Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 10, стр. 1395-1400

ВВЕДЕНИЕ

Одной из актуальных проблем структуры атомного ядра является вопрос о парных корреляциях и их влиянии на свойства атомных ядер. Сжатие энергетических уровней в нечетных и нечетно-нечетных ядрах по сравнению с одночастичным спектром, появление энергетической щели в неротационных спектрах четно-четных ядер, уменьшение момента инерции в ротационных спектрах деформированных ядер – далеко не полный список проявлений парных корреляций. Количественной мерой парных корреляций являются нейтронные (n) и протонные (p) парные энергии P_τ (τ = n, p), определяемые как превышение массы нечетного ядра над соседними четно-четными. Если определить некоторую гладкую функцию $\mathcal{M}\left( {N,Z} \right)$, описывающую зависимость массы четно-четных ядер от количества нейтронов N и количества протонов Z, то массу нечетно-нейтронного ядра $M\left( {{{N}_{{\text{н}}}},Z} \right)$ или массу нечетно-протонного ядра $M\left( {N,{{Z}_{{\text{н}}}}} \right)$ можно определить через гладкую составляющую компоненту массы $\mathcal{M}\left( {N,Z} \right)$ и парные энергии P_τ (τ = n, p):

Из формул (1) и (2) следует, что однозначность вычисления P_τ зависит от однозначности выделения “гладкой” массы $\mathcal{M}\left( {N,Z} \right)$ и ее аналитической зависимости от N и Z. Поскольку P_τ в основном определяются парными корреляциями в ядрах, то вычисленные на основе формул (1) и (2) парные энергии могут послужить для уточнения выбора эффективных взаимодействий в частично-частичном канале. Для этой цели парные энергии используются в течение долгого времени, см. например, [2–4].

Существует много способов расчета P_τ (τ = n, p) на основе ядерных масс. Ниже для краткости рассмотрены только нейтронные парные энергии P_n. Для протонных парных энергий P_p используются те же формулы с заменой N на Z (и перестановкой: нейтронные числа должны быть первыми). Обычно вычисляют нейтронные парные энергии с массами ядер при фиксированном четном Z, как, например, в определении Бора и Моттельсона [5]:

здесь и в (4) N и Z – четные числа. Более симметричное выражение предложено Мадландом и Никсом [6]:

В оба этих определения парной нейтронной энергии, как в (3), так и в (4), входят две массы нечетного ядра $M\left( {N + 1,Z} \right)$ и $M\left( {N - 1,Z} \right),$ то есть дается некоторое среднее от P_n для двух нечетных ядер. На это было обращено внимание в [7], где было предложено уравнение, содержащее одну массу нечетного ядра

(N_н – нечетное, Z – четное, как и в (1)), что позволяет фиксировать квантовое состояние нечетного нуклона. Уравнение (5) является обобщением довольно старого определения парной энергии, которое до сих пор используется при отсутствии достаточного числа соседних масс четно-четных ядер:

Как выяснилось в [7], при использовании уравнения (5) нечетные ядра, например, нечетно-нейтронные с N_н и N_н + 2 могут иметь парные энергии P_n(N_н, Z) и P_n(N_н + 2, Z), которые отличаются на ∼100 кэВ и более.

Как уже отмечалось в [1], в основе выражений (3)‒(5) лежит предположение о гладкости изменения масс четно-четных ядер, которая в нечетных ядрах нарушается из-за парных энергий P_τ. Тогда (см. [6]) для четно‑четного ядра с количеством нейтронов N + s и протонов Z + t (s, t малы: $\left| {{s \mathord{\left/ {\vphantom {s N}} \right. \kern-0em} N}} \right| < 1$ и $\left| {{t \mathord{\left/ {\vphantom {t Z}} \right. \kern-0em} Z}} \right| < 1$) можно написать:

(7)

Формально этот ряд подобен ряду Тейлора, но параметры d_inkp не являются производными, хотя они так называются, например, в [5] и [6], так как s и t принимают дискретные значения. Если разлагать по s и t энергию ядра

