Известия РАН. Энергетика, 2019, № 5, стр. 26-32

ВВЕДЕНИЕ

Согласно дорожной карте Национальной технологической инициативы EnergyNet одними из основных задач этого проекта являются следующие:

1. “Цифровизация” систем энергетики, создание цифровых сетей, цифровых подстанций.

2. Создание информационных систем управления системами энергетики и переход к интеллектуальному управлению и инжинирингу.

Решение этих задач возможно на основе построения математических моделей, касающихся различных аспектов структуры и функционирования систем энергетики и разработки на их основе алгоритмов и информационных систем поддержки принятия решений при проектировании и эксплуатации систем, а также прогнозирования их состояний. При построении адекватных моделей систем энергетики необходимо использовать существующие возможности современного математического аппарата. В работе рассматриваются возможности применения аппарата теории полумарковских процессов с общим фазовым пространством состояний, скрытых марковских и полумарковских моделей для моделирования систем энергетики.

1. ПОЛУМАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ, СКРЫТЫЕ МАРКОВСКИЕ И ПОЛУМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ, ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ЭНЕРГЕТИКИ

Полумарковские процессы широко используются для построения моделей и анализа систем различного назначения: технических, производственных, энергетических, информационных, экономических, биологических и т.д.

Исследования по этому направлению активно проводятся во Франции, США, Италии, Англии, Китае, Индии, России, Украине, Швеции, Японии и ряде других стран. По результатам исследований опубликовано несколько монографий и большое число статей. Так, ведущие мировые издательства Elsevier, Springer, World Scientific опубликовали за последнее время следующие монографии по данной тематике [1–7].

В большинстве этих работ использовались полумарковские процессы с конечным множеством состояний. При построении моделей конкретных систем предполагалось, что большинство случайных величин, характеризующих систему, имеют экспоненциальное распределение, что существенно сужает возможности применения полученных результатов.

Большой вклад в развитие теории полумарковских процессов и их применение внесли работы ученых стран СНГ В.С. Королюка, А.Ф. Турбина, И.А. Ушакова, А.В. Свищука, В.А. Каштанова, В.М. Шуренкова. В их работах [8–13] разработаны алгоритмы асимптотического и стационарного фазового укрупнения полумарковских процессов, построены модели эволюционных стохастических систем и алгоритмы их усреднения. Эти работы являются актуальными и в настоящее время, они дают большие возможности для моделирования систем различного назначения, в том числе и энергетических.

Эффективным средством построения моделей систем и их анализа является аппарат теории полумарковских процессов с общим фазовым пространством состояний [2, 5, 8, 9, 11]. Использование этого класса случайных процессов позволяет:

– освободиться от ряда ограничений при построении моделей, в частности, от предположения об экспоненциальном законе распределения случайных величин, характеризующих систему;

– получить аналитические выражения для характеристик системы, которые можно использовать для инженерных расчетов;

– построить модели ряда систем энергетики.

Для решения проблемы размерностей моделей можно использовать алгоритмы асимптотического и стационарного фазового укрупнения полумарковских процессов, разработанные В.С. Королюком, А.Ф. Турбиным, А.В. Свищуком [8–11]. Этот подход открывает большие возможности для моделирования систем.

Начиная с 80-х гг., для моделирования и анализа систем широкое применение получили скрытые марковские и полумарковские модели. В этих моделях предполагается, что наблюдаемая последовательность сигналов связана с марковским (полумарковским) процессом с ненаблюдаемыми (скрытыми) состояниями, и ставится задача по наблюдаемой последовательности сигналов оценить структуру и характеристики ненаблюдаемого процесса. Скрытые марковские и полумарковские модели позволяют по результатам наблюдений проводить диагностику системы, прогнозировать ее состояния. Скрытым марковским и полумарковским моделям посвящено большое число работ, в частности, недавно вышедшие монографии [14–16].

Скрытые марковские и полумарковские модели применяются в следующих областях: диагностика и обслуживание оборудования; надежность систем; прогнозирование функционирования систем; оценка производительности сетей; распознавание и синтез речи; машинный перевод; распознавание образов; картографирование мозга с помощью функциональной магнитно-резонансной томографии; раннее определение патологических событий; распознавание деятельности человека; прогнозирование структуры белка; моделирование анализа финансовых временных рядов и некоторых других областях. В литературе отмечается, что данный подход используется более чем в тридцати областях.

