Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 5, стр. 719-722

Изучение взаимодействия ферромагнетиков и расчет меры этого взаимодействия

М. А. Пятаков^1, *, П. А. Поляков¹, Н. Е. Русакова¹

¹ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова”, физический факультет
Москва, Россия

^* E-mail: f33261033444444@yandex.ru

Поступила в редакцию 02.12.2019
После доработки 23.12.2019
Принята к публикации 27.01.2020

DOI: 10.31857/S0367676520050282

Полный текст (PDF)

Аннотация

Произведен расчет силы взаимодействия полосок, выполненных из ферромагнитного материала, с бесконечным листом ферромагнетика. Построена соответствующая зависимость силы от расстояния между полосками. Определено максимальное значение этой силы, а также расстояние, при котором достигается максимум.

ВВЕДЕНИЕ

Одной из актуальных задач современной физики магнитных явлений является исследование новых свойств постоянных магнитов сложной конфигурации, использующихся при производстве, например, генераторов, приборов радиоэлектроники, а также способы выявления дефектов при создании (трещин), поиск причин их появления [1]. Важным направлением исследования является создание постоянных магнитов, обладающих максимальной силой сцепления с ферромагнитным материалом.

К числу наиболее перспективных постоянных магнитов относятся спеченные магниты на основе ${\text{N}}{{{\text{d}}}_{{\text{2}}}}{\text{F}}{{{\text{e}}}_{{{\text{14}}}}}{\text{B}}$, в целом обладающие наилучшими магнитными параметрами [2].

Пленочные или полосовые микромагниты микронной или даже нанометровой толщины широко используются в активно развивающейся области – спинтронике [3, 4]. Магнитные пленки применяются, например, для создания наноэлементов для спиновой логики [5], в частности спин-туннельных магниторезистивных элементов [6, 7].

Отметим, что сила взаимодействия с ферромагнетиком тонких полосок, выполненных также из ферромагнитного материала, уменьшается с уменьшением их толщины h, и формально при стремлении h к нулю эта сила стремится к нулю. Целью данной работы является теоретический анализ силы взаимодействия тонких пленочных постоянных магнитов с ферромагнетиком и разработка форм новых неоднородных магнитов в виде тонких пленок с оптимальной силой взаимодействия.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим неоднородный пленочный материал, состоящий из длинных тонких полосок микронной ширины, находящихся на некотором расстоянии b друг от друга. Поместим такую систему полосок над бесконечным ферромагнетиком на расстоянии a. Будем считать, что ферромагнитный материал, над которым находятся полоски, обладает большой магнитной проницаемостью (например, для железа μ ~ 10⁴ [8]). Поэтому приближенно будем рассматривать его как материал с бесконечной μ. В этом случае для расчета взаимодействия магнитных полосок с ферромагнетиком можно воспользоваться методом изображений, заменив расчет силы взаимодействия полосок с ферромагнетиком на расчет силы взаимодействия этих полосок с их магнитостатическим изображением относительно плоской поверхности ферромагнетика (рис. 1). В результате задача сводится к вычислению взаимодействия двух решеток магнитных полосок, находящихся на расстоянии 2a друг от друга.

Рис. 1.

Структура для расчета взаимодействия системы ферромагнитных полосок и плоского бесконечного ферромагнитного слоя (метод изображений).

Будем полагать, что поперечные размеры полосок много меньше расстояния 2a, так что полоски можно заменить линейными диполями и рассматривать силу взаимодействия между ними.

Для расчета искомой силы достаточно рассмотреть только ее вертикальную составляющую, так как все моменты ориентированы одинаково по вертикальной оси (вверх). А также нет смысла рассматривать взаимодействие всех моментов. Достаточно рассмотреть силу взаимодействия одного момента, лежащего на оси Oy, со всеми изображениями. А для расчета суммарной силы необходимо просто учесть количество полосок. Считаем количество полосок равным 2N + 1 (N по каждую сторону от вертикальной оси).

Вектор индукции двумерного диполя определяется выражением:

(1)

где $\vec {R}$ – вектор, проведенный от диполя в точку, где считается поле, $\vec {p}$ – магнитный дипольный момент единицы длины. Пусть ${{\vec {R}}_{{n1}}}$ – вектор, проведенный из центра сечения n-го изображения в центр сечения первой полоски. Тогда пондеромоторная сила взаимодействия между диполями будет равна [9]

(2)

$\overrightarrow {{{F}_{{{{p}_{1}}{{p}_{n}}}}}} = \left( {\overrightarrow {{{p}_{1}}} \cdot {{\nabla }_{{\overrightarrow {{{r}_{1}}} }}}} \right)\overrightarrow {{{B}_{{{{p}_{n}}}}}} ,$

где

(3)

Учитывая, что $\overrightarrow {{{p}_{n}}} = \overrightarrow {{{p}_{1}}} = \left\{ {0;{{p}_{y}}} \right\} = \left\{ {0;p} \right\},$ находим:

(4)

Дифференцируя, получим

(5)

Принимая во внимание, что

(6)

${{x}_{1}} - {{x}_{n}} = \left( {n - 1} \right)\left( {b + d} \right),$

(7)

${{y}_{1}} - {{y}_{n}} = 2a + h,\,\,\,\,\forall n:{{p}_{n}} = p.$

Суммируя, получим:

(8)

$\begin{gathered} {{F}_{{p,y}}} = 2\sum\limits_{n = 2}^N {{{F}_{{{{p}_{1}}{{p}_{n}},y}}}} + {{F}_{{{{p}_{1}}{{p}_{n}},y}}} = \frac{{2{{p}^{2}}{{\mu }_{0}}}}{{2\pi {{{\left( {2a + h} \right)}}^{3}}}} \times \\ \times \,\,\left( {\sum\limits_{n = 2}^N {\left( {\frac{6}{{{{{\left[ {1 + {{{\left( {\frac{{\left( {n - 1} \right)(b + d)}}{{\left( {2a + h} \right)}}} \right)}}^{2}}} \right]}}^{2}}}} - } \right.} } \right. \\ \left. { - \,\,\left. {\frac{8}{{{{{\left[ {1 + {{{\left( {\frac{{\left( {n - 1} \right)(b + d)}}{{\left( {2a + h} \right)}}} \right)}}^{2}}} \right]}}^{3}}}}} \right) - 1} \right). \\ \end{gathered} $

Выражение (8) дает силу взаимодействия одной полоски со всеми изображениями, приходящуюся на единицу длины полоски.

Если L – ширина решетки полосок (рис. 1), то количество полосок по одну сторону от вертикальной оси, пренебрегая одной полоской по сравнению с 2N + 1 равно:

(9)

$N = \frac{L}{{2\left( {b + d} \right)}}.$

Тогда для числа полосок на единицу длины находим:

(10)

$\frac{N}{L} = \frac{1}{{2\left( {b + d} \right)}}.$

Сила на единицу площади полосок с учетом их количества, равного 2N + 1, из формулы (9) получается равной:

(11)

$\overline{\overline {{{F}_{{p,y}}}}} = \left( {2N + 1} \right){{F}_{{p,y}}}.$

Введем безразмерные параметры

(12)

$t = \frac{b}{{2a + h}},\,\,\,{v} = \frac{d}{{2a + h}}.$

Получим безразмерную проекцию силы, действующей на единицу площади одной полоски $\overline {{{F}_{{p,y}}}} .$ Умножим и разделим (9) на 2a + h, учтем, что $b + d = \left( {2a + h} \right)\left( {t + {v}} \right),$ т.е. $\frac{{2a + h}}{{b + d}} = \frac{1}{{t + {v}}}.$ Заменим индекс суммирования k = n – 1. Имеем следующее:

$\begin{gathered} \overline {{{F}_{{p,y}}}} = \frac{1}{{t + {v}}}\frac{{2{{p}^{2}}{{{\mu }}_{{\text{0}}}}}}{{2{\pi }{{{\left( {2a + h} \right)}}^{4}}}} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{k = 1}^{N - 1} {\left[ {\left( {\frac{6}{{{{{\left( {1 + {{k}^{2}}{{{\left( {t + {v}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{2}}}} - \frac{8}{{{{{\left( {1 + {{k}^{2}}{{{\left( {t + {v}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{3}}}}} \right) - 1} \right]} . \\ \end{gathered} $

Введем безразмерную силу

(14)

Тогда выражение (13) примет вид:

(15)

$\begin{gathered} \overline {F_{{p,y}}^{{{\text{безр}}}}} = \frac{2}{{t + {v}}} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{k = 1}^{N - 1} {\left[ {\left( {\frac{6}{{{{{\left( {1 + {{k}^{2}}{{{\left( {t + {v}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{2}}}} - \frac{8}{{{{{\left( {1 + {{k}^{2}}{{{\left( {t + {v}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{3}}}}} \right) - 1} \right]} . \\ \end{gathered} $

Итак, формула (15) – выражение для безразмерной проекции силы, действующей на единицу площади одной полоски, с учетом количества полосок.

РЕЗУЛЬТАТЫ

На рис. 2 представлен график зависимости силы (15) от безразмерного параметра t, рассчитанный для ν = 0.01.

Рис. 2.

Зависимость силы взаимодействия решетки магнитожестких полосок от расстояния между ними.

Из графика видно, что сила имеет максимальное по модулю значение при определенных параметрах решетки магнитных полосок (рис. 1). В результате численных расчетов установлено, что сила взаимодействия (15) имеет максимальное значение

(16)

$\overline {F_{{p,y}}^{{{\text{безр, }}max}}} = - 0.8154$

при

(17)

$t = 1.7347.$

Сравним силу взаимодействия решетки полосок с силой взаимодействия сплошной магнитной пленки такой же толщины h и находящейся на расстоянии a от плоской бесконечной ферромагнитной среды. Рассмотрим сплошную магнитную пленку в форме квадратной пластинки со стороной q. Тогда, решая систему уравнений магнитостатики, несложно получить выражение для силы взаимодействия, приходящейся на единицу площади

(18)

${{f}_{2}} = \frac{{{{{\mu }}_{{\text{0}}}}{{M}^{2}}{{h}^{2}}}}{{2{\pi }}}\frac{2}{{aq}}.$

Выражение для размерной максимальной силы взаимодействия решетки магнитных полосок, приходящейся на единицу площади, согласно соотношениям (10), (14), (15) при значениях ν = 0.01, (16) и (17)

(19)

${{f}_{1}} = \frac{{{{{\mu }}_{{\text{0}}}}{{M}^{2}}{{h}^{4}}}}{{2{\pi }{{{\left( {2a + h} \right)}}^{4}}}}\left| {\left\langle F \right\rangle _{y}^{{max}}} \right|.$

Находим отношение, учитывая, что минимальное сближение полосок, при котором еще справедливо дипольное приближение, возможно до расстояния a ~ h (пусть q = 1 см, h = 20 мкм):

(20)

${\delta } = \frac{{{{f}_{1}}}}{{{{f}_{2}}}} = \frac{{0.8 \cdot \frac{{{{h}^{4}}}}{{{{{\left( {2a + h} \right)}}^{4}}}}}}{{\frac{{4{{h}^{2}}}}{{2aq}}}} = \frac{{0.8 \cdot \frac{1}{{{{3}^{4}}}}}}{{\frac{{4h}}{{2q}}}} = \frac{{0.4}}{{{{3}^{4}}}} \cdot \frac{q}{h}.$

Итого:

(21)

${\delta } = \frac{4}{{810}} \cdot \frac{{0.01}}{{20 \cdot {{{10}}^{{ - 6}}}}} = \frac{{4 \cdot 500}}{{810}} \approx 2.47 \sim 3.$

Таким образом, получаем, что сила взаимодействия магнитожесткой намагниченной пленки с отверстиями может значительно превосходить силу взаимодействия аналогичной сплошной магнитожесткой пленки. Отметим, что сила магнитного взаимодействия решетки намагниченных полосок (19) значительно быстрее убывает с расстоянием, как $ \sim {\kern 1pt} {{\left( {{h \mathord{\left/ {\vphantom {h a}} \right. \kern-0em} a}} \right)}^{4}},$ по сравнению с аналогичной силой сплошной намагниченной пленки (18), которая убывает с расстоянием как $ \sim {\kern 1pt} \left( {{h \mathord{\left/ {\vphantom {h a}} \right. \kern-0em} a}} \right).$

Список литературы

Каменская Н.И., Сеин В.А., Зверева М.И. // МиТОМ. 2017. № 4. С. 37; Kamenskaya N.I., Zvereva M.I., Sein V.A. // MSAТ. 2017. V. 59. № 3–4. P. 232.
Самофалов В.Н., Белозоров Д.П., Равлик А.Г. // УФН. 2013. Т. 183. № 3. С. 287; Samofalov V.N., Ravlik A.G., Belozorov D.P. // Phys. Usp. 2013. V. 56. № 3. P. 269.
Бадаев А.С., Чернышов А.В. Физические основы микроэлектроники. Ч. 1. Физические свойства твердых тел. Воронеж: ВГТУ, 2011. 294 с.
Огнев А.В., Самардак А.С. // Вестник ДВО РАН. 2006. № 4. С. 70.
Касаткин С.И., Муравьев А.М., Амеличев В.В., Костюк Д.В. // Изв. РАН. Сер. физ. 2017. Т. 81. № 8. С. 1136; Kasatkin S.I., Murav’ev A.M., Amelichev V.V., Kostyuk D.V. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2017. V. 81. № 8. P. 1023.
Амеличев В.В., Беляков П.А., Васильев Д.В. и др. // ЖТФ. 2017. Т. 87. № 8. С. 1268; Amelichev V.V., Belyakov P.A., Vasil’ev D.V. et al. // Tech. Phys. Russ. J. Appl. Phys. 2017. V. 62. № 8. P. 1281.
Поляков П.А., Поляков О.П., Касаткин С.И., Амеличев В.В. // Датчики и системы. 2017. № 2. С. 40.
Таблицы физических величин. Справочник. М.: Атомиздат, 1976. 1008 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2016. 656 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал