Геоморфология и палеогеография, 2020, № 4, стр. 34-44

ВВЕДЕНИЕ

Объективно сложные физико-географические и геолого-геоморфологические условия изучения глубоководных полиметаллических сульфидов (ГПС) требуют (особенно на начальном – поисковом – этапе) привлечения и широкого использования дистанционных методов прогноза для поисков сульфидных рудопроявлений. Актуальность прогнозных работ трудно переоценить, поскольку в связи с недавним принятием Международным органом по морскому дну правил разведки ГПС в настоящее время выполнение всех контрактов на Срединно-Атлантическом хребте (САХ) находится на поисковой стадии [1]. Естественным образом основными объектами прогнозных исследований являются донная поверхность и ее морфология, данные о которой формируются, в первую очередь, в результате многолучевой набортной (с разрешением до первых метров) и придонной (с разрешением до первых сантиметров) батиметрических съемок. Таким образом, существует возможность создания цифровых моделей донной поверхности любой детальности. В данном случае это является основой морфологического анализа и получения на его базе представлений о геолого-геоморфологической структуре дна для определения структурных закономерностей локализации гидротермальных сульфидных рудопроявлений и соответственно наиболее рационального планирования и проведения поисковых работ.

В условиях суши морфометрические методы изучения рельефа получили широкое распространение [2], разработано несколько десятков методов, основанных на количественном анализе точечных, линейных и площадных характеристик земной поверхности. В связи с существенным различием генетических процессов, от которых зависят формирование и развитие рельефа на суше и в океане, подавляющую часть известных методов (например, основанные на гидрологических процессах) невозможно применить при изучении субаквального рельефа. Некоторые известные методы (например, анализ расчлененности рельефа) можно адаптировать для изучения субаквального рельефа [3], но, как показывает практика, их недостаточно для выявления структурных закономерностей локализации ГПС. Таким образом, существует необходимость в разработке методов более детального анализа рельефа.

На протяжении ряда лет авторами разрабатывается метод спектрального анализа субаквального рельефа. На первом этапе рельеф исследовался путем анализа спектров выборочных профилей рельефа. При этом использовалось одномерное разложение Фурье (спектральный или гармонический анализ) по нескольким профилям для изучаемой площади. Выявленные ограничения, связанные с недостаточной информативностью, не позволяют применять одномерное разложение профиля рельефа в спектр для детального изучения морфологии донной поверхности [4].

Предыдущие работы получили развитие в виде нового вида морфометрического анализа – двумерного спектрального анализа рельефа, в конкретной геоморфологической обстановке рифтовой зоны Срединно-Атлантического хребта. Для этого потребовалось разработать алгоритм “распознавания с обучением”, при этом источником информации является рельеф дна, преобразованный в двумерный спектр гармонических составляющих или гармоник. С одной стороны, отличия в наборе гармонических составляющих от участка к участку позволяют различать изменчивость рельефа, а с другой стороны, преобладающее сходство хотя бы в нескольких гармониках позволяет утверждать о существовании общей причины, создавшей морфологический облик этих участков океанического дна. Все это дает возможность применять процедуру обучения – т.е. используя полученные данные о спектральных составляющих деформаций эталонного участка выявлять близкие участки в спектральных аспектах деформации как в ближайших окрестностях, так и за их пределами.

Заявленная тема подразумевает поиски того или иного типа рельефа в объеме прогнозно-поисковых задач. Тут следует учитывать, что глубоководные полиметаллические сульфиды представлены рудными полями, компактных размеров – несколько сотен метров, вытянутой формы [5, 6]. Возможны их проявления в виде построек “черных курильщиков”, в материалах исследований упоминаются близость вулканических аппаратов, трансформных разломов и приуроченность к таким крупным внутрикоровым образованиям – как внутренним океаническим комплексам. Исследуемый район ограничен координатами: с севера – 14°49′ с.ш.; с юга – 12°52′ с.ш.; с востока – 44°49′ з.д.; с запада – 45°02′ з.д. Для этого района имеются достаточно подробные данные о рельефе дна и при этом уже открыто несколько месторождений [6].

ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ

Метод спектрального анализа был разработан математиком Ж. Фурье в XIX веке. Суть метода заключена в следующем: любой периодический сигнал можно разложить на ряд гармонических функций (ряд Фурье) таким образом, что при суммировании функций этого ряда получается исходный сигнал [7– 9]. На основе этого имеется возможность анализировать составляющие сигнала, которые представлены набором гармонических функций – спектром. Спектр несет информацию о распределении энергии в сигнале между его периодическими составляющими. Применительно к рельефу можно оценить преобладающие деформации некоторого участка земной поверхности. Выделяемые периоды связаны с теми или иными процессами образования рельефа. В условиях океанического дна срединных хребтов эта связь определяется в большинстве случаев эндогенными процессами. Близкий к этому подход, заключающийся в спектральном разложении профилей рельефа для выявления корреляции с геофизическими полями Сибирской платформы, был применен в 90-х годах прошлого века исследователями В.П. Прониным и Д.В. Лопатиным [10].

Естественно спектральный анализ рельефа на современном этапе развития обработки информации и с учетом объемов требующихся вычислений немыслимо выполнять без использования ГИС и сопутствующих приложений [11]. В практике обработки цифровых моделей рельефа (ЦМР) используется вариант дискретного преобразования Фурье [12].

Следует учитывать некоторые основные свойства дискретного спектрального преобразования. Первое важнейшее свойство спектрального преобразования состоит в том, что оно обратимо – из спектра возможно полностью восстановить исходный сигнал. Это значит, что информация из исходного участка не теряется в отличие, например, от дифференциальных преобразований при вычислении морфометрических параметров земной поверхности [2]. Поэтому в спектральном образе содержится ровно столько же информации, сколько и в исходном массиве дискретных значений участка поверхности.

Второе важное свойство: спектр – это набор волновых изменений, затрагивающих все рассматриваемое пространство и поэтому в спектре “отсутствует” информация о координатах конкретной точки внутри анализируемого участка. Для преодоления этого неудобства на больших площадях и только при избыточной информации о рельефе следует перед выполнением спектрального анализа разбивать изучаемую площадь на равномерно-расположенную сетку одинаковых площадок. Для каждой полученной палетки, состоящей из N² дискретных значений, выполняется спектральный анализ, при этом центр клетки будет выражать координату привязки конкретного участка Фурье-преобразования и значит локализовать определяемые спектральные свойства.

Третье важное свойство: спектральное преобразование распространяется на пространства любой размерности. Для геоморфологических целей это очень важно, так как дает возможность извлекать спектральную информацию непосредственно из двумерной поверхности (минуя профилирование), в частности из цифровых моделей рельефа адекватно представляющих земную поверхность. Двумерное дискретное преобразование Фурье, выполняемое одновременно по осям Х и Y, позволяет выявить все возможные деформации не профиля, а поверхности в пределах заданной точности (дискретности) ЦМР – в данном исследовании оно равнялось 93 м.

ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

При выполнении дискретного двумерного спектрального анализа необходимо учитывать, что согласно теореме Котельникова [12]: достаточное количество гармонических составляющих разложения (N)²/4 + N, где N – дискретность исходной модели. Аналитическое представление отсчетов (волновых чисел) для правильного выполнения двумерного преобразования показано в табл. 1.

Выражения для двумерного преобразования Фурье подробно рассмотрены в работе Дж.С. Дэвиса [8, с. 180–181: (5.98), (5.99)]. С первого взгляда, они громоздки, даже в общем представлении, однако в основе своей содержат только две операции сложения и умножения, применяемого в различных сочетаниях ко всем значениям пространственного массива. Базовый алгоритм расчета разработан с применением библиотек научного анализа “Numpy” программы Python 3.7.

