Известия РАН. Энергетика, 2019, № 5, стр. 80-87

Коэффициенты взаимной индукции и самоиндукции коаксиальных круговых контуров и соленоидов

Г. Н. Цицикян^1, *, М. Ю. Антипов^1, **

¹ Филиал “ЦНИИ СЭТ” ФГУП “Крыловский государственный научный центр”
Санкт-Петербург, Россия

^* E-mail: george.20021940@mail.ru
^** E-mail: posich@mail.ru

Поступила в редакцию 02.09.2019
После доработки 21.10.2019
Принята к публикации 23.10.2019

DOI: 10.1134/S0002331019050157

Аннотация

Проводится сравнение ряда выражений для коэффициентов взаимо- и самоиндукции круговых контуров и соленоидов, имеющихся в сравнительно ранних публикациях, связанных в основном с именами Двайта и Гровера, и публикациями более позднего периода, отличающихся изложением альтернативных замкнутых выражений для одноименных коэффициентов. Подчеркнута целесообразность такого рассмотрения, включая практические приложения.

Ключевые слова: взаимная индукция, индуктивность соленоида, ряды, сферические функции Лежандра с полуцелым индексом

Настоящая статья является продолжением сопоставительного анализа ряда выражений для коэффициентов индукции соосных круговых контуров и соленоидов, не получивших достаточно полного отражения в соответствующей литературе. Упомянутый анализ основан на сравнении выражений и рекомендаций, вытекающих из известной справочной книги П.Л. Калантарова и Л.А. Цейтлина “Расчет индуктивностей” Л.: Энергоатомиздат, 1986 [1] и рядов, опубликованных ранее в работах Двайта и Гровера [2, 3]. Будут рассмотрены и замкнутые выражения, впервые приведенные в работе Сноу [4], для взаимных индуктивностей круговых соосных контуров, а также для индуктивности соленоидов через сферические функции Лежандра с полуцелым индексом $\left( {п - 1{\text{/}}2} \right)$. Для взаимной индуктивности коаксиальных круговых контуров радиусов ${{R}_{1}}$ и ${{R}_{2}}$ с расстоянием $x$ между параллельными плоскостями их расположения в [2] приведено выражение в виде сходящегося ряда, которое в системе СИ можно записать в виде:

(1)

$\begin{gathered} M = {{\mu }_{0}}\sqrt {{{R}_{1}}{{R}_{2}}} \left[ {\left( {1 + \frac{3}{{16}}{{\alpha }^{2}} - \frac{{15}}{{1024}}{{\alpha }^{4}} + \frac{{35}}{{{{{128}}^{2}}}}{{\alpha }^{6}} - \frac{{1575}}{{2 \times {{{128}}^{3}}}}{{\alpha }^{8}} + ...} \right)\ln \frac{8}{\alpha }} \right. - \\ - \left. {\left( {2 + \frac{1}{{16}}{{\alpha }^{2}} - \frac{{31}}{{2048}}{{\alpha }^{4}} + \frac{{247}}{{6 \times {{{128}}^{2}}}}{{\alpha }^{6}} - \frac{{7795}}{{8 \times {{{128}}^{3}}}}{{\alpha }^{8}} + ...} \right)} \right], \\ \end{gathered} $

(2)

${\text{где}}\,{{\alpha }^{2}} = \left[ {{{{\left( {{{R}_{1}} - {{R}_{2}}} \right)}}^{2}} + {{x}^{2}}} \right]{\text{/}}{{R}_{1}}{{R}_{2}}.$

Записанный ряд обладает хорошей сходимостью в широком диапазоне изменения ${{\alpha }^{2}},$ что может быть подтверждено сопоставлением с данными из справочной книги [1]. Важно отметить, что в отличие от описания индуктивности в виде сходящихся рядов, сопряженных с определенной погрешностью, выражения, содержащие полные эллиптические интегралы или сферические функции Лежандра с полуцелым индексом с помощью известных таблиц их значений, в ряде случаев обеспечивают результат с весьма высокой степенью точности.