(m_n, m_p – массы нуклонов, B – энергия связи), то все параметры за исключением d_1n0p, d_0n1p и M(N, Z) не изменяются. При разложении E(N + s, Z + t) масса M(N, Z) заменяется на E(N, Z), а d_1n0p на ${{\bar {d}}_{{1n0p}}}$ и d_0n1p на ${{\bar {d}}_{{0n1p}}}$

Обозначим d_in0p ≡ d_in; d_0nkp ≡ d_kp. Величины ${{d}_{{inkp}}}$ назовем параметрами первого порядка, если i + k = = 1, второго порядка, если i + k = 2, третьего порядка, если i + k = 3 и т.д.; четно-четными, если i = 2μ, k = 2ν, нечетно-нечетными, если i = 2μ + 1, k = 2ν + 1.

Если исходить из того, что единственный источник негладкости в поведении масс нечетных атомных ядер – парные энергии, то, следуя логике разложения (7), можно выразить массу четно-четного ядра через “гладкую” массу $\mathcal{M}$ нечетного ядра. Тогда при нечетном s:

Естественно, что параметры ${{d}_{{inkp}}}$ в выражении (7) можно рассчитать, используя разные группы ядер, соседних с N и Z. Разложение (7) можно считать применимым, если параметры мало меняются от группы к группе. Кроме того, ряд (7) в общем случае бесконечен, и возникает вопрос об оптимальном количестве членов.

Подобное исследование было проведено для четно-четных ядер в [8], где массовая поверхность аппроксимировалась на основе уравнения (7), включающего параметры вплоть до второго, затем до четвертого и, наконец, вплоть до шестого порядка. Исследовались массовые поверхности, в центре которых были два полумагических ядра с A = 118, N = 68, Z = 50 и с A = 140, N = 82, Z = 58 и одно деформированное ядро А = 170, N = = 100, Z = 70. Результаты [8] показывают, что d_kn, d_kp при k = 3, 4 имеют близкий порядок величины, хотя различие этих параметров, определенных по разным группам ядер, может быть сравнимо с величиной параметров. В то же время параметры d_inkp, i ≠ 0, k ≠ 0, существенно различаются при определении по разным группам ядер, за исключением d_1n1p. Общий вывод состоит в том, что для четно-четных ядер наилучший результат дает аппроксимация с параметрами не выше второго порядка, хотя поправки к d_1n, d_1p за счет третьего порядка и к d_2n, d_2p за счет четвертого порядка приводят к сближению этих параметров для разных групп ядер.

В работе [1] изучена массовая поверхность стабильных деформированных ядер с нечетным количеством нейтронов ${}_{{64}}^{{157}}{\text{Gd,}}{}_{{70}}^{{171}}{\text{Yb,}}{}_{{72}}^{{179}}{\text{Hf}}$ и с нечетным количеством протонов ${}_{{67}}^{{165}}{\text{Ho,}}{}_{{71}}^{{175}}{\text{Lu}}$. “Гладкая” часть $\mathcal{M}\left( {N,Z} \right)$ представлена как полином второго порядка по отклонениям от N и Z. Параметры разложения были определены на основании двух различных групп соседних ядер. В первой группе ядер к нечетному нуклону нечетного ядра добавлялись или отделялись 1 и 3 нуклона (в работе [1] обозначено как приближение А (А)). Во второй группе ядер к четному нуклону нечетного ядра добавлялись или отделялись 2 или 4 нуклона, а к нечетному – 1 или 3 нуклона (в работе [1] обозначено как приближение Б (Б)). Таким образом, в обоих случаях расчеты проводились по массам соседних четно-четных ядер. Результаты [1] показывают, что параметры ${{\bar {d}}_{{1\tau }}}$ и ${{\bar {d}}_{{2\tau }}}$, определенные для разных групп ядер, отличаются незначительно. При этом остается открытым вопрос, сближаются ли значения этих параметров при переходе к описанию массовой поверхности полиномами 4 порядка.

В настоящей статье рассмотрено описание массовой поверхность нечетных ядер полиномами вплоть до 4 порядка. Выбор двух различных групп ядер, на основе которых производился расчет параметров, аналогичен работе [1], однако, поскольку количество неизвестных параметров увеличено, увеличено и количество нуклонов в каждой из групп. В первую группу добавлены ядра, в которых количество нуклонов отличается на пять от количества нечетных нуклонов в рассматриваемом ядре. Во вторую группу по сравнению с работой [1] добавлены ядра, в которых к четному нуклону добавлены или удалены еще шесть нуклонов, а к нечетному – пять. Формулы, на основе которых проводились вычисления, приведены во втором разделе. Третий раздел посвящен результатам расчетов и их анализу.

ПАРАМЕТРЫ МАССОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Расчет параметров “гладкой” составляющей массовой поверхности нечетных атомных ядер в окрестностях заданных Z и N производится на основе двух совокупностей атомных ядер. При этом в настоящей работе учтены параметры вплоть до четвертого.

В первой совокупности сохраняется неизменным четное количество нуклонов, а нечетное количество нуклонов изменяется на (±1, ±3, ±5). Таким образом, расчет 5 параметров $\mathcal{M}$, d_1τ, d_2τ, d_3τ, d_4τ для нечетного ядра ведется на основе масс соседних четно-четных ядер. Найденные таким способом параметры обозначим приближением а (a).

Во второй совокупности количество четных нуклонов изменяется на ±2, ±4, ±6 единиц, а количество нечетных – на ±1, ±3, ±5 единиц. В этом приближении можно найти все 15 параметров, начиная от $\mathcal{M}$, d_1n, d_1p, d_2n, d_2p, d_1n1p вплоть до параметров четвертого порядка (d_4n, d_4p, d_3n1p, d_1n3p, d_2n2p). Найденные таким способом параметры обозначим приближением б (б).

Как показано в [1, 8], расчет искомых параметров удобно производить, используя суммы e(s, t) и разности o(s, t) масс ядер в окрестностях изучаемого нечетного ядра. При использовании параметров вплоть до третьего и четвертого порядка:

Если ядра четные (нечетные), то μ = M (μ = $\mathcal{M}$), s и t принимают целочисленные значения, d_0n0p = = M(N, Z) (d_0n0p = $\mathcal{M}$(N,Z)).

Комбинация масс ee(s, t) содержит только четно-четные параметры.

Разности ee(s, t) могут быть использованы для выделения параметров четных по нейтронам или по протонам:

Комбинация масс ядер S_τ(s, t) выделяет нечетно-нейтронные (τ = n), либо нечетно-протонные (τ = p) параметры:

Используя выражения (11)‒(17), можно получить искомые параметры.

(а): s = ±1, ±3, ±5; t = 0; ΔA = 1; 3; 5.

Т.к. число использованных масс в (а) равно 6, а параметров только 5, то появляется возможность вычислить 2 варианта d_1n и d_3n: один вариант с ΔA = 1, 3, второй – ΔA = 3, 5:

(б): ниже даны выражения для нейтронных параметров, которые можно сравнить с нейтронными параметрами (18)‒(24) для (а). s = ±1, ±3, ±5; t = ±2, ±4, ±6; ΔA = |s + t| = 1, 3, 5, 7.

Чтобы не вычислять в (б) параметры d_inkp, i ≠ k, i и k ≠ 0, в частности, нечетно-нечетные используются ee_n(s₁, s₂|t) и ee_p(s|t₁, t₂) (14), (15). В таком случае приходится использовать 24 массы ядер, в то время как имеется всего 15 параметров. Из этого следует, что для d_1n и d_3n даются 2 варианта: один, который обозначен как (I), содержит массы с ΔA = 1, 3, 5, и второй, обозначенный как (II), использует массы с ΔA = 1, 3, 5, 7.

ee_n(s₁, s₂|t) и ee_p(s|t₁, t₂) определены в (14), (15).

Функции S(s, t) определены в (16), (17).