Для примера покажем образы двумерных пространственных косинусоидальных волн, составляющих матрицу результата преобразования Фурье (табл. 1 – правая часть). Амплитуда волн будет равна условной единице, тогда гармоника F₀₀ – это постоянная составляющая или среднее значение высоты для изучаемой площадки рельефа; F₀₁ – ноль-первая гармоника: ноль – это указание на отсутствие гармонической волны в направлении Y – в меридиональном направлении, а в широтном направлении Х наблюдается гармоническая волна и в пределах изучаемой площадки она состоит из одного периода; F₀₂ – ноль-вторая гармоника: ноль – это указание на отсутствие гармонической волны в направлении Y, а в направлении Х наблюдается гармоническая волна и в пределах изучаемой площадки она состоит из двух периодов и т.д. – рис. 1. Соблюдая принцип этой нумерации, можно по номеру гармоники сразу же определить общий вид пространственной волны, учитывая, что номер гармоники означает еще и количество волн, укладываемых в исследуемое пространство по Х и Y.

В результате спектрального преобразования одной площадки, содержащей 16 × 16 гипсометрических значений, получим значения амплитуд 80 гармоник и одно значение постоянной составляющей, которые характеризуют все присущие деформации данному участку и только одну пару координат центра исследуемой площадки – локализации выявленных спектральных особенностей рельефа. Таким образом, разложение Фурье применяется ко всему гипсометрическому массиву путем многократного повторения вычислений своеобразной спектральной палетки, сдвигая ее пошагово по всей изучаемой площади. Это дает возможность проанализировать всю исследуемую площадь (более 5000 км² – рис. 2) на предмет изучения пространственного распределения (усиления или ослабления) искомого спектрального сочетания.

В результате расчета спектров каждой палетки на данную территорию получен мультиполигональный слой, содержащий 2304 площадки, в каждой из которых записано 81 значение амплитуд гармонических составляющих.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О (НЕ)ПРИНАДЛЕЖНОСТИ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ВЫБОРКИ АМПЛИТУД ГАРМОНИЧЕСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ УЧАСТКОВ ИЗВЕСТНЫХ ГПС КО ВСЕМУ МАССИВУ ПОЛУЧЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СПЕКТРА

Спектральное разложение представляет собой совокупность амплитуд гармонических деформаций. Таким образом, все возможные формы рельефа приведены в соответствие со стандартным набором гармонических деформаций. Уникальность рельефа каждой клетки поверхности выразится в амплитудных различиях стандартного набора гармоник – их всего 80 и 1 – постоянная составляющая. Такой формат представления позволяет осуществлять распознавание и поиск заданных комбинаций гармоник в массиве данных. На данном этапе воспользуемся статистическим, так называемым t-критерием для проверки гипотезы о непринадлежности клеток-участков рельефа, на которые попадают сульфидные поля по всему массиву клеток, принимая во внимание амплитудные значения спектра.

Сформулируем гипотезу, опираясь на следующие положения [7]:

1) имеется 10 образцовых клеток – участков с рельефом, так или иначе подвергшихся изменению в результате формирования сульфидов, параметр, их характеризующий – u₁, математическое ожидание данной совокупности;

2) эти изменения заключены в повышенных (пониженных) амплитудах некоторых гармонических составляющих данных десять клеток по сравнению с остальными более 2000 клеток всего массива, являющих собой нормальное распределение с параметром u₀ – математическое ожидание всей совокупности;

3) нулевая гипотеза Н₀ – массивы являются частью друг друга, отличий нет:

альтернатива H₁ – массивы различны:

