Известия РАН. Энергетика, 2019, № 4, стр. 58-66

В литературе по расчету индуктивностей катушек с симметрией вращения особое место занимают формулы, представленные в [1, 2], которые практически не встречаются в известной учебной и справочной литературе, и поэтому требуют дополнительной проверки и подтверждения. Учитывая их простоту, [1, формулы приложения 10–12], целесообразно провести сопоставительный анализ с известными рекомендациями, также имеющими свои ограничения, и на этой основе сформулировать соответствующие выводы о возможности или невозможности их применения. В работах [1, 2] даны одни и те же формулы для кругового кольца прямоугольного сечения, а в работе [1] – для индуктивности соленоида и для взаимной индуктивности концентрических соленоидов в общем случае неодинаковой длины. Первая из перечисленных конфигураций показана на рис. 1.

Индуктивность катушки прямоугольного сечения, изображенной на рис.1, на основании формулы (10) приложения [1] определяется выражением в следующей откорректированной форме записи:

где в соответствии [1, 2] и с обозначениями (рис. 1)

Величина ${{R}_{1}}$ в выражении (1) является средним геометрическим расстоянием площади прямоугольника со сторонами $r$ и a.

В результате выражение (1) перезаписывается в виде:

которое при $r \ll a$ стремится к пределу:

Умножая выражение (3) на ${{w}^{2}},$ где $w$ – количество витков, распределенных вдоль $a$ (рис. 1), и заменяя в (3) обозначение $R$ на $\frac{d}{2}$ получим выражение, известное как аппроксимирующая формула Уилера [3]:

Так как выражение (2) при перестановке $r$ на $a$ и наоборот, остается неизменным, то при $a \ll r$ (рис. 1) индуктивность (1) оказывается равной

Формула (5) может быть получена из выражений (6–9) и (6–10) справочника [4] при $w = 1,0$ и $\rho = \frac{r}{{2R}} < 0.5,$ если в (6–10) пренебречь всеми членами по порядку малости равными или большими, чем ${{\rho }^{2}},$ и тогда будем иметь:

т.е. формулу (5).

Теперь можно сопоставить численные значения для $L$ при $r = a,$ т.е. для дисковой катушки квадратного сечения по выражению (2) с численным значением, вытекающим из формул справочника (6–13) и (6–14) при $\alpha = \frac{a}{d} = \frac{a}{{2R}} \leqslant 0.2.$

Тогда из (6–13) и (6–14) получаем следующее приближение $\left( {w = 1,0} \right){\text{:}}$

по которому при $\frac{a}{{2R}} = 0.2$ имеем: $1.8008{{\mu }_{0}}R,$ а в соответствии с выражением (2) при $r = a{\text{:}}$и разницей можно пренебречь.

Рассмотрим характерный случай, когда средний диаметр катушки квадратного сечения равен утроенному размеру стороны сечения, т.е. $r = a$ и $2R = d = 3a$ (рис. 1). Тогда согласно выражению (2) получим, что

против $1.352{{\mu }_{0}}R$ при $w = 1.0,$ и при $d = 2R$ в соответствии с формулой (6.15) в [4].

Сопоставим выражения для индуктивности круглого кольца в соответствии с рис. 2. Для индуктивности круглого кольца со средним радиусом $R$ и радиусом ${{r}_{0}}$ сечения кольца в [5, 6] рекомендовано следующее выражение:

Выражение (6) можно получить на основе представления для взаимной индуктивности двух соосных круговых контуров, расположенных в одной плоскости с радиусами $R$ и $\left( {R - {{r}_{0}}} \right)$ через сферическую функцию Лежандра с полуцелым индексом:

где $g = \frac{{{{R}^{2}} + {{{\left( {R - {{r}_{0}}} \right)}}^{2}}}}{{2R\left( {R - {{r}_{0}}} \right)}}$ = $1 + \frac{{{{{\left( {{{{{r}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{0}}} R}} \right. \kern-0em} R}} \right)}}^{2}}}}{{2\left( {1 - \frac{{{{r}_{0}}}}{R}} \right)}} \cong 1 + \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{{{r}_{0}}}}{R}} \right)}^{2}} = 1 + \Delta g,$ и при этом выражение для ${{Q}_{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}(g)$ при $\Delta g \ll 1$ может быть записано в виде [7, формула П.II-4]:

Окончательно

учитывая, что $\ln 4 = 1.3863.$

При ${{r}_{0}} \ll R$ разницей между (6) и (8) можно пренебречь.

