Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 12, стр. 1712-1718

ВВЕДЕНИЕ

В фокусе внимания настоящей работы находится эффект, известный в литературе как Zitterbewegung (нем. “дрожащее движение”), который состоит в возникновении колебаний траектории частицы в направлении, перпендикулярном направлению ее распространения. Эффект был обнаружен в большом числе физических систем, включая бозе-эйнштейновские конденсаты атомов [1], фотонные кристаллы [2], волноводные решетки [3], графен [4] и др. Общей чертой таких систем и непременным условием возникновения осцилляций траектории является наличие в характеризующем их спектре запрещенной зоны. Этому требованию удовлетворяют системы со спиновым расщеплением. Колебание траектории частиц в них возникает в результате спин-орбитального взаимодействия, связывающего внутреннюю спиновую степень свободы с внешней, ответственной за распространение частиц. Так эффект был продемонстрирован для электронов в полупроводниковом кристалле в присутствии эффектов Дрессельхауса и Рашбы [5, 6].

В недавней работе [7] на основе численного моделирования были предсказаны осцилляции траектории экситон-поляритонов – квазичастиц, возникающих в результате гибридизации фотонных резонаторных мод и экситонных состояний в квантовых ямах [8, 9]. В поляритонной структуре, представляющей собой плоский оптический микрорезонатор со встроенным ансамблем квантовых ям, расщепление спиновых (поляризационных) состояний происходит благодаря расщеплению TE- и TM-поляризованных фотонных мод резонатора. Однако, как показано в [7], в таких условиях осцилляции траектории проявляются лишь при малых значениях квазиимпульса $k$ поляритонов, когда вклад фотонной компоненты в поляритонное состояние наибольший. С увеличением $k$ эффект пропадает.

В работах [10, 11] показано, что прикладывание внешнего магнитного поля в плоскости микрорезонатора приводит к расщеплению спиновых экситонных компонент. Учет такого расщепления позволяет наблюдать осцилляции траектории экситоноподобных поляритонов с большими $k.$ Волновые пакеты таких поляритонов менее подвержены расплыванию, и эффект может наблюдаться на бóльших расстояниях.

Существует целый ряд иных механизмов, приводящих к расщеплению спиновых состояний экситонов в поляритонной структуре. Среди них встроенное или индуцированное анизотропное расщепление, возникающее в результате нарушения трансляционной или точечной симметрии квантовых ям или границ раздела слоев гетероструктуры. Так в работе [12] описано расщепление энергии экситонных состояний в квантовых ямах флуктуирующей ширины, которое оценивается в несколько десятков микроэлектронвольт. Другой подход к обеспечению расщепления экситонных состояний состоит в использовании обменных механизмов [13–15]. Так в уже упомянутых работах [10, 11] расщеплению способствует магнитное поле, вызывающее гибридизацию светлых экситонов, обладающих проекцией спина на ось структуры $ \pm 1$ и непосредственно участвующих в формировании поляритонных состояний, с темными (оптически неактивными) экситонами, обладающими спиновой проекцией $ \pm 2.$

Анизотропия, связанная с понижением симметрии на границах квантовой ямы по сравнению с объемным кристаллом, отражается в возникновении внутреннего электрического поля. Внутреннее поле смешивает тяжелые дырки, участвующие в формировании поляритонных состояний, и менее оптически активные легкие дырки, что приводит к формированию новых расщепленных по энергии состояний. Симметрия может быть нарушена из-за внутренних напряжений, приобретенных на стадии выращивания структуры [16, 17]. Величина расщепления в этом случае, как правило, составляет десятки микроэлектронвольт. Внешним давлением на структуру можно добиться более существенного расщепления спиновых экситонных компонент – до 1 мэВ, как показано в работе [18].