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ МАССОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА НЕЧЕТНЫХ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЯДЕР

Для расчета параметров $\mathcal{M}$ и d_inkp применены формулы (18)‒(31). Так же, как в работе [1], изучены массовые поверхности стабильных нечетных деформированных ядер ${}_{{64}}^{{157}}{\text{Gd}}$, ${}_{{67}}^{{165}}{\text{Ho,}}$ ${}_{{70}}^{{171}}{\text{Yb,}}$ ${}_{{71}}^{{175}}{\text{Lu и}}\,\,{}_{{72}}^{{179}}{\text{Hf}}$, в окрестностях которых много четно-четных ядер с измеренными массами. Экспериментальные данные взяты из работы [9]. В табл. 1‒3 в первых трех колонках представлены массовое число A, заряд Z, τ = n для нечетно-нейтронных и τ = p для нечетно-протонных ядер. Рядом со значениями параметров в скобках – погрешности, рассчитанные на основе эмпирических. Колонки “А [1]" и "Б [1]" приводят значения параметров, вычисленных в работе [1], где массовые поверхности тех же ядер описана полиномами второго порядка (см. введение настоящей статьи). Два возможных набора параметров ${{\bar {d}}_{{1\tau }}}$ (ΔA = 1 и ΔA = 3) соответствуют двум различным группам ядер, на основе которых рассчитаны параметры. Отметим, что для расчета параметров массовой поверхности четвертого порядка использовано больше атомных ядер (ΔA ≤ 5 и 7), чем при расчете параметров поверхности второго порядка (ΔA ≤ 3). Парные энергии P_τ (табл. 3) приводятся только в A [1] для поверхности второго порядка и приближении (а) для поверхности четвертого порядка, P_τ в оставшихся двух приближениях для поверхностей второго и четвертого порядков могут быть получены с помощью разностей между известными массами нечетных ядер и рассчитанными "гладкими” составляющими этих масс на основе формул (1) и (2). Например, нейтронная парная энергия на основе массовой поверхности четвертого порядка в (а): P_n(а) = M(N_н, Z) – $\mathcal{M}$(а). Абсолютные значения M не приводятся, т.к. они имеют тот же порядок, что и массы соседних четно-четных ядер, и могут быть легко восстановлены с использованием уравнений (1) и (2), значений P_τ и масс соответствующих нечетных ядер.

Как следует из табл. 1, переход от поверхности второго порядка к поверхности четвертого порядка не приводит к уменьшению разброса значений ${{\bar {d}}_{{1\tau }}}$ для различных приближений, а также при разных ΔA внутри приближений (∼3%). Абсолютная величина параметров d_3τ почти на два порядка меньше, чем $\left| {{{{\bar {d}}}_{{1\tau }}}} \right|$. В (а) и (б) и внутри этих приближений при разных ΔA в трех случаях из пяти эти параметры довольно сильно отличаются. Для ${}_{{70}}^{{171}}{\text{Yb}}$ в (а) и (б) они отличаются даже знаком. Такие колебания d_3τ в разных приближениях ставят под сомнение возможность аппроксимации массовой поверхности как поверхности четвертого порядка. Табл. 1 и табл. 2 показывают, что вывод работы [1] об увеличении эмпирических погрешностей в параметрах массовых поверхностей при увеличении количества ядер, используемых для расчета этих параметров, остается справедливым и при переходе к поверхностям четвертого порядка (ср. A [1] и Б [1], а также (а) и (б)).

В табл. 2 приведены значения четных параметров d_2τ, рассчитанных для поверхностей второго и четвертого порядка в различных приближениях, а также значения параметров d_4τ, появляющихся в поверхностях четвертого порядка. Как следует из таблицы, расширение массовой поверхности до четвертого порядка не оказывает существенного влияния на близость параметров, определенных по разным группам ядер (ср. A [1] и Б [1], а также (а) и (б)). Изменение группы ядер, по которой происходит расчет параметров, существенно влияет на значения параметров d_4τ. Кроме того, сами параметры определяются с большой относительной погрешностью. Эти обстоятельства ставят под вопрос возможность описания масс нечетных атомных ядер полиномами четвертого порядка.

