Геоэкология. Инженерная геология, гидрогеология, геокриология, 2023, № 6, стр. 79-83

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время возможно выполнять расчеты притоков подземных вод к объектам при помощи большого количества численных и аналитических методов [4, 6–9, 13]. В последние два десятка лет наиболее распространенной практикой стал расчет водопритоков с использованием математических моделей. Их применение обусловлено не только точностью расчетов, но и возросшей доступностью этих методов и универсальностью их применения для разных геолого-гидрогеологических условий. В качестве математических моделей, как правило, применяются геофильтрационные модели, основанные на законе Дарси и уравнении неразрывности [7].

Общеизвестна эффективность этих моделей для расчетов средних и максимальных значений водопритоков. Но в литературе не удалось найти примеров по их успешному и широкому применению для оперативных, регулярных прогнозов сезонных изменений водопритоков с заданной заблаговременностью (например, среднемесячных значений водопритоков с заблаговременностью один месяц). Связано это, прежде всего, с тем, что сезонные изменения уровенного режима подземных вод и водопритоков к горным выработкам во многом определяются изменением условий питания водоносных горизонтов, входом в геофильтрационную модель – условиями на ее гидродинамических границах. Например, инфильтрационным питанием, распределение которого ни по площади водосбора, ни во времени достоверно неизвестно, в связи с отсутствием прямых наблюдений. Решением в этом случае может стать создание комплексной модели водосбора. Например, для прогноза водопритоков, вызванных процессами снеготаяния, комплексная модель должна включать в себя следующие модели: процесса снеготаяния, поверхностного стока и поступления питания в зону аэрации, влагопереноса в ненасыщенной зоне, и геофильтрационную модель. Очевидно, что обеспечить такую сложную модель точными и специфическими параметрами и данными затруднительно.

Другое решение прямо противоположно и заключается в упрощении представлений о водосборе путем пространственного осреднения описывающей его модели. В частности, известна модель склонового сосредоточенного притока с водосбора вида (1). Приведенная модель получена [3] осреднением двумерной модели стекания по водосбору [5]. В рамках частично инфинитного моделирования было обосновано ее применение для прогнозов как суммарных притоков (подземного, поверхностного и речного стока) с водосбора, так и отдельно поверхностного и подземного стоков (минимального 30-суточного стока) [2].

где Q – сток с водосбора (приток в рудник), м³/сут; τ – время добегания, сут; k – коэффициент стока; Ẋ – эффективные осадки, м³/сут; $t$ – время, сут.

Для модели (1) нет различий в том, чем дренируется сток с водосбора: рекой, озером, карьером или рудником. Свойства этого объекта, как и всего водосбора, “сжатого” в точку, отражены в коэффициентах модели. По этой причине модель водосбора с сосредоточенными параметрами может быть использована для прогнозов водопритоков и к карьерам, и к подземным горным выработкам. Но эффективность и границы ее применения должны быть установлены и обоснованы [2].

МЕТОДИКА РАСЧЕТА

Для оценки применимости модели (1) для прогнозов водопритоков к карьерам и подземным горным выработкам проведен ряд исследований. На первом этапе проведена оценка применимости этой модели для прогнозов среднегодовых значений притоков к горным предприятиям, разрабатывающим месторождения апатит-нефелиновых руд Хибинского массива (Коашвинский и Ньоркпахкский карьеры и Кировский рудник с комбинированной разработкой). Расчеты показали “хорошую” оправдываемость прогнозов. Точность прогнозов по критерию S/σ [11] составила: 0.34 для Коашвинского и 0.57 для Ньоркпахкского карьеров. Для Кировского рудника значение критерия S/σ для ряда среднемесячных притоков составило 0.58. Подробно результаты первого этапа исследований представлены в [1].

На втором этапе исследований была проведена оценка применимости модели для прогнозов среднемесячных значений притоков с заблаговременностью один месяц для подземных горных выработок на примере одной из шахт Кузнецкого угольного бассейна. Результаты исследований представлены в настоящей статье.

Для практического применения разработанных методов прогноза наибольший интерес представляют те, реализация которых на производстве не требует высокой квалификации персонала и использования специализированного программного обеспечения. Поэтому из семейства моделей водосбора и их численных реализаций для расчета притока к подземным горным выработкам была рассмотрена численная реализация модели (2) с корректировкой, задачу идентификации параметров которой можно свести к решению системы линейных алгебраических уравнений.

где t – момент времени; Δt – шаг по времени, равный заблаговременности прогноза.

Под корректировкой понимается то, что на каждом временном шаге в качестве Q_t задаются фактические (измеренные) значения расходов воды. Шаг расчета равен заблаговременности прогноза. При наличии рядов фактических наблюдений за расходами (Q₁,…Q_n) и осадками (X₁,…X_n) задача идентификации параметров модели может быть сформулирована, как нахождение коэффициентов модели, при использовании которых ошибка расчета (прогноза) будет минимальна, т.е. решена с помощью метода наименьших квадратов [12].

где S – среднеквадратическая ошибка расчетов, м³/сут; $Q_{t}^{ф}$ – фактический (измеренный) сток с водосбора в момент времени t, м³/сут; $Q_{t}^{{{\text{пр}}}}$ – рассчитанный по модели сток с водосбора в момент времени t, м³/сут; n – длина ряда наблюдений.

Подставив (2) в (3) и преобразуя, получаем:

В случае использования модели с корректировкой начальных условий, когда все члены рядов Q_t, Q_t+Δt, X_t в (4) известны, решая задачу минимума, можно найти коэффициенты k и τ аналитически.

Аналитическое решение можно получить как для случая, когда k = const и τ = const, так и для ряда случаев с переменными значениями коэффициентов 1/k = f(Y₁) и 1/τ = f(Y₂), где Y₁ и Y₂ – известные измеренные параметры (например, температура воздуха, атмосферные осадки, величина снежного покрова, уровни воды и т.п.), в том числе данные дистанционного зондирования Земли [10].

Для случая k = const и τ = const решение выглядит следующим образом:

где ${{A}_{1}}$ = $\sum\nolimits_{t = 1}^n {({{Q}_{t}} \cdot {{X}_{t}})} $, ${{A}_{2}}$ = $\sum\nolimits_{t = 1}^n {({{Q}_{{t + {{\Delta }}t}}} \cdot {{X}_{t}})} $, ${{A}_{3}}$ = $\sum\nolimits_{t = 1}^n {{{{({{Q}_{t}})}}^{2}}} $, $~{{A}_{4}}$ = $\sum\nolimits_{t = 1}^n {({{Q}_{t}} \cdot {{Q}_{{t + {{\Delta }}t}}})} $, ${{A}_{5}}$ = $\sum\nolimits_{t = 1}^n {{{{({{X}_{t}})}}^{2}}} $.

Это решение позволяет предложить следующую методику составления оперативных прогнозов среднемесячных значений водопритоков:

1. Ряд совместных наблюдений за водопритоком и осадками разделяется на две равные части, длиной не менее 15–20 наблюдений.

2. По первой половине ряда рассчитываются коэффициенты модели по (5) и (6) (проводится идентификация параметров модели). Оценивается точность идентификации параметров.

3. По второй половине ряда проводятся поверочные прогнозы, оценивается их точность. Для оценки точности прогнозов целесообразно использовать критерии S/σ или S/σ_Δ [11], суть которых в преимуществе предлагаемого метода над простейшим инерционным прогнозом (соотношение среднеквадратических ошибок их прогнозов).

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДИКИ ДЛЯ ПРОГНОЗА ВОДОПРИТОКОВ ОДНОЙ ИЗ ШАХТ КУЗБАССА

В соответствии с представленной методикой проведены прогнозы для одной из шахт Кузбасса. В качестве исходных данных приняты атмосферные осадки и величина снежного покрова по метеостанции Мыски, которые представлены на рис. 1. Атмосферные осадки, измеряемые на метеостанции, не в полной мере соответствуют входу в модель (осадкам (Ẋ), поступающим на водосбор), поскольку твердые осадки в виде снега запасаются и поступают на водосбор в процессе снеготаяния, который не контролируется прямыми наблюдениями. Если рассматривать этот процесс, оставаясь в рамках модели (1), то он будет зафиксирован изменением коэффициентов модели, в зависимости от высоты снежного покрова. Поэтому при составлении прогнозов в холодный период года (октябрь-февраль) жидкие осадки принимались равными “0”, в марте – равными измеренным выпавшим осадкам. В период апрель-май за жидкие осадки принимались измеренные осадки за период октябрь-февраль, распределенные между двумя месяцами (апрель и май) пропорционально глубине снежного покрова. В остальные месяцы жидкие осадки принимались равными измеренным (на метеостанции Мыски). При идентификации параметров модели коэффициенты k и τ рассматривались как линейные функции от высоты снежного покрова для учета поступления влаги на водосбор в процессе снеготаяния.

В результате была получена следующая модель:

где Q – водоприток в шахту, м³/ч; t₂ – прогнозный месяц; t₁ – предшествующий прогнозному (текущий) месяц; K₁ – 0.88504904S + 0.1498; K₂ – –0.00592430S + 0.1654; S – высота снежного покрова на метеостанции Мыски, см; X – жидкие осадки, поступающие на водосбор, мм.

Прогнозный гидрограф, полученный с помощью этой модели, и фактические данные о водопритоках представлены на рис. 2. Точность модели при идентификации параметров по критерию S/σ [11] составила 0.59, по критерию S/σ_Δ – 0.66. Такой прогноз принято считать “удовлетворительным”.

ВЫВОДЫ

1. На основании модели водосбора, основанной на модели склонового стока с сосредоточенными параметрами, разработана доступная для применения без специализированного программного обеспечения методика прогнозов водопритоков. Она может быть реализована в любых распространенных редакторах электронных таблиц (MS Excel, OpenOffice Calc и т.п.).

2. Составленные с помощью разработанной методики прогнозы водопритоков для одной из шахт Кузбасса имели “удовлетворительную” точность (S/σ ≈ 0.6).

3. Результаты применения модели водосбора с сосредоточенными параметрами для прогноза сезонных изменений водопритоков совместно с ранее полученными результатами по ее применению для карьеров [1] дают основания утверждать о перспективности применения модели водосбора с сосредоточенными параметрами для прогнозов водопритоков к горным выработкам.

4. Подход к описанию водосбора упрощенными моделями, кроме ряда преимуществ, неизбежно приводит к “размытию” физического смысла коэффициентов (свойств) модели, переходу в область частично-инфинитного моделирования. Поэтому для оценки возможности (целесообразности) и границ применения представленного метода необходимо более широкое его применение в разных гидрогеологических условиях. Только на основании обобщения эмпирического опыта можно будет сделать более полные соответствующие выводы и обоснования.