Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 10, стр. 1422-1426

ВВЕДЕНИЕ

В работах [1–5] автором разработана теория супералгебраических спиноров, которая является развитием теории алгебраических спиноров [6‒8]. В ней гамма-операторы ${{\hat {\gamma }}^{\mu }}$, являющиеся аналогами матриц Дирака ${{\gamma }^{\mu }}$, $\mu = 0,1,2,3,5$, γ⁴ = ~γ⁵, строятся из грассмановых плотностей ${{\theta }^{\alpha }}(p)$ в импульсном пространстве и производных по ним $\,\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{\alpha }}(p)}}$, где $p$ – импульс. При этом

Инфинитезимальные преобразования ${{\theta }^{a}}(p)$ и $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{a}}(p)}}$, $a = 1,\,2,\,3,\,4$, сохраняющие их алгебру (1), приводят к преобразованиям операторов поля $\Psi $

где $d{{\omega }_{a}}$ и $d{{\omega }_{{ab}}} = - d{{\omega }_{{ba}}}$ – вещественные параметры преобразований. В результате возникают две дополнительные “матрицы” ${{\hat {\gamma }}^{6}}$ и ${{\hat {\gamma }}^{7}}$ [4, 5], которые не имеют аналогов в матричном формализме.

Операторы уничтожения ${{b}_{i}}(p)$ и рождения $b_{i}^{\# } = {{\bar {b}}_{i}}(p) = {{({{\hat {\gamma }}^{0}}{{b}_{a}})}^{ + }}$ спиноров получаются из $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{i}}(0)}}$ и ${{\theta }^{i}}(0)$ преобразованием Лоренца ${{{\text{e}}}^{{{{{\hat {\gamma }}}^{{0k}}}{{{{\omega }_{k}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{k}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ [3–5]. Из них можно построить Лоренц-инвариантные аналоги матриц Дирака ${{\hat {\Gamma }}^{a}} = \int {{{d}^{3}}p} {{\hat {\Gamma }}^{a}}(p)$ [5]. Например, ${{\hat {\Gamma }}^{0}}$ = $\int {{{d}^{3}}p} [{{b}_{1}}b_{1}^{\# } + {{b}_{2}}b_{2}^{\# }$ + ${{b}_{3}}b_{3}^{\# } + {{b}_{4}}b_{4}^{\# },*]$. Также можно построить генераторы псевдоортогональных вращений ${{\hat {\Gamma }}^{{ab}}}$ = $\frac{1}{2}({{\hat {\Gamma }}^{a}}{{\hat {\Gamma }}^{b}} - {{\hat {\Gamma }}^{b}}{{\hat {\Gamma }}^{a}})$, например, ${{\hat {\Gamma }}^{{67}}}$ = $ - i\int {{{d}^{3}}p} [{{b}_{1}}b_{1}^{\# } + {{b}_{2}}b_{2}^{\# }$ – ${{b}_{3}}b_{3}^{\# } - {{b}_{4}}b_{4}^{\# },*]$.

ДВА ВАРИАНТА ЭРМИТОВА СОПРЯЖЕНИЯ ГАММА-ОПЕРАТОРОВ

Для обобщенного дираковское сопряжения ${{\bar {b}}_{i}} = {{({{\hat {\gamma }}^{0}}{{b}_{i}})}^{ + }}$, введенного нами в работах [3–5], при повторном сопряжении у оператора меняется знак: ${{\overline {\bar {b}} }_{i}} = - {{b}_{i}}$. Удобно ввести еще один вариант сопряжения “#”, для которого сопряжение оператора уничтожения совпадает с дираковским $b_{a}^{\# } = {{\bar {b}}_{a}}$, а сопряжение оператора рождения отличается от дираковского сопряжения знаком: ${{(b_{a}^{\# })}^{\# }} = {{b}_{a}}$.

Поскольку ${{b}_{a}}(p)$ ‒ это $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{a}}(0)}}$ в повернутой преобразованием Лоренца системе отсчета, то сопряжение $b_{a}^{\# }$ ‒ это эрмитово сопряжение “+” оператора $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{a}}(0)}}$, но в этой повернутой системе отсчета. Поэтому сопряжение “#” также может рассматриваться как эрмитово. Рассмотрим дираковское сопряжение с помощью этих вариантов сопряжения. Пусть имеется разложение оператора поля по импульсам [3]

где α = 1, 2; τ = 3 ,4, а ${{\lambda }^{\alpha }}$ и ${{\lambda }^{\tau }}$ постоянные числовые коэффициенты, $m$ масса спинора, $E$ – его энергия. Тогда, сопрягая (3), и с учетом того, что $b_{\tau }^{\# } = {{({{\hat {\gamma }}^{0}}{{b}_{\tau }})}^{ + }}$, $b_{\tau }^{{\# + }} = {{\hat {\gamma }}^{0}}{{b}_{\tau }}$ и $b_{\tau }^{{\# \# }} = {{b}_{\tau }}$, получаем

Из (4) следует, что имеется совпадение результатов двух вариантов дираковского сопряжения

КОВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Вывод разложения (2) в [4] с учетом (5) можно воспроизвести, заменив $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{a}}(p)}}$ и ${{\theta }^{a}}(p)$ на ${{b}_{a}}(p)$ и $b_{a}^{\# }(p)$ и эрмитово сопряжение “+” на “#”. Такое разложение, аналогичное (2), будет иметь вид

где $d{{w}_{a}}$ и dw_ab = ‒dw_ba – инфинитезимальные вещественные параметры. Их величина для близких точек пространства пропорциональна расстоянию между точками $d{{w}_{a}} = F_{a}^{\mu }d{{x}_{\mu }},$ $d{{w}_{{ab}}} = F_{{ab}}^{\mu }d{{x}_{\mu }}$. Величины $F_{a}^{\mu }$ и $F_{{ab}}^{\mu }$ играют роль коэффициентов аффинной связности.

Обозначим $F_{0}^{\mu } = - {{p}^{\mu }}$. Тогда в разложении (6) вклад ${{d}_{0}}\Psi (p)$ от слагаемого с $a = 0$ описывается формулой

где ${{\hat {P}}_{\mu }}$ – оператор импульса

отличающийся от обычной теории вторичного квантования [9] только наличием коммутатора (благодаря коммутаторам нет необходимости в нормализации операторов).

Интегрируя по всем возможным импульсам, получаем

Таким образом, разложение (6) порождает обычное для метода вторичного квантования [9] соответствующее уравнению Гейзенберга выражение (9).

Обозначим теперь $\hat {Q} = - i{{\hat {\Gamma }}^{{67}}}$ и $F_{{67}}^{\mu } = g{{B}^{\mu }}$, где ${{B}^{\mu }}$ – векторное поле, а $g$ – константа связи. Тогда в (6) от слагаемого с $a = 6,\,\,b = 7$ получаем вклад

С учетом (10) уравнение (6) можно записать в виде $d\Psi = {{D}^{\mu }}\Psi d{{x}_{\mu }}$, при этом ковариантная производная ${{D}^{\mu }}$ задается выражением

где α = 1, 2, 3, 4, 6, 7;  b, c = 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, и $bc \ne 67,76$.

Первые два слагаемых соответствуют обычной теории Дирака в формализме вторичного квантования, и на первый взгляд выражение (10) соответствует вкладу электромагнитного потенциала ${{B}^{\mu }}$, а $\hat {Q}$ является оператором электрического заряда. Однако операторы ${{\hat {\Gamma }}^{{23}}},{{\hat {\Gamma }}^{{31}}},{{\hat {\Gamma }}^{{12}}}$ не подходят на роль генераторов электрослабого взаимодействия $i{{\hat {\tau }}_{1}},i{{\hat {\tau }}_{2}},i{{\hat {\tau }}_{3}}$ с соответствующим полем $W_{k}^{\mu }$ [10], поскольку в области вблизи нулевого импульса $p = 0$ совпадают с генераторами спина. Эта проблема решается удвоением числа грассмановых плотностей ${{\theta }^{k}}(p)$ и $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{k}}(p)}}$.

