Геомагнетизм и аэрономия, 2020, T. 60, № 3, стр. 275-280

1. ВВЕДЕНИЕ

В последние годы в связи с проблемой радиационного загрязнения ближнего космоса заряженными частицами высоких энергий техногенного происхождения большое значение приобрели задачи динамики в геомагнитном поле заряженных частиц высокой энергии, инжектируемых в околоземное космическое пространство (ОКП) на конечном расстоянии от Земли. Источниками указанных частиц, могут являться, в частности, вторичные частицы высоких энергий, генерируемые в материале активных и пассивных орбитальных объектов частицами первичного космического излучения. Потенциальными внутренними источниками частиц высокой энергии являются и космические ускорители высоких энергий, концепции которых разрабатывались как в нашей стране [Панасюк, 1995], так и за рубежом [Varley et al., 1990].

В настоящей работе продолжены исследования конфигурации “областей высыпания” на поверхность Земли электронов высоких энергий, инжектируемых в околоземное космическое пространство (ОКП) точечным источником, начатые в работе [Колесников, 2002]. В отличие от работы [Колесников, 2002], в которой для описания движения электронов в ОКП использовалась простейшая дипольная модель геомагнитного поля, в настоящей работе при построении областей высыпания геомагнитное поле моделируется первыми четырьмя гармониками ряда Гаусса.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

Рассмотрим точечный источник высокоэнергетических электронов, положение которого задается геоцентрическим расстоянием $r,$ дополнением до широты $\theta $ и долготой $\varphi $ в сферической системе координат с началом в центре Земли и полярной осью, совпадающей с географической осью Земли. Как и в [Колесников, 2002], будем определять направления инжекции j, для которых соответствующая траектория электрона пересекает поверхность Земли, а также “области высыпания”, образованные точками пересечения указанных траекторий электронов с поверхностью Земли. Высотой плотных слоев атмосферы, где становится существенным взаимодействие высокоэнергетических электронов с ядрами атомов атмосферы, будем пренебрегать.

Для решения поставленной задачи нам потребуется уравнение динамики одиночного электрона в магнитном поле Земли. Запишем это уравнение в виде

где V – скалярный потенциал геомагнитного поля, ${\mathbf{v}}$ – скорость электрона, m₀ и e – соответственно масса покоя и заряд электрона, $\gamma = \sqrt {1 - {{{{{v}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{v}}^{2}}} {{{c}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}^{2}}}}} $ – лоренц-фактор, с – скорость света.

Представим потенциал геомагнитного поля V в виде ряда Гаусса:

где ${{R}_{E}}$ – радиус Земли, $g_{n}^{m}$ и $h_{n}^{m}$ – коэффициенты, определяемые по данным магнитных измерений, значения которых для эпохи 1965 г. [Акасофу, Чепмен, 1974] приведены в табл. 1, – многочлены Шмидта.

Многочлены Шмидта $P_{n}^{m}$ выражаются, в свою очередь, через присоединенные многочлены Лежандра ${{P}_{{n,m}}}$ (см. табл. 2):

Система (1) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Из (2) следуют выражения для компонент вектора ${\mathbf{B}} = - \nabla V{\text{:}}$

Систему (3) удобно представить в следующем удобном для численного интегрирования виде:

где ${{\omega }_{r}} = {{{v}}_{\theta }}{{B}_{\varphi }} - {{{v}}_{\varphi }}{{B}_{\theta }},$ ${{\omega }_{\theta }} = {{B}_{r}}{{{v}}_{\varphi }} - {{{v}}_{r}}{{B}_{\varphi }},$ ω_φ = = ${{{v}}_{r}}{{B}_{\theta }} - {{{v}}_{\theta }}{{B}_{r}}.$

