные волны и низкочастотные волны магнито-Россби. Вывод уравнений мелкой воды магнитной гидродинамики осуществлялся методом усреднения по высоте слоя исходной системы уравнений (МГД‑уравнений для вращающейся несжимаемой невязкой плазмы), широко используемых и хорошо себя зарекомендовавших в геофизической гидродинамике [54, 114] и в физике планетных атмосфер [10, 57, 115, 116]. При выводе уравнений во внешнем магнитном поле возникают дополнительные условия на границах для магнитного поля, учитывающие наличие постоянного внешнего вертикального магнитного поля, пронизывающего слой плазмы. Уравнения записаны в неинерционной системе отсчета, вращающейся со скоростью $\Omega $ вместе со слоем плазмы. Система магнитогидродинамических уравнений мелкой воды во внешнем магнитном поле имеет вид

где h – высота слоя поверхности, ${{u}_{x}}$, ${{u}_{y}}$ – горизонтальные скорости в приближении мелкой воды, усредненные по высоте слоя, ${{B}_{x}}$, ${{B}_{y}}$ – горизонтальные компоненты магнитного поля в приближении мелкой воды, усредненные по высоте слоя, ${{B}_{z}}$ – вертикальная компонента магнитного поля, ${{B}_{0}}$ – постоянное внешнее вертикальное магнитное поле, $f = 2\Omega $ – параметр Кориолиса, Ω – угловая скорость вращения. Заметим, что первое уравнение системы (1) – уравнение изменения высоты слоя, уравнения (2), (3) – закон изменения импульса, (4)–(6) – уравнения изменения магнитного поля, уравнение (7) – следствие уравнения бездивергентности магнитного поля в полной системе исходных уравнений магнитной гидродинамики. Уравнение (7) при задании корректных начальных условий, определяемых уравнением (6) выполняется тождественно как следствие уравнений (4)–(6). Таким образом показано сохранение трехкомпонентности магнитного поля в магнитогидродинамическом приближении мелкой воды во внешнем вертикальном магнитном поле, в то время как поле скоростей двумерно. Полученная система (1)–(5) магнитогидродинамических уравнений в приближении мелкой воды во внешнем вертикальном магнитном поле в частном случае переходит в классические уравнения нейтральной жидкости и широко известные в астрофизике магнитогидродинамические уравнения без внешнего магнитного поля [2].

Система (1)–(5) имеет два взаимоисключающих стационарных решения: решение со внешним вертикальным магнитным полем

и решение с горизонтальным магнитным полем

2.1.1. Волны в астрофизической плазме при наличии внешнего вертикального поля. В приближении стандартной f-плоскости, когда вектор Кориолиса ${\mathbf{f}} = (0,0,{{f}_{V}})$ постоянен и направлен строго по вертикали, линейными решениями системы (1)–(5) во внешнем вертикальном магнитном поле на фоне стационара (8) являются магнитные инерционно-гравитационные волны с дисперсионным соотношением

и магнитострофические волны с дисперсионным соотношением

В дисперсионных соотношениях (10), (11) знак “+” соответствует волнам, распространяющимся вдоль волнового вектора ${\mathbf{k}} = ({{k}_{x}},{{k}_{y}})$, а знак “–” – волнам, распространяющимся противоположно направлению волнового вектора k.

Магнитные инерционно-гравитационные волны (10) – поверхностные гравитационные волны во вращающейся мелкой воде при наличии магнитного поля. В отсутствие магнитного поля уравнение (10) принимает вид

и описывает инерционно-гравитационные волны в мелкой воде, являющиеся объектом многочисленных исследований в динамике нейтральной жидкости [54].

Магнитострофические волны, как и магнитные инерционно-гравитационные волны, также возникают во вращающейся мелкой воде при наличии магнитного поля вследствие гравитации и силы Кориолиса. Однако данный тип волн не имеет аналога в динамике нейтральной жидкости. В отсутствие магнитного поля уравнение (11) обращается в ноль.

Для исследования сферических течений в рамках системы магнитогидродинамических уравнений мелкой воды во внешнем вертикальном магнитном поле (1)–(5) используется приближение стандартной β-плоскости для вектора Кориолиса f. Данное приближение широко применяется для исследования крупномасштабных волн Россби, как в динамике нейтральной жидкости [54], так и в магнитной гидродинамике [117]. Однако в работах [48], [113] показано, что в уравнениях мелкой воды на β-плоскости, как при наличии так и в отсутствие магнитного поля, помимо низкочастотных волн Россби существует решение, описывающее высокочастотные магнитные инерционно-гравитационные волны.

В приближении стандартной β-плоскости полагается, что вектор Кориолиса ${\mathbf{f}} = 2\Omega = 2\sin \theta $ слабо меняется при малых изменениях широты θ. Такое предположение позволяет перейти в локальную декартову систему координат на сфере радиуса R и разложить выражение для вектора f в  ряд по широте, сохраняя первый порядок малости:

где ${{f}_{0}} = 2\Omega \sin {{\theta }_{0}}$, $\beta = \partial f{\text{/}}\partial y$, $\beta y \ll {{f}_{0}}$, y = $ = R(\theta - {{\theta }_{0}})$. Таким образом в случае прибижения стандартной β-плоскости для описания сферических течений в системе магнитогидродинамических уравнений мелкой воды (1)–(5) слагаемые с вектором Кориолиса $fh{{u}_{{x,y}}}$ в уравнениях (2), (3) принимают вид $({{f}_{V}} + \beta y){{u}_{y}}$ и ${{f}_{V}}{{u}_{x}}$ соответственно, где ${{f}_{V}} \equiv {{f}_{0}}$.

Линейным решением системы (1)–(5) в приближении стандартной $\beta $-плоскости на фоне стационарного решения с внешним вертикальным магнитным полем (8) является дисперсионное уравнение в следующем виде:

Решением уравнения (14) в высокочастотном пределе явлется дисперсионное соотношение в виде

которое описывает высокочастотные магнитные инерционно-гравитационные на β-плоскости. Отметим здесь существенное различие с магнитными инерционно-гравитационными волнами (10) на f-плоскости. Дисперсионное соотношение (15) имеет более простой вид, в нем отсутствует дополнительный внутренний радикал, что меняет динамику волны. Однако восстанавливающими силами для обоих типов волн являются сила Лоренца, гравитации и Кориолиса. В отсутствие магнитного поля выражение (15) переходит в выражение (12) и описывает стандартные гидродинамические инерционно-гравитационные волны в мелкой воде. Кроме того, в приближении β-плоскости отсутствуют магнитострофические волны.

Решением уравнения (14) в низкочастотном пределе явлется дисперсионное соотношение в виде

которое описывает крупномасштабные волны магнито-Россби в мелкой воде на β-плоскости, распространяющиеся вдоль направления волнового вектора k. Основный механизм их образования заключается в сдвиге вращающегося потока вследствие того, что сила Кориолиса изменяется в зависимости от широты.

Заметим, что в интервале между высокочастотными решениями дисперсионного уравнения в виде магнитных инерционно-гравитационных волн и низкочастотными решениями для медленных волн магнито-Россби, дисперсионное соотношение допускает моды быстрых магнито-Россби волн [3].

2.1.2. Волны в астрофизической плазме в горизонтальном магнитном поле. В отсутствие внешнего вертикального магнитного поля линейными решениями системы (1)–(5) на фоне стационара (9) являются магнитные инерционно-гравитационные волны с дисперсионным соотношением

и магнитострофические волны с дисперсионным соотношением

В дисперсионных соотношениях (17), (18) знак “+” соответствует волнам, распространяющимся вдоль волнового вектора ${\mathbf{k}} = ({{k}_{x}},{{k}_{y}})$, а знак “–” соответствует волнам, распространяющимся противоположно направлению волнового вектора k.

Магнитные инерционно-гравитационные волны в горизонтальном магнитном поле (17) при нулевом магнитном поле переходят в свой гидродинамический аналог – инерционно-гравитационные волны в мелкой воде с дисперсионным соотношением (12). Магнитострофические волны в горизонтальном магнитном поле (18) не имеют аналога в динамике нейтральной жидкости. В отсутствие магнитного поля дисперсионное соотношение (18) обращается в ноль.

Линейным решением системы (1)–(5) в приближении стандартной β-плоскости на фоне стационарного решения с горизонтальным магнитным полем (9) является дисперсионное уравнение в следующем виде:

Решением уравнения (19) в высокочастотном пределе явлется дисперсионное соотношение в виде

которое описывает высокочастотные магнитные инерционно-гравитационные волны на β-плоскости, существенно отличающиеся от магнитных инерционно-гравитационных волн (17) на f-плоскости. В отсутствие магнитного поля выражение (20) переходит в выражение (12) и описывает стандартные гидродинамические инерционно-гравитационные волны в мелкой воде. Кроме того, в приближении β-плоскости отсутствуют магнитострофические волны.

Решением уравнения (19) в низкочастотном пределе явлется дисперсионное соотношение в виде

которое описывает крупномасштабные волны магнито-Россби в мелкой воде в горизонтальном магнитном поле на β-плоскости, распространяющиеся вдоль направления волнового вектора k.

В отсутствие магнитного поля уравнение (19) принимает вид

и имеет решение в высокочастотном пределе в виде инерционно-гравитационных волн в мелкой воде с дисперсионным соотношением (12), а в низкочастотном пределе в виде стандартных гидродинамических волн Россби в мелкой воде с дисперсионным соотношением

Общий вид дисперсионных кривых для волн во вращающихся течениях плазмы в приближении мелкой воды представлен на рис. 1а, б для магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн во внешнем вертикальном магнитном поле и в горизонтальном магнитном поле; на рис. 1в, г для магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби во внешнем вертикальном и в горизонтальном магнитных полях.

2.1.3. Выводы. В разделе обсуждается существенное отличие структуры магнитного поля в магнитогидродинамических течениях мелкой воды при наличии внешней вертикальной компоненты от аналогичных течений в ее отсутствии. Необходимость учета условия бездивергентности магнитного поля в этом случае навязывает системе вертикальную компоненту магнитного поля, делая структуру магнитного поля существенно трехмерной. При отсутствии внешнего вертикального магнитного поля, как хорошо известно, в приближении мелкой воды магнитное поле двумерно. Замечено, что предложенная система уравнений в частном случае отсутствия вертикального магнитного поля переходит в традиционную. Развита теория магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн на f-плоскости, а также магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби на β-плоскости в магнитогидродинамических течениях вращающейся плазмы в приближении мелкой воды. Изучены дисперсионные уравнения для двух стационарных течений: внешнее вертикальное магнитное поле и горизонтальное магнитное поле.