УДВОЕНИЕ ЧИСЛА КОМПОНЕНТОВ СПИНОРА

Рассмотрим построение гамма-матриц при удвоении числа компонентов спинора [11]. Пусть имеется $n = 2\nu $-мерное пространство клиффордовых векторов с базисными векторами $\gamma _{n}^{\mu }$, представляемыми в виде квадратных матриц ${{2}^{\nu }} \times {{2}^{\nu }}$, и спинор представляется столбцом из ${{2}^{\nu }}$ элементов. Удвоение числа компонентов спинора означает, что пространство клиффордовых векторов становится n = 2ν + 2-мерным. В нем удобно выбрать базис

где $I$ – единичная матрица ${{2}^{\nu }} \times {{2}^{\nu }}$, а ${{\Sigma }_{k}}$ – соответствующие блочные матрицы Паули. То есть в случае $n = 8$ получаем ${{\Sigma }_{1}} = - i{{\gamma }^{8}},$ ${{\Sigma }_{2}} = i{{\gamma }^{9}},$ ${{\Sigma }_{3}} = - i{{\gamma }^{8}}{{\gamma }^{9}}$.

Будем представлять спинор $\Psi $ как $\Psi = \left( \begin{gathered} u \hfill \\ d \hfill \\ \end{gathered} \right)$, где $u$ и $d$ – спиноры $n = 2\nu $ – мерного пространства, состоящие из ${{2}^{\nu }}$ элементов. Если ограничиться одним дублетом спиноров, слабые токи группы U(1) электрослабой модели задаются формулами (13) [10]:

где $(\varphi ,\psi )$ – скалярное произведение столбцов φ и $\psi $.

При переходе к супералгебраическому представлению, помимо комплекта $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{1}}(p)}}$, $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{2}}(p)}}$, ${{\theta }^{3}}(p)$, ${{\theta }^{4}}(p)$ для спинора $u$ и комплекта ${{\theta }^{1}}(p)$, ${{\theta }^{2}}(p)$, $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{3}}(p)}}$, $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{4}}(p)}}$ для антиспинора $\overline u $ появляется второй комплект ${{\theta }^{{3{\kern 1pt} '{\kern 1pt} }}}(p)$, ${{\theta }^{{4{\kern 1pt} '}}}(p)$, $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{{1{\kern 1pt} '}}}(p)}}$, $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{{2{\kern 1pt} '}}}(p)}}$ для спинора $d$ и $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{{3{\kern 1pt} '}}}(p)}}$, $\frac{\partial }{{\partial {{\theta }^{{4{\kern 1pt} '}}}(p)}}$, ${{\theta }^{{1{\kern 1pt} '}}}(p)$, ${{\theta }^{{2{\kern 1pt} '}}}(p)$ для антиспинора $\overline d $. Порядок положительно-частотных и отрицательно-частотных образующих для $d$ по сравнению с $u$ изменен, так как в соответствии с (12) собственные числа оператора ${{\hat {\gamma }}^{0}}$ у них имеют противоположный знак. Аналогично, помимо комплектов операторов рождения и уничтожения ${{b}_{1}},{{b}_{2}},\,b_{3}^{\# },\,b_{4}^{\# }$ для спинора и $b_{1}^{\# },\,b_{2}^{\# },{{b}_{3}},{{b}_{4}}$ для антиспинора появляется комплект операторов рождения и уничтожения $b_{{3{\kern 1pt} '}}^{\# },b_{{4{\kern 1pt} '}}^{\# },{{b}_{{1{\kern 1pt} '}}},{{b}_{{2{\kern 1pt} '}}}$ для спинора и ${{b}_{{3{\kern 1pt} '}}},{{b}_{{4{\kern 1pt} '}}},b_{{1{\kern 1pt} '}}^{\# },b_{{2{\kern 1pt} '}}^{\# }$ для антиспинора. В этом случае в полной аналогии с матричной теорией спиноров количество базисных клиффордовых векторов увеличивается на два, и, в соответствии с (12), появляются дополнительные операторы ${{\hat {\gamma }}^{8}}$ и ${{\hat {\gamma }}^{9}}$, а также, соответственно,

