Физика плазмы, 2023, T. 49, № 6, стр. 582-589

1. ВВЕДЕНИЕ

Трудно представить себе заполненную плазмой область Солнечной системы, свободную от мелкодисперсных пылевых частиц [1]. Нано- и микромасштабные пылевые частицы обнаруживаются в межпланетном космическом пространстве, в плазме ионосфер и магнитосфер планет Солнечной системы, в планетарных кольцах, в окрестностях космических тел, не имеющих собственной атмосферы, и др. Важным объектом с точки зрения исследований пылевой плазмы является магнитосфера Сатурна [2, 3]. Параметры плазмы в ней измерялись еще в 1980-х годах в рамках миссий Voyager 1 и 2 [4]. Существование волн в плазме магнитосферы Сатурна также было доказано на основе данных, полученных аппаратом Voyager 1 [5]. Теоретические исследования ионно-звуковых волн в магнитосфере Сатурна проводились в [6].

Плазма в магнитосфере Сатурна обладает рядом особенностей по сравнению с другими космическими системами, исследования которых в настоящее время проводятся весьма активно (для Луны и Марса см., например, [7, 8]). Например, измерения параметров электронов магнитосферы Сатурна, полученные в рамках миссий Voyager [4, 5] и Cassini [9], показали сосуществование двух видов (горячих и холодных) электронов. Оказалось [9], что скорости электронных популяций подчиняются так называемому κ-распределению с независимыми низкими значениями κ.

Важным источником пылевых частиц в магнитосфере Сатурна является Энцелад – один из крупнейших спутников Сатурна, известный своими ледяными гейзерами (ледяными вулканами, криовулканами). Пылевая плазма в окрестностях Энцелада была обнаружена в рамках миссии Cassini [2, 3]. Исследования в рамках этой миссии указали также на возможную причину ее появления – космический аппарат Cassini обнаружил фонтаны частиц пыли и небольших частиц водяного льда (которые также могут трактоваться как пылевые частицы) высотой во многие сотни километров, бьющие из четырех трещин в районе южного полюса Энцелада [10].

Все это указывает на актуальность проблемы исследования нелинейных волновых структур в пылевой плазме для условий, свойственных для магнитосферы Сатурна, типичными для которой являются пылевые звуковые волны. Важным видом нелинейных структур, наблюдавшихся в космосе [11, 12], являются солитоны, а в пылевой плазме – пылевые звуковые солитоны [13]. Для плазмы запыленной магнитосферы Сатурна рассмотрение пылевых звуковых солитонов проводилось [14] в одномерном случае в ситуации, когда не учитывается анизотропия, связанная, например, с присутствием магнитного поля, что и позволяет использовать одномерные (в пространстве) уравнения. Вместе с тем, в магнитосфере Сатурна существует анизотропия, связанная с вектором магнитного поля, которая может повлиять на структуру нелинейной волны. Так, например, если имеется почти одномерный волновой пакет, в котором локализация вдоль вектора магнитного поля, значительно сильнее, чем в других направлениях, то необходимо использовать двумерное описание, схожее с тем, которое приводит к хорошо известному уравнению Кадомцева–Петвиашвили для обычной плазмы (см., например, [15]). При этом особенности пылевой плазмы в системе Сатурна по сравнению с обычной плазмой весьма велики и ограничиваются не просто заменой ионов на положительно заряженные пылевые частицы. Кроме того, необходимо учитывать тот факт, что в магнитосфере Сатурна сосуществуют два вида электронов (горячие и холодные), подчиняющиеся двум различным κ-распределениям. Таким образом, вывод уравнения, описывающего в двумерном случае пылевые звуковые солитоны для случая запыленной магнитосферы Сатурна, следует провести с самого начала с учетом особенностей плазмы его магнитосферы. Целью настоящей работы является вывод этого уравнения и рассмотрение некоторых частных его решений для параметров плазмы запыленной магнитосферы Сатурна.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для описания пылевых звуковых солитонов (см., например, [16–18]) в пылевой плазме магнитосферы Сатурна можно использовать следующую систему уравнений, включающую в себя уравнение непрерывности и уравнение движения (Эйлера) для пылевых частиц и уравнение Пуассона для самосогласованного электростатического потенциала ϕ

Здесь ${{n}_{d}}$ – концентрация пылевых частиц, ${{\upsilon }_{d}} = $ $ = \left( {{{\upsilon }_{{d,x}}},{{\upsilon }_{{d,y}}},{{\upsilon }_{{d,z}}}} \right)$ – вектор их гидродинамической скорости, ${{m}_{d}}$ и ${{q}_{d}} = {{Z}_{d}}e$ – масса и заряд пылевых частиц соответственно, $ - e$ – заряд электрона, ${{n}_{i}}$ – концентрация ионов, ${{n}_{{e,c\left( h \right)}}}$ – концентрация холодных (горячих) электронов. Ионы подчинены распределению Больцмана

где ${{T}_{i}}$ – температура ионов, выраженная в энергетических единицах. Здесь и далее индекс 0 соответствует невозмущенным состояниям.

В магнитосфере Сатурна электроны удовлетворяют κ-распределению по скоростям и соответствуют двум типам распределений (распределение для “холодных” и “горячих” электронов) [19]:

Здесь ${{n}_{{e,c\left( h \right)}}}$ – концентрация холодных (горячих) электронов, ${{T}_{{e,c\left( h \right)}}}$ – температура холодных (горячих) электронов, выраженная в энергетических единицах, ${{\kappa }_{с}}$ и ${{\kappa }_{h}}$ – параметры для κ-распределений соответственно холодных и горячих электронов. Отметим, что ${{\kappa }_{с}},{{\kappa }_{h}} > {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}$.

Можно считать, что на пространственно-временных масштабах, характерных для пылевых звуковых волн, заряд пылевых частиц описывается трансцендентным уравнением

где ионный ток описывается выражением [20] а токи холодных (горячих) электронов – уравнениями

Здесь a – характерный размер пылевых частиц, ${{m}_{i}}$ – масса ионов, $\Gamma \left( {{{\kappa }_{{с\left( h \right)}}}} \right)$ – гамма-функция.

В условиях квазинейтральности выполнено условие

где ${{n}_{{e0}}} = {{n}_{{e0,c}}} + {{n}_{{e0,h}}}$ – суммарная концентрация невозмущенных холодных и горячих электронов. Удобно ввести коэффициент α, характеризующий количественную связь между концентрациями холодных и горячих электронов следующим образом:

Отметим, что $0 \leqslant \alpha \leqslant 1$.

Из уравнений (7)–(9), описывающих зарядку пылевых частиц, можно определить зарядовые числа ${{Z}_{d}}$ и характерные концентрации электронов в условиях, характерных для магнитосферы Сатурна (n_i0 = 10 см^–3, T_i = 100 К, T_ec = 10 эВ, T_eh = = 700 эВ, $\alpha = 0.5$, ${{\kappa }_{c}} = {{\kappa }_{h}} = 2$). На рис. 1 приведены полученные таким образом зависимости зарядовых чисел пылевых частиц и концентраций электронов от размеров пылевых частиц для различных концентраций пыли.

В предположении малости параметра $\tilde {\varphi } = $ $ = {{e\varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{e\varphi } {{{T}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{i}}}}$ распределения электронов (5) и (6) принимают вид

где

При этом распределение ионов (4) принимает вид

Из выражений (13)–(15) видно, что систему уравнений (1)–(3) удобно представить в следующих безразмерных переменных (отметим, что, поскольку заряды пылевых частиц для параметров магнитосферы Сатурна оказываются отрицательными, в последующих обозначениях следует использовать модуль заряда $\left| {{{Z}_{d}}} \right|$):

где ${{\omega }_{{pd}}} = \sqrt {{{4\pi n{\kern 1pt} '\left| {{{Z}_{d}}} \right|{{e}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4\pi n{\kern 1pt} '\left| {{{Z}_{d}}} \right|{{e}^{2}}} {{{m}_{d}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{d}}}}} $ – пылевая плазменная частота, ${{\lambda }_{D}} = \sqrt {{{{{T}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{i}}} {4\pi n{\kern 1pt} '{{e}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {4\pi n{\kern 1pt} '{{e}^{2}}}}} $ – дебаевский радиус, ${{C}_{{Sd}}} = {{\omega }_{{pd}}}{{\lambda }_{D}}$ – скорость пылевого звука. Кроме того,

Таким образом, система уравнений (1)–(3) с учетом (13)–(20) принимает вид

где

Систему уравнений (22)–(24) можно использовать для описания пылевых звуковых солитонов в условиях магнитосферы Сатурна. В линейном приближении концентрацию пылевых частиц можно представить в следующем виде:

где $\delta {{\tilde {n}}_{d}}$ – безразмерная величина возмущения концентрации пылевых частиц, вызванного изменениями потенциала $\tilde {\varphi }$, а безразмерная невозмущенная концентрация пылевых частиц имеет вид

Из системы (22)–(24) следует хорошо известный закон дисперсии для пылевых звуковых волн в безразмерном виде (ср., например, [21, 22])

где $\tilde {\omega }\left( {{\mathbf{\tilde {k}}}} \right)$, ${\mathbf{\tilde {k}}}$ – безразмерные частота и волновой вектор пылевой звуковой волны. В размерном виде этот закон дисперсии принимает вид где характерная скорость пылевого звука

Для почти одномерного волнового пакета, в котором локализация вдоль одной из осей значительно сильнее, чем в других направлениях, (т.е. для случая, когда ${\mathbf{k}} = {{{\mathbf{k}}}_{{{\mathbf{||}}}}} + {{{\mathbf{k}}}_{ \bot }}$ и ${{{\mathbf{k}}}_{{{\mathbf{||}}}}} \gg {{{\mathbf{k}}}_{ \bot }}$), а также, когда ${{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{2}}\lambda _{D}^{2} \ll 1$, закон дисперсии (24) принимает вид

Без ограничения общности полагаем, что ${{{\mathbf{k}}}_{{{\mathbf{||}}}}}$ направлена вдоль оси x, тогда уравнение в координатном пространстве, соответствующее закону дисперсии (31), имеет вид

где $\Phi = {{e\varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{e\varphi } {{{T}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{i}}}}$.

Линейное уравнение (32), описывающее распространение пылевых звуковых волн в запыленной магнитосфере Сатурна, по форме совпадает с аналогичным линейным уравнением, полученным (см., например, [15]) для ионно-звуковых волн в обычной плазме, когда электроны удовлетворяют больцмановскому распределению. Учет более высоких порядков малости в системе уравнений (22)–(24) приводит к нелинейному уравнению, для вывода которого можно воспользоваться стандартным методом разложения по малому параметру ε [23, 24]. Используя метод асимптотического представления на основе классического анализа размерностей, новые переменные можно представить в следующем виде:

При этом разложения по малому параметру ε принимают вид

Полученное таким образом нелинейное уравнение для пылевых звуковых возмущений является хорошо известным уравнением Кадомцева–Петвиашвили с отрицательной дисперсией

В размерном виде уравнение (35) принимает вид

где (для приведения уравнения Кадомцева–Петвиашвили к каноническому виду) произведена замена ${{\tilde {\varphi }}_{1}} = - \varphi $. Отметим, что в результате перехода в подвижную систему отсчета, что выражается заменой переменных (34), система координат $\left( {x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ',z{\kern 1pt} '} \right)$ движется относительно системы координат $\left( {x,y,z} \right)$ со скоростью ${{C}_{{SD}}}$.

3. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ

Уравнение (41) имеет одномерное устойчивое (см., например, [15]) решение в виде распространяющихся вдоль оси $x{\kern 1pt} '$ солитонов

где

Отметим, что скорость солитона в системе координат $\left( {x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ',z{\kern 1pt} '} \right)$ равна $u{\kern 1pt} '$, а в системе координат $\left( {x,y,z} \right)$ – $u = {{C}_{{SD}}} + u{\kern 1pt} '$. Такой солитон устойчив в двумерном пространстве, поскольку знак перед членом в правой части отрицательный (см., например [15]).

Поскольку ${{\tilde {\varphi }}_{1}} = - \varphi $, амплитуда таких одномерных солитонов имеет вид

Здесь и на приведенных ниже графиках (рис. 2) знак “~” над безразмерной амплитудой ${{\tilde {\varphi }}_{{1,\max }}}$ не приводится.

На рис. 2 изображены безразмерные амплитуды одномерных солитонов ${{\varphi }_{{1,\max }}}$ в зависимости от скоростей их распространения, а также от размеров пылевых частиц для различных концентраций пылевых частиц. Все вычисления проводились для параметров, приведенных на рис. 1, а также n_i0 = 10 см^–3, T_i = 100 К, T_ec = 10 эВ, T_eh = = 700 эВ, $\alpha = 0.5$, ${{\kappa }_{c}} = {{\kappa }_{h}} = 2$. Следует отметить, что поскольку при выводе уравнения Кадомцева–Петвиашвили (41) было использовано разложение потенциала $\tilde {\varphi } = \varepsilon {{\tilde {\varphi }}_{1}} + {{\varepsilon }^{2}}{{\tilde {\varphi }}_{2}}$ по малому параметру ε, то величины амплитуд солитонов ${{\varphi }_{{1,\max }}}$ имеют конечные значения. Обратим внимание на то, что, в случае магнитосферы Сатурна, когда электроны удовлетворяют κ-распределению по скоростям, как и в других природных ситуациях (см., например, [16–18]), характеризуемых другими распределениями электронов, знак амплитуды солитона определяется знаком заряда пылевых частиц.

Хорошо известно [15], что в двумерном пространстве уравнение (41) имеет решения в виде групп N-солитонов. Такие решения удобнее всего искать с помощью метода Хироты [25]. Так, например, для двумерных 2-солитонов можно проверить непосредственной подстановкой, что решением уравнения (41) является функция вида

где

Здесь ${{\omega }_{{1\left( 2 \right)}}}$, ${{k}_{{x,1\left( 2 \right)}}}$, ${{k}_{{y,1\left( 2 \right)}}}$, ${{\delta }_{{1\left( 2 \right)}}}$ – некоторые константы. Следует отметить, что выражение (45) с учетом (46)–(48) является решением уравнения (41) когда справедливы следующие соотношения:

где ${{\sigma }^{2}} = - 1$, и

При этом константы ${{\delta }_{{1\left( 2 \right)}}}$ фактически определяют начальное положение максимума 2-солитона и могут иметь любые действительные значения.

Для иллюстрации характерной формы двумерных 2-солитонов на рис. 3 приведены решения вида (45) (с учетом (46)–(53)) для характерных параметров плазмы магнитосферы Сатурна (n_i0 = = 10 см^–3, T_i = 100 К, T_ec = 10 эВ, T_eh = 700 эВ, $\alpha = 0.5$, ${{\kappa }_{c}} = {{\kappa }_{h}} = 2$) и различных концентраций пылевых частиц (n_d0 = 10^–2 см^–3 и 10^–4 см^–3). Вычисления проводились для ${{k}_{{x,1}}} = {{k}_{{x,2}}} = {{\left( {2{{x}_{0}}} \right)}^{{ - 1}}}$, ${{k}_{{y,1}}} = - {{k}_{{y,2}}} = {{\left( {{{y}_{0}}} \right)}^{{ - 1}}}$, ${{\delta }_{1}} = {{\delta }_{2}} = 0$.

Обратим внимание, что скорость таких солитонов определяется выражениями

Следует отметить, что при ${{k}_{{x,1}}} = {{k}_{{x,2}}} = {{\left( {2{{x}_{0}}} \right)}^{{ - 1}}}$, ${{k}_{{y,1}}} = - {{k}_{{y,2}}} = {{\left( {{{y}_{0}}} \right)}^{{ - 1}}}$ двумерный 2-солитон распространяется вдоль оси OX со скоростью

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представлен вывод двумерного нелинейного уравнения Кадомцева–Петвиашвили с отрицательной дисперсией, описывающего динамику нелинейных волновых структур в запыленной плазме магнитосферы Сатурна, которая включает в себя электроны двух сортов (горячие и холодные), ионы магнитосферы, а также заряженные пылевые частицы. Показано, что в условиях магнитосферы Сатурна существуют решения уравнения Кадомцева–Петвиашвили в виде одномерных солитонов и двумерных N-солитонов. Получены зависимости амплитуд одномерных солитонов от скоростей их распространения и размеров пылевых частиц для различных концентраций пылевых частиц, а также солитонные решения в виде двумерных 2-солитонов для различных концентраций пылевых частиц в запыленной плазме магнитосферы Сатурна.

Отметим, что рассмотрение проведено для ситуации, когда фотоэффект при зарядке пылевых частиц в магнитосфере Сатурна несущественен, т.е. пылевые частицы из-за большей подвижности электронов приобретают отрицательные заряды. Хотя расстояние от Сатурна до Солнца весьма велико (около 10 а.е.) возможны ситуации, когда взаимодействие солнечного излучения с пылевыми частицами приводит вследствие фотоэффекта к положительной зарядке пылевых частиц. В этом случае также оказывается возможным вывести уравнение Кадомцева–Петвиашвили с отрицательной дисперсией, которое имеет солитонные решения, схожие с теми, которые получаются для случая отрицательных зарядов пылевых частиц, но имеющие противоположный знак электростатического потенциала по сравнению с ними.

Что касается возможных наблюдений рассмотренных солитонов в будущих космических миссиях, несмотря на их малые (но конечные) амплитуды, такие наблюдения в магнитосфере Сатурна, по-видимому, возможны, на что указывают наблюдения нижнегибридных солитонов в магнитосфере Земли в эксперименте “Фрея” [12]. Для проведения подобных наблюдений будущими космическими аппаратами, направленными к Сатурну, необходима аппаратура, аналогичная размещенной на космическом аппарате “Фрея”, позволяющая с высокой точностью измерять электрические поля в космическом пространстве.

Работа выполнена по теме “Плазма” Института космических исследований Российской академии наук. Двое из авторов (Д.В. Шохрин и С.И. Попель) выражают благодарность Фонду развития теоретической физики и математики “БАЗИС”, частично поддержавшему грантом выполнение данной работы.