Известия РАН. Энергетика, 2021, № 4, стр. 58-71

ВВЕДЕНИЕ

Катушка-конденсатор (каткон) – это элемент электрической цепи, представляющий собой высокодобротный четырехполюсник со своеобразной зависимостью реактивного сопротивления от частоты – вплоть до его знакопеременности [1–5]. Конструктивно каткон выполняется в виде бифилярной катушки (рис. 1а), но со специфическим соединением двух из четырех выводов обмоток (рис. 1б) [5] (выводы Н₁ и К₂ – входные, а К₁ и Н₂ – выходные). Впервые бифилярную катушку в 1894 г. запатентовал Никола Тесла (патент № 512340 [6]). Он использовал подобные катушки для придания электрическим цепям большей емкости и снижения расходов на применение дорогостоящих конденсаторов.

Далее создавались иные конструкции данных элементов, которым давались новые названия: “индуктивно-емкостной гибрид” [7, 8], “индукон” [9], “декон” [10], “окон” [11], “спиральная полосковая линия” [12], “индуктор с самокомпенсацией реактивной мощности” [13], “многофункциональный интегрированный электромагнитный компонент” [14–18] и, непосредственно, “катушка-конденсатор (каткон)” [19].

Благодаря сочетанию индуктивно-емкостных свойств в едином техническом объекте сфера применения катконов достаточно широкая и разнообразная: электроиндукционные устройства с самокомпенсацией реактивной мощности [20], фильтры [21], фильтрокомпенсирующие устройства [22–25], индуктивно-емкостные преобразователи [4, 9, 10, 26, 27], электротехнологические установки [28, 29], токоограничивающие устройства [30, 31], магнитные диполи, трансформаторы и др.

Вопросы работы устройств на базе каткона в установившихся режимах достаточно хорошо изучены [32–36]. В целом неплохо проработаны и вопросы математического моделирования поведения каткона в переходных процессах [37–39]. Иное дело – возможность коррекции этих процессов за счет использования каткона. Здесь результаты скромнее [40]. Особенно актуальной эта проблема становится при применении каткона в качестве резонансного токоограничивающего устройства (ТОУ) [31], так как быстродействие является одним из важнейших требований, предъявляемых к ТОУ [41]. Ранее предложенное авторами в [30, 42] устройство ограничения токов короткого замыкания на базе каткона позволяет существенно снизить массогабаритные показатели стандартного резонансного ТОУ, но при этом не позволяет достичь желаемых результатов по критерию быстродействия.

В этой связи в настоящей работе ставятся следующие задачи:

• разработка функциональной схемы резонансного ТОУ на базе каткона, применение которой позволит снизить длительность протекания процесса ограничения тока короткого замыкания, т.е. улучшить показатели быстродействия ТОУ;

• разработка математической модели и формирование аналитического решения для расчета переходных процессов в электрических цепях с ТОУ на базе каткона, учитывающего моменты изменения граничных условий;

• экспериментальное исследование переходных процессов в физической модели резонансного ТОУ на базе каткона.

I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА ТОКООГРАНИЧИВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА НА ОСНОВЕ КАТКОНА

При разработке резонансных токоограничивающих устройств на базе каткона наиболее эффективной является конфигурация устройства, приведенная в [38]. В этом случае секции каткона выполняют из спирально скрученных проводников (листов фольги) 1 и 2, изолированных пленками диэлектрика Д₁ и Д₂ (рис. 2а), и располагают на магнитном сердечнике 3 (рис. 2б).

Для обеспечения надежности и устойчивости конструкции секции С₁ и С₂, соединенные между собой последовательно согласно, располагают на двух П-образных участках магнитопровода М₁ и М₂, отделенных друг от друга равными по длине немагнитными зазорами НЗ (рис. 2в). Источник питания подключается к входным выводам Н₁ секции С₁ (проводник 1) и К₂ секции С₂ (проводник 2), а выходные выводы К₁ (проводник 1) и Н₂ (проводник 2) могут быть разомкнуты, замкнуты или к ним может быть подключена нагрузка с произвольным сопротивлением [36]. Такое конструктивное исполнение ТОУ на базе каткона позволяет снижать нелинейность его характеристик, варьировать значение эквивалентной индуктивности и достигать необходимых резонансных частот [38].

II. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ УСТРОЙСТВА ОГРАНИЧЕНИЯ ТОКОВ КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ НА ОСНОВЕ КАТКОНА

На условно-принципиальной схеме, представленной на рис. 3, изображены источник питания ИП, выключатель QF, нагрузка НАГР и ТОУ на базе каткона с резистором согласования РС. ТОУ на основе каткона выполняется в соответствии со схемой, приведенной на рис. 2в, и содержит следующие элементы: магнитопровод М с немагнитными зазорами, проводники в виде листов фольги 1 и 2, пленки диэлектрика Д, изолирующие проводники 1 и 2 друг от друга. К входным выводам ТОУ Н₁ и K₂ подключаются выключатель QF и нагрузка НАГР, обеспечивающие соединение входа устройства с источником питания ИП и образование соответствующего последовательного контура. К выходным выводам ТОУ К₁ и Н₂ подключаются последовательно соединенные ключ K и резистор согласования РС.

На рисунке 4 приведена эквивалентная схема замещения ТОУ на базе каткона с резистором согласования, представляющая собой электрическую цепь с распределенными параметрами, содержащую совокупность элементарных ячеек на участке длиной dx. В каждой ячейке схемы первичные параметры R₀ (Ом/м) и G₀ (См/м) определяют соответственно потери в проводниках 1 и 2, магнитопроводе М и диэлектрике Д, первичные параметры C₀ (Ф/м) и L₀ (Гн/м) – значения емкости и индуктивности на единицу длины проводников l.

Граничные условия на выходе ТОУ определяются положением ключа К. При разомкнутом ключе К (R_н → ∞), т.е. в режиме холостого хода, относительно входных выводов Н₁ и K₂ устройство представляется синтезированной схемой замещения с эквивалентными сосредоточенными параметрами (R_х = 2/3R₀l; C = C₀l; L = L₀l; G = G₀l) [37]. В рассматриваемом режиме значение входного сопротивление ТОУ Z_вх при резонансной частоте f₀ с учетом пренебрежения потерями в диэлектрике Д (G₀l ≈ 0) может быть вычислено по выражению [5]:

Таким образом, значение эквивалентного резистивного сопротивления R_x определяется потерями в проводниках 1, 2 и в магнитопроводе М.

Из условия Im{Z_вх} = 0 определяется резонансная частота [5]:

При замыкании ключа К к выходным выводам ТОУ К₁ и Н₂ подключается резистор согласования с чисто активным сопротивлением R_c, т.е. возникает режим безразличного резонанса [37]. Значение сопротивление резистора согласования R_c равно волновому сопротивлению ТОУ на базе каткона и определяется в соответствии с [37]:

В нормальном режиме в соответствии с приведенными схемами (рис. 3 и 4) выключатель QF замкнут, ключ К разомкнут, ТОУ настраивается в режим резонанса напряжений за счет выбора соответствующих значений эквивалентной емкости и индуктивности. Под действием источника питания ИП на резонансной частоте f₀ ток нагрузки проходит по замкнутому контуру, содержащему источника питания ИП, замкнутый выключатель QF, ТОУ в режиме холостого хода (R_н → ∞) и нагрузку НАГР с сопротивлением Z_нагр. При этом входное сопротивление ТОУ относительно выводов Н₁ и К₂R_x по модулю много меньше сопротивления нагрузки Z_нагр: R_x $ \ll $ Z_нагр. Таким образом, потери в ТОУ, определяющиеся значением эквивалентного сопротивления R_х, минимальны, а напряжение между входными выводами Н₁ и К₂ устройства существенно меньше напряжения источника питания ИП.

При возникновении короткого замыкания (Z_нагр = 0) в момент t = 0 в соответствии с приведенными схемами (рис. 3 и 4) напряжение источника питания ИП приложено ко входу ТОУ. Ток короткого замыкания циркулирует через замкнутый контур, содержащий источник питания ИП, замкнутый выключатель QF и ТОУ в режиме холостого хода (R_н → ∞). С целью ограничения тока короткого замыкания в момент времени t₀ замыкается ключ К, обеспечивая подключение к выходным выводам ТОУ резистора согласования РС с сопротивлением R_c, что приводит к возникновению режима согласованной нагрузки и безразличного резонанса. В этом случае входное сопротивление ТОУ без учета потерь теоретически должно быть равно сопротивлению резистора согласования R_c [37]:

В реальности в режиме согласованной нагрузки входное сопротивление ТОУ R по значению немного меньше, чем сопротивление R_c, что обусловлено потерями в магнитопроводе и в проводниках устройства [37].

Таким образом в результате изменения граничных условий на выходе каткона ток короткого замыкания в контуре ограничивается из-за резкого увеличения входного сопротивления ТОУ со значения R_х до значения R ≈ R_c. При этом в результате данной коммутации практически отсутствует переходной процесс в цепи [38, 39].

III. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКА С ПОСТОЯННЫМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ, УЧИТЫВАЮЩИМИ МОМЕНТЫ ИЗМЕНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Для расчета переходного процесса в электрической цепи с ТОУ на базе каткона используется эквивалентная схема с сосредоточенными параметрами (рис. 5а). Для построения решения введено понятие локального (t') и глобального времени (t) (рис. 5б). Под локальным временем понимается время после момента коммутации t₀, тогда глобальное время выражается через время локальной системы t = t' + t₀.

Рассматривается режим работы электрической цепи рис. 5а при t ≥ t₀. В установившемся режиме имеет место резонанс напряжений: ωL = 1/ωC.

Для определения в локальной системе независимых начальных условий (ННУ) предварительно приведем выражения для тока и напряжений на конденсаторе и индуктивной катушке в режиме до коммутации:

Определим ННУ (t' = 0): u_C(0) = –U_Cmхcos ωt₀; i(0) = I_mхsin ωt₀.

Составим характеристическое уравнение и определим его корни:

где α (1/с) – коэффициент затухания, а ω_св (рад/с) – угловая частота собственных колебаний.

Так как сопротивление контура меньше критического (R < R_c), то корни характеристического уравнения – комплексно-сопряженные, а рассматриваемый переходный процесс имеет колебательный характер.

Решение для переходного напряжения на конденсаторе в общем виде находится в виде суммы установившейся (u_Cуст) и преходящей (u_Cпрех) составляющих:

где U_Cmуст = U_m/RωC.

Для определения постоянных А и φ учитываются найденные ранее ННУ.

Дополнительное уравнение для производной:

Значение напряжения на конденсаторе и производной в момент времени t' = 0:

Подставив в (7) и (8) ранее найденные ННУ, при этом учитывая, что $i(t{\kern 1pt} ') = C\frac{{d{{u}_{C}}}}{{dt{\kern 1pt} '}},$ получим:

Исходя из (9) и (10), запишем выражение для определения A и φ как функций от t₀:

Тогда можно записать выражение для тока:

где ψ = arctg(–ω_св/α).

Выражение для напряжения на конденсаторе будет иметь следующий вид:

Таким образом, получено аналитическое выражение для тока в цепи и напряжения на конденсаторе с постоянными A(t₀), φ(t₀) как функциями от момента коммутации t₀ (при t ≥ t₀).

Далее представим результаты аналитического решения для переходного тока на входе ТОУ на базе каткона и переходных напряжений на конденсаторе и индуктивной катушке, учитывающие протекание переходных процессов до и после замыкания ключа К.

Выражение для тока до коммутации (R_х-L-C-цепь):

Выражение для тока после коммутации (R-L-C-цепь):

где ${{D}_{1}}({{t}_{0}}) = \frac{{D({{t}_{0}})}}{{{{{{\omega }}}_{{{\text{св}}}}}L}}$ – $\frac{{{{I}_{{m{\text{х}}}}}{{\omega }}}}{{{{{{\omega }}}_{{{\text{св}}}}}}}\cos {{\omega }}{{t}_{0}}$ – $\frac{{{\alpha }}}{{{{{{\omega }}}_{{{\text{св}}}}}}}{{D}_{2}}({{t}_{0}});$ $D({{t}_{0}}) = - {{U}_{C}}({{t}_{0}});$ ${{D}_{2}}({{t}_{0}}) = i({{t}_{0}}) - \frac{{{{U}_{m}}}}{R}\sin {{\omega }}{{t}_{0}}.$

Выражение для напряжения на конденсаторе до коммутации (R_х-L-C-цепь):

где ${{A}_{3}} = \left( {\frac{{{{{{\alpha }}}_{{\text{х}}}}}}{{{{{{\omega }}}_{{{\text{свх}}}}}}}} \right){{U}_{{Cm{\text{устх}}}}};$ ${{A}_{4}} = {{U}_{{Cm{\text{устх}}}}}.$

Выражение для напряжения на конденсаторе после коммутации (R-L-C-цепь):

где ${{A}_{1}}({{t}_{0}})$ = $\frac{{i({{t}_{0}})}}{{{{{{\omega }}}_{{{\text{св}}}}}C}} - \frac{{{\omega }}}{{{{{{\omega }}}_{{{\text{св}}}}}}}{{U}_{{Сm{\text{уст}}}}}\sin {{\omega }}{{t}_{0}}$ – $\frac{{{\alpha }}}{{{{{{\omega }}}_{{{\text{св}}}}}}}\left[ {{{U}_{{Сm{\text{уст}}}}}\cos {{\omega }}{{t}_{0}} - {{u}_{С}}({{t}_{0}})} \right];$

Выражения для напряжения на катушке до коммутации (R_х-L-C-цепь) и после коммутации (R-L-C-цепь) соответственно определяются с учетом найденных решений (15)–(18) для тока и напряжения на конденсаторе:

В соответствии с полученными аналитическими решениями (15)–(20) на рис. 6 представлены результаты построения кривых переходного тока i(t), напряжения на конденсаторе u_C(t) и напряжения на катушке u_L(t) при подключении ТОУ на базе каткона (t = 0 мс) к источнику напряжения u_m(t) = 0.45sin1570t В и последующем замыкании его выходных выводов через ключ К на резистор R = 55.4 Ом (t₀ = 50 мс) с целью ограничения тока в цепи.

Следует отметить, что в условиях реальной работы ТОУ на базе каткона имеется возможным экспериментально наблюдать только входной ток ввиду того, что с конструктивной точки зрения каткон является единым техническим объектом, а конденсатор и катушка, изображенные на схеме рис. 5а, являются лишь эквивалентными элементами.

В рамках настоящей работы было также получено аналитическое решение для критического (предельно-апериодического) переходного процесса (R = R_с). При этом аналитическое решение, полученное для колебательного процесса [(5)–(20)], приводит к схожему результату для входного тока ТОУ на базе каткона (рис. 7).

На основе анализа полученных аналитических решений отметим, что при ограничении тока короткого замыкания оптимальным по уровню тока, напряжений и длительности протекания переходных процессов является момент коммутации, при котором мгновенная мощность на входе каткона равна нулю. Таким образом, применение предлагаемой математической модели (рис. 5а) позволяет корректно анализировать переходные процессы на входе рассматриваемого ТОУ при R ≈ R_с, а также оптимизировать их протекание по критериям энергоэффективности и быстродействия за счет выбора момента коммутации.

IV. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ТОКОГРАНИЧИВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА НА БАЗЕ КАКТОНА

Для проведения экспериментального исследования используется лабораторный комплекс, содержащий:

• источник синусоидального напряжения ИСН (амплитудное значение – U_m = 0.45 В; частота – f ≈ 250 Гц);

• физическую модель каткона (рис. 8) с эквивалентными сосредоточенными параметрами: C = 22 мкФ; L = 18.4 мГн; R_х = 3.6 Ом; G = 0 (рассчитаны на основе [43]);

• коммутационный ключ с управляемым моментом коммутации (КК);

• измерительный резистор (R_изм ≈ 1 Ом);

• резистор согласования (R ≈ 55 Ом);

• запоминающий цифровой осциллограф (ОСЦ).

Схема опыта представляет собой цепь, состоящую из последовательного соединения источника ИСН, измерительного резистора R_изм и физической модели каткона, которая подключается в цепь за счет соединения входных выводов Н₁ секции С₁ и К₂ секции С₂ (рис. 2в) с источником и измерительным резистором. Резистор согласования R подключается к выходным выводам Н₂ секции С₁ и К₁ секции С₂ (рис. 2в) физической модели через коммутационный ключ КК. Запоминающий цифровой осциллограф ОСЦ подключается параллельно к источнику ИСН и измерительному резистору R_изм и фиксирует кривые напряжений u_m(t) и u_Rизм(t) соответственно. Характер изменения переходного тока в исследуемой цепи оценивается в соответствии со следующим выражением: i(t) = u_m(t)/R_изм.

Первоначально цепь настраивается в режим резонанса и рассматривается установившийся режим работы ТОУ при разомкнутых выходных выводах физической модели (непосредственно переходной процесс, возникающий при подключении каткона к источнику, в опыте не рассматривается). Затем в момент времени t₀ для ограничения тока в рассматриваемой цепи осуществляется замыкание коммутационного ключа КК:

• в первом опыте выходные выводы модели замыкаются накоротко;

• во втором опыте к выходным выводам модели подключается резистор R.

Экспериментальные осциллограммы входного напряжения u_m(t) и напряжения на измерительном резисторе u_Rизм(t) для двух рассматриваемых опытов приведены на рис. 9 и рис. 10а. На рисунке 10б приведены теоретические кривые входного тока i(t) для второго опыта, построенные на основе приведенных ранее аналитических выражений.

Полученные экспериментальные и теоретические зависимости (рис. 9–10) свидетельствуют о следующем:

• в обоих опытах (рис. 9 и рис. 10а) обеспечивается ограничение тока в цепи за счет изменения граничных условий в физической модели устройства, что свидетельствует о работоспособности обеих функциональных схем ТОУ;

• подключение к выходным выводам ТОУ резистора согласования (второй опыт) позволяет повысить быстродействие устройства при ограничении тока в цепи и снизить проявление инерционности переходного процесса в режиме резонанса (рис. 10а);

• теоретическая кривая входного тока (рис. 10б) достаточно точно совпадает с экспериментальной кривой (рис. 10а), что свидетельствует о корректности полученного аналитического решения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен новый принцип реализации устройства ограничения токов короткого замыкания на базе каткона. В сравнении с известными аналогами предлагаемое устройство имеет более простое схемотехническое решение и улучшенные массогабаритные показатели благодаря многофункциональному применению проводников и диэлектриков в едином техническом объекте. Использование в одном и том же устройстве режимов резонанса напряжений и режима согласования обеспечивает возможность компактного конструктивного исполнения токоограничивающего устройства.

2. Разработана математическая модель устройства ограничения токов короткого замыкания на основе каткона, базирующаяся на использовании расчетной синтезированной схемы замещения устройства с эквивалентными сосредоточенными параметрами и применении классического метода расчета переходных процессов. Отличительной особенностью модели является введение системы глобального и локального времени, а также возможность учета моментов изменения граничных условий в выражениях для постоянных интегрирования переходных напряжений и тока. Применение данной модели упрощает анализ переходных процессов в устройстве.

3. Получены аналитические решения для переходных напряжений и тока на интервалах короткого замыкания в цепи и режима ограничения тока короткого замыкания. Найденные в процессе решения постоянные интегрирования являются функциями моментов времени коммутаций как параметров, что упрощает исследование их влияния на переходный процесс. Определено условие для определения оптимального момента коммутации для ограничения тока короткого замыкания в цепи.

4. Результаты экспериментального исследования подтверждают работоспособность предлагаемой функциональной схемы ТОУ на базе каткона при ограничении токов короткого замыкания и корректность предложенной математической модели.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-08-00730 А.