Из (14) следует, что оператор ${{\hat {\Gamma }}^{{89}}}$ задается выражением

и он диагонален. Можно задать аналог матрицы Паули

Операторы ${{\hat {\tau }}_{1}}$ и ${{\hat {\tau }}_{2}}$ должны коммутировать с оператором числа частиц ${{\hat {\Gamma }}^{0}}$ и операторами энергии-импульса ${{\hat {P}}_{\mu }}$. Такому условию удовлетворяют

Таким образом, имеются генераторы вращений $ - {{\hat {\Gamma }}^{{49}}} = i{{\hat {\tau }}_{1}},$ $ - {{\hat {\Gamma }}^{{48}}} = i{{\hat {\tau }}_{2}}$, ${{\hat {\Gamma }}^{{89}}} = i{{\hat {\tau }}_{3}}$ для внутренних степеней свободы, а коэффициенты$F_{{rs}}^{\mu }$ в обобщении (11) на случай восьми грассмановых плотностей при $r,s = 4,\,8;\,\,9,\,4;\,\,8,\,9$ связаны с соответствующими полями $W_{k}^{\mu }$ и константой связи $g$:

Тогда выражение (11) ковариантной производной, справедливое при наличии четырех грассмановых плотностей, необходимо заменить на

где $k = 1,2,3;$ $a = 1, \ldots ,9;$ $b,c = 0, \ldots ,9;$ bc ≠ 67, 76, 48, 84, $49,\,\,94,\,\,89,\,\,98.$

Рассмотрим, какие токи и заряды порождают операторы в слагаемом $i\frac{g}{2}{{\hat {\tau }}_{k}}W_{k}^{\mu }$ в (19). В соответствии с формулами (12) и (16), (17)

где $\hat {\Gamma }_{6}^{5}$ – Лоренц-инвариантный оператор, соответствующий гамма-оператору ${{\hat {\gamma }}^{5}}$ для спинора $u$ и антиспинора $\overline u $, а $\hat {\Gamma }_{6}^{{5{\kern 1pt} '}}$ – Лоренц-инвариантный оператор, соответствующий гамма-оператору ${{\hat {\gamma }}^{{5{\kern 1pt} '}}}$ для спинора $d$ и антиспинора $\overline d $. Соответствующая алгебра Клиффорда шестимерна, так как помимо обычных четырехмерных гамма-операторов в ней присутствуют еще ${{\hat {\gamma }}^{6}}$ и ${{\hat {\gamma }}^{7}}$. В соответствии с (20)

Оператор преобразования Лоренца коммутирует с $\hat {\gamma }_{6}^{5}$. Поэтому если $u(0) = {{u}_{L}}(0)$ = $\frac{{1 - \hat {\gamma }_{6}^{5}}}{2}u(0)$ для $p = 0$, то и после произвольного преобразования Лоренца $u(p) = {{u}_{L}}(p)$ = $\frac{{1 - \hat {\gamma }_{6}^{5}}}{2}u(p)$. Это означает, что $\frac{{1 - \hat {\Gamma }_{6}^{5}}}{2}{{u}_{L}}$ = $\frac{{1 - \hat {\gamma }_{6}^{5}}}{2}{{u}_{L}} = {{u}_{L}}$ и $\frac{{1 + \hat {\Gamma }_{6}^{5}}}{2}{{u}_{R}}$ = $\frac{{1 + \hat {\gamma }_{6}^{5}}}{2}{{u}_{R}} = {{u}_{R}}$. Для ${{d}_{L}}$ и ${{d}_{R}}$ все совершенно аналогично. Поэтому с учетом (16) и (21) получаем:

Оператор $\hat {\Gamma }_{6}^{{5{\kern 1pt} '}}$, действующий в формулах (23), (24) на $d$, меняет обратный порядок компонентов d на прямой, соответствующий обычному матричному представлению. Поэтому заряды и токи (22)–(24) для “левых” верхних и нижних спиноров в супералгебраическом представлении соответствуют зарядам и токам (13) электрослабого взаимодействия.

Введем оператор $\hat {Y} = - \hat {Q}$ и обозначим как $\hat {q} = {{\hat {T}}_{3}} + \frac{{\hat {Y}}}{2}$. Будем называть $\hat {q}$ оператором электрического заряда. При этом $\hat {Y} = {{\hat {Y}}_{L}} + {{\hat {Y}}_{R}},$ ${{\hat {T}}_{3}} = {{\hat {T}}_{{3,L}}} + {{\hat {T}}_{{3,R}}}$. У нас естественным образом возникает теория Пати–Салама [12, 13] с калибровочной группой преобразований $SU{{(2)}_{L}} \otimes SU{{(2)}_{R}} \otimes U(1)$, в которой ${{\hat {Y}}_{L}} = 2(\hat {q} - {{T}_{{3,L}}})$ является оператором электрослабого гиперзаряда.

Мы считаем константы связи для полей ${{B}^{\mu }}$ и $W_{k}^{\mu }$ в (19) одинаковыми. Тогда электрический заряд верхнего спинора ${{q}_{u}} = {{T}_{3}} + \frac{Y}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$, а нижнего ${{q}_{d}} = {{T}_{3}} + \frac{Y}{2}$ = $ - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - 1$, что соответствует электрическим зарядам нейтрино и электрона (и лептонов следующих поколений). Собственное число ${{Y}_{L}} = - 1$ для “левых” спиноров и ${{Y}_{L}} = + 1$ для соответствующих им антиспиноров. Для верхнего “правого” спинора ${{Y}_{L}} = 0$, для верхнего “нижнего” ${{Y}_{L}} = - 2$.

Таким образом, в предложенной теории естественным образом возникают верхние и нижние спиноры, соответствующие лептонам, а также бозонные электрослабые поля ${{B}^{\mu }}$ и $W_{k}^{\mu }$ Стандартной модели в рамках теории Пати–Салама [12, 13], расширяющей Стандартную модель. Также имеются поля $F_{a}^{\mu }$ и $F_{{ab}}^{\mu }$, присутствующие в (19) в выражениях в скобках, их физический смысл пока непонятен.

Оператор $ - \hat {Q}$ в (19) играет роль гиперзаряда, хотя в методе вторичного квантования [9, 14, 15] его аналог (отличающийся только отсутствием коммутатора) традиционно трактовался как оператор электрического заряда. По отношению к нему спиноры и антиспиноры входят в единый дублет.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Аналоги матриц Дирака, построенные из операторов рождения и уничтожения спиноров, в случае восьми независимых грассмановых плотностей порождают операторы энергии-импульса, кирально-симметричный вариант полей электрослабого взаимодействия, соответствующий теории Пати–Салама [12, 13], а также поля, отсутствующие в этой теории. При этом оператор, считающийся в теории вторичного квантования оператором электрического заряда, является частью оператора гиперзаряда теории Пати–Салама. Дальнейшее удвоение числа грассмановых образующих приводит к возникновению еще более сложных моделей, с еще большим числом дополнительных полей. Можно надеяться, что соответствующие модели позволят полностью описать известные взаимодействия.