Значения парных энергий P_τ в А [1] и (а) почти совпадают (табл. 3), среднее различие ≈16 кэВ, т.е. относительное различие ∼2%. Как указывалось при обсуждении табл. 1 и 2, расширения массовой поверхности до полинома четвертого порядка по s и t не сближает параметры, определенные по разным группам ядер, в частности, $\mathcal{M}$(а)–$\mathcal{M}$(б) (массовая поверхность четвертого порядка): они остаются примерно такими же, как $\mathcal{M}$(А [1])–$\mathcal{M}$(Б [1]), т.е. вычисленными в предположении, что массовая поверхность может быть аппроксимирована полиномом второго порядка.

Как указывалось во введении (после уравнения (7)) параметры d_inkp не являются производными $\left( {{{{{\partial }^{{i + k}}}M(N,Z)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{{i + k}}}M(N,Z)} {{{\partial }^{i}}N{{\partial }^{k}}Z}}} \right. \kern-0em} {{{\partial }^{i}}N{{\partial }^{k}}Z}}} \right)$. Это демонстрируется на следующем частном примере. Исследованные ядра являются стабильными, поэтому при фиксированном A они имеют максимальную энергию связи (B) или минимальную энергию (E = –B), поэтому, если считать параметры производными, то ${{dE} \mathord{\left/ {\vphantom {{dE} {dZ}}} \right. \kern-0em} {dZ}}$ = 0 = ${{dE} \mathord{\left/ {\vphantom {{dE} {dZ - {{dE} \mathord{\left/ {\vphantom {{dE} {dN}}} \right. \kern-0em} {dN}}}}} \right. \kern-0em} {dZ - {{dE} \mathord{\left/ {\vphantom {{dE} {dN}}} \right. \kern-0em} {dN}}}}$ = = ${{\bar {d}}_{{1p}}} - {{\bar {d}}_{{1n}}}$ (${{\bar {d}}_{{1\tau }}} = {{d}_{{1\tau }}} - {{m}_{\tau }}$), A фиксировано (A = Z + + N). Параметры ${{\bar {d}}_{{1\tau }}}$ можно вычислить в Б [1] и (б). Для определенности используем Б [1] и ΔA = = 1. Для нечетно-нейтронных ядер ${{\bar {d}}_{{1p}}} - {{\bar {d}}_{{1n}}}$ = = $ - {{\left[ {o(3, - 2) + o(1, - 2)} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left[ {o(3, - 2) + o(1, - 2)} \right]} 8}} \right. \kern-0em} 8}$, обозначение o(s, t) дано уравнением (12). Для нечетно-протонных s и t должны быть переставлены. Для ${}_{{64}}^{{157}}{\text{Gd,}}$ ${}_{{67}}^{{165}}{\text{Ho,}}$ ${}_{{70}}^{{171}}{\text{Yb,}}$ ${}_{{71}}^{{175}}{\text{Lu}}$ и ${}_{{72}}^{{179}}{\text{Hf,}}$ соответствующие значения ${{\bar {d}}_{{1p}}} - {{\bar {d}}_{{1n}}}$ равны: –8.3 (1.3); –127 (164); 1274 (5); 649 (58); 67 (45), т.е. эти разности параметров явно не равны нулю. Таким образом, этот частный случай подтверждает, что параметры не являются производными. Этот вопрос обсуждался нами ранее для других ядер [10].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение отметим, что рассмотрено описание массовых поверхностей нечетных стабильных деформированных ядер полиномами четвертого порядка по отклонениям от N и Z нечетного ядра и проведено сравнение с описанием полиномами второго порядка. Показано, что вполне достаточной является аппроксимация второго порядка, т.к. параметры, вычисленные с учетом четвертого порядка, не дают сближения параметров, вычисленных по разным группам ядер, а параметры d_3τ (τ = n, p), d_4τ (τ = n, p), а также d_inkp (i ≠ k; i, k ≠0 ), приведенные ранее для четно-четных ядер в [8], не согласуются между собой.