Исследование Земли из Космоса, 2022, № 6, стр. 124-128

Отражение сферической волны от двухслойной среды и бистатическое микроволновое зондирование ледового покрова озера Байкал

П. Н. Дагуров a, А. В. Дмитриев a*, С. И. Добрынин a, Т. Н. Чимитдоржиев a, А. К. Балтухаев a

a Институт физического материаловедения СО РАН
Улан-Удэ, Россия

* E-mail: dav@ipms.bscnet.ru

Поступила в редакцию 09.09.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Разработан метод расчета коэффициента отражения сферической волны от двухслойной среды с плоскими границами раздела. Использован лучевой подход и поле находится путем суммирования волн, испытавших различное число преломлений и отражений. Установлено, что учет сферичности волны необходим при произвольном соотношении между высотой источника над слоем и толщиной слоя. Приведены результаты натурного исследования отражения микроволн L-диапазона от ледового покрова озера Байкал. Показано, что между расчетными и экспериментальными данными наблюдается хорошее согласие.

Ключевые слова: сферическая электромагнитная волна, слоистая среда, отражение, ледовый покров

ВВЕДЕНИЕ

В связи с современными климатическими флуктуациями все более возрастает актуальность методов дистанционного мониторинга окружающей среды и чрезвычайных ситуаций (Бондур и др., 2021; Bondur et al., 2021; Bondur et al., 2022). При этом отмечается общемировая тенденция по увеличению спутниковых радиолокационных систем мониторинга, что связано с возможностью выполнения съемки в любое время суток и практически при любой погоде, а также с высокой проникающей способностью волн микроволнового диапазона. Однако земные покровы неоднородны и с той или иной степенью точности их можно считать слоистыми. Поэтому возникает задача учета этой слоистости для почвы (Дагуров и др., 2012; Дагуров и др., 2016), снега (Dagurov et al., 2020; Nievinski, Larson, 2014; Rees, 2006), льда (Бордонский и др., 2011; Rees, 2006). Общие вопросы взаимодействия волн со слоистыми средами рассмотрены в монографиях (Бреховских, 1973; Борн, Вольф, 1973). Наиболее простым вариантом слоистой среды является двухслойная среда в виде однородного плоского слоя конечной толщины, лежащего на однородном полупространстве. Для отражения плоской волны от такой двухслойной структуры существует известное решение, основанное на суммировании всех волн, испытавших отражения. Обычно это решение и используется в различных задачах, связанных с взаимодействием волн с двухслойной средой. Для сферической волны подобное геометрооптическое решение в литературе не обнаружено.

Цель работы заключается в нахождении выражения для коэффициента отражения сферических волн от двухслойной среды в приближении геометрической оптики и экспериментальной проверке расчетно-теоретических результатов.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРАЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ ОТ ДВУХСЛОЙНОЙ СРЕДЫ

Геометрия задачи показана на рис. 1. В точке A в среде 1 в воздухе (ε1 = 1) на высоте hA над поверхностью слоя расположен точечный источник монохроматических волн с комплексной амплитудой ${{\exp \left( {ikr} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\exp \left( {ikr} \right)} r}} \right. \kern-0em} r}$ (k – волновое число, r – расстояние от источника). В точке B на высоте hB находится приемник излучения. Расстояние между антеннами вдоль верхней границы раздела равно d. Двухслойная среда образована диэлектрическим плоским слоем 2 с диэлектрической проницаемостью ε2 толщиной b, лежащим на полупространстве 3 с диэлектрической проницаемостью ε3.

Рис. 1.

Геометрия задачи об отражении сферической волны от двухслойной среды.

Найдем коэффициент отражения от двухслойной среды. Будем полагать, что выполняется условие hA, hB $ \gg $ λ (λ – длина волны) и используем лучевой подход. По аналогии с решением для плоской волны представим поле отраженной волны в точке наблюдения в виде суммы всех волн, испытавших различное число отражений и преломлений. На рис. 1 показаны три волны: волна, отраженная от верхней границы 12 между средами 1 и 2; волна, прошедшая (преломившаяся) в слой через границу 12, отразившаяся от нижней границы 23 и затем прошедшая границу 21; волна, прошедшая в слой и вышедшая из него после двух отражений от нижней границы и одного отражения от верхней границы. В отличие от плоской волны углы падения и, соответственно, преломления для разных волн в слое, а также и амплитуды этих волн имеют различные значения, что не позволяет суммировать волны простым способом, используя свойства геометрической прогрессии (Бреховских, 1973; Борн, Вольф, 1973).

Расстояние r0, которое проходит волна, отраженная от верхней границы раздела под углом θ и сам угол θ, определяются соотношениями

(1)
${{r}_{0}} = \frac{{{{h}_{A}} + {{h}_{B}}}}{{\cos \theta }},\,\,\,\,\theta = {\text{arctg}}\frac{d}{{{{h}_{A}} + {{h}_{B}}}}.$

Найдем угол θj, под которым на слой падает j-ая волна, проходящая в слой и испытывающая затем j отражений от нижней границы слоя и (j – 1) отражений от верхней границы. Из геометрии задачи и закона Снеллиуса, связывающего угол падения θj и угол преломления ψj для j-ой волны, получим уравнения для определения θj, которые решаются численно,

(2)
$\begin{gathered} \left( {{{h}_{A}} + {{h}_{B}}} \right){\text{tg}}{{\theta }_{j}} + 2bj{\text{tg}}{{\psi }_{j}} = \left( {{{h}_{A}} + {{h}_{B}}} \right){\text{tg}}\theta , \\ {{\psi }_{j}} = \arcsin \frac{{\sin {{\theta }_{j}}}}{{\sqrt {{{\varepsilon }_{2}}} }}. \\ \end{gathered} $

Расстояние rj, пройденное рассматриваемой волной от точки А до точки В является суммой расстояний, пройденных волной в средах 1 и 2, а ее фаза φj определяется из соотношения

(3)
${{\varphi }_{j}} = k\left( {\frac{{{{h}_{A}} + {{h}_{B}}}}{{\cos {{\theta }_{j}}}} + \frac{{2jb\sqrt {{{\varepsilon }_{2}}} }}{{\cos {{\psi }_{j}}}}} \right).$

Поле j-ой волны имеет вид

(4)
${{E}_{j}} = {{T}_{{12j}}}{{({{R}_{{23j}}})}^{j}}{{({{R}_{{21j}}})}^{{j - 1}}}{{T}_{{21j}}}\frac{{\exp (j{{\varphi }_{j}})}}{{{{r}_{{je}}}}},$
где T12j и T21j – коэффициенты прохождения волны из первой среды во вторую, и из второй среды в первую, соответственно: R21j и R23j – коэффициенты отражения волны в слое 2 от первой среды и третьей среды, соответственно.

В формуле (4) через rje обозначено эквивалентное расстояние, которое отличается от геометрического расстояния, пройденного j-ой волной. В монографии (Борн, Вольф, 1973) в приближении геометрической оптики получено выражение для амплитуды преломленной сферической волны в среде 2, которое можно представить в виде

(5)
$\left| E \right| = \frac{1}{{{{r}_{1}}}}\sqrt {\frac{{{{h}_{1}}{\text{tg}}~{{\alpha }_{1}}}}{{{{h}_{1}}{\text{tg}}{{\alpha }_{1}} + {{h}_{2}}{\text{tg}}{{\alpha }_{2}}}}\frac{{{{h}_{1}}}}{{{{h}_{1}} + \frac{{{{h}_{2}}}}{{\sqrt {{{\varepsilon }_{2}}} }}{{{\left( {\frac{{\cos ~{{\alpha }_{1}}}}{{\cos ~{{\alpha }_{2}}}}} \right)}}^{3}}}}} \left| {{{T}_{{12}}}} \right|.$

В формуле (5) r1 – расстояние от источника до точки входа луча в среду 2; h1, h2 – расстояния от источника и точки наблюдения во второй среде до поверхности раздела, соответственно; α1, α2 – углы падения и преломления.

Обобщение формулы (5) с помощью метода зеркальных изображений на случай отражения от двухслойной среды, приводит к следующему выражению для эквивалентного расстояния

(6)
${{r}_{{je}}} = \frac{{{{h}_{A}}}}{{\cos ~{{\theta }_{j}}}}\sqrt {\frac{{\left( {{{h}_{A}} + {{h}_{B}}} \right){\text{\;tg}}~{{\theta }_{j}} + 2jbtg~{{\psi }_{j}}}}{{{{h}_{A}}{\text{tg}}{{\theta }_{j}}}}\frac{{{{h}_{A}} + {{h}_{B}} + \frac{{2jb}}{{\sqrt {{{\varepsilon }_{2}}} }}{{{\left( {\frac{{\cos ~{{\theta }_{j}}}}{{\cos ~{{\psi }_{j}}}}} \right)}}^{3}}}}{{{{h}_{A}}}}} .$

Учитывая, что hA, hB $ \gg $ λ, далее в качестве коэффициентов отражения и прохождения через границу двух однородных сред будем использовать коэффициенты Френеля.

Коэффициенты отражения и прохождения в (4) согласно граничным условиям связаны соотношениями

${{T}_{{12j}}} = 1 + {{R}_{{12j}}},\,\,\,\,{{T}_{{21j}}} = 1 + {{R}_{{21j}}},\,\,\,\,{{R}_{{21j}}} = - {{R}_{{12j}}}.$

Поле волны, отраженной от границы раздела сред 1 и 2 с коэффициентом отражения R12, имеет вид

(7)
${{E}_{0}} = {{R}_{{12}}}\frac{{{\text{exp}}\left( {ik{{r}_{0}}} \right)}}{{{{r}_{0}}}}.$

Используя соотношения (4) и (7), получим результирующий коэффициент отражения

(8)
$R = \frac{{{{E}_{0}} + \sum\limits_1^\infty {{{E}_{j}}} }}{{{{{\text{exp}}\left( {ik{{r}_{0}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{exp}}\left( {ik{{r}_{0}}} \right)} {{{r}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{r}_{0}}}}}}.$

Анализ показывает, что при удалении источника или приемника от границы раздела выражение (8) переходит в известную формулу для коэффициента отражения для плоской волны

(9)
$R = \frac{{{{R}_{{12}}} + {{R}_{{23}}}\exp (2ik\sqrt {{{\varepsilon }_{2}}} \cos \psi )}}{{1 + {{R}_{{12}}}{{R}_{{23}}}\exp (2ik\sqrt {{{\varepsilon }_{2}}} \cos \psi )}}.$

Действительно, расчеты по формуле (8) показывают, что при большой высоте излучателя или приемника над поверхностью слоя по сравнению с толщиной слоя результаты для сферической волны совпадают с результатами для плоской волны. Однако, если высоты и толщина одного порядка, то использование формулы для плоской волны приводит к существенным ошибкам в определении коэффициента отражения. Отметим, что в формулах (8) и (9) поляризация излучения учтена в коэффициентах отражения R12 и R23.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

Для экспериментальной проверки теоретической модели и сравнения с результатами расчета были проведены измерения отражения микроволн от ледового покрова озера Байкал. Предварительно толщина льда определялась с помощью бурения, ее величина составила 1.01 м. В эксперименте в качестве передающей и приемной антенн использовались измерительные рупорные антенны П6-23А с раскрывами 0.345 × 0.260 м. Центры раскрывов передающей и приемной антенн были установлены на высоте 1.6 м над поверхностью льда. Антенны были направлены на точку зеркального отражения от льда, т.е. измерительный комплекс представлял собой бистатический скаттерометр. Измерения проводились на частоте 1.78 ГГц. На данной частоте расстояние дальней зоны составляет 1.4 м, т.е. антенны находились в дальней зоне относительно друг друга. Развязка между уровнями измеряемой отраженной волны и прямой волны за счет диаграмм направленности антенн составляла не менее 30 дБ. Изменение угла падения производилось путем изменения расстояния между антеннами. Ширина диаграммы направленности составляла 25°.

На рис. 2 приведены экспериментальные и расчетные зависимости коэффициента отражения микроволн R от угла падения в диапазоне углов θ от 30 до 45°, полученные на частоте 1.78 ГГц при горизонтальной (ГП) и вертикальной (ВП) поляризациях. Измеренные значения показаны квадратами и треугольниками. При расчетах байкальский лед считался диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 3.17 (Hoekstra, Delaney, 1974), мнимая часть комплесной диэлектрической проницаемости не учитывалась, поскольку она меньше 10–4; комплексная диэлектрическая проницаемость воды принималась равной 80 + i20 (Hoekstra, Delaney, 1974). Расчеты проводились с учетом направленности антенн. Основной лепесток диаграммы направленности аппроксимировался гауссоидой. Расчеты показали, что результаты, полученные для направленной и ненаправленной антенн совпадают с графической точностью. Это объясняется следующим. Амплитуды j-ых волн быстро уменьшаются с увеличением значения j за счет увеличения пройденного волной расстояния и числа преломлений и отражений, поэтому учет даже одного члена в сумме формулы (8) обеспечивает достаточную точность вычислений. При угле падения θ = 30° вычисленные значения углов θj составили: θ1 = 23.5°, θ2 = 19.1°, θ3 = 16.0°; при θ = 45° – θ1 = 37.7°, θ2 = 31.7°, θ3 = 27.0°. Отсюда следует, что направления падения на лед волн E1 (угол падения θ1) не выходили за пределы ширины диаграммы направленности.

