Известия РАН. Энергетика, 2019, № 4, стр. 42-50

1.1 Алгоритм оптимизации

Конструкцию гидрогенератора будем описывать вектором варьируемых параметров $\vec {x},$ включающим $D$ переменных, определяющих размер, плотность тока, свойства материалов и т.д. Для ограничения варьируемых параметров используются международные технические стандарты, электромагнитные, тепловые, механические и технологические условия. Концепция состоит в том, чтобы вектор целевой функции $f(\vec {x})$ принял минимальное значение при сохранении технических показателей в допустимых пределах.

Общую задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать следующим образом:

необходимо найти вектор параметров

при $D$ непосредственных: и $m$ функциональных ограничений на его компоненты минимизирующий (по Парето) векторную целевую функцию:

Результатом решения сформулированной многокритериальной задачи оптимизации является множество Парето – включающее в себя все вектора $\vec {x},$ при котором значение каждой целевой функции не может быть улучшено без ухудшения других.

Существуют различные способы решения задач многокритериальной оптимизации. В настоящее время наиболее активно развиваются так называемые метаэвристические методы, в число которых входят и эволюционные. Строго говоря, эти методы не гарантируют поиска глобального оптимума, тем не менее, существует высокая вероятность того, что будет определено или оно [2], либо достаточно близкое к нему решение. Одним из наиболее перспективных эволюционных методов является генетический алгоритм недоминантной сортировки, впервые описанный в [3] (1999), усовершенствованный в 2000 г. и названный NSGA-II. Авторы [4]–[8] показывают его эффективность при оптимизации конструкции электрических машин и распределенных энергосистем.

В данной работе вектор конструктивных параметров $\vec {x}$ включает: внешний и внутренний диаметры сердечника статора; длину активной стали статора; высоту и ширину паза статора; величину воздушного зазора между ротором и статором; ширину, высоту и радиус кривизны полюсного наконечника полюса ротора; ширину сердечника полюса ротора; диаметр, радиус расположения и ширина прорези демпферных стержней. На рисунке 1 представлена параметризированная геометрия модели генератора с изменяемыми размерами. За ограничения $D$ приняты отклонения ±(5–25)% от расчетных значений определенных по методике 9 в зависимости от величины изменяемого параметра.

Также заданы вектор целевых функции $f(\vec {x})$ и размер популяции. С одной стороны, теоретическое количество критериев и размер популяции не ограничены – с другой, вычислительная сложность данного алгоритма составляет $O(k{{N}^{2}}),$ где $k$ – размерность вектора целевой функции, $N$ – число решений (размер популяции, количество особей). Тем самым $k$ и $N$ ограничены вычислительной мощностью и временем расчета, поэтому выбраны четыре критерия, характеризующие материалоемкость и общую экономическую эффективность конструкции при размере популяции тысяча особей.

1.2. Численный метод расчета

Численный расчет нелинейной задачи нестационарного магнитного поля выполнен в двумерной постановке. Расчетная геометрия модели соответствует поперечному сечению в середине длины сердечника статора. Задание вращающегося магнитного поля выполнено на один период с частотой дискретизации 2 кГц, выбранной на основании теоремы отсчетов 10:

где $f$ – частота [Гц];

$p$ – число пар полюсов ротора;

$Z$ – число пазов сердечника статора.

Потери в стали сердечника статора и полюсов ротора от гистерезиса и вихревых токов определены по уравнению Бертотти 11:

где ${{P}_{h}} = {{k}_{h}}B_{m}^{2}f$– удельные потери от гистерезиса при максимальной индукции $B_{m}^{{}}$ и частоте $f$ [Вт · м^–3];

${{P}_{c}} = {{k}_{c}}{{(B_{m}^{{}}f)}^{2}}$– удельные потери от вихревых токов [Вт · м^–3];

${{P}_{e}} = {{k}_{e}}{{(B_{m}^{{}}f)}^{{1.5}}}$– удельные добавочные потери [Вт · м^–3];

${{k}_{h}}$ – коэффициент потерь от гистерезиса [Вт · м^–3 · Тл^–2 · с];

${{k}_{c}}$ – коэффициент потерь от вихревых токов [Вт · м^–3 · Тл^–2 · с²];

${{k}_{e}}$ – коэффициент добавочных потерь [Вт · м^–3 · Тл^–1.5 · с^1.5];

${{B}_{m}}$ – максимальная индукция [Тл].

Зависимость потерь Р в стали от индукции В при различных частотах (далее – кривые Р(В)) определена на заводе-изготовителе в соответствии со стандартом 12. Однако необходимо отметить, что при определении магнитных свойств в аппарате Эпштейна на кольцевых образцах не учитывают влияние вращающегося магнитного поля на потери в стали (вращательный гистерезис) 13.

Коэффициент потерь от вихревых токов определен по формуле 14:

где ${\sigma }$ – удельная электрическая проводимость стали [См/м];

$d$ – толщина листа стали [м].

Определение коэффициентов ${{k}_{h}}$ и ${{k}_{e}}$ является нелинейной задачей, для решения которой необходимо использовать метод нахождения глобального максимума. С этой целью использован генетический алгоритм, где в качестве фитнес-функции выбрано условие максимизации среднего коэффициента детерминации ${{R}^{2}}$ аппроксимирующих функций и экспериментальных кривых P(B) 15. Подбор коэффициентов потерь для стали статора осуществлен для частоты 50 Гц, ротора – 400 и 1000 Гц.

Потери приведены к номинальному напряжению статора по уравнению 16:

где $U{\kern 1pt} '$ – расчетное действующее линейное напряжение статора [В];

${{U}_{{\text{н}}}}$ – номинальное действующее линейное напряжение статора [B];

$Р{\kern 1pt} '$ – расчетные потери в стали [Вт].

Ток ротора приведен к номинальному напряжению статора по уравнению:

где $i_{p}^{'}$ – расчетный ток ротора [А].

Для определения x_d решалась задача расчета стационарного магнитного поля. В качестве источника задается ток обмотки статора с ориентацией ротора по продольной оси магнитного потока. Вычисление x_d выполнено на основе зависимости:

где Ψ – потокосцепление обмотки статора [Вб];

$I$ – ток обмотки статора [A].

Потокосцепление фазы рассчитано по формуле [17]:

где ${{l}_{{\delta }}}$ – расчетная длина генератора [м];

$a$ – число параллельных ветвей обмотки статора;

$S,$ ${{S}^{ + }},$ ${{S}^{ - }}$ – площадь попеченного сечения стержня (S⁺ и S^– соответствуют положительному и отрицательному направлению тока в обмотке статора) [м²];

$Z$ – число пазов статора;

${{A}_{z}}$ – составляющая векторного магнитного потенциала по оси z [Вб/м].

Пересчет к продольному и поперечному потокосцеплению выполнен по формулам [18]:

Численный расчет в плоской постановке не учитывает влияние магнитного поля торцевой зоны – индуктивное сопротивление рассеяния лобовых частей обмотки статора определенно аналитически [19]. Расчеты выполнены для ненасыщенной магнитной цепи генератора.

На рисунке 2 представлена принципиальная схема решения задачи оптимизации. Для уменьшения объема вычислений область расчетной модели ограничена пределом одной пары полюсов, с заданием условия периодичности на границах. Расчет задачи выполнен для сорока поколений с количеством особей в популяции 10³. Анализ характера изменения критериев на рисунке 3 свидетельствует о переходе к установившимся значениям в последнем поколении расчета. Для ускорения решения применен параллельный процесс расчета с использованием одного ядра процессора для каждой задачи. Общее время вычислений при использовании 24-ядерного процессора составило около двух недель.