Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 10, стр. 1519-1524

Массы и парные энергии деформированных ядер

А. К. Власников 1*, А. И. Зиппа 1, В. М. Михайлов 1

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Санкт-Петербургский государственный университет”
Санкт-Петербург, Россия

* E-mail: a.vlasnikov@spbu.ru

Поступила в редакцию 11.05.2020
После доработки 02.06.2020
Принята к публикации 26.06.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрено описание полиномами не выше второго порядка массовых поверхностей и парных энергий ряда четно-четных и нечетных деформированных ядер с массовыми числами в диапазоне от 150 до 190. Применен подход, в котором парная энергия зависит от массы одного нечетного ядра. Показано, что в рамках этого подхода сохраняются основные особенности поведения парных энергий.

Большую роль в свойствах атомных ядер играют эффекты парных корреляций [14], основную информацию о которых извлекают из величины парных энергий: протонных Pp и нейтронных Pn. Традиционно для определения Pn энергию нечетно-нейтронного ядра сравнивают с энергиями соседних четно-четных изотопов, а для определения Pp используют энергии соседних четно-четных изотонов. Однако можно поставить вопрос об обоснованности выбора именно данных четно-четных изотопов или изотонов. Возможно, энергии других четно-четных ядер для определения парных энергий подойдут лучше. Другие четно-четные ядра можно включить в рассмотрение, если энергии ядер $E\left( {N + s,Z + t} \right)$ с количеством нейтронов N + s и количеством протонов Z + t (s и t принимают целочисленные значения, как положительные, так и отрицательные) можно в ближайших окрестностях заданных значений N и Z $\left( {\frac{{\left| s \right|}}{N} \sim \frac{{\left| t \right|}}{Z} < 0.05} \right)$ представить как поверхность n-го порядка:

(1)
$\begin{gathered} E\left( {N + s,Z + t} \right) = \frac{1}{2}\left[ {1 - {{{\left( { - 1} \right)}}^{{N + s}}}} \right]{{P}_{n}} + \\ + \,\,\frac{1}{2}\left[ {1 - {{{\left( { - 1} \right)}}^{{Z + t}}}} \right]{{P}_{p}} + \mathcal{E}\left( {N,Z} \right) + \\ + \,\,\sum\limits_{i + k > 0} {{{{{d}_{{in,kp}}}{{s}^{i}}{{t}^{k}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}_{{in,kp}}}{{s}^{i}}{{t}^{k}}} {\left( {i!k!} \right){\kern 1pt} }}} \right. \kern-0em} {\left( {i!k!} \right){\kern 1pt} }}} . \\ \end{gathered} $

Уравнение (1) справедливо для нечетных ядер и четно-четных ядер, нечетно-нечетные ядра здесь не рассматриваются.

Было бы идеально, если бы ${{P}_{\tau }}$, $\mathcal{E}\left( {N,Z} \right)$ и параметры ${{d}_{{in,kp}}}$, определенные по различным группам соседних ядер, совпадали. Однако как показано в работах [5, 6], расширение массовой или энергетической поверхностей до 4 и 6 порядков не приводит к сближению $\mathcal{E}\left( {N,Z} \right)$ и параметров первого и второго порядков, рассчитанных по различным группам ядер. Поэтому в этой статье рассматриваются только поверхности первого и второго порядков $\left( {i + k \leqslant 2} \right)$.

Традиционно (см., например, [1, 2]) при расчете парных энергий используются энергии двух соседних нечетных атомных ядер, что приводит к усреднению парных энергий. Действительно, в деформированных ядрах с Nodd и Nodd + 2 или Zodd и Zodd + 2 нечетный нуклон, как правило, находится в ином квантовом состоянии. Поэтому в работе [7] было предложено определение парных энергий, более подходящее для деформированных атомных ядер, включающее энергию только одного нечетного ядра:

(2)
$\begin{gathered} {{P}_{n}}\left( {{{N}_{{odd}}},{{Z}_{{even}}}} \right) = E\left( {{{N}_{{odd}}},{{Z}_{{even}}}} \right) - \\ - \,\,\frac{9}{{16}}\left[ {E\left( {{{N}_{{odd}}} + 1,{{Z}_{{even}}}} \right) + E\left( {{{N}_{{odd}}} - 1,{{Z}_{{even}}}} \right)} \right] + \\ + \,\,\frac{1}{{16}}\left[ {E\left( {{{N}_{{odd}}} + 3,{{Z}_{{even}}}} \right) + E\left( {{{N}_{{odd}}} - 3,{{Z}_{{even}}}} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Для получения Pp надо произвести замену $n \leftrightarrow p;N \leftrightarrow Z$и перестановку N на первое место. Как показали расчеты в [7], различия в значениях Pτ для соседних изотопов или изотонов могут достигать ~250 кэВ. Поэтому расчеты Pτ в настоящей работе будут основаны на выражении (2).

Для расчета парных энергий и параметров энергетической поверхности в окрестностях четно-четных и нечетно-нечетных ядер выбрана область деформированных ядер 150 < A < 190. Этот выбор обусловлен тремя причинами. Во-первых, возможностью приписать, как правило, определенные нильссоновские квантовые числа основным состояниям нечетных атомных ядер. Во-вторых, схожестью структуры этих ядер: только на границах рассматриваемой области приходится использовать в расчетах энергии переходных атомных ядер. В третьих, в рассматриваемом диапазоне массовых чисел гораздо больше измеренных масс, чем в обширной области деформированных ядер с A > 220.

Использованные в настоящей работе атомные массы взяты из [8]. При получении ядерных масс учтены энергии связи электронов на основе [9]. Как было показано в [6], парная энергия для заданных значений N и Z может быть рассчитана, если уравнение для “гладкой” составляющей энергетической поверхности представить как полином второго порядка по отклонениям от заданных значений N и Z. Однако значения параметров зависят от выбора ядер, на основе которых рассчитаны коэффициенты этого полинома, что можно считать погрешностью такого описания. Для четно-четных ядер возможны три группы. В первую входят атомные ядра–изотопы (s-приближение), во вторую – ядра–изотоны (t-приближение), в третьей изменяются как s, так и t (st-приближение), причем во всех случаях s и t – четные числа. Уравнение для $e\left( {s,t} \right)$ может быть использовано для расчета “четных” параметров $\mathcal{E}\left( {N,Z} \right)$, d2n, d2p,d1n1p, уравнение для $o\left( {s,t} \right)$ – “нечетных” d1n, d1p (см. Приложение А). Представляет интерес точность описания эмпирической энергетической поверхности E (N, Z) расчетными значениями $\mathcal{E}\left( {N,Z} \right)$. Их разность представлена в табл. 1. Выражения, используемые при расчете $\mathcal{E}\left( {N,Z} \right)$, d1n, d1p, d2n, d2p,d1n1p в различных приближениях, приведены в приложении А. Как следует из табл. 1, модуль разности значений экспериментальной и расчетной энергий (~20–180 кэВ, в среднем ~200 кэВ) много меньше самих значений (~1.2–1.5 ГэВ), то есть относительная погрешность менее 0.01%.

Таблица 1.  

Сравнение значений $E\left( {N,Z} \right) - \mathcal{E}\left( {N,Z} \right)$ для четно-четных ядер в различных приближениях

Нуклид $E\left( {N,Z} \right) - \mathcal{E}\left( {N,Z} \right)$, кэВ
приближение s приближение t приближение st
${}_{{64}}^{{154}}{\text{G}}{{{\text{d}}}_{{90}}}$ –128.6 ± 2.0 –8.9 ± 19.2 128.8 ± 10.2
${}_{{66}}^{{160}}{\text{D}}{{{\text{y}}}_{{94}}}$ –29.6 ± 8.6 –53.1 ± 9.2 –68.2 ± 18.4
${}_{{70}}^{{170}}{\text{Y}}{{{\text{b}}}_{{100}}}$ 37.7 ± 1.4 29.9 ± 16.9 –8.8 ± 33.9
${}_{{74}}^{{180}}{{{\text{W}}}_{{106}}}$ 74.6 ± 13.6 –77.6 ± 11.3 –55 ± 61
${}_{{76}}^{{188}}{\text{O}}{{{\text{s}}}_{{112}}}$ –21.0 ± 1.1 –179.0 ± 7.2 12.4 ± 9.7

Если приравнять $\mathcal{E}\left( {N,Z} \right)$ и $E\left( {N,Z} \right)$, то три приближения можно использовать для предсказания значений массы и энергии ядер, для которых эти величины не измерены. Этот подход подобен хорошо известному уравнению Гарви и Келсона [10], но содержит энергии только четно-четных ядер и заранее очевидно, что точность предсказания около 200 кэВ, по крайней мере в области 150 < A < 190.

В табл. 2 показаны параметры d, d для четно-четных ядер, полученные в разных приближениях (обозначены в скобках при каждом параметре). Максимальная разность параметров $\left| {{{d}_{{1n}}}\left( s \right) - {{d}_{{1n}}}\left( {st} \right)} \right| \sim 600$ кэВ, минимальная ~15 кэВ. Приблизительно то же самое наблюдается для $\left| {{{d}_{{1p}}}\left( s \right) - {{d}_{{1p}}}\left( {st} \right)} \right|$. Максимальное отличие в рассматриваемых коэффициентах получено для 188Os. Возможно, это связано с изменением структуры атомных ядер, используемых для расчета d.

Таблица 2.  

Значения параметров разложения энергетической поверхности для четно-четных ядер в различных приближениях

Параметры, кэВ Ядро
${}_{{64}}^{{154}}{\text{G}}{{{\text{d}}}_{{90}}}$ ${}_{{66}}^{{160}}{\text{D}}{{{\text{y}}}_{{94}}}$ ${}_{{70}}^{{170}}{\text{Y}}{{{\text{b}}}_{{100}}}$ ${}_{{74}}^{{180}}{{{\text{W}}}_{{106}}}$ ${}_{{76}}^{{188}}{\text{O}}{{{\text{s}}}_{{112}}}$
${{d}_{{1n}}}\left( s \right)$ –7528.3(0.4) –7514.9(0.6) –7489.7(0.3) –7531.1(4.8) –6998.3(0.2)
${{d}_{{1n}}}\left( {st} \right)$ –7492.2(36.8) –7500.1(30.3) –7510.7(18.5) –7371.3(3.7) –7569.6(70.4)
${{d}_{{1p}}}\left( t \right)$ –6112.8(0.4) –6076.8(0.4) –5505.7(6.1) –5184.4(5.4) –6076.0(0.4)
${{d}_{{1p}}}\left( {st} \right)$ –6076.6(36.8) –6125.0(30.3) –5629.4(18.5) –5085.6(3.7) –5502.2(70.4)
${{d}_{{2n}}}\left( s \right)$ –21.8(0.5) 174.3(0.2) 191.4(0.6) 192.2(2.8) 131.1(0.2)
${{d}_{{2n}}}\left( {st} \right)$ 99.9(28) 218.0(1.7) 193.5(9.8) 137.8(15.2) 236.7(3.7)
${{d}_{{2p}}}\left( t \right)$ 55.5(2.1) 556.8(1.6) 551.6(3.1) 521.4(2.2) 528.9(3.6)
${{d}_{{2p}}}\left( {st} \right)$ 529.3(2.8) 596.5(1.7) 545.5(9.8) 451.8(15.2) 611.8(3.7)
${{d}_{{2n}}} + {{d}_{{2p}}} - 2{{d}_{{1n1p}}}$ (st) 1204.5(4.4) 1371.5(2.2) 1290.0(14.4) 1257.2(30.0) 1149.3(4.4)

Все атомные ядра в табл. 1 и 2 выбраны так, чтобы иметь максимальную энергию связи, то есть минимальную энергию $E\left( {N,Z} \right)$ при заданном A. Значения ${{d}_{{1n}}}\left( {st} \right) - {{d}_{{1p}}}\left( {st} \right)$, рассчитанные на основе таблиц, в очередной раз подтверждают, что

(3)
$\begin{gathered} {{d}_{{1n}}} - {{d}_{{1p}}} \ne \frac{d}{{dN}}E\left( {N,Z,A = {\text{const}}} \right) = \\ = \left( {\frac{\partial }{{\partial N}} - \frac{\partial }{{\partial Z}}} \right)E\left( {N,Z,A = {\text{const}}} \right), \\ \end{gathered} $

так как производная должна быть равно нулю в минимуме $E\left( {N,Z,A = {\text{const}}} \right)$. Если допустить, что s и t могут принимать дробные значения, то уравнение для $E\left( {N + s,Z + t,A = {\text{const}}} \right)$ при $\Delta A = \left| {s + t} \right| = 0$ (т.е. при $t = - s$) принимает вид:

(4)
$\begin{gathered} E(N + s,Z - s) = \mathcal{E}\left( {N,Z} \right) + s\left( {{{d}_{{1n}}} - {{d}_{{1p}}}} \right) + \\ + \,\,\frac{{{{s}^{2}}}}{2}\left( {{{d}_{{2n}}} + {{d}_{{2p}}} - 2{{d}_{{1n1p}}}} \right), \\ \end{gathered} $

так как ${d \mathord{\left/ {\vphantom {d {dN = }}} \right. \kern-0em} {dN = }}{d \mathord{\left/ {\vphantom {d {ds}}} \right. \kern-0em} {ds}}$. Отсюда:

(5)
${{s}_{{min}}} = {{\left( {{{d}_{{1n}}} - {{d}_{{1p}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{d}_{{1n}}} - {{d}_{{1p}}}} \right)} {\left( {{{d}_{{2n}}} + {{d}_{{2p}}} - 2{{d}_{{1n1p}}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{d}_{{2n}}} + {{d}_{{2p}}} - 2{{d}_{{1n1p}}}} \right)}}.$

Подставляя в (5) значения параметров d из табл. 2, получаем ${{s}_{{min}}} \sim 0.9{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 1.9$, что не соответствует действительности.

Параметры ${{d}_{{2\tau }}}$ в различных приближениях отличаются в основном не более чем на ~100 кэВ. Однако в 154Gd ${{d}_{{2p}}}\left( {st} \right) - {{d}_{{2p}}}\left( t \right) \sim 500$ кэВ. Значения ${{d}_{{2p}}}$ больше, чем ${{d}_{{2n}}}$. Причина заключается в кулоновском взаимодействии, вклад которого в этой массовой области при оценке на основе формулы Вайцзеккера составляет ~400 кэВ.

Для ядер, используемых в st приближении, изменение проекции изоспина часто весьма значительно. Как правило энергии ядер, входящих в расчет $e\left( {s, - t} \right)$ и $o\left( {s, - t} \right)$ (s, t положительные),

(6)
$2\Delta {{T}_{Z}} = \left| {\left( {N - Z} \right) - \left( {N + s} \right) + \left( {Z - t} \right)} \right| = \left| {s + t} \right|$

известны с большими экспериментальными погрешностями, что влияет на параметры st-приближения.

В отличие от четно-четных ядер, для которых $E\left( {N,Z} \right) - \mathcal{E}\left( {N,Z} \right)$ в идеальном случае должно быть равно нулю, в нечетных нейтронных ядрах эта разность равна парной энергии Pn:

(7)
${{P}_{n}}\left( {{{N}_{{odd}}},{{Z}_{{even}}}} \right) = E\left( {{{N}_{{odd}}},{{Z}_{{even}}}} \right) - \mathcal{E}\left( {{{N}_{{odd}}},{{Z}_{{even}}}} \right),$

а в нечетных протонных ядрах – Pp:

(8)
${{P}_{p}}\left( {{{N}_{{even}}},{{Z}_{{odd}}}} \right) = E\left( {{{N}_{{even}}},{{Z}_{{odd}}}} \right) - \mathcal{E}\left( {{{N}_{{even}}},{{Z}_{{odd}}}} \right).$

Ниже индекс “odd” будет сохранен для нечетных чисел нуклонов, в то время как ${{N}_{{even}}}$ и ${{Z}_{{even}}}$ будут без индексов.

Отметим, что s-приближение возможно только для нечетно-нейтронных ядер, в то время как t-приближение – только для нечетно-протонных ядер. Кроме того, st-приближение отличается для нечетно-нейтронных и нечетно-протонных ядер.

По аналогии с четно-четными ядрами, мы выбрали пять нечетных атомных ядер, обладающих максимальной энергией связи (то есть минимальной энергией ядра E) среди других ядер с одинаковым A, причем в этом случае экспериментальные энергии E включают парные энергии P. Парные энергии, рассчитанные в различных приближениях, приведены в табл. 3.

Таблица 3.  

Парные энергии и параметры разложения (кэВ) массовой поверхности нечетных атомных ядер

Параметры Ядро
${}_{{64}}^{{157}}{\text{G}}{{{\text{d}}}_{{93}}}$ ${}_{{67}}^{{165}}{\text{H}}{{{\text{o}}}_{{98}}}$ ${}_{{70}}^{{171}}{\text{Y}}{{{\text{b}}}_{{101}}}$ ${}_{{71}}^{{175}}{\text{L}}{{{\text{u}}}_{{104}}}$ ${}_{{72}}^{{179}}{\text{H}}{{{\text{f}}}_{{107}}}$
τ n p n p n
${{P}_{\tau }}$(s-или t-приближение) 897.2(1.4) 862.5(1.3) 796.16(0.07) 894.2(1.8) 743.6(1.8)
${{P}_{\tau }}\left( {st} \right) - {{P}_{\tau }}$ –19.4(4) –102(25) –82(28) –174(22) 328(63)
${{d}_{{1\tau }}}$ (s-или t-приближение) –7148.58(0.90) –6614.55(0.7) –7337.13(0.09) –5968.90(0.70) –6743.4(1.0)
${{d}_{{1\tau }}}\left( {st} \right)$ –7013.4(2.5) –6795(41) –7209.1(9.3) –6244(85) –6612(90)
${{d}_{{2\tau }}}$ (s-или t-приближение) 196.98(0.33) 631.94(0.55) 186.63(0.14) 582.0(2.0) 198.58(0.83)
${{d}_{{2\tau }}}\left( {st} \right)$ 203.5(2.3) 600(20) 181.1(7.4) 555(44) 236(44)

В s- и t-приближениях $\Delta A = \left| {s + t} \right| = 1$ и 3 (s и t положительны и отрицательны), поэтому для расчета st-приближения выбраны энергии ядер с $\Delta A \leqslant 3$.

Для различных приближений различия в парных энергиях и в параметрах $\mathcal{E}$ совпадают. Например, для нейтронов:

(9)
$\begin{gathered} {{P}_{n}}\left( {{{N}_{0}},Z;\left( {st} \right)} \right) - {{P}_{n}}\left( {{{N}_{0}},Z;s} \right) = \\ = \mathcal{E}\left( {{{N}_{0}},Z;s} \right) - \mathcal{E}\left( {{{N}_{0}},Z;\left( {st} \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Таким образом, разница между ${{P}_{\tau }}$ в s-, t- и st-приближениях вызвана только параметрами $\mathcal{E}$.

Другие параметры (d и d) имеют тот же порядок величины, как и для четно-четных атомных ядер и отличаются от значений в st-приближении приблизительно настолько же, насколько в четно-четных ядрах.

Из табл. 1–3 можно сделать вывод, что описание энергетической поверхности в окрестностях четно-четных и нечетных ядер на основании точек, соответствующих четно-четным ядрам, достаточно приближенно, причем точность, с которой определяются параметры, можно увидеть из приведенных таблиц.

На основании предложенного подхода нами были рассчитаны протонные и нейтронные парные энергии для ряда деформированных атомных ядер в рассматриваемой области. На рис. 1 показано изменений поведения нейтронных парных энергий для нечетных изотонов с N = 93. В этом случае нечетный нейтрон находится в состоянии с нильссоновскими квантовыми числами $\left[ {521} \right]{{\frac{3}{2}}^{ - }}$. Парные энергии рассчитаны с помощью двух различных приближений для описания “гладкой” составляющей энергии ядра: s- (круги) и st-(треугольники) приближений. Кроме того, вычислено среднее от этих двух значений (квадраты), и проведено сравнение с распространенным приближенным выражением для парной энергии:

(10)
${{P}_{n}} = \frac{\mathcal{K}}{{{{A}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}}\left[ {1 - \kappa {{{\left( {\frac{{N - Z}}{A}} \right)}}^{2}}} \right]$
Рис. 1.

Значения нейтронной парной энергии в зависимости от величины ${{\left( {N - Z} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {N - Z} \right)} A}} \right. \kern-0em} A}$ для нечетных изотонов с N = 93. Круги – результат расчетов в s-приближении, треугольники – в st-приближении, квадраты – средние значения, сплошная линия – расчет по формуле (10). Числа под точками – значения A.

(сплошная линия). Как следует из рис. 1, данная аппроксимация, расходясь в деталях описания конкретных значений парных энергий, правильно передает уменьшение нейтронных парных энергий изотонов при увеличении количества протонов. Заметное расхождение между даваемыми данной формулой и рассчитанными в данной работе парными энергиями в данном случае обусловлено большим значением Pn в st-приближении, которое имеет значительную погрешность и существенно превосходит Pn в s-приближении. Это подтверждается рис. 2, на котором показаны нейтронные парные энергии для изотонов с N = 95, в которых нечетный нейтрон находится в состоянии $\left[ {523} \right]{{\frac{5}{2}}^{ - }}$.

Рис. 2.

Значения нейтронной парной энергии в зависимости от величины ${{\left( {N - Z} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {N - Z} \right)} A}} \right. \kern-0em} A}$ для нечетных изотонов с N = 95. Обозначения такие же, как на рис. 2.

Приложение А. Параметры поверхности второго порядка для описания энергий четно-четных ядер (N и Z четные)

Определим функции $e\left( {s,t} \right)$и $e\left( {2,0} \right)$:

s-приближение.

$\begin{gathered} E\left( {N,Z} \right) - \mathcal{E}\left( {N,Z} \right) = \\ = E\left( {N,Z} \right) - \frac{1}{6}\left[ {4e\left( {2,0} \right) - e\left( {4,0} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $
${{d}_{{1n}}} = {{o\left( {2,0} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{o\left( {2,0} \right)} 4}} \right. \kern-0em} 4};\,\,\,\,{{d}_{{2n}}} = \frac{1}{{12}}\left[ { - e\left( {2,0} \right) + e\left( {4,0} \right)} \right].$

t-приближение.

$\begin{gathered} E\left( {N,Z} \right) - \mathcal{E}\left( {N,Z} \right) = \\ = E\left( {N,Z} \right) - \frac{1}{6}\left[ {4e\left( {0,2} \right) - e\left( {0,4} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $
${{d}_{{1p}}} = {{o\left( {0,2} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{o\left( {0,2} \right)} 4}} \right. \kern-0em} 4};\,\,\,\,{{d}_{{2p}}} = \frac{1}{{12}}\left[ { - e\left( {0,2} \right) + e\left( {0,4} \right)} \right].$

st-приближение.

$\begin{gathered} E\left( {N,Z} \right) - \mathcal{E}\left( {N,Z} \right) = \\ = E\left( {N,Z} \right) - \frac{1}{6}\left[ {4e\left( {2, - 2} \right) - e\left( {4, - 4} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{d}_{{1n}}} = \frac{1}{8}\left[ {o\left( {2, - 2} \right) + o\left( {4, - 2} \right) - o\left( {2, - 4} \right)} \right]. \\ {{d}_{{1p}}} = \frac{1}{8}\left[ { - o\left( {2, - 2} \right) + o\left( {4, - 2} \right) - o\left( {2, - 4} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{d}_{{2n}}} = \frac{1}{{24}}\left[ {e\left( {4, - 4} \right) - \frac{5}{2}e\left( {2, - 2} \right)} \right. + \\ \left. { + \,\,\frac{3}{2}e\left( {2,2} \right) + e\left( {4, - 2} \right) - e\left( {2, - 4} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{d}_{{2p}}} = {{d}_{{2n}}} - \frac{1}{{12}}\left[ {e\left( {4, - 2} \right) - e\left( {2,4} \right)} \right]; \\ {{d}_{{2n}}} + {{d}_{{2p}}} - 2{{d}_{{1n1p}}} = \frac{1}{2}\left[ {e\left( {4, - 4} \right) - e\left( {2, - 2} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Приложение Б. Параметры поверхности второго порядка для описания энергий нечетных ядер

Нечетно-нейтронные ядра.

s-приближение.

${{d}_{{1n}}} = {{o\left( {1,0} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{o\left( {1,0} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2};\,\,\,\,{{d}_{{2n}}} = \frac{1}{8}\left[ {e\left( {3,0} \right) - e\left( {1,0} \right)} \right].$

(st)n-приближение.

$\begin{gathered} {{d}_{{1n}}} = \frac{1}{4}\left[ {o\left( {3, - 2} \right) - o\left( {1, - 4} \right)} \right]; \\ {{d}_{{2n}}} = \frac{1}{8}\left[ {e\left( {1,2} \right) + e\left( {3, - 2} \right) - 2e\left( {1, - 2} \right)} \right]; \\ \end{gathered} $
${{d}_{{1n}}} - {{d}_{{1p}}} = \frac{1}{8}\left[ {o\left( {3, - 2} \right) + o\left( {1, - 2} \right)} \right].$

Здесь $e\left( {s,t} \right)$ и $o\left( {s,t} \right)$ – функции $E\left( {{{N}_{{odd}}} + s,Z + t} \right)$, где ${{N}_{{odd}}}$ – нечетное число и Z – четное число.

Нечетно-протонные ядра.

t-приближение.

${{d}_{{1p}}} = {{o\left( {0,1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{o\left( {0,1} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2};\,\,\,\,{{d}_{{2p}}} = \frac{1}{8}\left[ {e\left( {0,3} \right) - e\left( {0,1} \right)} \right].$

(st)p-приближение.

$\begin{gathered} {{d}_{{1p}}} = \frac{1}{4}\left[ {o\left( { - 2,3} \right) - o\left( { - 2,1} \right)} \right]; \\ {{d}_{{2p}}} = \frac{1}{8}\left[ {e\left( {2,1} \right) + e\left( { - 2,3} \right) - 2e\left( { - 2,1} \right)} \right]; \\ {{d}_{{1n}}} - {{d}_{{1p}}} = - \frac{1}{8}\left[ {o\left( { - 2,3} \right) + o\left( { - 2,1} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Здесь $e\left( {s,t} \right)$ и $o\left( {s,t} \right)$ – функции $E\left( {N + s,{{Z}_{{odd}}} + t} \right)$, где $N$ – четное число и Zodd нечетное число.

Список литературы

  1. Бор О., Моттельсон Б.Р. Структура атомного ядра. Т. 1. М.: Мир, 1971. 456 с.

  2. Соловьев В.Г. Теория сложных ядер. М.: Наука, 1971. 560 с.

  3. Айзенберг И., Грайнер В. Микроскопическая теория ядра. М.: Атомиздат, 1976.

  4. Madland D.G., Nix J.R. // Nucl. Phys. A. 1988. V. 476. P. 1.

  5. Власников А.К., Зиппа А.И., Михайлов В.М. // Изв. РАН. Сер. физ. 2017. Т. 81. С. 1325; Vlasnikov A.K., Zippa A.I., Mikhajlov V.M. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2017. V. 81. P. 1184.

  6. Власников А.К., Зиппа А.И., Михайлов В.М. // Изв. РАН. Сер. физ. 2020. Т. 84. С. 1112; Vlasnikov A.K., Zippa A.I., Mikhajlov V.M. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2020. V. 84. № 8. P. 919.

  7. Власников А.К., Зиппа А.И., Михайлов В.М. // Изв. РАН. Сер. физ. 2016. Т. 80. С. 989; Vlasnikov A.K., Zippa A.I., Mikhajlov V.M. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2016. V. 80. P. 905.

  8. Wang M., Audi G., Kondev F.G. et al. // Chin. Phys. C. 2017. V. 41. № 3. Art. № 030003.

  9. Lunney D., Pearson J.M., Thibault C. // Rev. Mod. Phys. 2003. V. 75. P. 1021.

  10. Garvey G.T., Kelson I. // Phys. Rev. Lett. 1966. V. 16. P. 197.

Дополнительные материалы отсутствуют.