Полумарковские процессы с общим фазовым пространством состояний и скрытые марковские и полумарковские модели могут быть эффективно использованы для построения моделей, касающихся различных аспектов структуры и функционирования систем энергетики: надежности, эффективности, контроля, диагностики, технического обслуживания и прогнозирования.

На этой основе могут быть решены следующие задачи:

1. Построены полумарковские и скрытые марковские и полумарковские модели:

– надежности систем энергетики;

– контроля и диагностики систем энергетики;

– технического обслуживания систем энергетики;

– прогнозирования состояний систем энергетики.

2. Нахождение технических и экономических характеристик систем, пригодных для инженерных расчетов.

3. Решение задач нахождения оптимальных значений параметров систем энергетики на основе целевых функций, полученных с помощью моделей.

4. Создание на основе полученных результатов, программного обеспечения для информационных систем оценки надежности, контроля, диагностики, обслуживания систем энергетики и прогнозирования их состояний.

2. ПОЛУМАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ОДНОПОТОЧНОЙ ЛИНИИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ НАКОПИТЕЛЯМИ

В качестве примера использования аппарата теории полумарковских процессов с общим фазовым пространством состояний для моделирования систем энергетики рассматривается многофазная, однопоточная система, состоящая из обслуживающих устройств и промежуточных накопителей, связи между которыми изображены на рис. 1. Системы такого вида играют важную роль в энергетике [17].

На рисунке 1 приняты следующие обозначения: ${{A}_{i}},\;\;i = \overline {1,n + 1} $ – обслуживающие устройства; ${{H}_{i}},\,\,i = \overline {1,n} - 1$ промежуточные накопители. Модель системы строится при следующих предположениях.

1. Возможными состояниями каждого из обслуживающих устройств ${{A}_{i}}$ являются: работоспособное, восстановления и отключения.

2. Время безотказной работы (восстановления) устройства ${{A}_{i}}$ является случайной величиной (СВ) $\alpha _{i}^{{(0)}}(\alpha _{i}^{{(1)}})$ с функцией распределения (ФР) $F_{1}^{{(0)}}(x)\;(F_{i}^{{(1)}}(x)).$ СВ $\alpha _{i}^{{(0)}}(\alpha _{i}^{{(1)}})$ независимы, имеют конечные математические ожидания; у ФР $F_{i}^{{(0)}}(x)\;(F_{i}^{{(1)}}(x))$ существуют плотности $f_{i}^{{(0)}}(x)(f_{i}^{{(1)}}(x)).$

3. Накопители ${{H}_{i}}$ являются абсолютно надежными устройствами, имеющими ограниченные емкости ${{h}_{i}} \geqslant 0$ (емкость накопителя ${{H}_{i}}$ выражается в единицах времени, которое понадобится устройству ${{A}_{{i + 1}}}$ для полного освобождения этого накопителя).

4. Работоспособное устройство ${{A}_{i}}$ отключается, сохраняя работоспособное состояние, при пустом накопителе ${{H}_{{i - 1}}}$ или переполненном накопителе ${{H}_{{i + 1}}}.$

5. Производительность устройства ${{A}_{i}}$ постоянна и равна ${{c}_{i}},$ при этом ${{c}_{i}} \geqslant {{c}_{{i + 1}}}.$

6. Система находится в состоянии отказа, если выходное устройство ${{A}_{{n + 1}}}$ не занято обработкой продукта; восстановление устройств ${{A}_{i}}$ считается неограниченным.