На основе этого формулируем альтернативу для каждой гармоники: если значения расчетного t-критерия t_1i с учетом среднего Х амплитуд выборки (n = 10 – десять клеток, содержащие сульфидные поля) и среднего совокупности всего массива клеток (весь массив – более 2000 клеток, отождествляется с генеральной совокупностью), больше распределения Стьюдента при заданной вероятности a/2 и n – 1 степенях свободы для положительного правого “хвоста” распределения, то делается вывод о непринадлежности данной гармоники ко всему массиву амплитуд, т.е. подтверждение о ее особенности и возможности использования как поискового признака. Однако распределение Стьюдента симметрично относительно нуля и t-критерий может иметь и отрицательные значения. Это позволяет расширить гипотезу: если значения расчетного t-критерия t_i с учетом среднего Х амплитуд выборки (n = 10 – десять клеток, содержащие сульфидные поля) и среднего совокупности всего массива клеток, меньше распределения Стьюдента при заданной вероятности a/2 и n – 1 степенях свободы для левого отрицательного “хвоста” распределения, делается вывод о непринадлежности данной гармоники ко всему массиву амплитуд и указывает на ее обязательные близкие к нулю амплитуды в случае применения как поискового признака уже определенной выше гармоники положительного значения t-критерия.

Расчет t-критерия выполняется по выражению [8]:

где Х_J – среднее амплитуд выборки массива j-й гармоники, U_0j – среднее амплитуд всего массива, s_xj – дисперсия выборки, n – количество (их 10) элементов (известных сульфидных полей) в выборке.

Значение распределения Стьюдента при n – 1 степенях свободы, с которым будет сравниваться расчетный t-критерий, находится по соответствующим таблицам или по функции в статистическом блоке Excel.

Проводим подобный расчет для всех гармоник в среде электронных таблиц Excel.

После выполнения подобных расчетов строится график расчетных t-критериев, также на графике указываются значения левого – отрицательного и правого – положительного “хвостов” (рис. 3).

На графике наглядно показаны значения 5% уровня значимости – выше и ниже значений правого и левого “хвостов” распределения Стьюдента. Для поискового критерия определены 10 и 20, так называемые “положительные”, гармоники и весьма большое количество “антигармоник” – с отрицательным расчетным t-критерием выборки амплитуд меньшим критического значения левого “хвоста” распределения Стьюдента. Для поискового критерия из них следует выбрать гармоники с наименьшими отрицательными значениями, т.е. под номерами 66 и 68.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Выявленные четыре значимые гармонические составляющие, сопутствующие сульфидным полям, следует соотнести друг с другом в части пространственного положения, применив статистический анализ. Для этого требуется построить соответствующие цифровые модели пространственного распределения в терминах вероятности и путем их совмещения построить прогнозную карту нахождения сульфидных полей на исследуемый район. Для этого выполним последовательно нормализацию и стандартизацию пространственных массивов амплитудных значений выявленных поисковых гармоник в приложении ArcGIS [11]. После данной подготовки растров амплитуд 10, 20, 66 и 68 гармоник к вычислению вероятности пространственного положения сульфидных полей в той или иной точке района необходимо инвертировать полученные растры гармоник под номерами 66 и 68. Это необходимо сделать для дальнейшего вычисления совместной вероятности по всем четырем признакам. Следующим этапом явится исключение отрицательных значений стандартных отклонений для каждого массива (представленного растром) или точнее – заменим их на ноль. Тогда результирующее вероятностное поле P(i) находится по выражению:

где S_10i, S_20i – нормализованные и стандартизированные положительные i значения массивов амплитуд 10 и 20 гармоник соответственно, а S_66i и S_68i – нормализованные и стандартизированные отрицательные i значения амплитуд 66 и 68 гармоник. Наличие настраиваемой классификации отображения полученного растра прогноза в ArcGIS весьма удобно, так как по гистограмме можно задавать границы оконтуривания площадей в терминах вероятности. Например, говорить о высокой вероятности совместного нахождения поисковых признаков можно в случае, когда значение амплитуд результирующего растра достигает более 1.66 значений стандартного отклонения, а площади, на которые, возможно, следует обратить внимание, имеют значения стандартного отклонения 0.66–1.6.

Таким образом, на участке Срединно-Атлантического хребта площадью более 5000 км², подвергнутого анализу по вышеприведенной методике, наблюдается хорошее совпадение прогноза с известными месторождениями и при этом выявляется более двух десятков новых высоковероятных площадей на сульфиды (рис. 4).