Геоэкология. Инженерная геология, гидрогеология, геокриология, 2020, № 3, стр. 82-90

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РИСКА ПОРАЖЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ СООРУЖЕНИЙ ИНИЦИИРОВАННЫМИ ТЕРМОКАРСТОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ

А. С. Викторов^1, *, М. В. Архипова¹, В. Н. Капралова¹, Т. В. Орлов¹

¹ Институт геоэкологии им. Е.М. Сергеева РАН
101000 Москва, Уланский пер., 13, стр.2, Россия

Поступила в редакцию 24.12.2019
После доработки 24.12.2019
Принята к публикации 25.12.2019

DOI: 10.31857/S0869780920030108

Аннотация

Статья посвящена решению проблемы дистанционной количественной оценки риска поражения линейных сооружений. Основой решения является совокупность математических моделей развития природных и антропогенно-инициированных термокарстовых процессов для линейных сооружений, описывающая развитие комплекса очагов инициированного термокарста, возникающих в полосе вдоль линейных сооружений. Анализ моделей позволил предсказать пуассоновское распределение числа поражений отрезков линейного сооружения, связь параметров поражения с параметрами комплекса очагов и дать выражение для вероятности поражения сооружения заданной длины. Полученные результаты эмпирически проверены на ряде участков севера Западной Сибири, Восточной Сибири и Дальнего Востока.

Ключевые слова: математическая морфология ландшафта, инициированный термокарст, линейное сооружение

ВВЕДЕНИЕ

Одной из важных и интересных проблем является оценка риска поражения инженерных сооружений опасными экзогенными процессами. Этим исследованиям посвящено много работ [1, 5, 7–9 и др.], однако в большинстве выполненных исследований существующие подходы к ее решению, базирующиеся на накоплении статистических данных, не вполне исчерпывают имеющиеся вопросы в силу следующих обстоятельств:

− оценка рисков необходима на стадии проектирования, когда линейное сооружение не реализовано и, соответственно, статистика отсутствует;

− использование объектов-аналогов имеет весьма ограниченные возможности, так как необходимо, чтобы аналогичными были не только объект, но и ландшафтные, и инженерно-геокриологические условия;

− дается лишь качественная оценка вероятности поражения инженерного сооружения, в то время как для проекта интересна количественная оценка.

Это приводит к необходимости поиска новых подходов к оценке вероятности поражения линейных сооружений, которая является, строго говоря, оценкой опасности, но вместе с тем представляет собой один из основных и наиболее близких к естественным наукам элементов оценки риска.

Цель настоящего исследования – показать метод количественной оценки вероятности поражения линейного инженерного сооружения инициированными термокарстовыми процессами.

Пусть строительство сооружения, созданная инфраструктура (вдоль трассовые дороги, линии электропередач, связи и т.д.) и воздействие самого сооружения привели к инициации термокарстового процесса (рис. 1).

Рис. 1.

Развитие термокарстового процесса при строительстве линейного сооружения: а – до строительства, космическая съемка Corona, 2.5 м/пикс., 1961 г.; б – после строительства, космическая съемка Digital Globe, WorldView 1, 0.5 м/пикс., 2012 г.

Возникает вопрос о количественной оценке вероятности поражения инженерного сооружения опасными экзогенными процессами без длительных стационарных наблюдений, только на основе материалов дистанционных съемок.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Основой решения задачи может быть разработанная нами ранее [2, 3] модель инициированного термокарста в полосе линейного сооружения, основанная на подходах математической морфологии ландшафта.

Модель инициированного термокарстового процесса (общий случай) базируется на следующих допущениях:

1. Возникновение термокарстовых понижений происходит в ограниченной полосе (ширина a, рис. 2), прилегающей к линейному сооружению; возникновение термокарстовых понижений происходит независимо друг от друга, и вероятность возникновения понижения на данной площадке определяется только величиной площадки ($\Delta s$)¹ ¹ и удаленностью от линейного сооружения:

$p(r,\Delta s) = {\lambda }(r)\Delta s + о(\Delta s)$,

где λ(r) – коэффициент.

Рис. 2.

Схема оценки вероятности поражения инициированным термокарстовым процессом в зоне линейных сооружений; эллипсы – термокарстовые очаги, точки – центры очагов в полосе $\Delta {{r}_{i}}$, пунктиры – границы полос. Пояснения в тексте.