2.2. Приближение двуслойной мелкой воды для течений вращающейся стратифицированной плазмы во внешнем вертикальном магнитном поле

Течения астрофизической плазмы, как и геофизические течения, в основном стратифицированные. Здесь и далее под стратификацией понимается зависимость профиля плостности от вертикальной координаты z. В случае устойчивой стратификации, рассматриваемом в данном обзоре, профиль плотности (энтропии – в случае сжимаемых течений) предполагается линейным по вертикальной координате и удовлетворяющим условию отсутствия конвекции – вертикальный градиент плотности (энтропии) отрицателен. Обсудим линейные волны в двумерных течениях вращающейся стратифицированной плазмы во внешнем вертикальном магнитном поле в приближении двуслойной мелкой воды. Магнитогидродинамические уравнения двуслойной мелкой воды во внешнем вертикальном магнитном поле являются обобщением уравнений, полученных в [46, 47, 49], на случай тонкого вращающегося слоя плазмы разделенного на два слоя с постоянными, но различными плотностями. Вывод магнитогидродинамических уравнений двуслойной мелкой воды, как и вывод однослойных уравнений, основан на методе усредненения по высоте слоя и учитывает наличие постоянного внешнего вертикального магнитного поля, пронизывающего оба слоя [43]. Уравнения как и для однослойного случая записаны в неинерционной системе отсчета, вращающейся со скоростью $\Omega $ вместе со слоем плазмы. Система магнитогидродинамических уравнений двуслойной мелкой воды во внешнем вертикальном магнитном поле имеет вид

где ${{h}_{i}}$ – высота слоя, ${{\rho }_{i}}$ – плотность плазмы в слое, Ω – угловая скорость вращения, равная для обоих слоев, ${{u}_{{xi,yi}}}$ – усредненные по высоте слоев горизонтальные скорости, ${{B}_{{xi,yi}}}$ – усредненные по высоте слоев горизонтальные магнитные поля, индекс $i = 1$ соответствует нижнему слою плазмы, в котором ${{a}_{i}} = 0$, ${{h}_{i}} = {{h}_{1}}$, ${{H}_{i}} = \Delta h$, а индекс $i = 2$ соответствует верхнему слою плазмы, в котором ${{a}_{i}} = {{h}_{1}}$, ${{h}_{i}} = {{h}_{2}}$, ${{H}_{i}} = {{h}_{1}}$. Данные уравнения двуслойной мелкой воды представляют собой единственную возможность самосогласованного учета внешнего магнитного поля и стратификации. Двуслойные магнитогидродинамические уравнения мелкой воды играют такую же важную роль в космической и астрофизической стратифицированной плазме, как и классические уравнения мелкой воды в гидродинамике нейтральной стратифицированной жидкости [54, 114, 118]. В частном случае равенства высот и плотностей слоев плазмы уравнения (24)–(28) переходят в магнитогидродинамические уравнения мелкой воды во внешнем магнитном поле для одного слоя плазмы (1)–(5). Таким образом уравнения (24)–(28) сохраняют все свойства однослойной системы (1)–(5), включая принципиальную трехмерность магнитного поля и дополнительные уравнения на вертикальное магнитное поле (6) в обоих слоях. В частном случае отсутствия внешнего вертикального магнитного поля уравнения сводятся к магнитогидродинамическим уравнениям мелкой воды для двух слоев [42] в горизонтальном магнитном поле.

Система уравнений (24)–(28) имеет два взаимоисключающих стационарных решения: решение со внешним вертикальным магнитным полем

и решение с горизонтальным магнитным полем

2.2.1. Волны в астрофизической плазме во внешнем вертикальном магнитном поле. Линейным решением системы (24)–(28) в приближении стандартной β-плоскости на фоне стационарного решения с внешним вертикальным магнитным полем (29) является дисперсионное уравнение в следующем виде:

где

Правая часть дисперсионного соотношения (31) описывает эффекты стратификации в двуслойной модели, левая часть является произведением двух выражений, первое из которых соответствует нижнему слою, а второе – верхнему.

Строгий теоретический анализ полученного дисперсионного уравнения (31) не представляется возможным, поэтому ограничимся качественным рассмотрением. В первом приближении выделим магнитные инерционно-гравитационные волны и волны магнито-Россби в отсутствие стратификации. В случае малого различия в плотностях слоев плазмы представим решение дисперсионного уравнения (31) в высокочастотном пределе в виде суммы магнитной инерционно-гравитационной волны в отсутствие стратификации и малой поправки, связанной со стратификацией плазмы. В низкочастотном пределе решение дисперсионного уравнения (31) представим в виде суммы волны магнито-Россби в отсутствие стратификации и малой поправки, связанной со стратификацией плазмы.

В отсутствие стратификации (${{\rho }_{2}} = {{\rho }_{1}}$) уравнение (31) принимает вид

где ω – частота возмущения, ${\mathbf{k}} = ({{k}_{x}},{{k}_{y}})$ – волновой вектор возмущения. Би-квадратное уравнение в первой скобке дает следующие значения для частоты:

Если предположить, что $\omega \ne {{\omega }_{{1,2}}}$, то уравнение (33) сводится к

В высокочастотном пределе решением уравне-ния (33) является следующее дисперсионное соотношение:

которое описывает магнитные инерционно-гравитационные волны на β-плоскости во внешнем вертикальном магнитном поле. Дисперсионное соотношение (34) в частном случае равенства высот слоев сводится к дисперсионному соотношению для магнитных инерционно-гравитационных волн на β-плоскости в однослойной мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле (15).

В низкочастотном пределе решением уравения (33) является следующее дисперсионное соотношение:

которое описывает волны магнито-Россби во внешнем вертикальном магнитном поле. Дисперсионное соотношение (35) в частном случае равенства высот слоев сводится к дисперсионному соотношению для волн магнито-Россби в однослойной мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле (16).

Выпишем поправки к частотам (34), (35), описывающие влияние стратификации (${{\rho }_{1}} \ne {{\rho }_{2}}$). Перепишем уравнение (31) в следующем виде:

Пусть искомые поправки к частотам ${{\delta }_{{MI{{G}_{{{{{v}}_{2}}}}}}}} = \omega - $ $ - \;{{\omega }_{{MI{{G}_{{{{{v}}_{2}}}}}}}}$, ${{\delta }_{{M{{R}_{{{{{v}}_{2}}}}}}}} = \omega - {{\omega }_{{M{{R}_{{{{{v}}_{2}}}}}}}}$ малы по сравнению с самими частотами

Тогда влияние стратификации на высокочастотную магнитную инерционно-гравитационную волну (34) описывается поправкой к частоте в следующем виде:

Здесь ${{\varphi }_{1}}$ – правая часть дисперсионного уравнения (36) при $\omega = {{\omega }_{{MI{{G}_{{{{{v}}_{2}}}}}}}}$.

Влияние стратификации на высокочастотную волну магнито-Россби (35) описывается поправкой к частоте в следующем виде:

Здесь ${{\varphi }_{2}}$ – правая часть дисперсионного уравнения (36) при $\omega = {{\omega }_{{M{{R}_{{{{{v}}_{2}}}}}}}}$.

2.2.2. Волны в астрофизической плазме в горизонтальном магнитном поле. Линейным решением системы (24)–(28) в приближении стандартной β-плоскости на фоне стационарного решения с горизонтальным магнитным полем (30) является дисперсионное уравнение в следующем виде:

где

Правая часть дисперсионного соотношения (39) описывает эффекты стратификации в двуслойной модели, левая часть является произведением двух выражений, первое из которых соответствует нижнему слою, а второе – верхнему.

Строгий теоретический анализ полученного дисперсионного уравнения (39) не представляется возможным, поэтому ограничимся качественным рассмотрением при равных магнитных полях в обоих слоях ${{({{{\mathbf{B}}}_{0}} \cdot {\mathbf{k}})}_{1}} = ({{{\mathbf{B}}}_{0}} \cdot {\mathbf{k}}{{)}_{2}} \equiv ({{{\mathbf{B}}}_{0}} \cdot {\mathbf{k}})$. В первом приближении выделим магнитные инерционно-гравитационные волны и волны магнито-Россби в отсутствие стратификации. В случае малого различия в плотностях слоев плазмы представим решение дисперсионного уравнения (39) в высокочастотном пределе в виде суммы магнитной инерционно-гравитационной волны в отсутствие стратификации и малой поправки, связанной со стратификацией плазмы. В низкочастотном пределе решение дисперсионного уравнения (39) представим в виде суммы волны магнито-Россби в отсутствие стратификации и малой поправки, связанной со стратификацией плазмы.

В отсутствие стратификации (${{\rho }_{2}} = {{\rho }_{1}}$) уравнение (39) принимает вид

Би-квадратное уравнение в первой скобке дает следующие значения для частоты:

Предполагая, что $\omega \ne {{\omega }_{{3,4}}}$, уравнение (41) сводится к

которое имеет вид дисперсионного уравнения для одного слоя плазмы высоты ${{h}_{{02}}}$ в приближении мелкой воды на бета-плоскости (19), что существенно отличает течение плазмы в горизонтальном магнитном поле от течения плазмы при наличии внешнего вертикального поля. В высокочастотном пределе решением уравения являются магнитные инерционно-гравитационные волны на β-плоскости в горизонтальном магнитном поле, аналогичные волнам в однослойной модели (20). В высокочастотном пределе решением уравения (33) являются волны магнито-Россби на β-плоскости в горизонтальном магнитном поле, аналогичные волнам в однослойной модели (21).

Представим уравнение (39) в следующем виде:

Пусть искомые поправки к частотам ${{\delta }_{{MI{{G}_{{{{h}_{2}}}}}}}} = \omega - $ $ - \;{{\omega }_{{MI{{G}_{{{{h}_{2}}}}}}}}$, ${{\delta }_{{M{{R}_{{{{h}_{2}}}}}}}} = \omega - {{\omega }_{{M{{R}_{{{{h}_{2}}}}}}}}$ малы по сравнению с самими частотами:

Тогда влияние стратификации на высокочастотную волну магнито-Пуанкаре (20) описывается поправкой к частоте в следующем виде:

Здесь ${{\varphi }_{3}}$ – правая часть дисперсионного уравнения (42) при $\omega = {{\omega }_{{MI{{G}_{{{{h}_{2}}}}}}}}$.

Влияние стратификации на высокочастотную волну магнито-Россби (21) описывается поправкой к частоте в следующем виде:

Здесь ${{\varphi }_{4}}$ – правая часть дисперсионного уравнения (42) при $\omega = {{\omega }_{{M{{R}_{{{{h}_{2}}}}}}}}$.

Общий вид дисперсионных кривых для волн во вращающихся течениях плазмы в приближении двуслойной мелкой воды представлен на рис. 2а, б для магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби соответственно во внешнем вертикальном магнитном поле; на рис. 2в, г для магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби соответственно в горизонтальном магнитном поле.

2.2.3. Выводы. Приведен обзор модели мелкой двуслойной воды, применяемой для изучения крупномасштабных волн в астрофизической плазме. Показано существенное отличие уравнений мелкой воды для вращающейся плазмы при наличии двух слоев с различными постоянными плотностями в присутствии внешнего магнитного поля от системы в отсутствие внешнего магнитного поля, заключенное в дополнительном уравнении, требующемся для выполнения условия бездивергентности. Появление этого уравнения включает в систему вертикальную компоненту поля и делает поле трехмерным, в отличие от случая с отсутствием внешнего поля, при котором магнитное поле в уравнениях мелкой воды двумерно. Система уравнений двуслойной мелкой воды во внешнем магнитном поле переходит в традиционную при отсутствии внешнего поля и равенства плотностей и высот слоев. Развита линейная теория магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби на β-плоскости в магнитогидродинамических течениях вращающейся плазмы в приближении мелкой воды. Изучены дисперсионные уравнения для двух стационарных течений: внешнее вертикальное магнитное поле и горизонтальное магнитное поле. Найдены поправки к дисперсионным соотношениям магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби, связанные с наличием стратификации в системе.

Кроме того изучено влияние стратификации на групповые и фазовые скорости магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби как во внешнем вертикальном, так и в горизонтальном магнитных полях. Анализ выражений для скоростей показал, что наличие стратификации (${{\rho }_{2}} \ne {{\rho }_{1}}$) в системе:

• увеличивает фазовую и групповую скорости магнитной инерционно-гравитационной волны вдоль направления ${{k}_{x}}$ в вертикальном магнитном поле при малых ${{k}_{x}}$ (${{k}_{x}} < 1$) и уменьшает при больших ${{k}_{x}}$;

• увеличивает фазовую скорость волны магнито-Россби вдоль направления ${{k}_{x}}$ в вертикальном магнитном поле;

• увеличивает групповую скорость волны магнито-Россби вдоль направления ${{k}_{x}}$ в вертикальном магнитном поле при малых ${{k}_{x}}$ и уменьшает при больших ${{k}_{x}}$;

• увеличивает фазовую и групповую скорости магнитной инерционно-гравитационной волны вдоль направления ${{k}_{x}}$ в горизонтальном магнитном поле;

• увеличивает фазовую скорость волны магнито-Россби вдоль направления ${{k}_{x}}$ в горизонтальном магнитном поле;

• увеличивает групповую скорость волны магнито-Россби вдоль направления ${{k}_{x}}$ в горизонтальном магнитном поле при малых ${{k}_{x}}$ и уменьшает при больших ${{k}_{x}}$.

2.3. Приближение мелкой воды для течений вращающейся плазмы с учетом крупномасштабной сжимаемости

Важным принципиальным свойством течений в плазменной астрофизике является свойство сжимаемости, характеризующее большинство наблюдаемых объектов во Вселенной. В данном разделе опишем линейные волны в двумерных течениях сжимаемой вращающейся плазмы в рамках системы магнитогидродинамических уравнений при наличии вращении в приближении мелкой воды во внешнем вертикальном магнитном поле с учетом крупномасштабной сжимаемости [77]. Вывод магнитогидродинамических уравнений в приближении мелкой воды с учетом крупномасштабной сжимаемости основан на методе усреднения по высоте слоя. Вследствие наличия сжимаемости в исходной системе, для задания корректных начальных и граничных условий используется уравнение Клапейрона и свойство адиабатичности рассматриваемых процессов. В результате в этом приближении фильтруются звуковые волны и учитывается зависимость плотности от давления на крупных масштабах, описывающая эффекты статической сжимаемости по сравнению со случаем несжимаемой плазмы [19, 20, 47]. Система магнитогидродинамических уравнений мелкой воды во внешнем вертикальном магнитном поле, записанная в системе отсчета, вращающейся вместе со слоем плазмы со скоростью Ω, имеет вид

В системе уравнений (45)–(49) аналогом высоты слоя h выступает следующая переменная:

где h – высота слоя, $\bar {\rho }$ – среднее значение плотности, ${{p}_{h}}$ – постоянное давление на верхней границе слоя, γ – показатель адиабаты, ${{H}_{\rho }}$ – характерная плотностная высота, соответствующая масштабу высоты, на котором вариация плотности по высоте становится существенной, и выражаемая в следующем виде: где ${{c}_{p}} = R\gamma {\text{/}}(\gamma - 1) = {\text{const}}$ – теплоемкость при постоянном давлении, ${{T}_{h}}$ – постоянная температура на границе, R – универсальная газовая постоянная. В уравнениях (45)–(49) ${{u}_{{xi,yi}}}$ – усредненные по высоте слоев горизонтальные скорости, ${{B}_{{xi,yi}}}$ – усредненные по высоте слоев горизонтальные магнитные поля, ${{B}_{0}} = {{\rho }_{0}}B_{0}^{'}$ – внешнее вертикальное магнитное поле, умноженное на плотность на нижней границе, а переменная ${{a}^{2}}$ выражается формулой

Cистема (45)–(49) нетривиальным образом зависит от отношения характерного вертикального масштаба течения и масштаба высот, на котором вариация плотности становится существенной. В отличие от магнитогидродинамических уравнений мелкой воды для несжимаемой плазмы во внешнем вертикальном магнитном поле (1)–(5), высота свободной поверхности не является определяющей характеристикой для описания течений, так как закон сохранения массы записывается через новую переменную, которая зависит от плотности плазмы и высоты столба.

Система уравнений (45)–(49) записана для слоя плазмы во внешнем вертикальном магнитном поле, что приводит к существенным изменениям в структуре уравнений. Магнитное поле становится принципиально трехкомпонентным, причем вертикальная компонента магнитного поля зависит только от горизонтальных координат и времени, и ее изменение описывается уравнением

Уравнение для вертикальной составляющей магнитного поля отделяется от полной системы и необходимо для задания корректных начальных условий, обеспечивающих выполнение условия бездивергентности магнитного поля, по аналогии с несжимаемой плазмой во внешнем вертикальном магнитном поле в приближении мелкой воды (6).

В отсутствие внешнего вертикального магнитного поля система (45)–(49) переходит в уравнения сжимаемой магнитной гидродинамики в приближении мелкой воды, полученные в [47]. Величина ${{H}_{\rho }}$ (51) характеризует масштаб высоты, на котором становятся существенными изменения плотности. Если характерная высота h слоя много меньше характерной высоты ${{H}_{\rho }}$, то ε = $ = h{\text{/}}{{H}_{\rho }} \to 0$, и данное течение можно считать несжимаемым. При этом система уравнений мелкой воды для сжимаемой плазмы (45)–(49) переходит в классические магнитогидродинамические уравнения вращающейся мелкой воды для несжимаемой плазмы.

Система уравнений (45)–(49) существенно отличается от классических магнитогидродинамических уравнений для несжимаемых течений. В классических магнитогидродинамических уравнениях мелкой воды высота, скорость и магнитное поле столба жидкости полностью определяют его взаимодействие с остальным объемом жидкости. В уравнениях (45)–(49) это взаимодействие определяется не только высотой, скоростью и магнитным полем, но и средней плотностью столба жидкости, поэтому учет горизонтального импульса в уравнениях происходит более точно. Как следствие появляется новая переменная, определяющая закон сохранения массы и однозначно связанная с высотой свободной поверхности. Таким образом, при наличии эффектов крупномасштабной сжимаемости, закон сохранения массы формулируется для переменной, нетривиально зависящей от характерного вертикального масштаба течения и масштаба высот, на котором вариация плотности становится существенной. Кроме того, учет крупномасштабной сжимаемости существенно модернизирует уравнения изменения импульса.

Система (45)–(49) имеет два взаимоисключающих стационарных решения: решение с внешним вертикальным магнитным полем

и решение с горизонтальным магнитным полем

2.3.1. Волны в астрофизической плазме во внешнем вертикальном магнитном поле. Линейным решением системы (45)–(49) в приближении стандартной f-плоскости на фоне стационарного решения с внешним вертикальным магнитным полем (54) являются магнитные инерционно-гравитационные волны с дисперсионным соотношением

и магнитострофические волны с дисперсионным соотношением

В случае отсутствия магнитного поля в системе уравнение (56) сводится к уравнению

которое описывает инерционно-гравитационные волны в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости. Магнитострофические волны не имеют аналога в динамике нейтральной жидкости.

Линейным решением системы (45)–(49) в приближении стандартной β-плоскости на фоне стационарного решения с внешним вертикальным магнитным полем (54) является дисперсионное соотношение в следующем виде:

В высокочастотном пределе решением уравнения являются магнитные инерционно-гравитационные волны с дисперсионным соотношением:

а в низкочастотном пределе – волны магнито-Россби с дисперсионным соотношением

Рассмотрим подробнее выражения (56), (57), (60), (61). Заметим, что при условии малости высоты слоя по сравнению с характерной высотой ${{H}_{\rho }}$, на которой проявляется сжимаемость, переменная ${{l}_{0}}$ переходит в высоту слоя ${{h}_{0}}$ и дисперсионные соотношения переходят в аналогичные соотношения для несжимаемой плазмы (10), (11), (15), (16). Сравнивая дисперсионные соотношения для магнитных инерционно-гравитационных (56), магнитострофических волн (57) и волн магнито-Россби (61) в сжимаемой среде с несжимаемым случаем (10), (11), заметим, что дисперсионные соотношения совпадают за тем исключением, что слагаемое с внешним магнитным полем ${{\left( {{{B}_{0}}{\text{/}}{{h}_{0}}} \right)}^{2}}$ переходит в ${{\left( {{{B}_{0}}{\text{/}}{{l}_{0}}} \right)}^{2}}$, а также выражение для квадрата скорости слабых возмущений $gh$ изменяется на $a_{0}^{2}g$. Данные отличия в общем случае приводят к изменению групповой скорости магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн. Сжимаемость приводит к изменению кривизны дисперсионных поверхностей, при этом их общая форма остается аналогичной случаю несжимаемой плазмы [48].

2.3.2. Волны в астрофизической плазме в горизонтальном магнитном поле. В отсутствие внешнего вертикального магнитого поля линейными решениями системы (45)–(49) в приближении стандартной  f-плоскости на фоне стационара (55) являются магнитные инерционно-гравитационные волны

и магнитострофические волны

В случае отсутствия магнитного поля в системе уравнение (62) сводится к уравнению (58), которое описывает инерционно-гравитационные волны в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости. Магнитострофические волны не имеют аналога в динамике нейтральной жидкости.

Линейным решением системы (45)–(49) в приближении стандартной β-плоскости на фоне стационарного решения с горизонтальным магнитным полем (54) является дисперсионное соотношение в следующем виде:

В высокочастотном пределе решением уравнения являются магнитные инерционно-гравитационные волны с дисперсионным соотношением

а в низкочастотном пределе – волны магнито-Россби с дисперсионным соотношением

Рассмотрим подробнее выражения (62), (63), (65), (66). Заметим, что при условии малости высоты слоя по сравнению с характерной высотой ${{H}_{\rho }}$, на которой проявляется сжимаемость, переменная ${{l}_{0}}$ переходит в высоту слоя ${{h}_{0}}$ и дисперсионные соотношение переходят в аналогичные соотношения для несжимаемой плазмы (17), (18), (20), (21). Сравнивая дисперсионные соотношения для магнитных инерционно-гравитационных (62), магнитострофических волн (63) и волн магнито-Россби (66) в сжимаемой среде с несжимаемым случаем (17), (18), заметим, что дисперсионные соотношения совпадают за тем исключением, что слагаемое с внешним магнитным полем ${{\left( {{{B}_{0}}{\text{/}}{{h}_{0}}} \right)}^{2}}$ переходит в ${{\left( {{{B}_{0}}{\text{/}}{{l}_{0}}} \right)}^{2}}$, а также выражение для квадрата скорости слабых возмущений $gh$ изменяется на $a_{0}^{2}g$. Данные отличия в общем случае приводят к изменению групповой скорости магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн. Сжимаемость приводит к изменению кривизны дисперсионных поверхностей, при этом их общая форма остается аналогичной случаю несжимаемой плазмы [48].

Общий вид дисперсионных кривых для волн во вращающихся течениях плазмы в приближении мелкой воды с учетом крупномасштабной сжимаемости представлен на рис. 3а, б для магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн во внешнем вертикальном магнитном поле и в горизонтальном магнитном поле; на рис. 3в, г для магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби во внешнем вертикальном и в горизонтальном магнитных полях.

2.3.3. Выводы. В разделе исследованы эффекты сжимаемости в магнитной гидродинамике вращающейся астрофизической плазмы в приближении мелкой воды. В отличие от известных магнитогидродинамических уравнений в приближении мелкой воды с учетом сжимаемости мы предлагаем обобщение такой системы на случай тонкого слоя астрофизической плазмы во внешнем вертикальном магнитном поле. Отметим, что учет вертикального магнитного поля существенно расширяет возможности применения приближения мелкой воды в задачах плазменной астрофизики. Упрощенная система магнитогидродинамических уравнений в приближении мелкой воды, используемая в настоящей работе, получается из исходных уравнений магнитной гидродинамики сжимаемой плазмы, получена усреднением по глубине в предположении гидростатичности распределения давлений и малости толщины слоя по отношению к характерному горизонтальному линейному размеру задачи. В результате в этом приближении фильтруются звуковые волны и учитывается зависимость плотности от давления на крупных масштабах, описывающая эффекты статической сжимаемости. На основе предложенной системы уравнений получены новые магнитогидродинамические уравнения мелкой воды для сферических течений в приближении β-плоскости с учетом крупномасштабной сжимаемости. Развита теория линейных волн на основе предложенных уравнений. В случае уравнений на f-плоскости полученные дисперсионные соотношения для магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн существенным образом зависят как от высоты свободной поверхности, так и от величины, характеризующей степень изменения плотности вследствие статической сжимаемости, а также от термодинамических характеристик плазмы. Аналогично в случае уравнений на β-плоскости дисперсионные соотношения для магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби во внешнем вертикальном магнитном поле и в горизонтальном магнитном поле зависят как от высоты свободной поверхности, так и от величины, характеризующей степень изменения плотности вследствие статической сжимаемости, а также от термодинамических характеристик плазмы. Кроме того, показано, что скорость распространения слабых возмущений в обеих системах также зависит от степени изменения плотности. Таким образом, исследование линейных волн в магнитной гидродинамике вращающейся плазмы с учетом крупномасштабной сжимаемости показывает зависимость групповых скоростей магнитных инерционно-гравитационных волн, магнитострофических волн и волн магнито-Россби от степени сжимаемости плазмы.

3.1. Приближение Буссинеска для течений вращающейся стратифицированной плазмы

Приведен обзор трехмерных магнитогидродинамических течений вращающейся устойчиво-стратифицированной плазмы. Трехмерность течений позволяет рассматривать волновые процессы в устойчиво-стратифицированном слое плазмы с непрерывным линейным профилем плотности. Как хорошо известно в геофизической гидродинамике стратифицированных вращающихся течений возникают инерционно-гравитационные волны вследствие двух восстанавливающих механизмов – вращения и стратификации. В рассматриваемом здесь случае магнитных течений волновая картина гораздо богаче вследствие наличия дополнительной восстанавливающей силы, а именно силы Лоренца, наряду с силой Кориолиса и силой плавучести. Кроме того учет трехмерности позволяет детально исследовать волновые процессы в магнитогидродинамике стратифицированной плазмы с учетом горизонтальной составляющей силы Кориолиса, что является особенно принципиальным при изучении экваториальных течений. Отметим, что волны Россби обнаружены именно в экваториальной зоне Солнца [32, 38]. Для исследования волн в трехмерных магнитогидродинамических течениях вращающейся стратифицированной плазмы используется трехмерная магнитогидродинамическая система в приближении Буссинеска. Уравнения записаны в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вместе со слоем плазмы со скоростью Ω:

где u – вектор скорости плазмы, b – вектор напряженности магнитного поля в плазме, f – вектор Кориолиса, ρ – плотность плазмы, ${{\tilde {\rho }}_{0}}$ – плотность при равновесной температуре, $\bar {\rho }(z)$ – начальный профиль плотности, обеспечивающий устойчивую стратификацию, p – давление, ${\mathbf{g}} = (0,0, - g)$. Первое уравнение системы – уравнение изменения импульса, второе – уравнение переноса магнитного поля, третье – уравнение изменения плотности, четвертое – условие бездивергентости поля скоростей. Введем следующие переобозначения: $\rho {\kern 1pt} ' = \rho g{\text{/}}{{\tilde {\rho }}_{0}}$, $P = p{\text{/}}{{\tilde {\rho }}_{0}}$, ${\mathbf{B}} = {\mathbf{b}}{\text{/}}\sqrt {4\pi {{{\tilde {\rho }}}_{0}}} $.

Система (67)–(70) изучается в четырех различных приближениях для силы Кориолиса:

• приближение стандартной f-плоскости, в котором вектор Кориолиса f преполагается постоянным и направленным строго по вертикали ${\mathbf{f}} = (0,0,{{f}_{V}})$;

• приближение нестандартной f-плоскости [55, 79], в котором вектор Кориолиса f преполагается постоянным и отклоненным от вертикали в плоскость ($y,z$), ${\mathbf{f}} = (0,{{f}_{H}},{{f}_{V}})$;

• приближение стандартной β-плоскости, в котором предполагается, что вектор Кориолиса ${\mathbf{f}} = (0,0,{{f}_{z}})$ направлен по вертикали и слабо меняется при малых изменениях широты θ. В таком случае вертикальная компонента вектора раскладывается в ряд ${{f}_{z}} \approx {{f}_{V}} + \beta y$, где ${{f}_{V}} = 2\Omega \sin {{\theta }_{0}}$, $\beta = \partial {{f}_{z}}{\text{/}}\partial y$, $\beta y \ll {{f}_{V}}$;

• приближение нестандартной $\beta $-плоскости [55, 79], в котором предполагается, что вектор Кориолиса ${\mathbf{f}} = (0,{{f}_{y}},{{f}_{z}})$ расположен в плоскости ($y,z$) и слабо меняется при малых изменениях широты $\theta $. В таком случае вертикальная и горизонтальная компоненты вектора раскладываются в ряд ${{f}_{z}} \approx {{f}_{V}} + \beta y$, ${{f}_{y}} \approx {{f}_{H}} + \gamma y$, где ${{f}_{V}} = 2\Omega \sin {{\theta }_{0}}$, $\beta = \partial {{f}_{z}}{\text{/}}\partial y$, $\beta y \ll {{f}_{V}}$, ${{f}_{H}} = 2\Omega \cos {{\theta }_{0}}$, $\gamma = \partial {{f}_{y}}{\text{/}}\partial y$, $\gamma y \ll {{f}_{H}}$.

Система (67)–(70) имеет стационарное решение в виде покоящегося слоя плазмы с постоянным магнитным полем и линейным профилем плотности

где ${{N}^{2}}$ – квадрат частоты Брента–Вяйсяля для несжимаемых течений.

3.1.1. Волны в астрофизической плазме без учета сферичности. В приближении стандартной f‑плоскости решением системы (67)–(70), линеаризованной на фоне стационара (71), является дисперсионное соотношение в следующем виде:

которое описывает волны во вращающейся стратифицированной плазме в приближении Буссинеска. Его решением являются трехмерные магнитные инерционно-гравитационные волны с дисперсионным соотношением и трехмерные магнитострофические волны с дисперсионным соотношением

В выражениях (73), (74) знак “+” соответствует волне, распространяющейся по направлению волнового вектора k, а знак “–” – волне, распространяющейся в направлении, противоположном k. Восстанавливающими силами найденных волн являются сила Кориолиса, сила Лоренца и сила плавучести. Эффекты стратификации в дисперсионных соотношениях (73), (74) представлены слагаемыми с частотой Брэнта–Вяйсяля ${{N}^{2}}$. Отметим, что трехмерные магнитострофические волны (74) не имеют аналога в динамике нейтральной жидкости, тогда как дисперсионное соотношение (73) в отсутствие магнитного поля описывает гидродинамические инерционно-гравитационные волны. Для инерционно-гравитационных волн в отсутствие магнитного поля выполняется условие перпендикулярности групповой скорости волновому вектору [119]. Исследование дисперсионного соотношения выявило, что присутствие магнитного поля (73) это условие нарушает, ${{{\mathbf{v}}}_{{g{{r}_{{mi{{g}_{{3D}}}}}}}}} \cdot {\mathbf{k}} \ne 0$.

В частном случае горизонтальных возмущений (${\mathbf{k}} = ({{k}_{x}},{{k}_{y}},0)$) дисперсионное уравнение (72) принимает вид

и имеет решение в виде волн Альфвена, динамика которых определяется силой Лоренца и магнитогравитационных волн, динамика которых определяется силой плавучести и силой Лоренца

Знак “+” соответствует волнам, распространяющимся в направлении ${{{\mathbf{k}}}_{h}}$, а знак “–” – волнам, распространяющимся в направлении, противоположном ${{{\mathbf{k}}}_{h}}$. Волны Альфвена (76) представляют частный тип магнитных инерционно-гравитационных волн, распространяющихся в горизонтальной плоскости. Магнитогравитационные волны (77) представляют частный тип магнитострофических волн, распространяющихся по горизонтальной плоскости. В отсутствие магнитного поля (${{{\mathbf{B}}}_{0}} = 0$) их дисперсионное соотношение описывает гравитационные волны с частотой Б-рэнта–Вяйсяля ${{\omega }_{{gr}}} = \pm \sqrt { - {{N}^{2}}} $.

В частном случае вертикальных возмущений в системе (${\mathbf{k}} = (0,0,{{k}_{z}})$) дисперсионное уравнение (72) принимает вид

и имеет решение в виде двух магнитных инерционных волн, динамика которых определяется силой Лоренца и силой Кориолиса:

Знак “+” соответствует волнам, распространяющимся в направлении ${{k}_{z}}$, а знак “–” – волнам, распространяющимся в направлении, противоположном ${{k}_{z}}$. Данный тип волн явлется резонансными волнами в модели мелкой воды в горизонтальном магнитном поле (17), (18). Волны с частотой ${{\omega }_{{{{z}_{1}}}}}$ (79) представляют частный тип магнитных инерционно-гравитационных волн, распространяющихся только вдоль вертикальной компоненты волнового вектора. В отсутствие магнитного поля (${{{\mathbf{B}}}_{0}} = 0$) их дисперсионное соотношение (79) принимает вид $\omega = \pm {{f}_{0}}$. Волны с частотой ${{\omega }_{{{{z}_{2}}}}}$ (80) представляют частный тип магнитострофических волн, распространяющихся только вдоль вертикальной компоненты волнового вектора. В отсутствие магнитного поля (${{{\mathbf{B}}}_{0}} = 0$) их дисперсионное соотношение обращается в нуль.

В приближении нестандартной f-плоскости решением системы (67)–(70), линеаризованной на фоне стационара (71), является дисперсионное уравнение в следующем виде:

Решениями уравнения (81) являются дисперсионные соотношения, аналогичные полученным в приближении f-плоскости (73), (74), описывающие два типа волн: трехмерные инерционно-гравитационные волны и трехмерные магнитострофические волны. Дисперсионное соотношение для трехмерных магнитных инерционно-гравитационных волн в приближении Буссинеска на нестандартной   f-плоскости имеет следующий вид:

Дисперсионное соотношение для трехмерных магнитострофических волн на нестандартной $f$-плоскости имеет следующий вид:

В частном случае вертикальных возмущений в системе (${\mathbf{k}} = (0,0,{{k}_{z}})$) дисперсионное уравнение (81) принимает вид аналогичный дисперсионному уравнению на f-плоскости (78) и имеет решение в виде двух магнитных инерционных волн, динамика которых определяется силой Лоренца и силой Кориолиса (79), (80).

В частном случае горизонтальных возмущений в системе (${\mathbf{k}} = ({{k}_{x}},{{k}_{y}},0)$) дисперсионное уравнение (81) принимает вид

и имеет решение в виде двумерных магнитных инерционно-гравитационных волн с дисперсионным соотношением и двумерных магнитострофических волн с дисперсионным соотношением

Знак “+” соответствует волнам, распространяющимся в направлении ${{{\mathbf{k}}}_{h}}$, а знак “–” – волнам, распространяющимся в направлении, противоположном ${{{\mathbf{k}}}_{h}}$. Динамика волн определяется силами Лоренца, Кориолиса и плавучести. В отличие от стандартной f-плоскости, в силу наличия горизонтальной составляющей вектора Кориолиса ${{f}_{H}}$ в частном случае горизонтальных течений динамика волн остается прежней. Трехмерные магнитные инерционно-гравитационные волны (73) и трехмерные магнитострофические волны (74) переходят в свои двумерные аналоги. В отсутствие магнитного поля дисперсионное соотношение (85) переходит в $\omega = \pm \sqrt {f_{H}^{2}k_{y}^{2}{\text{/}}k_{h}^{2} - {{N}^{2}}} $, описывающее двумерные инерционно-гравитационные волны [119]. Двумерные магнитострофические волны не имеют аналога в динамике нейтральной жидкости. Отметим, что порядок величины горизонтальной составляющей силы Кориолиса ${{f}_{H}}$ влияет на динамику волн. Найденные отличия в дисперсионных кривых, связанные с горизонтальной компонентой ${{f}_{H}}$ в нестандартном приближении f-плоскости, существенно влияют на трехволновые взаимодействия.

Общий вид дисперсионных кривых для волн на стандартной f-плоскости при $\omega > 0$, $k = {{k}_{x}}$ представлен на рис. 4a, при $\omega > 0$, $k = {{k}_{z}}$ – на рис. 4б. Общий вид дисперсионных кривых для волн на нестандартной  f-плоскости при ω(k_x) > 0, ${{k}_{y}} = {\text{const}}$ представлен на рис. 4в, при $\omega ({{k}_{y}}) > 0$, ${{k}_{x}} = {\text{const}}$ – на рис. 4г.

3.1.2 Волны в астрофизической плазме с учетом сферичности. В приближении стандартной β-плоскости решением системы (67)–(70), линеаризованной на фоне стационара (71), является дисперсионное соотношение в следующем виде:

Рассмотрим распространение волн в плоскости (${{k}_{x}},{{k}_{y}}$) при условии ${{k}_{z}} \ll k$. Дисперсионное соотношение в данном приближении имеет вид

и описывает три типа волн. Первый тип волн – магнитогравитационные волны, аналогичные волнам на  f-плоскости (77).

