Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 8, стр. 1143-1145

ВВЕДЕНИЕ

Ускорение космических лучей (КЛ) сильными ударными волнами (УВ) сопровождается существенным усилением магнитной турбулентности. Наиболее эффективные механизмы усиления магнитного поля связаны с потоковой неустойчивостью КЛ, акустической неустойчивостью Друри и Фалле и нерезонансной токовой неустойчивостью Белла (см. обзоры [1–3]). Предполагается, что акустическая неустойчивость связана с наличием градиента давления ускоренных частиц в предфронте УВ и возмущением давления КЛ, а коротковолновая неустойчивость Белла связана с током ускоренных частиц относительно фоновой плазмы в предфронте [4, 5]. Распределение КЛ формируется в предфронте УВ при их ускорении, описываемом механизмом Ферми, за счет рассеяния на движущихся флуктуациях магнитного поля. В процессе ускорения в предфронте УВ формируется неравновесное распределение ускоренных частиц, обладающее током относительно фоновой плазмы и градиентом давления, которые связанны друг с другом.

В данной работе мы на основе уравнений, описывающих поведение КЛ и фоновой плазмы в предфронте бесстолкновительной УВ (полученных в работе [6]), исследуем рост коротковолновых возмущений на фоне крупномасштабного состояния системы, состоящей из ускоренных частиц и фоновой плазмы, формирующегося в процессе рассеяния частиц и их ускорения в предфронте УВ. Особенность данного рассмотрения заключается в согласованном учете и градиента давления КЛ, и их тока. Найдены показатели роста новых растущих мод.

ДИССПЕРСИОНОЕ СООТНОШЕНИЕ КОРОТКОВОЛНОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Рассмотрим систему уравнений, описывающую плазму в предфронте бесстолкновительной ударной волны, состоящую из холодных фоновых протонов и электронов, а также частиц, ускоренных до высоких энергий. Плазма в целом предполагается квазинейтральной. Для описания динамики плазмы в предфронте используем уравнения, полученные в работе [6]

Здесь ρ, $\vec {u},$ p_g – плотность, скорость и давление фоновой плазмы соответственно, $\vec {B}$ – индукция магнитного поля, с – скорость света, $\vec {p},$ f, e, n_cr, ${{\vec {j}}_{{cr}}},$ p_cr, $\vec {P},$ ${{\prod }_{{{\alpha \beta }}}}$ – импульс, усредненная функция распределения, электрический заряд, плотность, электрический ток, давление, плотность потока импульса и тензор натяжений ускоренных частиц соответственно, I[f] – стохастический интеграл столкновений. При этом концентрация КЛ много меньше, чем фоновой плазмы.

Следуя работе [6], для описания рассеяния КЛ используем модельный интеграл столкновений в системе покоя фоновой плазмы, имеющий вид

где f_iso – изотропная часть функции распределения ускоренных частиц, χ – частота столкновений. Рассматриваем возмущение индукции магнитного поля $\delta \vec {b}$ на фоне постоянного магнитного поля ${{\vec {B}}_{0}}.$ Также мы предполагаем, что $\chi = a\Omega ,$ где $\Omega $ = $\frac{{ec{{B}_{0}}}}{\varepsilon },$ a – постоянный параметр, ε – энергия ускоренной частицы. Используя выражение (3), получим

в правых частях выражений (1) и (2).

Далее анализ роста возмущений проводим в коротковолновом пределе, по аналогии с работой [5]. В рассматриваемом пределе, когда длина волны возмущения много меньше длины свободного пробега ускоренной частицы $\frac{{k{v}}}{\chi } \gg 1,$ и ее гирорадиуса $\frac{{k{v}}}{\Omega } \gg 1,$ отклик функции распределения на возмущение магнитного поля мал (см. [5, 7]) и им можно пренебречь. Здесь v – модуль скорости ускоренной частицы, k – модуль волнового вектора возмущения. Поэтому можно пренебречь возмущением тока ускоренных частиц и интегралом столкновений для возмущений в уравнении (1), при этом невозмущенные вклады от ускоренных частиц учтены.

Запишем соотношение для невозмущенного состояния на основе уравнения (2) в системе покоя фоновой плазмы в виде

где p_cr0, $\vec {j}_{0}^{{cr}},$ f₀ – невозмущенные давление, электрический ток и функция распределения ускоренных частиц в системе покоя невозмущенной фоновой плазмы соответственно.

На основе выражений (1) и (5) получаем уравнение движения фоновой плазмы для малых возмущений в коротковолновой области в системе покоя невозмущенной фоновой плазмы

Здесь величины, содержащиеся в обозначении δ, соответствуют малым возмущениям на фоне невозмущенного состояния системы. Пренебрегаем градиентами невозмущенных величин, кроме слагаемого $\frac{{\delta \rho }}{{\rho _{0}^{2}}}\nabla {{p}_{{cr0}}}$ в уравнении (6). Заметим, что в работе [5] вместо слагаемого $\frac{{\delta \rho }}{{\rho _{0}^{2}}}\nabla {{p}_{{cr0}}}$ в уравнение (6) входила плотность силы $\frac{{\delta \rho }}{{\rho _{0}^{2}}}\vec {j}_{0}^{{cr}} \times {{\vec {B}}_{0}}.$

Далее из уравнения (6), уравнений неразрывности для фоновой плазмы и вмороженности магнитного поля в фоновую плазму, рассматривая возмущения в виде плоских волн, находим дисперсионное соотношение для усиливающихся мод в предфронте ударной волны. Соотношения между невозмущенными электрическим током и градиентом давления ускоренных частиц получим из уравнения (5).

Приведем частные случаи геометрии системы и направлений волнового вектора мод:

а) В продольной ударной волне орт ${{\vec {e}}_{x}}$ совпадает с направлением нормали к фронту ударной волны и направлением невозмущенного магнитного поля ${{\vec {B}}_{0}}.$ В данной геометрии в соответствии с (5) имеем $\nabla {{p}_{{cr0}}}$ = $ - \frac{{a{{B}_{0}}}}{c}j_{0}^{{cr}}{{\vec {e}}_{x}},$ $\vec {j}_{0}^{{cr}}$ = $j_{0}^{{cr}}{{\vec {e}}_{x}}.$ В случае продольного распространения, когда волновой вектор $\vec {k}$ параллелен вектору ${{\vec {B}}_{0}},$ имеем дисперсионные соотношения

где ${{v}_{a}}$ = $\frac{{{{B}_{0}}}}{{\sqrt {4\pi {{\rho }_{0}}} }},$ ${{v}_{s}}$ – скорость звука в фоновой плазме, ${{k}_{0}}$ = $\frac{{4\pi j_{{0x}}^{{cr}}}}{{c{{B}_{0}}}}.$ В предфронте ударной волны ток ускоренных частиц относительно фоновой плазмы, направленный вдоль нормали к фронту $j_{{0x}}^{{cr}}$ ≈ $e{{n}_{{cr}}}{{u}_{{sh}}},$ где u_sh – скорость ударной волны относительно фоновой плазмы. Дисперсионное соотношение (7) совпадает с результатом работ [4, 5], а моды из дисперсионного соотношения (8) связанны с градиентом давления ускоренных частиц.

б) В поперечной ударной волне орт ${{\vec {e}}_{x}}$ совпадает с направлением нормали к фронту ударной волны. Вектор ${{\vec {B}}_{0}}$ направлен вдоль орта ${{\vec {e}}_{z}}.$ В соответствии с (5) имеем $\nabla {{p}_{{cr0}}}$ = $ - \frac{{{{B}_{0}}j_{{0x}}^{{cr}}}}{c}\left( {a + \frac{1}{a}} \right){{\vec {e}}_{x}},$ $\vec {j}_{0}^{{cr}}$ = = $j_{{0x}}^{{cr}}\left( {{{{\vec {e}}}_{x}} - \frac{1}{a}{{{\vec {e}}}_{y}}} \right).$ Для различных возможных направлений волнового вектора получим

Заметим, что для невозмущенного состояния системы, рассмотренного в [5], существуют усиливающиеся моды из (11), однако растущие моды из (9) и (10) отсутствуют. Они возникают при учете связи градиента давления КЛ и электрического тока КЛ в условии (5).

в) Для наклонной ударной волны в пределе ${{k}_{0}} \gg k$ существует новая растущая мода. На рис. 1 и 2 приведены показатели роста двух растущих мод. Мода на рис. 1 соответствует моде Белла [5], а новая растущая мода показана на рис. 2. Орт ${{\vec {e}}_{x}}$ здесь направлен по нормали к фронту ударной волны ${{\vec {B}}_{0}}$ = ${{B}_{0}}\left( {{{{\vec {e}}}_{x}}\cos \psi } \right.$ + $\left. {{{{\vec {e}}}_{z}}\sin \psi } \right).$

Работа поддержана программой Президиума РАН № 12 (проект Минобрнауки КП19-270). Результаты работы получены с использованием вычислительных ресурсов суперкомпьютерного центра СПбПУ им. Петра Великого (www.scc.spbstu.ru).