2. Очаг инициированного термокарста в зоне линейного сооружения можно приблизительно рассматривать как эллипс с соотношением длин полуосей (ξ_i, i – год), которое имеет постоянное вероятностное логнормальное распределение и независимо меняется год от года:

${\beta } = {{{\xi }}_{i}}{\alpha }$,

где α и β – длины полуосей.

3. Рост линейных размеров термокарстовых понижений (полуосей эллипса) благодаря термоабразионному воздействию² ² происходит независимо от других понижений, и он прямо пропорционален плотности тепловых потерь через боковую поверхность понижения, залитую водой.

Таким образом, нами рассматривается вариант синхронного старта, когда процесс появления первичных понижений происходит за короткий промежуток времени после начала строительства линейного сооружения.

Первое предположение вытекает из однородности рассматриваемой территории и отражает то, что на любой ограниченной площадке наблюдается лишь конечное число термокарстовых понижений (точнее – их центров). Кроме того, в этом допущении учитывается характер нарушений (почвенно-растительного покрова, микрорельефа, геокриологических условий) в зоне линейного сооружения, приводящих к развитию термокарста. Он меняется в зависимости от расстояния до линейного сооружения и в общем сохраняется при движении параллельно сооружению, т.е. основным направлением изменчивости условий возникновения термокарста является направление, перпендикулярное сооружению. Это учитывается в виде функции λ(r), зависящей от расстояния до сооружения.

Второе предположение также представляется справедливым. Оно сводится к пропорциональности скорости роста размера термокарстового очага средней плотности тепловых потерь через залитую водой боковую поверхность, при этом на рост влияет и множество случайных факторов (средняя годовая температура воздуха, льдистость пород в окрестностях озера и др.).

Математический анализ допущений позволяет, как показано в работах [3, 4], получить ряд выводов, которые могут служить основой решения задачи:

− процесс роста полуосей инициированных термокарстовых форм можно рассматривать как марковский случайный процесс с непрерывным временем (точнее винеровский процесс по отношению к логарифмам длин полуосей);

− в любой момент времени должно наблюдаться логнормальное распределение длин полуосей термокарстовых форм с несколько отличными значениями параметров;

− в любой момент времени должно наблюдаться логнормальное распределение площадей форм инициированного термокарста;

− в любой зоне (полосе), удаленной на определенное расстояние от линейного сооружения, распределение числа центров форм инициированного термокарста должно подчиняться распределению Пуассона;

− распределение расстояний между проекциями центров термокарстовых понижений на линейное сооружение должно подчиняться экспоненциальному распределению, а их количество на пробном отрезке – пуассоновскому распределению.

Оценка вероятности поражения линейного сооружения термокарстовыми процессами для транспортно-коммуникационных сетей может быть получена на основе математического анализа модели со следующими основными элементами (см. рис. 2):

− разделение полосы линейного сооружения на зоны, параллельные оси сооружения небольшой ширины $\Delta {{r}_{i}}$;

− получение вероятности поражения линейного сооружения одним термокарстовым понижением из i-й зоны, которая равна вероятности того, что полупроекция³ ³ очага на направление перпендикулярное линейному сооружению больше расстояния от зоны до сооружения (r_i):

$ - {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\alpha } = 1 - F({{r}_{i}})$,

где F(r_i) – распределение величины полупроекции термокарстового понижения на направление перпендикулярное линейному сооружению;

− получение на основе закона Пуассона вероятности наличия k понижений в i-й зоне и вероятности числа поражений v_i линейного сооружения термокарстовыми понижениями из i-й зоны, сначала при данном k:

${{P}_{i}}^{0}(\left. {{{{v}}_{i}}} \right|k) = {{(1 - \alpha )}^{{k - {{{v}}_{i}}}}}{{\alpha }^{{{{{v}}_{i}}}}}\left( \begin{gathered} k \hfill \\ {{{v}}_{i}} \hfill \\ \end{gathered} \right)\frac{{{{{[\lambda ({{r}_{i}})\Delta {{r}_{i}}L]}}^{k}}}}{{k!}}{{e}^{{ - \lambda ({{r}_{i}})\Delta {{r}_{i}}L}}},$

а затем при любом k:

$P_{i}^{1}({{{v}}_{i}}) = \sum\limits_{k = {{v}_{i}}}^{ + \infty } {{{{(1 - \alpha )}}^{{k - {{{v}}_{i}}}}}{{\alpha }^{{{{{v}}_{i}}}}}\left( \begin{gathered} k \hfill \\ {{{v}}_{i}} \hfill \\ \end{gathered} \right)\frac{{{{{[\lambda ({{r}_{i}})\Delta {{r}_{i}}L]}}^{k}}}}{{k!}}{{e}^{{ - \lambda ({{r}_{i}})\Delta {{r}_{i}}L}}}} ,$

где λ(x) – средняя плотность расположения термокарстовых понижений на расстоянии x от линейного сооружения;

− обоснование путем упрощения полученного выражения, что v_i также будет подчиняться закону Пуассона:

$P_{i}^{1}({{{v}}_{i}}) = \frac{{{{{[\lambda ({{r}_{i}})[1 - F({{r}_{i}})]\Delta {{r}_{i}}L]}}^{{{{v}_{i}}}}}}}{{{{{v}}_{i}}!}}{{e}^{{ - \lambda ({{r}_{i}})[1 - F({{r}_{i}})]\Delta {{r}_{i}}L}}},$

соответственно с математическим ожиданием

${{\gamma }_{i}} \approx \lambda ({{r}_{i}})\Delta {{r}_{i}}L[1 - F({{r}_{i}})];$

− при суммировании числа поражений по всем полосам с учетом двусторонней окрестности сооружения сумма независимых, распределенных по закону Пуассона случайных величин, также будет распределена по этому закону;

− нахождение математического ожидания суммарного числа поражений v, которое находится как сумма математических ожиданий для каждой полосы, т.е. точно может быть найдено как предел суммы математических ожиданий при числе полос, стремящемся к бесконечности, а ширины – к 0, т.е., для отрезка единичной длины как интеграл:

$I = 2\int\limits_0^a {\lambda (x)[1 - F(x)]dx} ,$

где a – ширина полосы (односторонняя).

В итоге получаем, что распределение числа поражений отрезка линейного сооружения длиной L отвечает распределению Пуассона:

${{P}_{d}}(k,L) = \frac{{{{{[IL]}}^{k}}}}{{k!}}{{e}^{{ - IL}}},$

где $I = 2\int_0^a {\lambda (x)[1 - F(x)]dx} $.

Отсюда следует, что вероятность поражения отрезка длиной L хотя бы одним очагом термокарстового процесса:

${{P}_{d}}(L) = 1 - \exp \left[ { - 2L\int\limits_0^a {\lambda (x)[1 - F(x)]dx} } \right].$

В наиболее простом случае, когда $\lambda (x) = {{\lambda }_{0}} = {\text{const}}$, оценка вероятности поражения с учетом того, что сумма математических ожиданий полупроекций равна матаматическому ожиданию проекции, приобретает вид:

${{P}_{d}}(L) = 1 - \exp ( - {{\lambda }_{0}}L\overline {pr} ),$

где $\overline {pr} $ – средняя величина проекции термокарстового понижения на направление перпендикулярное линейному сооружению.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ОБСУЖДЕНИЕ

Следующий этап – эмпирическая проверка метода оценки вероятности поражения линейного сооружения инициированными термокарстовыми процессами.

Эмпирической проверке подвергались главнейшие результаты разработки метода оценки вероятности поражения линейного сооружения термокарстовыми очагами, включающие следующие элементы:

− распределение числа поражений отрезка заданной длины отвечает распределению Пуассона;

− соответствие эмпирической частости и теоретической вероятности поражения отрезка линейного сооружения заданной длины хотя бы одним очагом термокарстового процесса.

Под поражением линейного сооружения термокарстовым очагом принималось пересечение или касание очагом небольшой окрестности сооружения (принято 6 м от оси – зона поражения). В этой окрестности тепловой режим является уже значительно нарушенным линейным сооружением, и “заход” в него термокарстового очага с высокой вероятностью должен привести к его интенсивному развитию и созданию предпосылок нарушения штатной работы транспортно-коммуникационной сети.

Расчетная вероятность поражения помимо “захода” в нее очагов, центры которых лежат вне зоны поражения, учитывает еще поражение очагами, чьи центры находятся внутри зоны поражения, базируется согласно модели на пуассоновском распределении числа очагов. С учетом сказанного, выражение для теоретической вероятности принимает следующий вид

${{P}_{d}}(L) = 1 - \exp ( - {{\lambda }_{0}}L\overline {pr} - {{\lambda }_{1}}{{S}_{d}}(L)),$

где λ₁ – средняя плотность расположения термокарстовых очагов в зоне поражения, λ₀ – средняя плотность расположения термокарстовых очагов в зоне, прилегающей к зоне поражения (зона анализа), S_d(L) – площадь зоны поражения, соответствующая отрезку линейного сооружения длиной L (без узкой полосы собственно сооружения, на поверхности которого проявления очагов не возникает).

