Известия РАН. Энергетика, 2020, № 4, стр. 69-80
Координатно-структурный метод расчета электрической емкости
В. Н. Острейко *
Закрытое акционерное общество “Завод электротехнического оборудования”
Великие, Луки, Россия
* E-mail: ogk@zeto.ru
Поступила в редакцию 31.03.2020
После доработки 05.06.2020
Принята к публикации 11.06.2020
Аннотация
Изложена теория координатно-структурного метода, основанная на интерпретации геометрической структуры потенциального электрического поля как ортогональной криволинейной системы координат, названных координатами поля. В таких координатах скалярный потенциал зависит только от одной переменной и, следовательно, вектор электрической напряженности имеет лишь одну составляющую. Это позволяет получить три различных по виду, но эквивалентных по сути, буквенных формул для электрической емкости. Упомянутые формулы, записанные в координатах, геометрически приближенно соответствующих координатам поля (названных координатами аппроксимации), становятся также приближенными. При этом две из трех упомянутых формул определяют завышенное и заниженное значения емкости, что позволяет иметь гарантированную оценку погрешности соответствующих расчетов. Третья же формула позволяет повысить точность этих расчетов. Высокая точность и практическая эффективность изложенного метода проиллюстрирована на двух примерах расчета емкости.
Многие современные электротехнические задачи по существу являются оптимизационными. Для их решения наиболее предпочтительны аналитические (буквенные) алгоритмы расчета. В состав таких алгоритмов могут входить электрические емкости [1–3] и их электромагнитные аналоги, например, электрические и магнитные проводимости. Фактически для буквенного расчета емкости в отечественной литературе имеется единственный справочник [4]. Естественно, что он не охватывает многие практические задачи. Настоящая работа посвящена дополнению указанного справочника. Это дополнение основано на давней работе автора [5], которая переосмыслена и радикально усовершенствована.
1. Электрическая емкость С. Она соответствует электрическому полю, удовлетворяющему уравнениям [6, с. 38]:
(1)
${\mathbf{E}} = - {\text{grad}}\varphi ,\,\,\,\,{\text{\;div}}\varepsilon {\mathbf{E}} = {\text{ }}0,$Рассмотрим случай, когда это поле обусловлено двумя проводниками с поверхностями S1 и S2, на которых распределены равные по величине, но противоположные по знаку заряды q. При этом потенциал φ на поверхностях S1 и S2 принимает некоторые постоянные значения φ1 и φ2 ≠ φ1. В таком случае пространство между упомянутыми проводниками можно охарактеризовать электрической емкостью С, определяемой выражением [4, 6]:
(2)
$C = \left| {{q \mathord{\left/ {\vphantom {q {({{{\varphi }}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {({{{\varphi }}_{1}}}} - {{{\varphi }}_{2}})} \right|.$Фактически емкость С относится к объему пространства с проницаемостью ε, ограниченному торцевыми эквипотенциальными поверхностями S1 и S2, к которым вектор E нормален, и некоторой боковой поверхностью S0, к которой вектор E касателен. По сути, этот объем является трубкой Т вектора E. Поэтому в дальнейшем объем, характеризуемый емкостью С, будем обозначать как Т( S1, S2; S0 ).
2. Координаты поля и их фундаментальное свойство. Уравнения (1), записанные в ортогональных криволинейных координатах u, v, τ с метрическими коэффициентами hu, hv, hτ, имеют вид [6, с. 43]:
(3)
${{E}_{{\text{u}}}}{{h}_{{\text{u}}}} = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {\text{u}}}},\,\,\,\,{{E}_{{\text{v}}}}{{h}_{{\text{v}}}} = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {\text{v}}}},\,\,\,\,{{E}_{\tau }}{{h}_{\tau }} = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial \tau }},$(4)
$\frac{{\partial ({\varepsilon }{{E}_{{\text{u}}}}{{h}_{{\text{v}}}}{{h}_{{\tau }}})}}{{\partial {\text{u}}}} + \frac{{\partial ({\varepsilon }{{E}_{{\text{v}}}}{{h}_{{\tau }}}{{h}_{{\text{u}}}})}}{{\partial {\text{v}}}} + \frac{{\partial ({\varepsilon }{{E}_{{\tau }}}{{h}_{{\text{u}}}}{{h}_{{\text{v}}}})}}{{\partial {\tau }}} = 0.$Допустим, что в координатах u, v, τ вектор Е имеет лишь одну составляющую Еu:
Согласно (3) в этом случае потенциал φ будет зависеть только от u:
(6)
$\varphi = \varphi ({\text{u}}),\,\,\,\,{{E}_{{\text{u}}}}{{h}_{{\text{u}}}} = - \varphi {\kern 1pt} '({\text{u}}) = \xi ({\text{u}}).$Ортогональные координаты u, v, τ, в которых выполняются условия (5), а значит и (6), будем называть координатами поля.
Согласно (6) в координатах поля u, v, τ поверхности u являются эквипотенциальными. Поэтому вектор Е имеет лишь одну составляющую Еu, которая нормальна к поверхностям u и касательна к поверхностям v и τ. Следовательно, на эквипотенциальных торцевых граничных поверхностях S1 и S2 объема Т(S1, S2; S0 ) координата u примет некоторые постоянные значения u1 и u2. При этом на его боковой граничной поверхности S0 координаты v и τ также примут некоторые постоянные значения v1, v2 и τ1, τ2. Значит в координатах поля граничная поверхность объема Т(S1, S2; S0 ) задается шестью указанными постоянными значениями координат, т.е. объем Т(S1, S2; S0) конкретизируется как Т(u1, u2; v1, v2, τ1, τ2), где в дальнейшем для определенности будем придерживаться условий: u2 > u1, v2 > v1, τ2 > τ1.
С учетом (5) из уравнения (4) следует:
(7)
${\varepsilon }{{E}_{{\text{u}}}}{{h}_{{\text{v}}}}{{h}_{{\tau }}} = {{{\varepsilon }}_{{\text{c}}}}{\eta }({\text{v}},{\tau }),$Разделив (7) на второе выражение (6), имеем:
где условие Q > 0 обусловлено неотрицательностью ε и метрических коэффициентов.
Уравнение (8) отражает фундаментальное свойство координат поля. Оно заключается в том, что, хотя отдельно проницаемость ε и метрические коэффициенты hu, hν, hτ ортогональной структуры эквипотенциалей u и поверхностей v, τ вектора E могут как угодно сложно зависеть от всех трех координат u, v, τ, однако в выражении Q(u, v, τ) переменные u и v, τ всегда разделяются.
3. Емкость Сu, соответствующая поверхностям u координат поля. Из приведенных определений объема Т(S1, S2; S0 ) и координат поля следует, что интеграл от функции εEu по площади любой поверхности u в пределах изменения координат v и τ равен заряду q, относящемуся к поверхностям S1 и S2:
(9)
$\int\limits_{{{{\text{v}}}_{1}}}^{{{{\text{v}}}_{2}}} {\int\limits_{{{{\tau }}_{1}}}^{{{{\tau }}_{2}}} {{\varepsilon }{{E}_{{\text{u}}}}} } {{h}_{{\text{v}}}}{{h}_{\tau }}d{\text{v}}d{\tau } = q.$Это уравнение с учетом (6) и (8) преобразуется к виду:
(10)
$ - \varphi {\kern 1pt} '({\text{u}}) = \frac{q}{{f({\text{u}})}},\,\,\,\,f({\text{u}}) = \int\limits_{{{{\text{v}}}_{1}}}^{{{{\text{v}}}_{2}}} {\int\limits_{{{\tau }_{1}}}^{{{\tau }_{2}}} {Qd{\text{v}}d\tau } } .$Интегрируя данное уравнение по u, получим:
Отсюда в соответствии с (2) следует первое выражение для емкости объема Т(u1, u2; v1, v2, τ1, τ2):
(11)
${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{C}_{{\text{u}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{{\text{u}}}}}} = \int\limits_{{{{\text{u}}}_{1}}}^{{{{\text{u}}}_{2}}} {\frac{{d{\text{u}}}}{{f({\text{u}})}}} = \int\limits_{{{{\text{u}}}_{1}}}^{{{{\text{u}}}_{2}}} {\frac{{d{\text{u}}}}{{\int\limits_{{{{\text{v}}}_{1}}}^{{{{\text{v}}}_{2}}} {\int\limits_{{{\tau }_{1}}}^{{{\tau }_{2}}} {Qd{\text{v}}d\tau } } }}} ,$4. Емкость Сvτ, соответствующая поверхностям v, τ координат поля. Интегрируя второе уравнение (6) по координате u, получим:
(12)
$\int\limits_{{{{\text{u}}}_{1}}}^{{{{\text{u}}}_{2}}} {{{E}_{{\text{u}}}}{{h}_{{\text{u}}}}d{\text{u}}} = {\varphi }({{{\text{u}}}_{1}}) - {\varphi }({{{\text{u}}}_{2}}) = {{{\varphi }}_{1}} - {{{\varphi }}_{2}}.$Это уравнение с учетом (7) и (8) преобразуется к виду:
Интегрируя данное уравнение по v и τ с учетом (9), получим:
Отсюда в соответствии с (2) следует второе выражение для емкости объема Т(u1, u2; v1, v2, τ1, τ2 ):
где индекс vτ указывает на то, что это выражение получено с учетом совпадения координатных поверхностей v, τ с поверхностями вектора Е.
5. Емкость Сuvτ, соответствующая поверхностям u, v, τ координат поля. Из уравнений (6) и (13) с учетом соответственно (10) и (8) следуют два эквивалентных выражения для напряженности поля в его координатах:
Приравняв эти выражения, с учетом (2), получим третье выражение для емкости объема Т(u1, u2; v1, v2, τ1, τ2 ):
(15)
${{C}_{{{\text{uv}}\tau }}} = \frac{{f({\text{u}})}}{{QF({\text{v}},\tau )}} = {{\left( {Q\int\limits_{{{u}_{1}}}^{{{u}_{2}}} {\frac{{d{\text{u}}}}{Q}} } \right)}^{{ - 1}}}\int\limits_{{{{\text{v}}}_{1}}}^{{{{\text{v}}}_{2}}} {\int\limits_{{{\tau }_{1}}}^{{{\tau }_{2}}} {Qd{\text{v}}d\tau } } ,$6. Эквивалентность в координатах поля трех выражений для емкости. Рассмотренная теория координат поля является математически строгой. Следовательно, выражения (15), (14) и (11) для емкостей Сuvτ, Сvτ и Сu должны приводить к одному и тому же, точному значению емкости C объема Т(u1, u2; v1, v2, τ1, τ2 ). С учетом свойства координат поля (8) это действительно имеет место:
(16)
${{C}_{{{\text{uv}}\tau }}} = {{C}_{{{\text{v}}\tau }}} = {{C}_{{\text{u}}}} = C = {{\varepsilon }_{c}}{{\left( {\int\limits_{{{{\text{u}}}_{1}}}^{{{{\text{u}}}_{2}}} {\xi ({\text{u}})d{\text{u}}} } \right)}^{{ - 1}}}\int\limits_{{{v}_{1}}}^{{{v}_{2}}} {\int\limits_{{{\tau }_{1}}}^{{{\tau }_{2}}} {\eta ({\text{v}},\tau )d{\text{v}}d\tau } } .$Отметим, что смысл отыскания разных по форме, но эквивалентных по сути, выражений (15), (14) и (11) для электрической емкости С обусловлен тем, что в неудовлетворяющих условию (8) приближенных координатах поля (названных в последующем п. 8 координатами аппроксимации) упомянутые выражения при сопоставимой точности могут приводить к существенно разной сложности расчетов.
7. Координаты u, v, τ как координаты поля. Согласно теории, изложенной в п. 2, ортогональные координаты u, v, τ являются координатами поля в объеме Т(u1, u2; v1, v2, τ1, τ2) при выполнении двух условий:
1) координаты геометрически соответствуют границам S1, S2 и S0 указанного объема, т.е. на торцевых поверхностях S1 и S2 координата u принимает некоторые постоянные значения u1 и u2 > u1, а на боковой поверхности S0 постоянные значения v1, v2 > v1 и τ1, τ2 > τ1 принимают координаты v и τ;
2) метрические коэффициенты координат hu,hv, hτ совместно с диэлектрической проницаемостью ε в указанном объеме удовлетворяют соотношению (8) функциональной разделимости переменных u и v, τ.
При образовании координат u, v, τ как геометрической структуры, в ряде случаев имеется возможность удовлетворить условию 1) при заданных границах S1, S2 и S0. Понятно, что сравнительно несложным является обратное, т.е. использовать имеющиеся ортогональные координаты для определения соответствующих им поверхностей S1, S2 и S0, а значит, и вида объема Т(u1, u2; v1, v2, τ1, τ2).
Что касается условия 2), то в общей постановке оно выполнимо лишь за счет проницаемости ε, т.е. согласно (8), если
где η(v, τ) и ξ(u) ‒ ограниченные по величине функции соответствующих координат, которые обеспечивают выполнение условия ε > 0.
8. Аппроксимация координат поля. Будем называть координатами аппроксимации u, v, τ ортогональные координаты с метрическими коэффициентами hu,hv, hτ, удовлетворяющие условию 1), но неудовлетворяющие условию 2), приведенным в п. 7, т.е. координаты аппроксимации не удовлетворяют соотношению (8). Поэтому они приближенно описывают (аппроксимируют) геометрическую структуру поля в объеме Т(S1, S2; S0 ) = = Т(u1, u2; v1, v2, τ1, τ2), причем структура самих координат определяется лишь геометрией границ S1, S2 и S0 без учета уравнений поля (3), (4) и диэлектрической проницаемости ε. Следовательно, выражения (15), (14) и (11) в координатах аппроксимации являются приближенными. Соответственно этому равенства (16) обратятся в приближения:
где степени приближений зависят от геометрической близости координат аппроксимации и координат поля, при этом, в отличие от Сu и Сvτ, емкость Сuvτ является непостоянной величиной, т.е. Сuvτ = Сuvτ (u, v, τ).
9. Влияние проницаемости ε на величину емкости С. Согласно энергетическим принципам Дирихле и Томсона [4, с. 67‒74 и 7, с. 78‒84], если диэлектрическая проницаемость ε в любой части объема Т(S1, S2; S0) увеличивается (или уменьшается), то емкость C этого объема также увеличится (или уменьшится) либо останется неизменной. В частности, если в указанный объем поместить бесконечно тонкие оболочки произвольной конфигурации с проницаемостью ε = ∞ (или ε = 0), то это приведет либо к увеличению (или уменьшению) емкости C, либо величина C останется неизменной. Характерно, что последнее будет иметь место только в том случае, когда оболочки с проницаемостью ε = ∞ (или ε = 0) совпадают с эквипотенциальными поверхностями поля (или с поверхностями вектора Е).
10. Завышенное значение емкости C в координатах аппроксимации. Допустим, что в объем Т(u1, u2; v1, v2, τ1, τ2) внесено множество бесконечно тонких оболочек с проницаемостью ε = ∞, совпадающих с поверхностями u координат аппроксимации u, v, τ. Это приведет к изменению распределения исходного поля, так как поверхности u из-за ε = ∞ станут эквипотенциальными. Следовательно, в данном случае емкость указанного объема будет определяться выражением (11), причем согласно п. 9 ее величина Сu будет больше или равна истинной емкости С, т.е.
Очевидно, что степень этого неравенства зависит от степени геометрического соответствия поверхностей u координат аппроксимации эквипотенциальным поверхностям исходного поля.
11. Заниженное значение емкости C в координатах аппроксимации. Допустим теперь, что в объем Т(u1, u2; v1, v2, τ1, τ2) внесено множество бесконечно тонких оболочек с проницаемостью ε = 0, совпадающих с поверхностями v, τ координат аппроксимации u, v, τ. Это также приведет к изменению распределения исходного поля, поскольку поверхности v, τ из-за ε = 0 станут непроницаемыми для потока вектора εЕ. Следовательно, в данном случае емкость указанного объема будет определяться выражением (14), причем согласно п. 9 ее величина Сvτ будет меньше или равна истинной емкости С, т.е.
Понятно, что степень этого неравенства зависит от степени геометрического соответствия поверхностей v, τ координат аппроксимации поверхностям вектора Е исходного поля.
Отметим, что (19) и (18) могут обратиться в равенства только при выполнении условия (8), когда координаты аппроксимации u, v, τ фактически являются координатами поля.
12. Оценка погрешности расчета емкости C в координатах аппроксимации. Согласно (19) и (18) истинная величина емкости C объема Т(u1, u2; v1, v2, τ1, τ2 ) удовлетворяет неравенствам:
Эти неравенства дают два варианта приближенного расчета (17) емкости С, т.е.
где Cvτ и Cu определяются выражениями (14) и (11).
С учетом (20) для модуля относительной погрешности δ обоих приближений (21) справедливы соотношения:
или, следовательно: где равенство δ = δm имеет место только при δm = 0, когда Сu = Cvτ.
При выборе из двух приближений (21), имеющих одну и ту же гарантированную оценку погрешностей (22), можно исходить из наибольшей простоты выражения Сu или Cvτ. Возможен и вариант, основанный на использовании двух средних значений, определяемых емкостями (14) и (11). Действительно, легко убедиться, что среднеарифметическая – CA и среднегеометрическая – CГ величины:
также, как и С, удовлетворяют неравенствам вида (20), т.е.
Следовательно, для каждого из двух приближений:
справедлива оценка (22) для относительной погрешности δ. При этом ниже будет показано, что скорее всего, более точной является величина CГ.13. Выбор более точной формулы для расчета емкости C. Согласно (16) и (15) при выполнении условия (8) имеет место равенство:
Данное уравнение можно переписать в виде:
Приравнивая это выражение с выражением (8), имеем:
Подставив эти выражения в (16), с учетом (14) и (11), получим:
Поскольку в координатах аппроксимации условие (8) не выполняется, то это уравнение является приближенным, т.е. C ≈ СuCvτ/C или, следовательно,
Данное приближение свидетельствует о том, что, скорее всего, величина CГ определяет наиболее точное приближение к емкости C, чем соответствующие выражения (24), (14) и (11) для CА, Cvτ и Сu. Исследованию этого вопроса будет посвящена последующая статья автора.
14. Электрическая емкость осесимметричной системы проводников вращения. В этом случае у координат аппроксимации u, v, τ переменная τ = α, где α – координата вращения относительно общей оси симметрии проводников. У таких координат метрические коэффициенты не зависят от α, т.е. [5]
(27)
${{h}_{{\text{u}}}} = {{h}_{{\text{u}}}}({\text{u}},{\text{v}}),\,\,\,\,{{h}_{{\text{v}}}} = {{h}_{{\text{v}}}}({\text{u}},{\text{v}}),\,\,\,\,{{h}_{\tau }} = {{h}_{\alpha }} = \rho = \rho ({\text{u}},{\text{v}}),$Следовательно, координатам аппроксимации u, v, α с метрическими коэффициентами (27) соответствует независящий от α плоско-меридианный объем Т(u1, u2; v1, v2, α1, α2). В этих координатах функция (8) имеет вид:
т.е. функция Q, в отличие от коэффициентов (27), может зависеть от α, поскольку такую зависимость может иметь проницаемость ε.
Если согласно [5] у координат аппроксимации
то уравнение (28) упрощается: и значит в случае однородного диэлектрика с проницаемостью ε = εc = const оно принимает вид:
Отсюда следует, что если функция ρ(u, v) удовлетворяет условию (8) разделимости координат u и v, т.е.
(32)
$\rho = \rho ({\text{u}},{\text{v}}) = {{\eta ({\text{v}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{\eta ({\text{v}})} {\xi ({\text{u}})}}} \right. \kern-0em} {\xi ({\text{u}})}},$15. Уточнения двух формул для емкости. Проиллюстрируем эффективность изложенного метода на двух Примерах.
Пример 1. Найдем выражение для емкости C между двумя проводниками в виде сплюснутых софокусных эллипсоидов вращения с полуосями а1, b1 < а1 и а2, b2 < а2, причем а2 > а1, b2 > b1 (рис. 1). Диэлектрик между эллипсоидами – однородный (ε = εс), их полуфокусные расстояния p1 и p2 – одинаковы:
Рис. 1.
Меридианное сечение α = const осесимметричной системы двух сплюснутых софокусных эллипсоидов вращения; затемненная часть сечения соответствует двухмерной области, вращение которой вокруг оси y от α = α1 = 0 до α = α2 = 2π образует плоско-меридианный объем Т(u1, u2; v1, v2, α1, α2).
Геометрически указанным проводникам (рис. 1) соответствуют сплюснутые эллипсоидальные координаты вращения u, v, α, которые в меридианном сечении α = const связаны с прямоугольными координатами x, y уравнениями [8, с. 163]:
(34)
$x = x({\text{u}},{\text{v}}) = p{\text{ch}}({\text{u}})\cos ({\text{v}}),\,\,\,\,y = y({\text{u}},{\text{v}}) = p{\text{sh}}({\text{u}})\sin ({\text{v}}).$Метрические коэффициенты этих координат соответствуют уравнениям (27), (29), причем согласно (34) и рис. 1
т.е. видим, что функция ρ удовлетворяет условию (32). Следовательно, указанные координаты u, v, α являются координатами поля и поэтому позволяют определить точное выражение для искомой емкости С.Согласно (34) и рис. 1 координаты v и α изменяются в пределах:
(36)
${{{\text{v}}}_{1}} = {{ - \pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \pi } 2}} \right. \kern-0em} 2},\,\,\,\,{{{\text{v}}}_{2}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2},\,\,\,\,{{\alpha }_{1}} = 0,\,\,\,\,{{\alpha }_{2}} = 2\pi ,$(37)
${{b}_{n}} = y({{{\text{u}}}_{n}},{{{\text{v}}}_{2}}) = p{\text{sh}}({{{\text{u}}}_{n}}),\,\,\,\,n = 1,\,\,2.$Поскольку τ = α, то, например, из выражения (14) с учетом (31), (35)–(37) и [9, с. 63, п. 9] следует:
(38)
$\begin{gathered} C = {{C}_{{{\text{v}}\tau }}} = \int\limits_{{{{\text{v}}}_{{\text{1}}}}}^{{{{\text{v}}}_{{\text{2}}}}} {\int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}} {{{{\left( {\int\limits_{{{{\text{u}}}_{{\text{1}}}}}^{{{{\text{u}}}_{{\text{2}}}}} {\frac{{d{\text{u}}}}{{{{\varepsilon }_{c}}p{\text{ch}}({\text{u}})\cos ({\text{v}})}}} } \right)}}^{{ - 1}}}} } d{\text{v}}d\alpha = \\ = 2\pi {{\varepsilon }_{c}}p\int\limits_{{{ - \pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \pi } 2}} \right. \kern-0em} 2}}^{{\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}} {\cos ({\text{v}})} d{\text{v}}{{\left( {\int\limits_{{{u}_{1}}}^{{{u}_{2}}} {\frac{{d{\text{u}}}}{{{\text{ch}}({\text{u}})}}} } \right)}^{{ - 1}}} = 4\pi {{\varepsilon }_{c}}p{{\left( {{\text{arctg}}\frac{{p({{b}_{2}} - {{b}_{1}})}}{{{{p}^{2}} + {{b}_{1}}{{b}_{2}}}}} \right)}^{{ - 1}}}. \\ \end{gathered} $В справочнике [4, с. 189, п. в] для емкости (38) приведено (без литературной ссылки) приближенное выражение:
Пример 2. Найдем выражение для емкости между двумя проводниками в виде круглых осесимметричных торов с радиусами R1 и R2 > R1 их образующих окружностей (рис. 2). Диэлектрик между торами – однородный (ε = εс).
Рис. 2.
Меридианное сечение α = const осесимметричной системы двух торов вращения; затемненная часть сечения соответствует кольцевой двухмерной области, вращение которой при ρ0 = R0 – R2 ≥ 0 по радиусу R0 вокруг оси xρ от α = α1 = 0 до α = α2 = 2π образует плоско-меридианный объем Т(u1, u2; v1, v2, α1, α2 ).
Обратная логарифмической функции [6, с. 162] экспоненциальная зависимость x + + jy = R1exp(u + jv) и соответствующие ей функции:
(39)
$x = x({\text{u}},{\text{v}}) = {{R}_{1}}\exp ({\text{u}})\cos ({\text{v}}),\,\,\,\,y = y({\text{u}},{\text{v}}) = {{R}_{1}}\exp ({\text{u}})\sin ({\text{v}}),$Согласно (39) и рис. 2 координаты v и α изменяются в пределах:
(41)
${{{\text{v}}}_{1}} = 0,\,\,\,\,{{{\text{v}}}_{2}} = 2\pi ,\,\,\,\,{{\alpha }_{1}} = 0,\,\,\,\,{{\alpha }_{2}} = 2\pi ,$(42)
${{R}_{n}} = x({{{\text{u}}}_{n}},{{{\text{v}}}_{1}}) = {{R}_{1}}\exp ({{{\text{u}}}_{n}}),\,\,\,\,\,n = 1,2.$Поскольку τ = α, то из выражений (14) и (11) после интегрирования с учетом (31), (40)–(42) следует:
(43)
${{C}_{{v\alpha }}} = \frac{{{{C}_{0}}}}{{2\pi }}{{\int\limits_0^{2\pi } {\left( {\ln \frac{{{{{{R}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{0}}} {{{R}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{1}}}} + \sin {\text{v}}}}{{{{{{R}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{0}}} {{{R}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{2}}}} + \sin {\text{v}}}}} \right)} }^{{ - 1}}}d{\text{v}},$(44)
${{C}_{{\text{u}}}} = {{{{C}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{C}_{0}}} {\ln K}}} \right. \kern-0em} {\ln K}},\,\,\,\,{{C}_{0}} = 4{{\pi }^{2}}{{\varepsilon }_{c}}{{R}_{0}},\,\,\,\,K = {{{{R}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{2}}} {{{R}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{1}}}} > 1.$Выражениям Сu и Сvα соответствуют средние значения (23) и оценка погрешности (22) относительно точного значения емкости С.
В справочнике [4, с. 190, п. 5–4–4] для емкости С приведено (без литературной ссылки) соответствующее приближенное выражение:
Отметим, что при R0/R2$ \gg $ 1 затемненная часть рис. 2 при вращении образует практически прямолинейный цилиндрический конденсатор длиной l = 2πR0, имеющий емкость [6, с. 95]: C = 2πεcl(lnK)–1. Легко видеть, что к этой величине при R0/R2$ \gg $ 1 стремятся все три выражения (43)–(45). Поэтому их численный анализ целесообразно осуществить при значениях R0/R2 ≥ 1, неудовлетворяющих условию R0/R2$ \gg $ 1. Результаты таких расчетов приведены в табл. 1, где δСП – модуль относительной погрешности выражения (45) по сравнению с величиной СГ, равной СА с точностью до пяти знаков после запятой, т.е.
(46)
$\delta {{C}_{{\text{П}}}} = \left| {1 - {{{{C}_{{\text{П}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{C}_{{\text{П}}}}} {{{C}_{{{\text{AГ}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{{{\text{AГ}}}}}}}} \right|,\,\,\,\,{{C}_{{{\text{AГ}}}}} = {{C}_{{\text{A}}}} \approx {{C}_{{\text{Г}}}} = \sqrt {{{C}_{{\text{u}}}}{{C}_{{{\text{v}}\alpha }}}} .$Таблица 1.
R0/R2 = 1 – емкости (43)–(46) и их погрешности (46), (22), соответствующие тороидальной системе (рис. 2)
| k = R1/R2 | Сvα/С0 | Сu/С0 | САГ/С0 | СП/С0 | δСП, % | δm, % |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.001 | 0.137 | 0.145 | 0.141 | 0.002 | 98.6 | 5.84 |
| 0.01 | 0.204 | 0.217 | 0.210 | 0.020 | 90.5 | 6.37 |
| 0.1 | 0.408 | 0.434 | 0.421 | 0.204 | 51.5 | 6.37 |
| 0.2 | 0.590 | 0.621 | 0.605 | 0.425 | 29.8 | 5.25 |
| 0.3 | 0.796 | 0.831 | 0.813 | 0.675 | 17.0 | 4.40 |
| 0.4 | 1.055 | 1.091 | 1.073 | 0.975 | 9.13 | 3.41 |
| 0.5 | 1.405 | 1.443 | 1.424 | 1.361 | 4.42 | 2.70 |
| 0.6 | 1.921 | 1.958 | 1.939 | 1.905 | 1.75 | 1.93 |
| 0.7 | 2.768 | 2.804 | 2.786 | 2.774 | 0.43 | 1.30 |
| 0.8 | 4.450 | 4.481 | 4.466 | 4.468 | 0.04 | 0.70 |
| 0.9 | 9.470 | 9.491 | 9.480 | 9.488 | 0.08 | 0.22 |
Согласно данным таблицы все четыре выражения для Сu, Сvα, САГ обеспечивают высокую точность расчетов искомой емкости (верхняя граница их относительной погрешности δm невелика). В то же время погрешность выражения (45) при малых значениях k = R1/R2 значительна. Поэтому при решении практических задач следует использовать приближение С ≈ Сu, содержащее весьма простое выражение (44) или предположительно более точную величину СГ из (46), содержащую сравнительно сложное выражение (43), численное компьютерное интегрирование которого является элементарным.
Список литературы
Adalev A.S., Hayakaw M., Korovkin N.V. Identification of electric circuits: problems and methods of solution accuracy enhancement Proceedings – IEEE Int. Symp. on Circuits and Systems “Proceedings - IEEE International Symposium on Circuits and Systems 2005”. 2005. C. 980–983.
Adalev A.S., Hayakawa M., Korovkin N.V. Identification of electric circuits described by ill-conditioned mathematical models IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. 2006. T. 53. № 1. C. 78–91.
Adalev A.S., Hayakawa M., Korovkin N.V. Using linear relations between experimental characteristics in stiff identification problems of linear circuit theory IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. 2008. T. 55. № 5. C. 1237–1247.
Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский М.Г. Расчет электрической емкости. Л.: Энергоиздат, 1981, 288 с.
Острейко В.Н. Расчет проводимостей плоскомеридианных полей с помощью конформных отображений. Изв. вузов. Электромеханика, 1974. № 11. С. 1175–1183.
Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн М.Л., Тиходеев Н.Н. Методы расчета электростатических полей. М.: Высшая школа, 1963. 416 с.
Полиа Г., Сегë Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Госиздат физ.-мат. лит., 1962. 336 с.
Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1967. 780 с.
Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Энергетика
Пн.-пт.: 10.00-19.00