Очевидно, что расщепление экситонной компоненты, сопоставимое с таковым фотонной компоненты, существенным образом сказывается на условиях проявления осциллирующего движения поляритонов. Изучению совместного вклада TE-TM расщепления фотонной компоненты и анизотропного расщепления экситонной компоненты безотносительно природы его возникновения в проявление эффекта осцилляций траектории экситон-поляритонов посвящена настоящая работа.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим распространение экситон-поляритонов в плоскости оптического микрорезонатора со встроенными квантовыми ямами в присутствии эффектов спин-орбитального взаимодействия, вызванного TE-TM расщеплением фотонных мод резонатора и анизотропным расщеплением экситонных мод в квантовых ямах. Эффективный гамильтониан в $k$ пространстве имеет следующий вид [11]:

где $K = \frac{1}{2}\left( {{{E}_{{\text{ф}}}} + {{E}_{{\text{э}}}} - {{E}_{{\text{р}}}}} \right)$ – кинетическая энергия поляритонов нижней дисперсионной ветви, ${{E}_{{{\text{ф}}\left( {\text{э}} \right)}}} = {{E}_{{{\text{ф0}}\left( {{\text{э0}}} \right)}}} + {{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}} {2{{m}_{{{\text{ф}}\left( {\text{э}} \right)}}}}}} \right. \kern-0em} {2{{m}_{{{\text{ф}}\left( {\text{э}} \right)}}}}}$ – дисперсия фотонов в плоскости резонатора (экситонов в плоскости квантовой ямы), $\vec {k}$ – волновой вектор (квазиимпульс) поляритонов, $k = \left| {\vec {k}} \right|,$ ${{E}_{{{\text{ф0}}\left( {{\text{э0}}} \right)}}}$ – энергия фотонов (экситонов) при $k = 0,$ ${{m}_{{{\text{ф}}\left( {\text{э}} \right)}}}$ – эффективная масса фотонов (экситонов). E_p = = ${{\left[ {{{{\left( {{{E}_{{\text{ф}}}} - {{E}_{{\text{э}}}}} \right)}}^{2}} + V_{{\text{р}}}^{2}} \right]}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ – энергия расщепления поляритонных ветвей, ${{{{V}_{{\text{р}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{V}_{{\text{р}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ – вакуумная энергия Раби, ${{\sigma }_{0}}$ – единичная матрица $2 \times 2.$

Второе слагаемое в правой части гамильтониана (1) характеризует спин-орбитальное взаимодействие поляритонов. Расщепление фотонных и экситонных мод может быть описано как эффективное магнитное поле $\vec {B} = {{\vec {B}}_{{{\text{TE - TM}}}}} + {{\vec {B}}_{{{\text{ан}}}}},$ вызывающее прецессию псевдоспина поляритонов, характеризуемого вектором Паули ${\vec {\sigma }} = \left( {{{{\sigma }}_{x}},{{{\sigma }}_{y}},{{{\sigma }}_{z}}} \right).$ Эффективное магнитное поле

характеризует вклад TE-TM расщепление фотонных мод резонатора. В выражении (2) параметр ${\beta }$ – константа расщепления, $C_{k}^{2} = {{\left[ {1 - \left( {{{E}_{{\text{ф}}}} - {{E}_{{\text{э}}}}} \right)E_{{\text{p}}}^{{ - 1}}} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left[ {1 - \left( {{{E}_{{\text{ф}}}} - {{E}_{{\text{э}}}}} \right)E_{{\text{p}}}^{{ - 1}}} \right]} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ – весовой коэффициент фотонной компоненты, зависящий от величины квазиимпульса $k.$ Другая компонента

описывает вклад экситонной составляющей в эффективное магнитное поле за счет анизотропии, присущей квантовым ямам [16, 17], либо наведенной при помощи внешнего воздействия [10, 11, 18]. Для простоты мы полагаем, что ось анизотропии совпадает с осью $x.$ В выражении (3) ${{{\Delta }}_{{{\text{ан}}}}}$ – величина анизотропного расщепления, $X_{k}^{2} = 1 - C_{k}^{2}$ – весовой коэффициент экситонной компоненты.