Продолжая сопоставления, заметим, что формула (11) для индуктивности соленоида [1] (рис. 3), записанная в виде

где $K = \frac{2}{3}\left\{ {\frac{{K\left( k \right) + \left( {{\text{t}}{{{\text{g}}}^{2}}\alpha - 1} \right)E\left( k \right)}}{{\sin \alpha }} - {\text{t}}{{{\text{g}}}^{2}}\alpha } \right\},$ проверяется при условии, что $K\left( k \right)$ и $E\left( k \right)$ являются полными эллиптическими интегралами 1-го и 2-го рода от k, а не от k', связанных между собой соотношением ${{k}^{2}} + {{\left( {k{\kern 1pt} '} \right)}^{2}} = 1,$ и при этом ${{\left( {k{\kern 1pt} '} \right)}^{2}} = \frac{{{{l}^{2}}}}{{{{l}^{2}} + {{{\left( {2R} \right)}}^{2}}}}$ и ${\text{ctg}}\alpha = \frac{l}{{2R}}.$ Тогда формула (9) может быть перезаписана в виде [8]:

Следует обратить внимание и на аппроксимирующее выражение для индуктивности соленоида с шагом между витками, обозначенным, как $s$ и диаметром витка d, предложенное в [9] в виде формулы (9), которая при введенных обозначениях имеет вид:

где $l$ – длина соленоида.

Формулу (11) можно сопоставить с формулой Уилера [3]

Из сопоставления (11) и (12) видно, что различия будут проистекать из сравнения $\left( {1 + 0.45\frac{d}{l}} \right)$ с ${{\left[ {{{{\left( {\frac{d}{l}} \right)}}^{2}} + 1} \right]}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$

При $d = l$ имеем 1.45 против 1.414; при $d = 0.5l{\text{:}}$ 1.225 и соответственно 1.118, при $d = 1.2l - 1.54$ и $1.562,$ $d = 1.35l - 1.6075$ и $1.68$ т.е. разница в диапазоне изменения $\frac{d}{l}$ от 0.5 до 1.35 оказывается сравнительно небольшой.

В работе [8] приведены кривые по оценке погрешности вычислений индуктивности соленоида для большинства из известных работ, посвященных данному вопросу. В литературе [10] приведена замкнутая формула, пригодная как для длинного, так и для короткого соленоида. Эта формула в принятых обозначениях записывается в виде:

На практике большое распространение получили двухслойные соленоиды, изображенные на рис. 4, 5. Например, такие двухслойные соленоиды используются в нагрузочных устройствах ТНУ 1000-50-400, которые с успехом применяются для испытаний генераторных агрегатов автономных электростанций.

Для конфигурации двухслойного соленоида, изображенного на рис. 4, результаты расчетов по нижеприведенной формулe (14), заимствованной из [1], а именно:

где $d = \sqrt {R_{1}^{2} + \frac{{l_{2}^{2}}}{4}} ,$ ${{R}_{1}} = \frac{{{{d}_{1}}}}{2},$ ${{R}_{2}} = \frac{{{{d}_{2}}}}{2},$ и по формулам (7–9) справочника [4] дают: $0.237 \times {{10}^{{ - 3}}}$ Гн и $0.229 \times {{10}^{{ - 3}}}$ Гн соответственно при w₁ = 31 и w₂ = 50 .

Продолжая сравнение сопоставим два выражения для взаимной индуктивности концентрических соленоидов одинаковой длины, вытекающих из выражений 7-2, 7-6 и 7-7 [4] в соответствии с рис. 5, и для двухслойного соленоида по формуле (14) в предположении, что ${{l}_{1}} = {{l}_{2}} = l$ и с радиусами слоев ${{R}_{2}} = \frac{{{{d}_{2}}}}{2}$ и ${{R}_{1}} = \frac{{{{d}_{1}}}}{2}.$

Имеем в соответствии с (14) при ${{l}_{1}} = {{l}_{2}} = l{\text{:}}$

В выражениях 7-2, 7-6 и 7-7 [4] ограничимся двумя членами разложения. Тогда по справочнику [4] можем записать:

В частности, при $l = {{d}_{1}}$ из (15) и (16) соответственно находим:

Тогда, например, при $\frac{{{{d}_{2}}}}{{{{d}_{1}}}} = 0.8$ получаем, соответственно, $M = 0.1322{{\mu }_{0}}{{w}_{1}}{{w}_{2}}\pi {{d}_{2}},$ а ${{M}_{{{\text{СПР}}}}} = 0.1309{{\mu }_{0}}{{w}_{1}}{{w}_{2}}\pi {{d}_{2}},$ и разница между оценками несущественна.

Для конфигурации двухслойного соленоида, показанного на рис. 5, результаты расчетов по формулам (15) и (16), соответственно, дают: $0.354 \times {{10}^{{ - 3}}}$ Гн и $0.348 \times {{10}^{{ - 3}}}$ Гн, т.е. достаточно близкие величины.

При ${{l}_{1}} = {{l}_{2}} = 0$ и ${{w}_{1}} = {{w}_{2}} = 1$ из (14) и (15) получаем:

Полученное выражение согласуется с формулой (5–22) в [4] для взаимной индуктивности двух концентрических контуров радиусов ${{R}_{1}}$ и ${{R}_{2}},$ расположенных в одной плоскости при ограничении первыми двумя членами разложения.