Положим ${{B}_{0}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} = {\kern 1pt} {\kern 1pt} {M \mathord{\left/ {\vphantom {M {R_{E}^{3}}}} \right. \kern-0em} {R_{E}^{3}}}$ (M = $\sqrt {{{{(g_{1}^{0})}}^{2}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} + {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{{(g_{1}^{1})}}^{2}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} + {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{{(h_{{{\kern 1pt} 1}}^{1})}}^{2}}} R_{E}^{3}{\kern 1pt} {\kern 1pt} - $ модуль магнитного момента Земли). Перейдем в (5) к безразмерным переменным

В переменных (6) система (5) принимает вид

где ${{\Omega }_{r}} = {{u}_{\theta }}{{b}_{\varphi }} - {{u}_{\varphi }}{{b}_{\theta }},$ ${{\Omega }_{\theta }} = {{u}_{\varphi }}{{b}_{r}} - {{u}_{r}}{{b}_{\varphi }},$ Ω_φ = = ${{u}_{r}}{{b}_{\theta }} - {{u}_{\theta }}{{b}_{r}},$ $K = {\text{sign}}\left( e \right){{C_{{st}}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{C_{{st}}^{2}} {R_{E}^{2}}}} \right. \kern-0em} {R_{E}^{2}}}$ – безразмерный коэффициент, ${{C}_{{st}}} = \sqrt {\frac{{eM}}{{m{v}c}}} $ = ${{1.11 \times {{{10}}^{8}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{1.11 \times {{{10}}^{8}}} {{{E}_{k}}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{k}}}}$ см-штермеровская единица длины, ${{E}_{k}}$ – кинетическая энергия электрона в ГэВ.

Пусть электроны, инжектируемые в околоземное космическое пространство из точечного источника, имеют фиксированное значение кинетической энергии E_k. Направление инжекции j задается углом i с направлением местной вертикали и углом q между проекцией j на плоскость местного горизонта и местным азимутальным направлением. Выбор углов i и q осуществляется случайным образом в серии из 100 000 испытаний с равномерным законом распределения в заданных промежутках [i_min, i_max], [q_min, q_max]. Для каждого варианта выборки начальных значений углов i и q производится численное интегрирование уравнений движения (7) разностным методом Рунге-Кутты-Мерсона четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага. Расчет траектории проводится до тех пор, пока не оказывается выполненным одно из следующих условий:

1) траектория электрона пересекает сферу радиусом R_E в точке с географическими координатами θ и φ, генерируя на поверхности Земли соответствующую точку области высыпания;

2) полная длина расчетного отрезка траектории превышает установленное предельное значение ${{L}_{{\max }}} = 20{{R}_{E}};$ 3) электрон удаляется на геоцентрическое расстояние, превышающее критическое значение r * = 10R_E, с достижением которого дальнейшее движение электрона сопровождается неограниченным монотонным ростом его радиальной координаты.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

С использованием описанного алгоритма были построены области высыпания на земную поверхность электронов с энергиями 15, 30 и 60 ГэВ в случае нахождения инжектора на геостационарной орбите в точке с нулевой географической широтой и географической долготой 21°. Расчеты проведены для случаев представления геомагнитного поля первой (дипольной) гармоникой и первыми четырьмя гармониками ряда Гаусса. Результаты расчетов представлены на рис. 1–3.

На рисунке 1 показаны области высыпания электронов с энергией E_k = 15 ГэВ для n = 1 (рис. 1а) и n = 4 (рис. 1б). Как видно на рис. 1а, область высыпания для n = 1 представляет собой участок земной поверхности, локализованный в диапазоне широт $\lambda \in [ - 49^\circ ,59^\circ ]$ и долгот $\varphi \in [18^\circ ,360^\circ ]$. В случае аппроксимации геомагнитного поля первыми четырьмя гармониками ряда Гаусса (рис. 1б), области высыпания локализованы в диапазоне широт $\lambda \in [ - 53^\circ ,57^\circ ]$ и долгот $\varphi \in [33^\circ ,349^\circ ].$

На рисунке 2 представлены области высыпания для E_k = 30 ГэВ. Как видно на рис. 2а, при n = 1 для электронов рассматриваемой энергии область высыпания оказывается локализованной в диапазонах широт $[ - 61^\circ ,67^\circ ]$ и долгот $[ - 6^\circ ,350^\circ ].$ При аппроксимации геомагнитного поля первыми четырьмя сферическими гармониками область высыпания локализована в близких диапазонах широт $[ - 67^\circ ,79^\circ ]$ и долгот $[ - 6^\circ ,346^\circ ]$ (рис. 2б).

На рисунке 3 представлены области высыпания для E_k = 60 ГэВ. Для n = 1 (рис. 3а) область высыпания локализована в диапазонах широт $[ - 72^\circ ,79^\circ ]$ и долгот $[ - 20^\circ ,203^\circ ].$ В случае же n = 4 область высыпания находится на широтах $\lambda \in $ $ \in [ - 67^\circ ,76^\circ ],$ и долготах $\varphi \in $ $[ - 20^\circ ,232^\circ ].$

На рисунках 1–3 видно, что конфигурации областей высыпания электронов при n = 1 и n = 4 качественно являются весьма близкими. Основные отличия указанных областей состоят в следующем. С переходом от случая n = 1 к случаю n = 4 происходит незначительное изменение формы областейвысыпания, а также поворот на малый угол против часовой стрелки. При n = 4 в строении областей высыпания прослеживается четко выраженная асимметрия (отделение “верхней” компоненты при E_k = 15 ГэВ, увеличение “нижней” части области при E_k = 30 ГэВ).

Имея ввиду, что на высоте инжекции существенный вклад в геомагнитное поле может давать поле магнитосферных токов, для выяснения влияния этого поля на конфигурацию областей высыпания мы провели расчеты областей высыпания в поле, аппроксимируемом эмпирической моделью Цыганенко-87 для эпохи 1965 г. [Цыганенко и др., 1987], учитывающей вклад в геомагнитное поле поля внешних источников для различных значений глобального планетарного индекса геомагнитной активности K_p. Результаты расчетов показали, что даже при максимальном значении геомагнитного индекса K_p = 5 учет поля внешних источников в рассматриваемой задаче не оказывает существенного влияния на конфигурацию областей высыпания электронов с рассматриваемыми высокими значениями энергии 15–60 ГэВ. Физическое объяснение этому явлению состоит в том, что на больших расстояниях от Земли (порядка радиуса геостационарной орбиты), на которых существенным является вклад в геомагнитное поле поля внешних источников, полное геомагнитное поле является слабым и практически не оказывает влияния на траектории инжектируемых электронов высокой энергии. На этих расстояниях, как показывают данные численного моделирования, траектории являются практически прямолинейными. Заметное воздействие геомагнитного поля на траектории начинается с расстояний, значительно меньших радиуса геостационарной орбиты (порядка 2–3 радиусов Земли), на которых основной вклад в геомагнитное поле дает поле внутренних источников.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Установлено, что конфигурации областей высыпания на поверхность Земли электронов высокой энергии, инжектируемых в геомагнитное поле из точечного источника, расположенного на геостационарной орбите, для дипольной модели геомагнитного поля и для геомагнитного поля, представленного суммой первых четырех сферических гармоник ряда Гаусса, являются близкими. Эффект высших гармоник проявляется в определенном изменении формы областейвысыпания, а также в усилении их асимметрии относительно экватора, связанном, в частности, с их поворотомнамалый угол против часовой стрелки. Кроме того, переход от дипольной моделигеомагнитного поля к его аппроксимации первыми гармониками ряда Гаусса приводит к определенному изменению диапазонов широт и долгот, в которых локализованы области высыпания.

С использованием эмпирической модели геомагнитного поля Цыганенко-87 [Цыганенко и др., 1987], учитывающей вклад в геомагнитное поле поля внешних источников, показано, что поле внешних источников в рассматриваемой задаче не оказывает существенного влияния на конфигурацию областей высыпания электронов с рассматриваемыми высокими значениями энергии 15–60 ГэВ.