Рис. 2.

Зависимости коэффициента отражения R от угла падения. 1 – ГП, 2 – ВП, сферическая волна (расчет); 3 – ГП, 4 – ВП, плоская волна (расчет); 5 – ГП, 6 – ВП, эксперимент.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Экспериментальные результаты, приведенные на рис. 2, показывают существенную зависимость коэффициента отражения от угла падения, связанную с изменением условий интерференции для отраженной и преломленно-отраженных волн при изменении угла падения. В целом из представленных результатов можно сделать вывод об удовлетворительном согласии расчетных и экспериментальных данных, тогда как расчеты с ипользованием коэффициента отражения для плоской волны значительно отличаются. Некоторое расхождение расчетных и экспериментальных данных можно объяснить возможным влиянием неровности границ ледовой поверхности и связью антенн за счет бокового излучения вдоль прямой линии, соединяющей апертуры антенн.

Список литературы

  1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. Москва: Наука, 1973. 344 с.

  2. Бондур В.Г., Воронова О.С., Гордо К.А., Зима А.Л. Космический мониторинг изменчивости площадей природных пожаров и эмиссий вредных примесей в атмосферу на территории различных регионов России за 20-летний период // Докл. РАН. Науки О Земле. 2021. Т. 500. № 2. С. 216–222. https://doi.org/10.31857/S2686739721100042

  3. Бордонский Г.С., Гурулев А.А., Крылов С.Д., Орлов А.О., Цыренжапов С.В. Поляризационные аномалии микроволнового излучения и добавочные электромагнитные волны в деформируемых ледяных покровах // Журн. Технической Физики. 2011. Т. 81. № 9.

  4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 720 с.

  5. Дагуров П.Н., Дмитриев А.В., Дымбрылов Ж.Б., Чимитдоржиев Т.Н. Влияние слоистой структуры влажности почвы на работу интерферометрических радиолокаторов с синтезированной апертурой // Изв. Высших Учебных Заведений. Физика. 2012. Т. 55. № 8–2. С. 265–267.

  6. Дагуров П.Н., Дмитриев А.В., Добрынин С.И., Захаров А.И., Чимитдоржиев Т.Н. Радиолокационная интерферометрия сезонных деформаций почвы и фазовая модель обратного рассеяния микроволн двухслойной средой с шероховатыми границами // Оптика атмосферы и океана. 2016. Т. 29. № 7. С. 585–591. https://doi.org/10.15372/AOO20160709

  7. Bondur V., Chimitdorzhiev T., Dmitriev A., Dagurov P. Fusion of SAR Interferometry and Polarimetry Methods for Landslide Reactivation Study, the Bureya River (Russia) Event Case Study // Remote Sensing. 2021. V. 13. № 24. P. 5136. https://doi.org/10.3390/rs13245136

  8. Bondur V., Chimitdorzhiev T., Kirbizhekova I., Dmitriev A. Estimation of Postfire Reforestation with SAR Polarimetry and NDVI Time Series // Forests. 2022. V. 13. № 5. P. 814. https://doi.org/10.3390/f13050814

  9. Dagurov P.N., Chimitdorzhiev T.N., Dmitriev A.V., Dobrynin S.I. Estimation of snow water equivalent from L-band radar interferometry: simulation and experiment // Int. J. Remote Sens. 2020. V. 41. № 24. P. 9328–9359. https://doi.org/10.1080/01431161.2020.1798551

  10. Hoekstra P., Delaney A. Dielectric properties of soils at UHF and microwave frequencies // J. Geophys. Res. (1896-1977). 1974. V. 79. № 11. P. 1699–1708. https://doi.org/10.1029/JB079i011p01699

  11. Nievinski F. G., Larson K. M. Inverse Modeling of GPS Multipath for Snow Depth Estimation-Part II: Application and Validation // IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 2014. V. 52. № 10. P. 6564–6573. https://doi.org/10.1109/TGRS.2013.2297688

  12. Rees G. Remote sensing of snow and ice. Boca Raton: Taylor & Francis, 2006. 285 p.

Дополнительные материалы отсутствуют.