Рассмотрим распространение волнового пакета поляритонов $\psi = f\left( {\vec {r}} \right)\left| \chi \right\rangle $ с начальной правоциркулярной поляризацией, $\left| \chi \right\rangle = \left| + \right\rangle = {{\left( {1,\,\,0} \right)}^{T}},$ и центральным волновым вектором $\vec {k} = \left( {0,{{k}_{0}}} \right)$ вдоль оси $y;$ $\vec {r} = \left( {x,y} \right).$ В квазиклассическом приближении для волнового пакета с узким спектром, $\delta k \ll {{k}_{0}},$ пользуясь обобщенными коммутационными соотношениями для операторов координат частицы $\dot {x} = {{\hbar }^{{ - 1}}}{{\partial }_{{{{k}_{x}}}}}H,$ $\dot {y} = {{\hbar }^{{ - 1}}}{{\partial }_{{{{k}_{y}}}}}H,$ мы получаем уравнение для траектории центра масс волнового пакета $X\left( Y \right),$ где $X = \left\langle \chi \right|f{\text{*}}xf\left| \chi \right\rangle $ и $Y = \left\langle \chi \right|f{\text{*}}yf\left| \chi \right\rangle {\text{:}}$

где $A$ и $L$ описывают амплитуду и пространственный период осцилляций траектории соответственно, которые определяются следующим образом:

В выражении (6) ${{m}_{{\text{п}}}}$ – эффективная масса поляритонов, определяемая как $m_{{\text{п}}}^{{ - 1}} = C_{{{{k}_{0}}}}^{2}m_{{\text{ф}}}^{{ - 1}} + X_{{{{k}_{0}}}}^{2}m_{{\text{э}}}^{{ - 1}}.$ Отметим, что в соответствии с (5) и (6) параметры $A$ и $L$ могут принимать как отрицательные, так и положительные значения. Знак величин отвечает лишь за фазу колебаний траектории центра масс. В дальнейшем, говоря об амплитуде и периоде осцилляций траектории, мы будем использовать обозначения $A$ и $L,$ подразумевая их абсолютные величины.

Выражения (4)–(6) описывают траекторию поляритонов в физическом пределе без учета неконсервативных процессов, а также пространственных размеров поляритонного волнового пакета. Рассмотрим эффект осциллирующего движения поляритонов, приняв эти факторы во внимание. Для этого мы используем обобщенные уравнения Гросса-Питаевского для волновых функций поляритонов с правой и левой циркулярной поляризацией, ${{\psi }_{ + }}\left( {\vec {r},t} \right)$ и ${{\psi }_{ - }}\left( {\vec {r},t} \right){\text{:}}$

В уравнении (7) кинетическая энергия поляритонов описывается оператором $\hat {K},$ который получен из выражения для $K$ подстановкой $\vec {k} \to \hat {k} = \left( { - i{{\partial }_{x}}, - i{{\partial }_{y}}} \right).$ Аналогичным образом получены операторы весовых коэффициентов $\hat {C}_{k}^{2}$ и $\hat {X}_{k}^{2}.$ ${{n}_{ \pm }}\left( {\vec {r},t} \right)$ – плотность экситонов в резервуаре, которая меняется во времени в соответствии с выражением ${{n}_{ \pm }}\left( {\vec {r},t} \right)$ = ${{{{P}_{ \pm }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{P}_{ \pm }}} {\left( {{{\gamma }_{{\text{э}}}} + R{{{\left| {{{\psi }_{ \pm }}} \right|}}^{2}}~} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{\gamma }_{{\text{э}}}} + R{{{\left| {{{\psi }_{ \pm }}} \right|}}^{2}}~} \right)}}.$ Здесь ${{P}_{ \pm }}$ – мощность пространственно-однородной нерезонансной оптической накачки, работающей в допороговом режиме. Она не приводит к возникновению конденсата поляритонов сама по себе, но способствует его формированию в присутствии резонансной накачки, см. [7, 11, 19]. Оператор $\hat {\gamma } = \hat {C}_{k}^{2}{{\gamma }_{{\text{ф}}}} + \hat {X}_{k}^{2}{{\gamma }_{{\text{э}}}}$ характеризует скорость затухания поляритонов, ${{\gamma }_{{\text{ф}}}}$ и ${{\gamma }_{{\text{э}}}}$ – скорости затухания фотонов и экситонов соответственно. $R$ – скорость стимулированного рассеяния из экситонного резервуара в конденсат поляритонов. Коэффициенты $\alpha $ и ${{\alpha }_{{\text{Р}}}}$ – константы взаимодействия поляритонов внутри конденсата и поляритонов с экситонами в резервуаре соответственно.

Поляритоны в системе возбуждаются линейно-поляризованной пространственно-локализованной резонансной оптической накачкой в гауссовой форме аналогично [7, 11]:

где ${{w}_{{\text{н}}}},$ ${{k}_{{\text{н}}}}$ и ${{\omega }_{{\text{н}}}}$ – ширина волнового пакета, квазиимпульс в направлении $y$ и частота накачки соответственно.

Для численного моделирования мы берем следующие значения параметров, использованные также в работах [7, 11]. Эффективная масса фотонов ${{m}_{{\text{ф}}}} = 5 \cdot {{10}^{{ - 5}}}{{m}_{e}},$ где ${{m}_{e}}$ – масса свободного электрона. Ввиду того, что ${{m}_{{\text{ф}}}} \ll {{m}_{{\text{э}}}},$ мы пренебрегаем экситонной составляющей $X_{{{{k}_{0}}}}^{2}m_{{\text{э}}}^{{ - 1}}$ в определении поляритонной массы. Энергии экситонов и фотонов: ${{E}_{{{\text{ф0}}}}} = {{E}_{{{\text{э0}}}}}.$ Энергия Раби ${{V}_{{\text{р}}}} = 5\,\,~{\text{мэВ}}{\text{.}}$ Скорости затухания фотонов и экситонов γ_ф = 0.02 пс^–1, γ_э = 0.025 пс^–1. Скорость стимулированного рассеяния $\hbar R = 0.05\,\,{\text{\;мэВ}} \cdot {\text{мк}}{{{\text{м}}}^{2}}.$ Величина анизотропного расщепления ${{{\Delta }}_{{{\text{ан}}}}} = 220~\,\,{\text{мкэВ}}.$ Константы взаимодействия $\alpha = {{{{\alpha }_{{\text{Р}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\alpha }_{{\text{Р}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} = 5~\,\,{\text{мкэВ}} \cdot {\text{мк}}{{{\text{м}}}^{2}}.$ Мощность нерезонансной накачки ${{P}_{ \pm }} = {{0.95\gamma {{\gamma }_{{\text{э}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{0.95\gamma {{\gamma }_{{\text{э}}}}} {R~}}} \right. \kern-0em} {R~}}.$ Интенсивность резонансной накачки выбиралась достаточно слабой, чтобы уменьшить вклад нелинейных эффектов, а также повысить вклад нерезонансной накачки в динамику поляритонов.

На рис. 1 представлен пример осциллирующего движения экситон-поляритонов. Для параметров, используемых при моделировании, дисперсия поляритонов имеет точку перегиба при $k = {{k}_{{{\text{пер}}}}} \approx 1.61~\,\,{\text{мк}}{{{\text{м}}}^{{ - 1}}}$ и $\hbar \omega = \hbar {{\omega }_{{{\text{пер}}}}} \approx - 1.7\,\,~{\text{мэВ}}.$ Отсчет энергии осуществляется относительно энергии экситонов в квантовых ямах. Для рис. 1 рассматривалась резонансная накачка с параметрами ${{k}_{{\text{н}}}} = 2.5~\,\,{\text{мк}}{{{\text{м}}}^{{ - 1}}}$ и ${{\omega }_{{\text{н}}}} \approx - 1.07~\,\,{\text{мэВ}},$ которая позволяет наблюдать осцилляции траектории поляритонов существенно выше точки перегиба дисперсионной кривой. Ширина пятна накачки взята равной ${{w}_{{\text{н}}}} = 10\,\,~{\text{мкм}}.$ На рис. 1а изображено пространственное распределение плотности поляритонного конденсата в стационарном состоянии, $I\left( {\vec {r}} \right) = {{\left| {{{\psi }_{ + }}\left( {\vec {r}} \right)} \right|}^{2}} + {{\left| {{{\psi }_{ - }}\left( {\vec {r}} \right)} \right|}^{2}}.$ На рисунке видны отчетливые осцилляции волнового пакета в плоскости $x - y.$ Осциллирующая траектория центра масс волнового пакета, $X\left( Y \right),$ приведена на рис. 1б. Амплитуда первого колебания составляет $A \approx 3.6~\,\,{\text{мкм}},$ период колебаний составляет $L \approx 77~\,\,{\text{мкм}}.$ Амплитуда колебаний плавно спадает с увеличением координаты $y$ ввиду конечной ширины волнового пакета и диссипации. Однако, затухание амплитуды заметно слабее такового, предсказанного в работе [7], благодаря тому, что эффект наблюдается в области более плоской (экситоноподобной) дисперсии поляритонов.

На рис. 1в и 1г приведены пространственные распределения плотностей правоциркулярно-поляризованной, ${{I}_{ + }}\left( {\vec {r}} \right) = {{\left| {{{\psi }_{ + }}\left( {\vec {r}} \right)} \right|}^{2}},$ и левоциркулярно-поляризованной, ${{I}_{ - }}\left( {\vec {r}} \right) = {{\left| {{{\psi }_{ - }}\left( {\vec {r}} \right)} \right|}^{2}},$ компонент поляритонного конденсата. Видно чередование пучностей компонент в направлении распространения поляритонов с периодом осцилляций $L.$ Кроме того, видно разделение поляризационных компонент вдоль оси $x{\text{:}}$ компонента ${{I}_{ + }}\left( {\vec {r}} \right)$ смещена в направлении $x < 0,$ в то время как ${{I}_{ - }}\left( {\vec {r}} \right)$ – в направлении $x > 0.$

Рисунки 2а и 2б иллюстрируют полученные на основе численного решения уравнения (7) зависимости амплитуды $A$ и периода $L$ колебаний траектории поляритонов от квазиимпульса резонансной накачки ${{k}_{{\text{н}}}}$ и константы TE-TM расщепления ${\beta }$ при фиксированной величине анизотропного расщепления Δ_ан = 220 мкэВ. Выполнение численного расчета сопряжено с ограничениями, связанными с конечными размерами координатной сетки. В связи с этим, мы не можем достоверно определить величины $A$ и $L,$ когда период колебаний сравним с размером используемой сетки. Такие области закрашены на рис. 2 белым цветом.

Согласно рис. 2а, в зависимости от параметров системы амплитуда осцилляций $A$ может быть достаточно велика, чтобы смещение поляритонов перпендикулярно направлению распространения было различимо в потенциальном эксперименте. В теории амплитуда осцилляций траектории поляритонов может быть бесконечно большой, когда анизотропное расщепление экситонной компоненты в точности компенсирует TE-TM расщепление фотонной компоненты: ${\beta }k_{0}^{2}C_{{{{k}_{0}}}}^{2} = {{{\Delta }}_{{{\text{ан}}}}}X_{{{{k}_{0}}}}^{2}.$ Это соответствует центру белой области на рис. 2а. Однако, согласно выражению (6), в этом же пределе период осцилляций также стремится к бесконечной величине, что делает осцилляции неразличимыми. Конечно, на практике этот предел не реализуется ввиду конечной ширины поляритонного волнового пакета и времени жизни поляритонов в структуре. Тем не менее, даже период осцилляций порядка нескольких сотен микрометров становится препятствием для наблюдения эффекта осциллирующего движения поляритонов. В противоположном пределе уменьшение периода осцилляций сопровождается уменьшением амплитуды, что также негативно сказывается на наблюдаемости эффекта. Однако, как видно на рис. 2, на фазовой плоскости ${{k}_{{\text{н}}}} - {\beta }$ существует U-образная область, в которой амплитуда $A$ является достаточно большой, в то время как период $L$ является достаточно маленьким, чтобы эффект осциллирующего движения экситон-поляритонного волнового пакета был хорошо наблюдаем.

Чем больше ширина волнового пакета поляритонов, тем ближе система к квазиклассическому пределу. Для анализа влияния ширины волнового пакета на проявления эффекта осциллирующего движения приведены рис. 3а и 3б, иллюстрирующие зависимость амплитуды $A$ и периода колебаний $L$ от квазиимпульса ${{k}_{{\text{н}}}}$ и ширины пятна резонансной накачки ${{w}_{{\text{н}}}}$ при фиксированных значениях константы TE-TM расщепления ${\beta } = 240\,\,~{\text{мкэВ}} \cdot {\text{мк}}{{{\text{м}}}^{2}}$ и величины анизотропного расщепления Δ_ан = 220 мкэВ. Как видно, при заданном ${{k}_{{\text{н}}}}$ с увеличением ширины пятна накачки ${{w}_{{\text{н}}}}$ амплитуда осцилляций траектории возрастает и стремится к некоторому постоянному значению, соответствующему классическому пределу. Влияние ширины ${{w}_{{\text{н}}}}$ на период осцилляций не является сколь-нибудь значительным и проявляется далеко за пределами квазиклассического приближения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе теоретически изучено совокупное влияние TE-TM расщепления фотонных резонаторных мод и анизотропное расщепление экситонных состояний в квантовых ямах на траекторию экситон-поляритонного волнового пакета в поляритонной структуре. Показано, что экситон-поляритоны испытывают эффект осциллирующего движения: траектория их распространения приобретает волнистый (осциллирующий) характер. Учет анизотропного расщепления в дополнение к расщеплению поляризационных фотонных состояний позволяет наблюдать осциллирующее движение поляритонов с большими значениями квазиимпульса, при которых поляритоны становятся экситоноподобными, и расплывание волнового пакета таких поляритонов становится менее существенными. Благодаря этому преимуществу в сочетании с использованием допороговой нерезонансной накачки эффект осциллирующего движения поляритонов может наблюдаться на значительных расстояниях вплоть до сотен микрометров.

Как показано в [11], рассмотренный эффект дрожащего движения поляритонов может лечь в основу поляритонного аналога спинового транзистора Датта–Даса. Поскольку осцилляции траектории поляритонного волнового пакета сопряжены с осцилляциями его поляризации в пространстве, эффект должен быть учтен при проектировании поляритонных поляризационных устройств, а также при планировании экспериментов, направленных на наблюдение поляритонной поляризационной динамики.

Публикация подготовлена при поддержке государственного задания ВлГУ в сфере научной деятельности в рамках проекта № 0635-2020-0013. Работа И.Е.С. поддержана грантом Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых (№ MK-2839.2019.2). E.C.C. и А.В.К. благодарят Университет Вестлейк (проект № 041020100118), а также программу 2018R01002 Leading Innovative and Entrepreneur Team Introduction Program of Zhejiang. А.В.К. благодарит Санкт-Петербургский государственный университет (грант № 51125686).