Для описания функционирования системы введем следующее дискретно-непрерывное пространство полумарковских состояний:

где i – номер устройства ${{A}_{i}},$ отказавшего или восстановившегося последним. Элемент ${{d}_{k}}$ вектора $\bar {d}$ фиксирует состояние устройства ${{A}_{k}}$: работоспособное (${{d}_{k}} = 0$), восстановления (${{d}_{k}} = 1$), отключения (${{d}_{k}} = 2$). Значением компонента ${{x}_{k}}$ вектора $\bar {x}$ является время, прошедшее с момента изменения состояния устройства ${{A}_{k}};$ отметим, что ${{x}_{i}} = 0.$ Компонента ${{z}_{k}}$ вектора $\bar {z}$ определяет время, в течение которого накопитель ${{H}_{k}}$ может снабжать информацией устройство ${{A}_{{k + 1}}},\;\;0 \leqslant {{z}_{k}} \leqslant {{h}_{k}},\;\;k = \overline {1,n} .$

Для приближенного нахождения характеристик надежности рассматриваемой системы используем алгоритм фазового укрупнения [11], который состоит в следующем.

Предположим, что стохастическое ядро вложенной цепи Маркова (ВЦМ) $\{ {{\xi }_{n}};n \geqslant 0\} $ полумарковского процесса $\xi (t)$ исходной системы близко к стохастическому ядру ВЦМ $\{ \xi _{n}^{{(0)}};n \geqslant 0\} $ опорной системы S₀ с единственным стационарным распределением $\rho (dx).$ Тогда для приближенного нахождения средней стационарной наработки на отказ ${{T}_{ + }},$ среднего стационарного времени восстановления ${{T}_{ - }}$ и стационарного коэффициента готовности ${{К}_{{\text{Г}}}}$ исходной системы S можно использовать следующие приближенные формулы [11]:

где $\rho (dx)$ – стационарное распределение опорной ВЦМ $\{ \xi _{n}^{{(0)}};n \geqslant 0\} ;$ $m(x)$ – средние времена пребывания в состоянии $x \in E$ исходной системы; ${{P}^{{(r)}}}(x,B)$ – вероятности переходов ВЦМ $\{ \xi _{n}^{{}};n \geqslant 0\} $ исходной системы, r – минимальное число шагов, за которое система может перейти в подмножество отказовых состояний ${{E}_{ - }}$ из работоспособных ${{E}_{ + }},$ входящих в эргодический класс ${{E}^{0}}.$

Важным моментом применения этого метода является выбор опорной системы ${{S}_{0}}.$ Предположим, что у устройств ${{A}_{i}},\;i = \overline {1,n} $ быстрое восстановление, т.е. их времена восстановления $\alpha _{i}^{{(1)}}$ зависят от малого положительного параметра ε таким образом, что

а у выходного устройства ${{A}_{{n + 1}}}$ времена безотказной работы и восстановления фиксированы. Это приводит к тому, что опорной системой ${{S}_{0}}$ будет являться система, у которой устройства ${{A}_{i}},\;i = \overline {1,n} $ восстанавливаются мгновенно, а накопители ${{H}_{i}}$ полностью заполнены.

Используя формулы (1), можно показать, что стационарные характеристики рассматриваемой системы: стационарная наработка на отказ ${\rm T}_{ + }^{{({{h}_{1}},...,{{h}_{n}})}}$ и среднее стационарное время восстановления ${\rm T}_{ - }^{{({{h}_{1}},...,{{h}_{n}})}}$ приближенно вычисляются по формулам:

Зная выражения для ${\rm T}_{ + }^{{({{h}_{1}},...,{{h}_{n}})}}$ и ${\rm T}_{ - }^{{({{h}_{1}},...,{{h}_{n}})}}$ можно найти стационарный коэффициент готовности ${\rm K}_{\Gamma }^{{({{h}_{1}}, \ldots ,{{h}_{n}})}}$ по формуле (1).

В таблице 1 представлены результаты нахождения стационарных характеристик четырехфазной системы с использованием формул (3), (4) и на основе имитационного моделирования.

При моделировании предполагалось, что все СВ (времена работы и восстановления устройств и накопителей) распределены по экспоненциальному закону.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье показаны возможности применения полумарковских процессов с общим фазовым пространством состояний и скрытых марковских и полумарковских моделей для построения моделей и анализа функционирования систем энергетики. Для решения проблемы размерности моделей предлагается использовать алгоритмы асимптотического и стационарного фазового укрупнения систем.

Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации (№ 1.10513.2018/11.12), при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 18-01-00392а).