Упомянутое выше замкнутое выражение для взаимной индуктивности через сферическую функцию Лежандра второго рода с индексом $\frac{1}{2}$ в [4, 5] получены в виде:

(3)

$M = {{\mu }_{0}}\sqrt {{{R}_{1}}{{R}_{2}}} {{Q}_{{1/2}}}\left( g \right),$

(4)

${\text{где}}\,\,g = 1 + \frac{{\left( {{{R}_{1}} - {{R}_{2}}} \right) + {{x}^{2}}}}{{2{{R}_{1}}{{R}_{2}}}} = 1 + \Delta g = \frac{{{{x}^{2}} + {{R}_{1}}^{2} + {{R}_{2}}^{2}}}{{2{{R}_{1}}{{R}_{2}}}} = 1 + \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{2},$

(5)

$\Delta g = \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{2}.$

При ${{\alpha }^{2}} \leqslant 0.5$ можно ограничиться первыми двумя членами ряда (1) в круглых скобках, и тогда

(1')

$M \cong {{\mu }_{0}}\sqrt {{{R}_{1}}{{R}_{2}}} \left[ {\left( {1 + \frac{3}{{16}}{{\alpha }^{2}}} \right)\ln \frac{8}{\alpha } - 2 - \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{{16}}} \right].$

Из этого выражение можно получить хорошее приближение для

(6)

${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( {1 + \Delta g} \right) = \frac{{1 + \frac{3}{8}\Delta g}}{2}\left( {\ln \frac{{2 + \Delta g}}{{\Delta g}} - 1.2274} \right) + \frac{3}{8}\Delta g,$

рекомендуемое в [6] для получение численных оценок ${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( {1 + \Delta g} \right)$ при $\Delta g < 0.5.$ Вывод выражения (6) дан в Приложении.

Заметим также, что при ${{R}_{1}} = {{R}_{2}} = R$ и ${{\alpha }^{2}} = \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}} = 4{{\zeta }^{2}},$ где $\zeta = \frac{x}{{2R}},$ можно записать в соответствии с (1) ряд, фигурирующий в [1] под номером (5–17):

(7)

$M = {{\mu }_{0}}R\left[ {\left( {1 + \frac{3}{4}{{\zeta }^{2}} - \frac{{15}}{{64}}{{\zeta }^{4}} + \frac{{35}}{{256}}{{\zeta }^{6}} + ...} \right)\ln \frac{4}{\zeta } - 2 - \frac{1}{4}{{\zeta }^{2}} + \frac{{31}}{{128}}{{\zeta }^{4}} - \frac{{247}}{{1536}}{{\zeta }^{6}} + ...} \right].$

В другом частном случае, когда $x = 0$ и ${{\alpha }^{2}} = \frac{{{{c}^{2}}}}{{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}},$ где $c = \left| {{{R}_{1}} - {{R}_{2}}} \right|,$ ряд (1) приобретает вид:

(8)

$\begin{gathered} M = {{\mu }_{0}}\sqrt {{{R}_{1}}{{R}_{2}}} \left[ {\ln \frac{{8\sqrt {{{R}_{1}}{{R}_{2}}} }}{c}\left( {1 + \frac{3}{{16}}\frac{{{{c}^{2}}}}{{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}} - \frac{{15}}{{1024}}\frac{{{{c}^{4}}}}{{R_{1}^{2}R_{2}^{2}}} + } \right.} \right.\left. {\frac{{35}}{{{{{128}}^{2}}}}\frac{{{{c}^{6}}}}{{R_{1}^{3}R_{2}^{3}}} - \frac{{1575}}{{2 \times {{{128}}^{3}}}}\frac{{{{c}^{8}}}}{{R_{1}^{4}R_{2}^{4}}}...} \right) - \\ \left. { - \,2 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{16{{R}_{1}}{{R}_{2}}}} + \frac{{31}}{{2048}}\frac{{{{c}^{4}}}}{{R_{1}^{2}R_{2}^{2}}} - \frac{{247}}{{6 \times {{{128}}^{2}}}}\frac{{{{c}^{6}}}}{{R_{1}^{3}R_{2}^{3}}} + \frac{{7795}}{{8 \times {{{128}}^{3}}}}\frac{{{{c}^{8}}}}{{R_{1}^{3}R_{2}^{3}}} + ...} \right]. \\ \end{gathered} $

Ряд (7) фигурирует в [2] под номером (13), но с той разницей, что обозначения ${{R}_{1}}$ и ${{R}_{2}}$ заменены на $A$ и $a$ соответственно.

В работе [2] приведен ряд для расчета взаимной индуктивности концентрических соленоидах неодинаковой длины в соответствии с рис. 1, совпадающим с рис. 7.2а в [1]. Коэффициент взаимной индукции для такого расположения соленоидов описываются выражением (43А) в [2] и записывается с учетом замены обозначений в системе СИ в виде:

(9)

$\begin{gathered} M = \frac{{{{\mu }_{0}}\pi {{d}^{2}}}}{4}wW{{\left( {{{A}^{2}} + {{D}^{2}}} \right)}^{{ - 1{\text{/}}2}}}\left[ {1 + \frac{1}{8}\frac{{{{D}^{2}}{{d}^{2}}}}{{{{{\left[ {{{A}^{2}} + {{D}^{2}}} \right]}}^{2}}}}\left( {3 - 4\frac{{{{a}^{2}}}}{{{{d}^{2}}}}} \right)} \right. + \\ + \,\,\left. {\frac{1}{{32}}\frac{{{{D}^{4}}{{d}^{4}}}}{{{{{\left( {{{A}^{2}} + {{D}^{2}}} \right)}}^{4}}}}\left( {3 - 4\frac{{{{A}^{2}}}}{{{{D}^{2}}}}} \right)\left( {\frac{5}{2} - 10\frac{{{{a}^{2}}}}{{{{d}^{2}}}} + 4\frac{{{{a}^{4}}}}{{{{d}^{4}}}}} \right) + ...} \right], \\ \end{gathered} $

где $w$ и $W$– число витков соленоидов.

Рис. 1.

Концентрические соленоиды неодинаковой длины с симметричным расположением.

Сопоставляемое выражение в [1] дано в виде

(10)

$M = {{\mu }_{0}}\frac{\pi }{4}\frac{{{{d}^{2}}}}{{Aa}}wW\left( {{{l}_{1}}{{F}_{1}} - {{l}_{2}}{{F}_{2}}} \right),$

(11)

${\text{где}}\,\,{{l}_{1}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{D}^{2}} + {{{\left( {A + a} \right)}}^{2}}} ,\,\,\,\,{{l}_{2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{D}^{2}} + {{{\left( {A - a} \right)}}^{2}}} ,$

${{F}_{1}}$ – значение функции F, данное в табл. 7-1 и 7-2 в [1] при $\delta = d{\text{/}}D$ и ${{\lambda }^{2}} = \lambda _{1}^{2} = {{\left( {\frac{D}{{2{{l}_{1}}}}} \right)}^{2}},$ ${{F}_{2}}$ – то же при ${{\lambda }^{2}} = \lambda _{2}^{2} = {{\left( {\frac{D}{{2{{l}_{2}}}}} \right)}^{2}}.$

Таблица 1

$x$	${{R}_{2}}$	$M$ [1]	$M$ [2]
0	$0.2{{R}_{1}}$	0.063	0.056
0	$0.3{{R}_{1}}$	0.146	0.145
$0.4{{R}_{1}}$	$0.2{{R}_{1}}$	0.051	0.048
$0.5{{R}_{1}}$	$0.4{{R}_{1}}$	0.179	0.179
$0.4{{R}_{1}}$	$0.3{{R}_{1}}$	0.116	0.122
$0.5{{R}_{1}}$	$0.3{{R}_{1}}$	0.102	0.106

Сопоставим теперь численные результаты по выражениям (9) и (10) с учетом (11). Пусть $a = d$ и $A = D.$

Тогда на основании (9) имеем:

$\begin{gathered} M\left( {a = d,A = D} \right) = {{\mu }_{0}}\frac{\pi }{4}\frac{{wW{{d}^{2}}}}{{\sqrt 2 D}}\left[ {1 + \frac{1}{8}\frac{{{{D}^{2}}{{d}^{2}}}}{{4{{D}^{4}}}}\left( {3 - 4} \right) + \frac{1}{{32}}\frac{{{{D}^{4}}{{d}^{4}}}}{{16{{D}^{8}}}}\left( {3 - 4} \right)\left( {\frac{5}{2} - 10 + 4} \right) + ...} \right] = \\ = {{\mu }_{0}}\frac{\pi }{4}\frac{{wW{{d}^{2}}}}{{\sqrt 2 D}}\left[ {1 - \frac{1}{{32}}\frac{{{{d}^{2}}}}{{{{D}^{2}}}} - \frac{1}{{32 \times 16}}\frac{{{{d}^{4}}}}{{{{D}^{4}}}}\left( { - 3.5} \right) + ...} \right] \approx {{\mu }_{0}}\frac{\pi }{4}\frac{{wW}}{{\sqrt 2 }}\frac{{{{d}^{2}}}}{D}\left[ {1 - \frac{1}{{32}}\frac{{{{d}^{2}}}}{{{{D}^{2}}}} + \frac{{3,5}}{{32 \times 16}}\frac{{{{d}^{4}}}}{{{{D}^{4}}}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Полагая $d = 0.5D$, получаем:

$\begin{gathered} M\left( {a = d,A = D,d = \frac{1}{2}D} \right) = {{\mu }_{0}}\frac{\pi }{4}\frac{{wW}}{{\sqrt 2 }} \times \frac{1}{2}d\left[ {1 - \frac{1}{{32}}\frac{1}{4} + \frac{{3.5}}{{32 \times 16}}\frac{1}{{16}}} \right] = \\ = {{\mu }_{0}}wWd \times \,0.2777 \times 0.9926 \approx {{\mu }_{0}}wWd \times \,\,0.2756. \\ \end{gathered} $

При $d = 0.1$ м

$M = 4\pi \times {{10}^{{ - 7}}}wW \times 0.1 \times 0.2756 = 0.03461wW \times {{10}^{{ - 6}}}\,\,{\text{Гн}}{\text{.}}$

Пусть теперь в соответствии с (10) и (11)

$M = {{\mu }_{0}}\frac{\pi }{4}\frac{d}{D}wW\left( {\frac{1}{2}\sqrt {{{D}^{2}} + {{{\left( {D + d} \right)}}^{2}}} {{F}_{1}} - \frac{1}{2}\sqrt {{{D}^{2}} + {{{\left( {D - d} \right)}}^{2}}} {{F}_{2}}} \right),$

$\frac{d}{D} = 0.5 = \delta ,\,\,\,\,\lambda _{1}^{2} = 0.2985,\,\,\,\,\lambda _{2}^{2} = 0.8.$

Тогда в соответствии с таблицей 7-1 в [1] ${{F}_{1}} = 0.997$ и ${{F}_{2}} = 0.98.$

Отсюда имеем [1]:

$\begin{gathered} M = {{\mu }_{0}}\frac{\pi }{4} \times 0.5wW\left( {\frac{1}{2}3.6056 \times 0.997d - \frac{1}{2}2.2361 \times 0.98d} \right) = \\ = 0.4935wW \times {{10}^{{ - 7}}} \times 0.7017 = {\text{0}}{\text{.03463}}wW \times {{10}^{{ - 6}}}\,\,{\text{Гн,}} \\ \end{gathered} $

и, как видно, результаты расчетов практически совпадают.

Будем теперь считать, что $А = a = l,$ т.е. рассмотрим случай одинаковой длины соленоидов. Пусть $l = 0.392$ м, $D = 0.32$ м, $d = 0.28$ м. Тогда согласно (9) при $w = W = 50$ витков получим следующую оценку для М:

$\begin{gathered} M = {{\pi }^{2}} \times {{0.28}^{2}} \times {{50}^{2}} \times {{10}^{{ - 7}}}{{\left( {{{{0.392}}^{2}} + {{{0.32}}^{2}}} \right)}^{{ - 1/2}}}\left[ {1 + \frac{1}{8}\frac{{{{{0.32}}^{2}} \times {{{0.28}}^{2}}}}{{{{{\left( {{{{0.392}}^{2}} + {{{0.32}}^{2}}} \right)}}^{2}}}}\left( {3 - 4\frac{{{{{0.392}}^{2}}}}{{{{{0.28}}^{2}}}}} \right)} \right. + \\ + \,\,\frac{1}{{32}}\frac{{{{{0.32}}^{4}} \times {{{0.28}}^{4}}}}{{{{{\left( {{{{0.392}}^{2}} + {{{0.32}}^{2}}} \right)}}^{4}}}}\left( {3 - 4\frac{{{{{0.392}}^{2}}}}{{{{{0.32}}^{2}}}}} \right)\left. {\left( {\frac{5}{2} - 10\frac{{{{{0.392}}^{2}}}}{{{{{0.32}}^{2}}}} + 4\frac{{{{{0.392}}^{4}}}}{{{{{0.32}}^{4}}}}} \right)_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}^{{^{{^{{}}}}}} + ...} \right] \approx 0.355 \times {{10}^{{ - 3}}}\,\,{\text{Гн}}{\text{.}} \\ \end{gathered} $

Выбранная геометрия и количество витков отражают реальные параметры двухслойного соленоида, используемого в практических целях. Следует подчеркнуть, что расчет по формулам параграфа 7.2 [1] для взаимной индуктивности концентрических соленоидов одинаковой длины такой же геометрии приводит к величине $0.348 \times {{10}^{{ - 3}}}$ Гн, и разница между значениями невелика.

Вернемся к упомянутой работе [4] и отметим некоторые особенности. В ней отслежена весьма важная связь между функцией ${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right),$ где $g = \frac{{2 - {{k}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}},$ и полными эллиптическими интегралами первого и второго рода:

(12)

${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right) = \frac{{2\left( {K - E} \right)}}{k} - kK = \left( {\frac{2}{k} - k} \right)K - \frac{2}{k}E,$

где ${{k}^{2}} = \frac{2}{{g + 1}},$ и тогда с учетом (4)

(13)

${{k}^{2}} = \frac{{4{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}{{{{{\left( {{{R}_{1}} + {{R}_{2}}} \right)}}^{2}} + {{x}^{2}}}},$

что позволяет находить значения функции ${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$ через полные эллиптические интегралы $K$и $E.$ На основании (3), записанной и как выражение 2.1 в [4], была получена формула для силы взаимодействия двух соосных витков с токами ${{i}_{1}}$ и ${{i}_{2}},$ в виде выражения 2.3 в [4], которое не лишено опечаток, но здесь на подробностях останавливаться не будем.

Перейдем к ряду (71А) в [2] для коэффициента самоиндукции соленоида с числом витков $w,$ который в обозначениях рис. 2 можно записать в виде:

(14)

$\begin{gathered} L = {{\mu }_{0}}R{{w}^{2}}\left[ {\ln \left( {\frac{{8R}}{a}} \right) - \frac{1}{2} + \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{8}\left( {\ln \frac{{8R}}{a} + \frac{1}{4}} \right) - \frac{{{{\alpha }^{4}}}}{{64}}\left( {\ln \frac{{8R}}{a} - \frac{2}{3}} \right)} \right. + \\ \left. { + \,\,\frac{{5{{\alpha }^{6}}}}{{1024}}\left( {\ln \frac{{8R}}{a} - \frac{{109}}{{120}}} \right) - \frac{{35{{\alpha }^{8}}}}{{16\,384}}\left( {\ln \frac{{8R}}{a} - \frac{{431}}{{420}}} \right) + ...} \right]. \\ \end{gathered} $

Рис. 2.

Тонкослойная катушка кольцевого сечения.

Записанное выражение для индуктивности можно найти в [3] путем объединения формул (118) и (119) в [3] с учетом применяемой системы единиц. Формула (14) записана под номером (6–8) в [1] в виде:

(14а)

$\begin{gathered} L = {{\mu }_{0}}R{{w}^{2}}\left[ {\left( {1 + \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{8} - \frac{{{{\alpha }^{4}}}}{{64}} + \frac{{5{{\alpha }^{6}}}}{{1024}} - \frac{{35{{\alpha }^{8}}}}{{16\,384}} + ...} \right)\ln \frac{4}{\alpha } - \frac{1}{2} + } \right. \\ \left. { + \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{{32}} + \frac{{{{\alpha }^{4}}}}{{96}} - \frac{{109{{\alpha }^{6}}}}{{1024 \times 24}} + \frac{{431{{\alpha }^{8}}}}{{16\,384 \times 84}} + ...} \right] \\ \end{gathered} $

и рекомендована для $\alpha < 1,0,$ т.е. для короткого соленоида, где

(15)

${{\alpha }^{2}} = \frac{{{{a}^{2}}}}{{4{{R}^{2}}}} = {{\left( {\frac{a}{d}} \right)}^{2}}.$

По утверждению в [2], записанное выражение (14) является хорошим приближением, вполне удобным для получения численных результатов. Точное выражение для индуктивности соленоида можно записать с помощью формул (6–1) и (6–3) в [1], а именно:

(16)

$L = \frac{{{{\mu }_{0}}d{{w}^{2}}}}{3}\left[ {{{{\left( {{{\alpha }^{2}} + 1} \right)}}^{{1{\text{/}}2}}}\left( {K + \frac{{1 - {{\alpha }^{2}}}}{{{{\alpha }^{2}}}}E} \right) - {{\alpha }^{{ - 2}}}} \right],$

где $K$ и $E$– полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем

(17)

$k = \frac{1}{{{{{\left( {{{\alpha }^{2}} + 1} \right)}}^{{1{\text{/}}2}}}}}.$

Поэтому ${{k}^{2}} = {{\left( {{{\alpha }^{2}} + 1} \right)}^{{ - 1}}},{{\alpha }^{2}} = {{k}^{{ - 2}}}\left( {1 - {{k}^{2}}} \right)$ и ${{\alpha }^{{ - 2}}} = \frac{{{{k}^{2}}}}{{1 - {{k}^{2}}}} = {{\left( {\frac{d}{a}} \right)}^{2}}$ и выражение (16) преобразуется к виду:

(18)

$L = \frac{{{{\mu }_{0}}{{w}^{2}}d}}{3}{{\left( {\frac{d}{a}} \right)}^{2}}\left[ {\frac{{1 - {{k}^{2}}}}{{{{k}^{3}}}}K\left( k \right) + \frac{{2{{k}^{2}} - 1}}{{{{k}^{3}}}}E\left( k \right) - 1} \right] = \frac{{{{\mu }_{0}}{{w}^{2}}}}{4}{{\frac{d}{a}}^{2}}\pi {{k}_{L}},$

(19)

${\text{где}}\,\,{{k}_{L}} = \frac{{4d{\text{/}}a}}{{3\pi }}\left[ {\frac{{1 - {{k}^{2}}}}{{{{k}^{3}}}}K\left( k \right) + \frac{{2{{k}^{2}} - 1}}{{{{k}^{3}}}}E\left( k \right) - 1} \right],$

а ${{k}_{L}}$ можно назвать коэффициентом Нагаоки в форме Лоренца [7].

Полагая $k = {{\left( {\frac{2}{{g + 1}}} \right)}^{{1/2}}}$ и используя связи полных эллиптических интегралов первого и второго рода с функциями Лежандра второго рода с полуцелым индексом [8], а именно:

(20)

${{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right) = kK\left( k \right),$

(21)

${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right) - g{{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right) = - \frac{2}{k}E\left( k \right),$

подстановкой (20) и (21) в (18) находим:

(22)

$\begin{gathered} L = \frac{{{{\mu }_{0}}{{w}^{2}}d}}{3}{{\left( {\frac{d}{a}} \right)}^{2}}\left\{ { - 1 + \frac{{{{g}^{2}} - 1}}{4}{{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right) + \frac{{3 - g}}{4}\left[ {g{{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right) - {{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right)} \right]} \right\} = \\ = \frac{{{{\mu }_{0}}{{w}^{2}}d}}{3}{{\left( {\frac{d}{a}} \right)}^{2}}\left\{ { - 1 - \frac{{3 - g}}{4}{{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right) + \frac{{3g - 1}}{4}{{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right)} \right\}. \\ \end{gathered} $

Таким образом, задавая ${{\alpha }^{2}} = {{\left( {\frac{a}{d}} \right)}^{2}}$, находим ${{k}^{2}}$ и $g,$ а по значениям $g$ определяем ${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$ и ${{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$, и далее $L$ в соответствии с (22).

Рассмотрим пример. Пусть $\alpha = \frac{a}{d} = 1,{{k}^{2}} = 0.5,k = 0.7071$ и $g = 3.0$. Тогда в соответствии с формулой (22) и значением ${{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( 3 \right),$ равным 1.311, найдем [9]:

$L = \frac{{{{\mu }_{0}}{{w}^{2}}d}}{3} \times 1.622.$

Отметим связь между сферическими функциями $Q_{{1{\text{/}}2}}^{1}\left( g \right),$ ${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$ и ${{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$:

(23)

$Q_{{1{\text{/}}2}}^{1}\left( g \right) = \frac{1}{2}{{\left( {{{g}^{2}} - 1} \right)}^{{ - 1{\text{/}}2}}}\left[ {g{{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right) - {{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right)} \right],$

что позволяет по значениям $Q_{{1{\text{/}}2}}^{1}\left( g \right)$ и ${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$ находить ${{Q}_{{ - 1{\text{/}}2}}}\left( g \right).$

Тогда выражение (22) можно перезаписать в виде:

(24)

$L = {{\mu }_{0}}\frac{{{{w}^{2}}d}}{3}{{\left( {\frac{d}{a}} \right)}^{2}}\left[ { - 1 + \frac{{3\left( {{{g}^{2}} - 1} \right)}}{4}{{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right) - \frac{{3g - 1}}{2}{{{\left( {{{g}^{2}} - 1} \right)}}^{{1{\text{/}}2}}}Q_{{ - 1{\text{/}}2}}^{1}\left( g \right)} \right],$

Таблицы значений $Q_{{1{\text{/}}2}}^{1}\left( g \right)$ и ${{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right)$ даны в Приложении 1 [10]. Сопоставим полученное значение 1.622 с результатом по формуле (14а). Имеем при $\frac{a}{{2R}} = \alpha = 1$ в соответствии с (14а):

$L = {{\mu }_{0}}\frac{d}{3}{{w}^{2}} \times 1.6218,$

т.е. практическое совпадение.

В заключение приведем сопоставительную таблицу некоторых значений для взаимной индуктивности в единицах ${{\mu }_{0}}{{R}_{1}}$ по формулам (5–20) и (5–21) с использованием таблицы 5–5 [1] для контуров с неодинаковыми радиусами и аналогичными результатами по формуле (1), заимствованной из [2].

Следует отметить, что преимущество выражений через сферические функции для коэффициентов само- и взаимоиндукции по отношению к графическим и табличным данным состоит еще и в возможности нахождения электродинамических сил через производные от этих коэффициентов по обобщенным координатам [11], используя определение для функций Лежандра второго рода $m{\text{ - го}}$ порядка в виде

$Q_{{1{\text{/}}2}}^{m}\left( g \right) = {{\left( {{{g}^{2}} - 1} \right)}^{{m/2}}}\frac{{{{d}^{m}}{{Q}_{{1{\text{/}}2}}}\left( g \right)}}{{d{{g}^{m}}}},$

где $g$ – обобщенная координата [12].

Список литературы

Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей. Справочная книга. Л.: Энергоатомиздат. ЛО, 1986. 488 с.
Dwight H.B., Grover F.W. Some series formulas for mutual Inductance of Solenoids. Electrical Engineering. March 1937. P. 347–354.
Grover F.W. Inductance calculations. Working formulas and tables. New York: D. Van Nostrand Co.Inc., 1947.
National Bureau of Standards. Circular 544/Snow Ch. Formulas for Computing Capacitance and Inductance. 1954. P. 69.
Цицикян Г.Н. Взаимные индуктивности и силы взаимодействия соосных контуров, соленоидов и катушек. Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1985. № 6. С. 90–99.
Цицикян Г.Н. Векторный потенциал поля медленно движущихся тел в приложении к задачам электродинамической левитации. Известия РАН. Энергетика. 1994. № 4. С. 130–144.
Knight W. David. Solenoid inductance calculation. Devon, England. 2016. website http://g3ynh.info/ zdocs/ magnetics/.
Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: “Наука” ГРФМЛ., 1979.
Цицикян Г.Н. О взаимной индуктивности и электродинамических силах взаимодействия коаксиальных контуров. Известия РАН. Энергетика. 2018. С. 40–45.
Цицикян Г.Н. О коэффициентах взаимной индукции и силах взаимодействия круговых коаксиальных контуров. Электричество. 2019. № 6. С. 59–65.
Кузнецов И.Ф., Цицикян Г.Н. Электродинамические усилия в токоведущих частях электрических аппаратов и токопроводах. Л.: Энергоатомиздат. ЛО, 1989. 176 с.
Цицикян Г.Н. Электродинамические силы в токоведущих частях электротехнических комплексов. Монография. СПб.: ФГУП “Крыловский государственный научный центр”. 2016. С. 94.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Энергетика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал