Физика Земли, 2020, № 2, стр. 148-160

Численный алгоритм интегрирования по времени задач идеальной магнитогидродинамики, опирающийся на аналитичность их решений

В. А. Желиговский 1*, О. М. Подвигина 1**

1 Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН
г. Москва, Россия

* E-mail: vlad@mitp.ru
** E-mail: olgap@mitp.ru

Поступила в редакцию 25.04.2019
После доработки 17.06.2019
Принята к публикации 24.06.2019

Аннотация

Доказано, что если в начальный момент скорость течения жидкости и магнитное поле – аналитические функции пространственных переменных, то решение системы трехмерных уравнений идеальной магнитогидродинамики аналитично по пространственным переменным и времени на некотором временном интервале строго положительной длины. С использованием свойства вмороженности магнитного поля построены разложения решения в эйлеровых и лагранжевых координатах в ряды Тейлора по времени. Для коэффициентов этих рядов выведены рекуррентные соотношения. Эти результаты положены в основу эйлерова и лагранжева алгоритмов численного интегрирования уравнений идеальной магнитогидродинамики по времени. Лагранжев алгоритм опробован в расчетах; в решении наблюдается образование структур меньших размерностей.

Ключевые слова: уравнения идеальной магнитогидродинамики, аналитичность решений, лагранжевы координаты, эйлеровы координаты, ряд Тейлора по времени.

DOI: 10.31857/S0002333720010147

Список литературы

  1. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства: введение. М.: Мир. 1980. 264 с. (Пер. с англ.: Bergh J., Löfström J. Interpolation spaces. An introduction. Berlin: Springer. 1976. 207 p.)

  2. Моффат Г.К. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир. 1980. 342 с. (Пер. с англ.: Moffatt H.K. Magnetic field generation in electrically conducting fluids. Cambridge Univ. Press. 1978. 320 p.)

  3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, Наука. 1970. 280 с.

  4. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир. 1980. 664 с. (Пер. с англ.: Triebel H. Interpolation theory. Function spaces. Differential operators. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. 1978. 528 p.)

  5. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть I. Функции одного переменного. М.: Наука. 1976. 320 с. Часть II. Функции нескольких переменных. М.: Наука. 1976. 400 с.

  6. Bardos C., Benachour S., Zerner M. Analycité des solutions périodiques de l’équation d’Euler en deux dimensions // C.R. Acad. Sci. Paris. 1976. V. 282. P. 995–998.

  7. Benachour S. Analyticité des solutions périodiques de l’équation d’Euler en trois dimensions // C.R. Acad. Sci. Paris A. 1976. V. 283. P. 107–110.

  8. Cauchy A.L. Sur l’état du fluide à une époque quelconque du mouvement. Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de l’Institut de France, Théorie de la propagation des ondes à la surface d’un fluide pesant d’une profondeur indéfinie (1815). Extraits des Mémoires présentés par divers savants à l’Académie royale des Sciences de l’Institut de France et imprimés par son ordre. Sciences mathématiques et physiques. Tome I. 1827. Seconde Partie. P. 33–73. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90181x.r=Oeuvres+ completes+%27Augustin+Cauchy.langFR.]

  9. Cheng F., Xu C.-J. On the Gevrey regularity of solutions to the 3d ideal MHD equations // Discrete and continuous dynamical systems. 2019. V. 39. P. 6485–6506. [arxiv.org/abs/1702.06840]. 2017.

  10. Elsasser W.M. The hydromagnetic equations // Phys. Rev. 1950. V. 79. P. 183.

  11. Foias C., Temam R. Gevrey class regularity for the solutions of the Navier–Stokes equations // J. Funct. Anal. 1989. V. 87. P. 359–369.

  12. Levermore C.D., Oliver M. Analyticity of solutions for a generalized Euler equation // J. Differential Equations. 1997. V. 133. P. 321–339.

  13. Majda A.J., Bertozzi A.L. Vorticity and incompressible flow. Cambridge Univ. Press. 2002. 558 p.

  14. Podvigina O., Zheligovsky V., Frisch U. The Cauchy–Lagrangian method for numerical analysis of Euler flow // J. Computational Physics. 2016. V. 306. P. 320–342. [arxiv.org/abs/1504.05030].

  15. Purser R.J., Leslie L.M. An efficient interpolation procedure for high order three-dimensional semi-Lagrangian models // Mon. Weather Rev. 1991. V. 119. P. 2492–2498.

  16. Zheligovsky V. A priori bounds for Gevrey–Sobolev norms of space-periodic three-dimensional solutions to equations of hydrodynamic type // Advances in differential equations. 2011. V. 16. P. 955–976. [arxiv.org/abs/1001.4237].

  17. Zheligovsky V., Frisch U. Time-analyticity of Lagrangian particle trajectories in ideal fluid flow // J. Fluid Mech. 2014. V. 749. P. 404–430. [arxiv.org/abs/1312.6320].

Дополнительные материалы отсутствуют.