Второй тип волн – волны магнито-Россби с дисперсионным соотношением [117]

которое, в случае отсутствия магнитного поля, переходит в дисперсионное соотношение для стандартной гидродинамической волны Россби [54]

Третий тип волн – волны магнито-Россби с дисперсионным соотношением

которое обращается в ноль в отсутствии магнитного поля в системе.

Динамика волн магнито-Россби определяется силой Кориолиса и силой Лоренца. Оба типа волн магнито-Россби (89), (91) при распространении строго по ${{k}_{y}}$ вырождаются в альфвеновские волны с дисперсионным соотношением

аналогичные волнам Альфвена на f-плоскости при $k = {{k}_{y}}$ (76).

Отметим, что в низкочастотном пределе уравнение (87) имеет решение в виде волны магнито-Россби, динамику которой определяют не только сила Кориолиса и Лоренца, но и сила плавучести:

Дисперсионое соотношение (93) переходит в дисперсионное соотношение для волны магнито-Россби в двумерных магнитогидродинамических течениях вращающейся плазмы на $\beta $-плоскости [54] при ${{k}_{z}} \ll k$:

Рассмотрим переход в дисперсионном соотношении (87) к случаю гидродинамики нейтральной вращающейся жидкости. В отсутствие магнитного поля (${{{\mathbf{B}}}_{0}} = 0$) уравнение (87) принимает вид

Заметим, что для решения в низкочастотном пределе можно получить выражение для частоты трехмерной гидродинамической волны Россби в приближении Буссинеска

которое переходит, при условии ${{k}_{z}} \ll k$, в стандартную гидродинамическую волну Россби (90). Динамика трехмерной волны Россби (96) определяется не только силой Кориолиса, но и силой плавучести.

В приближении нестандартной $\beta $-плоскости решением системы (67)–(70), линеаризованной на фоне стационара (71), является дисперсионное соотношение в следующем виде:

Рассмотрим распространение волн в плоскости (${{k}_{x}},{{k}_{y}}$) при условии ${{k}_{z}} \ll k$. Дисперсионное соотношение в данном приближении имеет вид

При $k = {{k}_{y}}$ уравнение (98) описывает два типа волн, аналогичных волнам на нестандартной f-плоскости: одномерные магнитные инерционно-гравитационные волны

и одномерные магнитострофические волны

Важное отличие, связанное с нестандартным приближением β-плоскости, которые мы можем получить аналитически – низкочастотный предел в уравнении (97), который дает новое выражение для волны магнито-Россби:

Выражение (101), так же как и выражение (93) описывает волны магнито-Россби, динамика которых определяется не только силами Кориолиса и Лоренца, но и силой плавучести, а при ${{k}_{z}} \ll k$ сводится к выражению аналогичному полученному в работах по исследованию магнитогидродинамических течений вращающейся плазмы на $\beta $-плоскости в двумерной магнитогидродина-мике [54].

Рассмотрим переход в дисперсионном соотношении (97) к случаю вращающейся нейтральной жидкости. В отсутствие магнитного поля (${{{\mathbf{B}}}_{0}} = 0$) уравнение (97) принимает вид

В низкочастотном пределе получаем выражение для частоты трехмерной гидродинамической волны Россби в приближении Буссинеска на нестандартной $\beta $-плоскости

которое переходит, при условии ${{k}_{z}} \ll k$, в стандартную гидродинамическую волну Россби (90).

Общий вид дисперсионных кривых волн на стандартной β-плоскости при $\omega > 0$, $k = {{k}_{x}}$ представлен на рис. 5a, для $k = {{k}_{y}}$ – на рис. 5б. Дисперсионные кривые низкочастотных волн магнито-Россби при ${\mathbf{k}} = ({{k}_{x}},1,1)$ представлены на рис. 5в для стандартной бета-плоскости и на рис. 5г для нестандартной.

3.1.3. Выводы. В разделе обсуждаются магнитогидродинамические волны в стратифицированной вращающейся плазме в поле силы тяжести в приближении Буссинеска (в устойчиво стратифицированном слое с линейным профилем плотности). Для плоских течений на  f-плоскости и на нестандартной f-плоскости получены дисперсионные уравнения и найдены решения, описывающие трехмерные магнитные инерционно-гравитационные волны (73), которые в отсутствие магнитного поля переходят в трехмерные инерционно-гравитационные волны в приближении Буссинеска в нейтральной жидкости [119], и трехмерные магнитострофические волны (74), не имеющие аналога в гидродинамике нейтральной жидкости. Найдено, что наличие магнитного поля нарушает условие перпендикулярности групповой скорости инерционно-гравитационных волн волновому вектору. В частном случае распространения трехмерных волн в горизонтальной плоскости (${\mathbf{k}} = ({{k}_{x}},{{k}_{y}})$) магнитые инерционно-гравитационные волны на f-плоскости превращаются в волны Альфвена (76), магнитострофические волны на f-плоскости превращаются в магнитогравитационные волны (77), магнитные инерционно-гравитационные волны на нестандартной f-плоскости превращаются в двумерные магнитные инерционно-гравитационные волны (85), а магнитострофические волны на нестандартной f-плоскости превращаются в двумерные магнитострофические волны (86). При распространении волн на f-плоскости и на нестандартной f-плоскости только вдоль вертикальной составляющей волнового вектора ($k = {{k}_{z}}$) магнитные инерционно гравитационные волны превращаются в магнитные волны с частотой ${{\omega }_{{z1}}}$ (79), а магнитострофические волны превращаются в волны с частотой ${{\omega }_{{z2}}}$ (80), динамика которых определяется только силой Лоренца и силой Кориолиса. Для сферических течений на β-плоскости и на нестандартнной β-плоскости также получены дисперсионные уравнения и найдены решения в виде магнитогравитационных волн (77), одномерных магнитных инерционно-гравитационных волн (99) и одномерных магнитострофических волн (100), аналогичных волнам в плоских течениях, волн магнито-Россби (89), которые в отсутствие магнитного поля превращаются в гидродинамические волны Россби (90), и волн магнито-Россби (91), исчезающих в отсутствие магнитного поля. Отметим, что в низкочастотном пределе найдены дисперсионные соотношения для трехмерных волн магнито-Россби на β‑плоскости (93) и трехмерных волн магнито-Россби на нестандартной $\beta $-плоскости (101), которые в приближении двумерных потоков ($kz \ll k$) описывают волны магнито-Россби (94), аналогичные полученным в работах по исследованию магнитогидродинамических течений вращающейся плазмы в приближении мелкой воды. Кроме того, в приближении вертикальных течений ($k = {{k}_{z}}$) дисперсионные соотношения как на $\beta $-плоскости, так и на нестандартной β-плоскости описывают магнитные волны, распространяющиеся вдоль вертикальной составляющей волнового вектора, аналогичные магнитным волнам на f‑плоскости и на нестандартной f-плоскости (79), (80).

3.2. Неупругое приближение для течений сжимаемой вращающейся стратифицированной плазмы

Как было отмечено в разделе 2.3, сжимаемость является принципиально важным свойством течений в плазменной астрофизике и характеризует большинство наблюдаемых объектов во Вселенной. Наряду со сжимаемостью, большой интерес представляет исследование влияния стратификации на волновые процессы в течениях астрофизической плазмы. Далее описываются течения вращающейся сжимаемой плазмы с устойчивым непрерывно стратифицированным профилем энтропии в неупругом приближении. Неупругое приближение является одним из приближений, используемых при исследовании течений с малым числом Маха, в котором характерный временной масштаб изучаемых течений астрофизической плазмы значительно превышает время распространения акустических волн. В неупругом приближении для стратифицированной плазмы элемент жидкости при движении по вертикали меняет свой объем вследствие изменения давления окружающей среды. Изучаются линейные волны в трехмерных течениях сжимаемой стратифицированной вращающейся плазмы в рамках системы магнитогидродинамических уравнений в неупругом приближении. Вывод системы магнитогидродинамических уравнений в неупругом приближении основан на методике, предложенной в [120]. В качестве исходной используется полная система магнитогидродинамических уравнений сжимаемой плазмы при наличии вращения, состоящая из уравнения Навье–Стокса, уравнения для энтропии, уравнения индукции для идеально проводящей плазмы, уравнения непрерывности, уравнения бездивергентности магнитного поля и уравнения состояния. Для удобства анализа производят переход от энтропии S к потенциальной температуре θ, используя их простую зависимость, заданную выражением $dS = {{c}_{p}}d\ln \theta $. В качестве исходного рассматривается состояние равновесия плазмы (u₀ = 0) в постоянном магнитном поле (${{{\mathbf{b}}}_{0}} = {\text{const}}$) при наличии стратификации ${{\rho }_{0}}(z)$. Возмущение исходного состояния равновесия ${\mathbf{u}} = {\mathbf{u}}{\kern 1pt} '$, ${\mathbf{b}} = {{{\mathbf{b}}}_{0}} + {\mathbf{b}}{\kern 1pt} '$, $p = {{p}_{0}} + p{\kern 1pt} '$, $\rho = {{\rho }_{0}} + \rho {\kern 1pt} '$, $\theta = {{\theta }_{0}} + \theta {\kern 1pt} '$ такое, что возмущение плотности полагается малым ($\rho {\kern 1pt} ' \ll {{\rho }_{0}}$). Кроме того, в уравнение Навье–Стокса вводится новая переменная $\bar {\omega } = p{\kern 1pt} '{\text{/}}{{\rho }_{0}}$ (“reduced pressure”) [120]. Пренебрегая всеми слагаемыми, пропорциональными $\bar {\omega }$, за исключением слагаемых, содержащих градиент $\bar {\omega }$, обеспечивается выполнение условия сохранения энергии в системе, а полученная система уравнений становится удобна для дальнейшего исследования, поскольку не включает в явном виде слагаемых, содержащих возмущение плотности. Система магнитогидродинамических уравнений в неупругом приближении для сжимаемой стратифицированной вращающейся плазмы имеет вид [88]

Ключевые отличия системы уравнений в неупругом приближении от уравнений в приближении Буссинеска (67)–(70) заключаются в уравнении энергии, записанном для потенциальной температуры, в уравнении непрерывности, включающем в себя исходный стратифицированный профиль плотности и в уравнении состояния, определяющем функцию плотности, как функцию не только давления, но и потенциальной температуры (энтропии). Таким образом, в неупругом приближении изменение давления и плотности жидкости связаны не только с силой плавучести, как в приближении Буссинеска, но и с изменением потенциальной температуры (энтропии).

Система уравнений (104)–(107) допускает аналитическое исследование для стратифицированного слоя плазмы с исходным устойчивым линейным профилем энтропии:

В этом случае уравнение состояния для невозмущенных величин определяет связь между плотностью и потенциальной температурой следующим образом:

Введем понятие частоты Брента–Вяйсяля в сжимаемых течениях стратифицированной астрофизической пламзы в следующем виде:

Учет сжимаемости в выражении (112) приводит к зависимости частоты Брента–Вяйсяля не только от плотности, но и от давления. Первое слагаемое в частоте Брента–Вяйсяля $N_{\theta }^{2}$ для сжимаемых течений в неупругом приближении с линейным профилем энтропии (112) имеет вид, аналогичный частоте Брента–Вяйсяля в приближении Буссинеска ${{N}^{2}} = - (g{\text{/}}{{\tilde {\rho }}_{0}})(\partial{ \bar {\rho }}{\text{/}}\partial z)$, где ${{\tilde {\rho }}_{0}}$ – постоянная фоновая плотность, а $\bar {\rho }$ – линейный профиль плотности, обеспечивающий устойчивую стратификацию. В случае сжимаемых течений в неупругом приближении предполагается стратификация исходного профиля плотности ${{\rho }_{0}}(z)$, обеспечивающая линейность и устойчивость профиля энтропии (${{\partial }_{z}}\ln {{\rho }_{0}} = {\text{const}}$). Таким образом для удобства дальнейшего анализа мы обозначим первое слагаемое в (112) в следующем виде:

Кроме того введем следующие переобозначения для потенциальной температуры и магнитного поля

Магнитогидродинамические уравнения в неупругом приближении (104)–(107) записаны для полной силы Кориолиса. Для дальнейшего исследования используем четыре различных приближения силы Кориолиса, описанные в разде-ле 3.1: приближение стандартной f-плоскости, приближение нестандартной f-плоскости, приближение стандартной β-плоскости, приближение нестандартной β-плоскости.

3.2.1. Волны в астрофизической плазме без учета сферичности. В приближении стандартной f‑плоскости решением системы (104)–(107), линеаризованной на фоне стационарного состояния покоящегося слоя плазмы с постоянным магнитным полем и линейным профилем энтропии (110), является дисперсионное соотношение

При условии когда в состоянии покоя магнитное поле направлено вдоль вертикальной координаты z (${{{\mathbf{B}}}_{0}} = (0,0,{{B}_{{z0}}})$), дисперсионное уравнение (114) принимает вид

и его решение включает два типа волн: трехмерные сжимаемые магнитные инерционно-гравитационные волны и трехмерные сжимаемые магнитострофические волны. Дисперсионное уравнение для трехмерных сжимаемых магнитных инерционно-гравитационных волн в неупругом приближении имеет вид

Выражение (116) имеет вид аналогичный дисперсионному соотношению для трехмерных магнитных инерционно-гравитационных волн в приближении Буссинеска (73). Однако принципиальным отличием является присутствие в (116) частоты Брента–Вяйсяля для сжимаемых течений $N_{\theta }^{2}$, которая зависит как от исходного профиля плотности, так и от исходного профиля давления. Таким образом для волн, описываемых дисперсионным соотношением (116) восстанавливающими механизмами являются не только вращение, магнитное поле и гравитация, но и сжимаемость. В частном случае отсутствия вертикального магнитного поля (${{B}_{{z0}}} = 0$) выражение (116) переходит в дисперсионное соотношение для трехмерных инерционно-гравитационных волн в нейтральной жидкости

Дисперсионное соотношение для трехмерных магнитострофических волн в неупругом приближении имеет вид

Также как и в случае трехмерных магнитных инерционно-гравитационных волн, трехмерные магнитострофические волны в неупругом приближении описываются дисперсионным уравнением, аналогичным дисперсионному уравнению в приближении Буссинеска (74), с учетом эффектов сжимаемости в частоте Брента–Вяйсяля $N_{\theta }^{2}$.

В случае двумерных возмущений, направленных только в горизонтальном направлении (${{k}_{z}} = 0$), дисперсионное уравнение (114) принимает вид

и допускает решение в виде двух типов волн. Первый тип – волны Альфвена с дисперсионным соотношением

Второй тип – двумерные магнитогравитационные волны в неупругом приближении с дисперсионным соотношением

Выражение (121) в отсутствие магнитного поля описывает сжимаемые гравитационные волны в нейтральной жидкости в неупругом приближении с частотой ${{\omega }_{{gr}}} = \pm \sqrt { - N_{\theta }^{2}} $.

В противоположном случае одномерных вертикальных возмущений ($k = {{k}_{z}}$) дисперсионное уравнение (114) записывается в виде

и описывает два типа магнитных инерционной гравитационных волн, аналогичных волнам в приближении Буссинеска (79), (80).

Общий вид дисперсионных кривых сжимаемых волн на стандартной f-плоскости при $\omega > 0$, $k = {{k}_{x}}$ представлен на рис. 6а для магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн и на рис. 6б для волн Альфвена и магнитогравитационных волн.

В приближении нестандартной f-плоскости решением системы (104)–(107), линеаризованной на фоне стационарного состояния покоящегося слоя плазмы с постоянным магнитным полем и линейным профилем энтропии (110), является дисперсионное соотношение

Проанализируем решение полученного дисперсионного уравнения в частных случаях. Рассмотрим возмущение, направленное вдоль тороидальной компоненты магнитного поля ${{B}_{{{{x}_{0}}}}}$. Тогда дисперсионное уравнение (123) принимает вид

В неупругом приближении слагаемое с массовой силой в уравнении на z-компоненту скорости содержит потенциальную температуру, зависящую как от плотности, так и от давления. Уравнение непрерывности в неупругом приближении включает в себя исходный профиль плотности, в то время как в приближении Буссинеска является условием бездивергентности поля скоростей. Таким образом в неупругом приближении дисперсионное уравнение волн (123) на нестандартной f‑плоскости имеет значительное отличие в выражениях при первой и третьей степени частоты, что в частном случае распространения волн вдоль тороидального магнитного поля приводит к появлению новых типов сжимаемых магнитных инерционно-гравитационных волн.

Соотношение (123) описывает три типа волн. Первый тип волн – одномерные волны Альфвена с дисперсионным соотношением

Второй тип линейных волн – сжимаемые магнитные инерционно-гравитационные волны с дисперсионным соотношением в следующем виде:

Выражение (126) значительно отличается от дисперсионного соотношения (116) для сжимаемых магнитных инерционно-гравитационных волн, полученных в предыдущем разделе, а также и от дисперсионного соотношения для магнитных инерционно-гравитационных волн в приближении Буссинеска (82). Однако восстанавливающие механизмы для волн, описываемых выражениями (126) и (116), одинаковы. Тем не менее выражение (126) описывает физические эффекты, сопровождающие сжимаемые магнитные инерционно-гравитационные волны в неупругом приближении с новым законом дисперсии, восстанавливающими механизмами которых являются вращение, гравитация, магнитное поле и сжимаемость. Отметим, что исходный профиль плотности связан непосредственно с горизонтальной составляющей силы Кориолиса. Такая связь обсуловлена учетом эффектов сжимаемости и горизонтальной компоненты вектора Кориолиса, а также распространением волн вдоль тороидального магнитного поля. В предположении отстутствия стратификации плотности (${{N}^{2}} = 0$) вклад силы инерции в дисперсионное соотношение (126) исчезает и оно описывает одномерные сжимаемые магнитогравитационные волны в неупругом приближении с частотой:

где .

В частном случае отсутствия магнитного поля (${{B}_{{{{x}_{0}}}}} = 0$) дисперсионное соотношение (126) представимо в виде

и описывает одномерные сжимаемые инерционно-гравитационные волны в нейтральной жидкости. Дисперсионное соотношение (128) в предположении отстутствия стратификации плотности (${{N}^{2}} = 0$) описывает сжимаемые гравитационные волны в неупругом приближении с частотой $\omega = \sqrt { - N_{\theta }^{{'2}}} $.

Третий тип волн – сжимаемые магнитные инерционно-гравитационные волны с дисперсионным соотношением

аналогичным полученному выше (126) с точностью до знака перед корнем. В предположении отстутствия стратификации плотности (${{N}^{2}} = 0$) данный тип волн переходит в сжимаемые магнитогравитационные волны в неупругом приближении с частотой

В частном случае отсутствия магнитного поля (${{B}_{{{{x}_{0}}}}} = 0$) выражение (129) описывает сжимаемые инерционно-гравитационные волны в нейтральной жидкости с частотой

В случае полного отсутствия стратификации ($N_{\theta }^{2} = 0$, ${{N}^{2}} = 0$) оба типа волн (126), (129) переходят в одномерные волны Альфвена с частотой ${{\omega }_{{{{A}_{x}}}}} = \pm {{B}_{{{{x}_{0}}}}}{{k}_{x}}$.

В случае полоидального магнитного поля в состоянии покоя и одномерного возмущения, направленного вдоль магнитного поля, дисперсионное уравнение (123) принимает вид

и описывает два типа волн: одномерные магнитные инерционно-гравитационные волны и одномерные магнитострофические волны. Дисперсионное соотношение для одномерных магнитных инерционно-гравитационных волн в неупругом приближении имеет следующий вид:

Такой тип волн, также как и в случае трерхмерных магнитных инерционно-гравитационных волн на стандартной f-плоскости (116), является сжимаемым одномерным аналогом одномерных магнитных инерционно-гравитационных волн в приближении Буссинеска (82). В частном случае отсутствия магнитного поля (${{B}_{{{{y}_{0}}}}} = 0$) выражение (133) переходит в дисперсионное соотношение для одномерных инерционно-гравитационных волн в нейтральной жидкости

Дисперсионное соотношение для одномерных магнитострофических волн имеет вид

аналогичный дисперсионному соотношению для одномерных магнитострофических волн в приближении Буссинеска (83), с учетом эффектов сжимаемости, представленных частотой Брента–Вяйсяля $N_{\theta }^{2}$.

Общий вид дисперсионных кривых сжимаемых волн на нестандартной f-плоскости представлен на рис. 7a при $\omega > 0$, $k = {{k}_{x}}$ и на рис. 7б при $\omega > 0$, $k = {{k}_{y}}$.

3.2.2. Волны в астрофизической плазме с учетом сферичности. В приближении стандартной $\beta $-плоскости решением системы (104)–(107), линеаризованной на фоне стационарного состояния покоящегося слоя плазмы с постоянным магнитным полем и линейным профилем энтропии (110), является дисперсионное соотношение

В случае двумерных возмущений, направленных только в горизонтальном направлении (${{k}_{z}} = 0$), дисперсионное уравнение (136) принимает вид

Выражение (137) описывает три типа волн. Первый тип – сжимаемые магнитогравитационные волны в неупругом приближении, аналогичные волнам на f-плоскости (121). Второй тип – волны магнито-Россби, которые в отсутствие магнитного поля переходят в стандартные гидродинамические волны Россби. Эти волны аналогичны волнам магнито-Россби (89) в приближении Буссинеска. Третий тип – волны магнито-Россби, не имеющие аналога в динамике нейтральной жидкости. Эти волны аналогичны волнам магнито-Россби (91) в приближении Буссинеска.

В случае одномерных возмущений, направленных только вдоль полоидальной составляющей магнитного поля, дисперсионное уравнение (136) принимает вид

Выражение (138) описывает два типа волн: одномерные волны Альфвена с дисперсионным соотношением

и одномерные сжимаемые магнитогравитационные волны в неупругом приближении с дисперсионным соотношением

В низкочастотном пределе уравнение (136) описывает сжимаемую трехмерную волну магнито-Россби в неупругом приближении с дисперсионным соотношением в следующем виде:

Выражение (141) учитывает эффекты сжимаемости в низкочастотных трехмерных волнах Россби, вследствие зависимости частоты Брента–Вяйсяля для сжимаемых течений $N_{\theta }^{2}$ не только от исходного профиля плотности, но и от исходного профиля давления. Дисперсионное соотноше-ние (141) имеет вид, аналогичный дисперсионному соотношению для трехмерных низкочастотных волн магнито-Россби в приближении Буссинеска (93). Однако в результате учета эффектов сжимаемости в неупругом приближении выражение (141) имеет дополнительное слагаемое в знаменателе, связанное со стратификацией плотности, которое исчезает, если в состоянии покоя магнитное поле направлено вдоль вертикали.

Общий вид дисперсионных кривых сжимаемых волн на стандартной β-плоскости представлен на рис. 8a при $\omega > 0$, $k = {{k}_{y}}$ для сжимаемой магнитогравитационной волны и волны Альфвена, на рис. 8б–г для сжимаемой низкочастотной волны магнито-Россби при ${\mathbf{k}} = ({{k}_{x}},1,1)$ (б), ${\mathbf{k}} = (1,{{k}_{y}},1)$ (в), ${\mathbf{k}} = (1,1,{{k}_{z}})$ (г).

В приближении нестандартной β-плоскости решением системы (104)–(107), линеаризованной на фоне стационарного состояния покоящегося слоя плазмы с постоянным магнитным полем и линейным профилем энтропии (110), является дисперсионное соотношение

Проанализируем решение полученного дисперсионного уравнения в частных случаях. Рассмотрим исходное состояние равновесия с тороидальным магнитным полем. Для двумерных возмущений, направленных только в горизонтальном направлении (${{k}_{z}} = 0$), таких что ${{k}_{y}} \ll {{k}_{x}}$ и слагаемые $k_{y}^{2}{\text{/}}k_{h}^{2} \ll 1$, $k_{x}^{2}{\text{/}}k_{h}^{2} \sim 1$, дисперсионное уравнение (142) принимает вид

и допускает решение в виде четырех типов волн. Первый и второй тип – волны магнито-Россби, аналогичные волнам магнито-Россби на стандартной β-плоскости (и соответственно волнам магнито-Россби в приближении Буссинеска (89), (91)), с учетом однокомпонентности магнитного поля (${\mathbf{B}} = ({{B}_{{{{x}_{0}}}}},0,0)$). Третий тип – сжимаемые магнитные инерционно-гравитационные волны с дисперсионным соотношением в следующем виде:

Дисперсионное соотношение (144) аналогично полученному при изучении волн на нестандартной  f-плоскости (126).

Четвертый тип – сжимаемые магнитные инерционно-гравитационные волны с дисперсионным соотношением в следующем виде:

Дисперсионное соотношение (145) аналогично полученному при изучении волн на нестандартной  f-плоскости (129).

В случае, когда в состоянии покоя магнитное поле полоидально и одномерные возмущения направлены вдоль магнитного поля, дисперсионное уравнение (142) записывается в виде

В неупругом приближении слагаемое с массовой силой в уравнении на z-компоненту скорости содержит потенциальную температуру, зависящую как от плотности, так и от давления. Уравнение непрерывности в неупругом приближении включает в себя исходный профиль плотности, в то время как в приближении Буссинеска является условием бездивергентности поля скоростей. Таким образом в неупругом приближении дисперсионное уравнение волн на нестандартной β‑плоскости (142) имеет значительное отличие в выражениях при первой, второй и третьей степени частоты, что в частном случае распространения волн вдоль полоидального магнитного поля (146) приводит к появлению новых типов сжимаемых магнитных инерционно-гравитационных и сжимаемых магнитострофических волн.

Дисперсионное соотношение для сжимаемых магнитных инерционно-гравитационных волн имеет следующий вид:

Выражение (147) имеет вид, аналогичный дисперсионному соотношению для сжимаемых магнитных инерционно-гравитационных волн, полученных в предыдущих разделах. Однако дисперсионное соотношение (147) имеет дополнительные слагаемые, включающие в себя параметр β, характерный для волн магнито-Россби, которые непосредственно связаны с градиентом профиля плотности и горизонтальной составляющей силы Кориолиса. Такая связь обусловлена учетом эффектов сжимаемости и горизонтальной компоненты вектора Кориолиса, а также распространением волн вдоль полоидального магнитного поля. В предположении отстутствия стратификации плотности (${{N}^{2}} = 0$) дисперсионное соотношение (147) описывает одномерные магнитные инерционно-гравитационные волны, аналогичные волнам на нестандартной f-плоскости (133). В частном случае отсутствия магнитного поля (${{B}_{{{{y}_{0}}}}} = 0$) дисперсионное соотношение (147) описывает новый тип сжимаемых инерционно-гравитационных волны в нейтральной жидкости с частотой

Выражение (148) в предположении отсутствия стратификации плотности (${{N}^{2}} = 0$) переходит в выражение (134), которое также описывает инерционно-гравитационные волны в нейтральной жидкости.

Дисперсионное соотношение для сжимаемых магнитострофических волн, являющееся решением дисперсионного уравнения (146) имеет следующий вид:

Волны, описываемые дисперсионным соотношением (149), не имеют аналога в динамике нейтральной жидкости. Выражение (149) имеет вид аналогичный дисперсионному соотношению для сжимаемых магнитострофических волн, полученных в предыдущих разделах. Однако дисперсионное соотношение (149) включает в себя параметр β, характерный для волн магнито-Россби, который как и в случае со сжимаемыми магнитными инерционно-гравитационными волнами с частотой (147), неразрывно связан с градиентом профиля плотности и горизонтальной составляющей силы Кориолиса. В предположении отстутствия стратификации плотности (${{N}^{2}} = 0$) дисперсионное соотношение (149) описывает одномерные сжимаемые магнитострофические волны, аналогичные волнам на нестандартной f‑плоскости (135). В случае полного отсутствия стратификации ($N_{\theta }^{2} = 0$, ${{N}^{2}} = 0$) оба типа волн (147), (149) переходят в одномерные волны Альфвена с частотой ${{\omega }_{{{{A}_{y}}}}} = \pm {{B}_{{{{y}_{0}}}}}{{k}_{y}}$.

В низкочастотном пределе дисперсионное уравнение (142) допускает решение в виде сжимаемой трехмерной волны магнито-Россби в неупругом приближении с частотой

Выражение (150) учитывает эффекты сжимаемости в низкочастотных трехмерных волнах Россби, вследствие зависимости частоты Брента–Вяйсяля для сжимаемых течений $N_{\theta }^{2}$ не только от исходного профиля плотности, но и от исходного профиля давления. Дисперсионное соотношение (150) имеет вид, аналогичный дисперсионному соотношению для трехмерных низкочастотных волн магнито-Россби в приближении Буссинеска на нестандартной β-плоскости (101). Кроме того в результате учета эффектов сжимаемости в неупругом приближении выражение (150) имеет дополнительное слагаемое в знаменателе, связанное со стратификацией плотности, которое, однако, не исчезает при отсутствии горизонтальных компонент магнитного поля, как в случае стандартного приближения β-плоскости.

Общий вид дисперсионных кривых сжимаемых волн на нестандартной β-плоскости представлен на рис. 9a при $\omega > 0$, $k = {{k}_{x}}$, на рис. 9б при $\omega > 0$, $k = {{k}_{y}}$, на рис. 9в при $\omega > 0$ ${\mathbf{k}} = ({{k}_{x}},1,1)$, на рис. 9г при $\omega > 0$ ${\mathbf{k}} = (1,{{k}_{y}},1)$, на рис. 9д при $\omega > 0$ ${\mathbf{k}} = (1,1,{{k}_{z}})$.

3.2.3. Выводы. Приведен обзор системы магнитогидродинамических уравнений сжимаемой вращающейся плазмы с устойчивой стратификацией в поле силы тяжести в неупругом приближении. Рассмотрены магнитогидродинамические течения в слое сжимаемой устойчиво стратифицированной вращающейся плазмы с линейным профилем энтропии в неупругом приближении. Приведена теория линейных волн в сжимаемых течениях на стандартной и нестандартной  f-плоскостях, получены дисперсионные уравнения и найдены решения, описывающие различные типы волн. В приближении f-плоскости найдены дисперсионные соотношения, описывающие следующие типы волн: сжимаемые трехмерные магнитные инерционно-гравитационные волны (116), которые в отсутствие магнитного поля переходят в сжимаемые трехмерные инерционно-гравитационные волны в нейтральной жидкости в неупругом приближении (117); трехмерные магнитострофические волны (118), не имеющие аналога в гидродинамике нейтральной жидкости; двумерные волны Альфвена (120); двумерные сжимаемые магнитогравитационные волны (121); вертикальные магнитные волны, аналогичные найденным в приближении Буссинеска (79), (80). На нестандартной f-плоскости найдены дисперсионные соотношения, описывающие следующие типы волн: одномерные волны Альфвена (125); одномерные сжимаемые магнитные инерционно-гравитационные волны с новыми законами дисперсии (126), (129), которые при равенстве нулю горизонтальной компоненты вектора Кориолиса переходят в одномерные сжимаемые магнитогравитационные волны в (127), (130), а в отсутствие магнитного поля переходят в сжимаемые инерционно-гравитационные волны с новыми законами дисперсии (128), (131); одномерные сжимаемые магнитные инерционно-гравитационные (133) и магнитострофические волны (135), аналогичные найденным волнам в приближении Буссинеска (99), (100), с точностью до слагаемых с частотой Брента–Вяйсяля для сжимаемых течений. Эффекты сжимаемости в найденных типах волн представлены слагаемыми с частотой Брента–Вяйсяля $N_{\theta }^{2}$ для сжимаемых стратифицированных течений, зависящей как от исходного профиля плотности, так и от исходного профиля давления. Для сферических течений в приближении стандартной и нестандартной β-плоскостях также развита теория линейных волн и получены дисперсионные уравнения. В приближении стандартной β-плоскости получены дисперсионные соотношения, описывающие следующие типы волн: двумерные сжимаемые магнитогравитационные волны (121); волны магнито-Россби (89), (91), аналогичные волнам в приближении Буссинеска; одномерные волны Альфвена (139); низкочастотные сжимаемые трехмерные волны магнито-Россби (141). В приближении нестандартной β-плоскости получены дисперсионные соотношения, описывающие следующие типы волн: волны магнито-Россби, аналогичные волнам на β-плоскости; двумерные сжимаемые магнитные инерционно-гравитационные волны с новыми законами дисперсии (144), (145), аналогичные волнам на нестандартной f-плоскости; одномерные сжимаемые магнитные инерционно-гравитационные (147) и магнитострофические (149) волны с новыми законами дисперсии, включающими слагаемые с параметром β; низкочастотные сжимаемые трехмерные волны магнито-Россби (150). Эффекты сжимаемости в найденных типах волн представлены слагаемыми с частотой Брента–Вяйсяля $N_{\theta }^{2}$ для сжимаемых стратифицированных течений, зависящей как от исходного профиля плотности, так и от исходного профиля давления.

4.1. Нелинейные взаимодействия волн в двумерных вращающихся течениях

4.1.1. Приближение однослойной мелкой воды для несжимаемой нестратифицированной вращающейся плазмы. Проанализируем дисперсионные соотношения магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн в мелкой воде на стандартной f-плоскости. Для волн во внешнем вертикальном магнитном поле, как и для волн в горизонтальном магнитном поле условие синхронизма выполняется для следующих конфигураций трех волн:

• две магнитные инерционно-гравитационные волны и магнитострофическая волна в мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 10a) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 10б);

• две магнитострофические волны и магнитная инерционно-гравитационная волна в мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 10в) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 10г).

Таким образом, при взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн и магнитострофических волн в мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на магнитострофическую и магнитную инерционно-гравитационную волну;

• распад магнитострофической волны на магнитную инерционно-гравитационную и магнитострофическую волны.

При взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн и магнитострофических волн в мелкой воде в горизонтальном магнитном поле возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на магнитострофическую и магнитную инерционно-гравитационную волну;

• распад магнитострофической волны на магнитную инерционно-гравитационную и магнитострофическую волны.

Проанализируем дисперсионные соотношения магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби в мелкой воде на стандартной β-плоскости. Для волн во внешнем вертикальном магнитном поле, как и для волн в горизонтальном магнитном поле условие синхронизма выполняется для следующих конфигураций трех волн:

• три волны магнито-Россби в мелкой воде во   внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 11а) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 11б);

• две волны магнито-Россби и магнитная инерционно-гравитационная волна в мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 11в) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 11г);

• две магнитные инерционно-гравитационные волны и волна магнито-Россби в мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 11д) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 11е).

Важно отметить, что в силу различия в динамике магнитных инерционно-гравитационных волн в мелкой воде на β-плоскости и магнитных инерционно-гравитационных волн в мелкой воде на f-плоскости, в случае β-плоскости условие синхронизма не выполняется для трех магнитных инерционно-гравитационных волн [113].

Таким образом, при взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби в мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле возможно развитие возникновений следующих неустойчивостей:

• распад волны магнито-Россби на две волны магнито-Россби или магнитной инерционно-гравитационную волну и волну магнито-Россби;

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на волну магнито-Россби и магнитную инерционно-гравитационную волну.

При взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби в мелкой воде в горизонтальном магнитном поле возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад волны магнито-Россби на две волны магнито-Россби или магнитную инерционно-гравитационную волну и волну магнито-Россби;

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на волну магнито-Россби и магнитную инерционно-гравитационной волну.

4.1.2. Приближение двуслойной мелкой воды для несжимаемой стратифицированной вращающейся плазмы. Проанализируем дисперсионные соотношения магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби с учетом эффектов стратификации в двуслойной мелкой воде на стандартной β-плоскости. Для волн во внешнем вертикальном магнитном поле, как и для волн в горизонтальном магнитном поле условие синхронизма выполняется для следующих конфигураций трех волн:

• три волны магнито-Россби в двуслойной мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 12а) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 12б);

• две волны магнито-Россби и магнитная инерционно-гравитационная волна в двуслойной мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 12в) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 12г);

• две магнитные инерционно-гравитационные волны и волна магнито-Россби в двуслойной мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 12д) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 12е).

Таким образом, при взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби в двуслойной мелкой воде во внешнем вертикальном магнитном поле возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад волны магнито-Россби на две волны магнито-Россби или на магнитную инерционно-гравитационную волну и волну магнито-Россби;

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на волну магнито-Россби и магнитную инерционно-гравитационную волну.

При взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби в мелкой воде в горизонтальном магнитном поле возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад волны магнито-Россби на две волны магнито-Россби или на магнитную инерционно-гравитационную волну и волну магнито-Россби;

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на волну магнито-Россби и магнитную инерционно-гравитационную волну.

4.1.3. Приближение однослойной мелкой воды для нестратифицированной вращающейся плазмы с учетом крупномасштабной сжимаемости. Проанализируем дисперсионные соотношения магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости на стандартной f‑плоскости. Для волн во внешнем вертикальном магнитном поле, как и для волн в горизонтальном магнитном поле условие синхронизма выполняется для следующих конфигураций трех волн:

• три магнитные инерционно-гравитационные волны в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости во внешнем вертикальном магнитном поле и в горизонтальном магнитном поле;

• две магнитные инерционно-гравитационные волны и магнитострофическая волна в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 13a) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 13б);

• две магнитострофические волны и магнитная инерционно-гравитационная волна в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 13в) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 13г).

Таким образом, при взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн и магнитострофических волн в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости во внешнем вертикальном магнитном поле возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на магнитострофическую и магнитную инерционно-гравитационную волны;

• распад магнитострофической волны на магнитную инерционно-гравитационную и магнитострофическую волны.

При взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн и магнитострофических волн в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости в горизонтальном магнитном поле возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на магнитострофическую и магнитную инерционно-гравитационную волны;

• распад магнитострофической волны на магнитную инерционно-гравитационную и магнитострофическую волны.

Проанализируем дисперсионные соотношения магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости на стандартной β-плоскости. Для волн во внешнем вертикальном магнитном поле, как и для волн в горизонтальном магнитном поле условие синхронизма выполняется для следующих конфигураций трех волн:

• три волны магнито-Россби в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 14а) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 14б);

• две волны магнито-Россби и магнитная инерционно-гравитационная волна в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 14в) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 14г);

• две магнитные инерционно-гравитационные волны и волна магнито-Россби в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости во внешнем вертикальном магнитном поле (рис. 14д) и в горизонтальном магнитном поле (рис. 14е).

Важно отметить, что в силу различия в динамике магнитных инерционно-гравитационных волн в мелкой воде на β-плоскости и магнитных инерционно-гравитационных волн в мелкой воде на f-плоскости, в случае β-плоскости условие синхронизма не выполняется для трех магнитных инерционно-гравитационных волн [113].

Таким образом, при взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости во внешнем вертикальном магнитном поле возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад волны магнито-Россби на две волны магнито-Россби или на магнитную инерционно-гравитационную волну и волну магнито-Россби;

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на волну магнито-Россби и магнитную инерционно-гравитационную волну.

При взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби в мелкой воде с учетом крупномасштабной сжимаемости в горизонтальном магнитном поле возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад волны магнито-Россби на две волны магнито-Россби или на магнитную инерционно-гравитационную волну и волну магнито-Россби;

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на волну магнито-Россби и магнитную инерционно-гравитационную волну.

4.2. Нелинейные взаимодействия волн в трехмерных вращающихся течениях

4.2.1. Приближение Буссинеска для несжимаемой стратифицированной вращающейся плазмы. Проанализируем дисперсионные соотношения волн в приближении Буссинеска на стандартной f-плоскости. Для найденных в разделе 3.1 волн во вращающейся стратифицированной плазме условие синхронизма выполняется для следующих конфигураций трех волн:

• две магнитогравитационные волны в приближении Буссинеска и волна Альфвена (рис. 15а);

• две вертикальные магнитные инерционные волны с частотами ${{\omega }_{{z1}}}$ и вертикальная магнитная инерционная волна с частотой ${{\omega }_{{z2}}}$ (рис. 15б);

• три вертикальные магнитные инерционные волны с частотами ${{\omega }_{{z2}}}$ (рис. 15в).

Таким образом, при взаимодействии магнитогравитационных волн и волн Альфвена в стратифицированных течениях вращающейся плазмы в приближении Буссинеска на стандартной  f-плоскости возможно возникновение следующей неустойчивости: распад магнитогравитационной волны на волну Альфвена и магнитогравитационную волну.

При взаимодействии вертикальных магнитных инерционных волн в стратифицированных течениях вращающейся плазмы в приближении Буссинеска на стандартной f-плоскости возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад магнитной инерционной волны на магнитную инерционную волну и магнитную инерционную волну;

• распад магнитной инерционной волны на две магнитные инерционные волны.

Проанализируем дисперсионные соотношения волн в приближении Буссинеска на нестандартной  f-плоскости. Для найденных в разделе 3.1 волн во вращающейся стратифицированной плазме условие синхронизма выполняется для следующих конфигураций трех волн:

• две магнитострофические волны и магнитная инерционно-гравитационная волна при малом ${{f}_{H}}$ (рис. 16а);

• две магнитострофические волны и магнитная инерционно-гравитационная волна при большом ${{f}_{H}}$ (рис. 16б);

• две магнитные инерционно-гравитационные волны и магнитострофическая волна при большом ${{f}_{H}}$ (рис. 16в).

Таким образом, при взаимодействии магнитогравитационных и магнитострофических волн в стратифицированных течениях вращающейся плазмы в приближении Буссинеска на нестандартной f-плоскости при малом ${{f}_{H}}$ возможно возникновение следующей неустойчивости: распад магнитной инерционно-гравитационной волны на две магнитострофические волны.

При взаимодействии магнитогравитационных и магнитострофических волн в стратифицированных течениях вращающейся плазмы в приближении Буссинеска на нестандартной f-плоскости при большом ${{f}_{H}}$ возможно возникновение следующей неустойчивости: распад магнитной инерционно-гравитационной волны на две магнитострофические волны или на магнитострофическую и магнитную инерционно-гравитационную волны.

Проанализируем дисперсионные соотношения волн в приближении Буссинеска на стандартной и нестандартной β-плоскости. Для найденных в разделе 3.1 новых типов волн во вращающейся стратифицированной плазме условие синхронизма выполняется для следующих конфигураций трех волн:

• три волны магнито-Россби на стандартной $\beta $-плоскости (рис. 17а);

• две магнитогравитационные волны и волна магнито-Россби на стандартной β-плоскости (рис. 17б);

• две волны магнито-Россби и магнитогравитационная волна на стандартной β-плоскости (рис. 17в);

• три низкочастотные волны магнито-Россби на стандартной β-плоскости (рис. 17г) и на нестандартной β-плоскости (рис. 17д).

Таким образом, при взаимодействии магнитогравитационных волн и волн магнито-Россби в стратифицированных течениях вращающейся плазмы в приближении Буссинеска на стандартной β-плоскости возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад волны магнито-Россби на две волны магнито-Россби или магнитогравитационную волну и волну магнито-Россби;

• распад магнитогравитационной волны на волну магнито-Россби и магнитогравитационную волну;

• распад низкочастотной волны магнито-Россби на две низкочастотные волны магнито-Россби.

При взаимодействии низкочастотных волн магнито-Россби в стратифицированных течениях вращающейся плазмы в приближении Буссинеска на нестандартной β-плоскости возможно возникновение следующей неустойчивости: распад низкочастотной волны магнито-Россби на две низкочастотные волны магнито-Россби.

4.2.2. Неупругое приближение для сжимаемой стратифицированной вращающейся плазмы. Проанализируем дисперсионные соотношения волн в неупругом приближении на стандартной f-плоскости. Для найденных в разделе 3.2 волн в сжимаемой вращающейся стратифицированной плазме условие синхронизма выполняется для следующих конфигураций трех волн:

• две магнитогравитационные волны в неупругом приближении и волна Альфвена (рис. 18а);

• две магнитострофические и магнитная инерционно-гравитационная волны в вертикальном магнитном поле (рис. 18б, г, д);

• две магнитные инерционно-гравитационные и магнитострофическая волны в вертикальном магнитном поле (рис. 18в);

• три магнитострофические волны в вертикальном магнитном поле (рис. 18е).

Таким образом при взаимодействии магнитогравитационных волн и волн Альфвена в стратифицированных течениях сжимаемой вращающейся плазмы в неупругом приближении на стандартной f-плоскости возможно возникновение следующей неустойчивости: распад или усиление магнитогравитационной волны при участии волны Альфвена и магнитогравитационной волны.

При взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн в вертикальном магнитном поле в стратифицированных течениях сжимаемой вращающейся плазмы в неупругом приближении на стандартной f‑плоскости возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад магнитострофической волны на магнитную инерционно-гравитационную и магнитострофическую волны, или две магнитные инерционно-гравитационные волны, или магнитнострофическую и магнитную инерционно-гравитационную волны, или две магнитострофические волны;

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на две магнитострофические волны.

Проанализируем дисперсионные соотношения волн в неупругом приближении на нестандартной f-плоскости. Для магнитных инерционно-гравитационных волн с принципиально новым дисперсионным соотношением и волн Альфвена в сжимаемой вращающейся стратифицированной плазме условие синхронизма выполняется для следующих конфигураций трех волн:

• две магнитные инерционно-гравитационные волны и волна Альфвена (рис. 19а);

• три магнитные инерционно-гравитационные волны (рис. 19б).

Таким образом, при взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн с принципиально новым дисперсионным соотношением и волн Альфвена в стратифицированных течениях сжимаемой вращающейся плазмы в неупругом приближении на нестандартной f‑плоскости возможно возникновение следующей неустойчивости: распад магнитной инерционно-гравитационной волны на волну Альфвена и магнитную инерционно-гравитационную волну или на две магнитные инерционно-гравитационные волны.

Проанализируем дисперсионные соотношения волн в приближении Буссинеска на стандартной и нестандартной β-плоскости. Для найденных в разделе 3.2 новых типов волн в сжимаемой вращающейся стратифицированной плазме условие синхронизма выполняется для следующих конфигураций трех волн:

• две магнитные инерционно-гравитационные волны и волна магнито-Россби на нестандартной β-плоскости (рис. 20a, б);

• две волны магнито-Россби и магнитная инерционно-гравитационная волна на нестандартной β-плоскости (рис. 20в, г);

• три низкочастотные волны магнито-Россби на стандартной β-плоскости (рис. 20д) и на нестандартной β-плоскости (рис. 20е);

• две магнитные инерционно-гравитационные и магнитострофическая волны с параметром β на нестандартной β-плоскости (рис. 20ж).

Таким образом, при взаимодействии трех низкочастотных волн магнито-Россби в стратифицированных течениях сжимаемой вращающейся плазмы в неупругом приближении на стандартной β-плоскости возможно возникновение следующей неустойчивости: распад низкочастотной волны магнито-Россби на две низкочастотные волны магнито-Россби.

При взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных волн и волн магнито-Россби в стратифицированных течениях сжимаемой вращающейся плазмы в неупругом приближении на нестандартной β-плоскости возможно возникновение следующих неустойчивостей:

• распад магнитной инерционно-гравитационной волны на магнитную инерционно-гравитационную волну и волну магнито-Россби или две волны магнито-Россби;

• распад волны магнито-Россби на магнитную инерционно-гравитационную волну и волну магнито-Россби или две магнитные инерционно-гравитационные волны;

• распад низкочастотной волны магнито-Россби на две низкочастотные волны магнито-Россби.

При взаимодействии магнитных инерционно-гравитационных и магнитострофических волн с параметром β в стратифицированных течениях сжимаемой вращающейся плазмы в неупругом приближении на нестандартной β-плоскости возможно возникновение следующей неустойчивости: распад магнитной инерционно-гравитационной волны на магнитную инерционно-гравитационную и магнитострофическую волны.