То же относится и к пуассоновскому распределению числа поражений. Учет очагов, центры которых находятся внутри зоны поражения, как показывает анализ, не меняют пуассоновского характера распределения числа поражений, а влияют только на значение параметра (среднее число поражений). В силу сказанного процедура эмпирической проверки в этом случае не меняется.

Эмпирическая проверка пуассоновского характера распределения числа поражений базировалась на дешифрировании понижений инициированного термокарста на космических снимках высокого разрешения, разбиении сооружения на отрезки заданной длины и подсчете числа поражений; это повторялось для отрезков разбиений разной длины. Далее по традиционной методике (например, [6]) на основе критерия Пирсона сравнивалось эмпирическое распределение числа поражений и теоретическое распределение Пуассона.

Порядок эмпирической проверки теоретической вероятности поражения отрезка линейного сооружения заданной длины включал разбиение сооружения на отрезки заданной длины, подсчет числа поражений, определение значений необходимых параметров, расчет теоретических вероятностей и эмпирических частостей и сравнение теоретических и эмпирических распределений. Это было выполнено для разных длин отрезков.

Для исследования выбраны участки разнообразные в геоморфологическом, геокриологическом и физико-географическом отношении, расположенные в различных регионах – Ямал, Западно-Сибирская низменность, Восточная Сибирь (рис. 3).

Рис. 3.

Схема расположения ключевых участков при проверке модели инициированного термокарста.

Были использованы следующие материалы космической съемки: архивные снимки Corona (3–12 м/пикс., 1965–1976 гг.); современные снимки (IKONOS, QuickBird, Worldview 2, Geoeye-1, Pleidas, SPOT-5, SPOT-6, 0.5–2.5 м/пикс., июнь–август 2008–2014 гг.), как специально приобретенные (ИТЦ СКАНЭКС), полученные в виде грантов Digital Globe, Tandem X, так и полученные из открытых источников.

Проверка пуассоновского распределения осуществлена для 19 выборок на 7 участках. Анализ показывает хорошее соответствие. На рис. 4 приведены примеры соответствия графиков эмпирического распределения числа поражений и теоретического пуассоновского для разных участков.

Рис. 4.

Примеры соответствия графиков эмпирического распределения числа поражений и теоретического пуассоновского для разных участков: а – Амга 1, длина фрагмента 250 м; б – Амга 3, длина фрагмента 250 м; в – ВСТО 2, длина фрагмента 35 м; г – Диринг, длина фрагмента 300 м.

Использование критерия Пирсона для оценки соответствия эмпирического распределения числа поражений и теоретического пуассоновского для разных участков также показало хорошее согласие с гипотезой (табл. 1). Полученные данные по случайному выбору фрагментов линейного сооружения включали выборки объема от 50 до 186. На 16 выборках и всех участках гипотеза подтверждается на уровне значимости 0.99.

Таблица 1.

Согласие эмпирического распределения числа поражений линейного сооружения с распределением Пуассона

Участок	Длина фрагмента, м	Объем выборки	Среднее	р-уровень
Амга 3	250	80	0.513	0.038
Амга 3	350	60	0.633	0.379
Амга 1	250	70	1.386	0.629
Амга 1	350	50	1.740	0.470
ВСТО 2	35	59	0.661	0.154
Салехард 2, съемка 2016 г.	25	186	1.134	0.015
	50	93	1.989	0.000
	100	51	3.765	0.000
Салехард 2, съемка 2012 г.	25	186	0.559	0.302
	50	93	0.946	0.044
	100	51	1.784	0.000
Диринг	300	101	0.50	0.013
Диринг	500	60	0.95	0.039
Надым 1 нитка 1, съемка 2018 г.	50	73	0.79	0.005
Надым 1 нитка 2, съемка 2018 г.	50	73	0.87	0.039
Надым 1 нитка 3, съемка 2018 г.	50	70	0.62	0.500
Надым 1 нитка 5, съемка 2018 г.	50	54	0.83	0.115
Надым 1 нитка 6, съемка 2018 г.	50	55	0.74	0.418
Надым 3 нитка 1, съемка 2018 г.	40	53	0.90	0.389
Надым 3 нитка 2, съемка 2018 г.	40	52	1.42	0.425

Жирным шрифтом выделены выборки с согласием с распределением Пуассона на уровне значимости 0.99.

Проверка теоретической вероятности поражения линейного сооружения эмпирическим частостям осуществлена на 11 выборках. На рис. 5 графически показано соответствие расчетной вероятности для разной длины фрагментов разбиения и эмпирическими частостями для участка Салехард 2.

Рис. 5.

Соответствие расчетной вероятности (линия) для разной длины фрагментов разбиения и эмпирическими частостями (темные квадраты) для участка Салехард 2.

В табл. 2 приведены данные по соответствию эмпирической частости поражения линейного сооружения и теоретической расчетной вероятности для всех участков, привлеченных для анализа.

Таблица 2.

Соответствие эмпирической частости поражения линейного сооружения и теоретической расчетной вероятности

Участок	Длина фрагмента линейного сооружения, м	Объем выборки	Эмпирическая частость поражения	Теоретическая вероятность поражения
Амга 3	250	80	0.35	0.27
	350	60	0.43	0.35
	500	40	0.75	0.46
ВСТО 2	35	59	0.44	0.52
ВСТО 2	50	41	0.49	0.66
Салехард 2	25	186	0.61	0.53
	50	93	0.74	0.78
	75	62	0.85	0.89
	100	51	0.88	0.94
ВСТО 21	25	66	0.62	0.59
ВСТО 21	35	47	0.23	0.10

Гипотеза показывает, что теоретические вероятности близки к эмпирическим частостям в 9 случаях из 11. Полученные данные по случайному выбору фрагментов линейного сооружения включали выборки объема от 41 до 186.

Полученные результаты могут быть использованы при дистанционной оценке опасности. С учетом полученных данных процедура оценки опасности должна содержать следующие основные элементы:

− выполнение повторной двукратной дистанционной съемки;

− определение по каждому сроку значений параметров: среднего логарифма проекции термокарстового понижения на направление перпендикулярное линейному сооружению, стандарта этой проекции, средней плотности расположения озер в зоне анализа;

− расчет прогнозных значений этих же параметров на основании линейного роста логарифма и дисперсии логарифма проекции и линейного роста плотности расположения озер (или постоянства плотности – в зависимости от сценария);

− расчет вероятности поражения линейного сооружения (фрагмента заданной длины) на прогнозный срок.

ВЫВОДЫ

1. Таким образом, в результате проведенных исследований теоретически разработан и эмпирически проверен метод оценки вероятности поражения линейного сооружения инициированными термокарстовыми процессами для транспортно-коммуникационных сетей.

2. Получены закономерности поражения линейного сооружения инициированными термокарстовыми процессами.

3. Определены основные элементы процедуры количественной прогнозной оценки опасности поражения линейного сооружения инициированными термокарстовыми процессами.

Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РГО-РФФИ № 17-05-41141 и в рамках государственного задания по теме № г.р. АААА-А19-119022190077-6 в части оценки природной опасности.

Список литературы

Алешин А.С., Торгоев И.А., Шикерук А.Н. и др. Долговременные аспекты оползневого прогнозирования // Сергеевские чтения. Вып. 15. 2013. С. 96–101.
Викторов А.С. Основные проблемы математической морфологии ландшафта. М.: Наука, 2006. 252 с.
Викторов А.С., Орлов Т.В., Дорожко А.Л., Зверев А.В. Развитие модели инициированных термокарстовых процессов для дистанционной оценки природной опасности // Геоэкология. 2019. № 2. С. 68–76.
Викторов А.С., Орлов Т.В., Капралова В.Н., Дорожко А.Л. Модель развития инициированных термокарстовых процессов в зоне линейных сооружений (на основе подходов математической морфологии ландшафта) // Геоэкология. 2018. № 5. С. 87–96.
Елкин В.А. Региональная оценка карстовой опасности и риска (на примере Республики Татарстан): автореф. дисс. …. канд. геол.-мин. наук. М.: ИГЭ РАН, 2004. 24 с.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. 573 с.
Опасные природные процессы / Под ред. В.И. Осипова. М.: ГЕОС, 1999. 290 с.
Рагозин А.Л. Современное состояние и перспективы оценки и управления природными рисками в строительстве // Анализ и оценка природного и техногенного риска в строительстве. М.: ПНИИИС, 1995. С. 9–25.
Хоменко В.П. Закономерности и прогноз суффозионных процессов. М.: ГЕОС, 2003. 216 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Геоэкология. Инженерная геология, гидрогеология, геокриология

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал