Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 8, стр. 1098-1102

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе для описания галлиевой аномалии [1–4] предлагается расширить модель с тремя активными нейтрино (АН) и одним стерильным нейтрино (СН) и уточнить значения сечения реакции по захвату нейтрино галлиевыми ядрами, полученные в работах [5, 6]. Проведено сравнение вычисленных значений вероятности сохранения электронных нейтрино (ν_e) в расширенной модели с тремя АН и тремя СН с результатами вычислений в приближении смешивания двух состояний нейтрино в модели с тремя АН и одним СН [7].

Нейтринные осцилляции объясняются наличием масс нейтрино, и смешивание массовых состояний описывается матрицей Понтекорво−Маки−Накагава−Сакаты [8] U_PMNS ≡ U = V × P, т.е. ${\psi }_{a}^{L} = {{\Sigma }_{i}}{{U}_{{ai}}}{\psi }_{i}^{L},$ где ${\psi }_{{a,i}}^{L}$ – левые киральные поля с флэйвором a или массой m_i, a = {e, μ, τ} и i = {1, 2, 3}. Для трех АН матрица V выражается в стандартной параметризации [9] через углы смешивания θ_ij и CP-фазу, а именно, фазу δ = δ_CP, связанную с CP-нарушением в лептонном секторе для дираковских или майорановских нейтрино, P = diag{1, e^iα, e^iβ}, где α ≡ α_CP и β ≡ β_CP – фазы, связанные с CP-нарушением только для майорановских нейтрино.

Экспериментально найдены значения углов смешивания и разности квадратов масс нейтрино ${\Delta }m_{{21}}^{2}$ и ${\Delta }m_{{31}}^{2}$ [9, 10] (где ${\Delta }m_{{ij}}^{2}$ = $m_{i}^{2}$ – $m_{j}^{2}$). Поскольку для ${\Delta }m_{{31}}^{2}$ известно только абсолютное значение, то значения масс можно упорядочить либо как m₁ < m₂ < m₃ (нормальная иерархия), либо m₃ < m₁ < < m₂ (обратная иерархия). Получены оценки CP-фазы δ_CP (см., например, работы [10–13]). Они приводят для нормальной иерархии спектра масс АН к δ_CP < 0 и δ_CP ≈ –π/2. Если учесть ограничения на сумму масс нейтрино из космологических наблюдений [14] и результат T2K-эксперимента [13], то случай нормальной иерархии спектра масс АН становится предпочтительным. Поэтому в дальнейших расчетах мы ограничимся этим случаем при δ_CP = –π/2.

В то же время существуют указания на аномальные значения нейтринных потоков в ряде процессов на малых расстояниях от источника. Эти так называемые аномалии на “короткой базе” включают галлиевую (калибровочную) аномалию [1–4], которая проявила себя как дефицит ν_e от радиоактивных источников при калибровке детекторов для экспериментов SAGE и GALLEX. Эту и другие (реакторную и ускорительную) нейтринные аномалии можно объяснить существованием одного или нескольких новых стерильных нейтрино, не взаимодействующих непосредственно с калибровочными бозонами Стандартной модели. Характерная шкала масс СН, которая используется для объяснения галлиевой аномалии, составляет 1 эВ.

Сейчас ведется интенсивный поиск легкого СН с массой порядка 1 эВ (см., например, [5, 15–18]). Кроме легкого СН, стерильные нейтрино с массами от нескольких кэВ до нескольких ТэВ используются для объяснения некоторых астрофизических данных [19–21]. Так как существование СН выходит за рамки Модифицированной Стандартной модели с ненулевыми массами нейтрино (νСМ), были предложены феноменологические модели для предсказания характеристик СН и их эффектов [11, 22–29]. Такие модели обычно обозначаются как (3 + N)-модели или, более детально, как (k + 3 + n + m)-модели, где k – число новых нейтрино с массами, меньшими масс АН, n и m – число новых нейтрино с массами больше и значительно больше масс АН, соответственно [8, 15, 25, 26, 30–32].

Далее будем использовать (3 + 1 + 2)-модель [11, 32] и рассмотрим эффекты СН, которые проявляются в осцилляционных характеристиках ν_e с энергиями порядка МэВ на малых расстояниях (порядка нескольких метров) в экспериментах, в которых была замечена галлиевая аномалия. В следующем разделе кратко изложены положения (3 + 1 + 2)-модели [11, 26], затем представлены результаты расчетов осцилляционных характеристик электронных нейтрино на малых расстояниях с учетом вкладов СН. Эти вычисления были выполнены c использованием новой параметризации обобщенной матрицы смешивания АН и СН при выбранных тестовых значениях модельных параметров и при введении дополнительных CP-фаз. Проведено сравнение полученных результатов с результатами (3 + 1)-модели с учетом имеющихся экспериментальных данных. Также получено уточнение значений сечений для реакции захвата нейтрино ядрами галлия, что может быть использовано в расчетах характеристик галлиевой аномалии. В заключительном разделе отмечается, что полученные результаты позволяют уточнить интерпретацию нейтринных аномалий, как эффектов стерильных нейтрино.

НЕКОТОРЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ НЕЙТРИННОЙ (3 + 1 + 2)-МОДЕЛИ

Кратко рассмотрим основные положения (3 + 1 + 2)-модели, предназначенной для описания эффектов легких и тяжелых СН. Эта модель включает три АН ν_a (a = e, μ, τ) и три СН: стерильное нейтрино ν_s, скрытое нейтрино ν_h и темное нейтрино ν_d. С учетом порядков масс ν_s, ν_h, ν_d и новой параметризации матрицы смешивания рассматриваемая модель является обобщением (3 + 3)-модели [11, 25, 26]. Используется 6 × 6-матрица смешивания, являющаяся обобщением матрицы Понтекорво−Маки−Накагава−Сакаты U_GPMNS ≡ U_mix [11, 26], которая может быть представлена как V × P, где P – диагональная матрица с майорановскими CP-фазами φ_i, i = 1, …, 5, т.е. P = diag{1, ${{{\text{e}}}^{{{\text{i}}{{{\varphi }}_{{\text{1}}}}}}},$ …, ${{{\text{e}}}^{{{\text{i}}{{{\varphi }}_{{\text{5}}}}}}}$}. Ниже используется только частный вид матрицы V. Обозначим дополнительные CP-фазы через δ_i и ϰ_j, а углы смешивания через θ_i и η_j, причем δ₁ ≡ δ_CP, θ₁ ≡ θ₁₂, θ₂ ≡ θ₂₃ и θ₃ ≡ θ₁₃.

Для компактности формул введем символы h_s и ${{h}_{{i'}}}$ для левых флэйворных и массовых полей соответственно. Пусть s – набор индексов, которые задают поля ν_s, ν_h и ν_d среди h_s, через i' задан набор индексов 4, 5 и 6. Тогда 6 × 6-матрица U_mix выражается через 3 × 3-матрицы R, T, V и W:

где R = U_PMNS + ΔU_PMNS. Матрица ΔU_PMNS, как и матрица T в уравнении (1), мала по сравнению с матрицей U_PMNS, т.е., например, ΔU_PMNS = −εU_PMNS, где ε – малая величина, которую можно представить как ε = 1 − ϰ, и тогда R = ϰU_PMNS, где U_PMNS обозначает известную унитарную 3 × 3 матрицу смешивания АН (${{U}_{{PMNS}}}U_{{PMNS}}^{ + }$ = I, ниже U_PMNS ≡ U). Выберем T = $\sqrt {1 - {{{\kappa }}^{2}}} a,$ где a – произвольная унитарная 3 × 3-матрица, а матрицы V и W в виде: V = = $\sqrt {1 - {{\varkappa }^{2}}} bU,$ W = ϰc и c = −ba. При этих условиях матрица U_mix будет унитарной. Будем использовать следующие матрицы a и b: где ϰ₁ и ϰ₂ – фазы смешивания для АН и СН, а η₁ и η₂ – их углы смешивания. Матрица a в виде (2) была предложена в работе [11]. Для того, чтобы сделать вычисления более определенными, будем использовать следующий набор тестовых значений для новых параметров смешивания: ϰ₁ = = ϰ₂ = −π/2, η₁ = 5°, η₂ = ±30°. Предполагается, что малый параметр ε < 0.03. При этом U_mix, заданная уравнениями (1) и (2), является более общей, чем матрица смешивания $\tilde {U}$, которая была предложена в работе [11].

Массы нейтрино даются набором значений {m} = {m_i, ${{m}_{{i{\kern 1pt} '}}}$}. Для АН будем использовать оценки масс m₁ ≈ 0.0016, m₂ ≈ 0.0088, m₃ ≈ 0.0497 из работ [11, 25, 29] для случая нормальной иерархии (в единицах эВ), которые не противоречат известным экспериментальным данным. Значения углов смешивания θ_ij для АН находим из соотношений sin²θ₁₂ ≈ 0.297, sin²θ₂₃ ≈ 0.425 и sin²θ₁₃ ≈ 0.0215 из работы [9]. В дальнейшем будем пользоваться пробным вариантом для масс стерильных нейтрино (3 + 1 + 2)-модели, в котором m₄ порядка 1, а m₅ и m₆ равны соответственно 1.5 × 10³ и 7.5 × 10³ в единицах эВ [32].

Амплитуды вероятности для распространения нейтринных флэйворов находим из решения известных уравнений (см., например, [11, 33]). Таким образом, получаются аналитические выражения для вероятностей перехода между различными флэйворами в пучках нейтрино/антинейтрино в вакууме как функции расстояния от источников нейтрино/антинейтрино [31]. Если $\tilde {U}$ ≡ U_mix – обобщенная 6 × 6-матрица смешивания в форме (1), и если использовать обозначения Δ_ki ≡ ${\Delta }m_{{ik}}^{2}$L/(4E), то, согласно работе [31], можно вычислить вероятности переходов от ν_α к ${{{\nu }}_{{{\alpha }{\kern 1pt} {\text{'}}}}},$ или от ${{{\bar {\nu }}}_{{\alpha }}}$ к ${{{\bar {\nu }}}_{{{\alpha }{\kern 1pt} {\text{'}}}}}$ по формуле:

где верхний знак (+) соответствует нейтринным переходам ${{{\nu }}_{{\alpha }}} \to {{{\nu }}_{{{\alpha }{\kern 1pt} {\text{'}}}}},$ а нижний знак (–) – антинейтринным переходам ${{{\bar {\nu }}}_{{\alpha }}} \to {{{\bar {\nu }}}_{{{\alpha }{\kern 1pt} {\text{'}}}}}.$ Заметим, что флэйворные индексы ${\alpha }$ и ${\alpha }{\kern 1pt} {\text{'}}$ (как и индексы суммирования по массивным состояниям i и k) применяются к АН и СН.

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОННЫХ НЕЙТРИНО С УЧЕТОМ ИХ СМЕШИВАНИЯ СО СН

Галлиевая аномалия может быть описана в рамках (3 + 1 + 2)-модели с выбранной параметризацией матрицы U_mix при определенном значении ε, которое достаточно выбрать меньше единицы в соответствии с экспериментальными данными для параметра ϰ = 1 – ε (см. (2)).

В рамках (3 + 1 + 2)-модели вероятность сохранения ν_e как функция расстояния L до источника нейтрино при различных значениях энергии нейтрино E показана на рис. 1 для матрицы смешивания (1), (2) и выбранного варианта масс при значениях параметров ε = 0.005 и η₂ = π/6. Присутствие в модели пятого нейтрино с массой порядка 1 кэВ приводит к быстрым осцилляциям функций от L с плавно осциллирующими огибающими, ограничивающими серую область на рис. 1. После усреднения по быстрым осцилляциям (сплошные кривые на рисунке), что приемлемо для сравнения с экспериментальными результатами, вклады СН имеют характер плавных осцилляций. Более того, эти осцилляции совпадают по фазе с осцилляциями, которые получаются по стандартной формуле (3 + 1)-модели для вероятности P(ν_e → ν_e), т.е., по формуле: P_3 + 1(ν_e → ν_e) = 1 – sin²(2θ_ee)sin²(1.27${\Delta }m_{{41}}^{2}$L/E), где L – расстояние до детектора в метрах, E – энергия нейтрино в МэВ, ${\Delta }m_{{41}}^{2}$ – разность квадратов масс нейтрино в эВ².

УТОЧНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ СЕЧЕНИЯ РЕАКЦИИ ЗАХВАТА ЭЛЕКТРОННОГО НЕЙТРИНО ЯДРАМИ ГАЛЛИЯ

Реакция захвата ν_e⁷¹Ga(ν_e, e)⁷¹Ge используется для определения числа атомов ⁷¹Ge, рожденных потоком нейтрино от искусственных источников, таких как ⁵¹Cr, ³⁷Ar и ⁶⁵Zn. В соответствии с новыми данными значение порога этой реакции равно Q = 232.443 ± 0.093 кэВ [37]. Отсюда получаем новые значения для log ft_1/2 электронного захвата ядрами ⁷¹Ge и для силы B(GT_g.s) перехода Гамова–Теллера в основное состояние ядра ⁷¹Ge:

Эти значения можно сравнить со значениями, полученными в работе [5], в которой использовался результат более ранних измерений Q = = 233.5 ± 1.2 кэВ [38]: lg ft_1/2 = 4.353 ± 0.005, B(GT_g.s) = 0.086 ± 0.001. Формула для сечения захвата ν_e для перехода на некоторый уровень конечного ядра имеет вид:

где $G_{\beta }^{{\text{2}}}$ = $G_{F}^{{\text{2}}}{{\left| {{{V}_{{ud}}}} \right|}^{{\text{2}}}},$ π_e и ε_e – импульс и энергия электрона в единицах m_e, F(Z_f, ε_e) – функция Ферми. Учитывая новые измерения порога реакции [37], проведенные нами вычисления сечения захвата нейтрино от радиоактивных источников ⁵¹Cr, ³⁷Ar и ⁶⁵Zn на ядрах ⁷¹Ga с переходом на основное состояние ядер ⁷¹Ge приводят к следующим значениям:

Описание спектров нейтрино от источников ⁵¹Cr, ³⁷Ar и ⁶⁵Zn дано, например, в [5, 39].

Важной проблемой является определение вкладов переходов на возбужденные состояния ядра ⁷¹Ge. Соответствующие силы таких переходов Гамова–Теллера получены с помощью данных по реакции перезарядки ⁷¹Ga(³He, t)⁷¹Ge в работе [40 ] . При расчете сечений надо учитывать вклады энергетически разрешенных возбужденных состояний ⁷¹Ge. Для источников ³⁷Ar, ⁵¹Cr такими разрешенными состояниями являются состояния со следующими энергиями возбуждения: E_x = 175 кэВ (5/2^–) и E_x = 500 кэВ (3/2^–). В случае ⁶⁵Zn к ним еще добавляются E_x = 708 кэВ (3/2^–), E_x = 808 кэВ (1/2^–), E_x = 1096 кэВ (3/2^–) [40 ] . Учитывая вклады таких переходов, получим следующие значения общего сечения для реакции с участием ν_e:

При расчете сечений (9)–(11) использовался метод вычисления функции Ферми, предложенный в [41 ] , и принимались во внимание поправки к функции F(Z_f, ε_e), отвечающие эффекту экранирования электронной оболочкой атома ⁷¹Ga, аналогично тому, как это было сделано в [42–44 ] .

ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ

В работе рассматривались некоторые возможности для усовершенствования интерпретации галлиевой аномалии. Было предложено использовать обобщенную (3 + 1 + 2)-модель нейтринного смешивания и уточненные значения сечения реакции захвата нейтрино ядрами галлия ⁷¹Ga при тех энергиях нейтрино, которые встречаются в процессах с участием искусственных источников ⁵¹Cr, ³⁷Ar и ⁶⁵Zn. Проведено численное исследование ν_e осцилляционных характеристик при тестовых значениях модельных параметров. Вычисления проводились для случая нормальной иерархии спектра масс АН при ненулевой дираковской CP-фазе для АН, равной –π/2. Представлены графические зависимости значений вероятности сохранения электронных нейтрино как функций расстояния до источника при тестовых значениях параметров (3 + 1 + 2)-модели. Как видно из рисунка, учет нескольких СН приводит к уменьшению максимальных значений вероятности сохранения электронных нейтрино по сравнению с (3 + 1)-моделью. Полученные результаты согласуются с имеющимися экспериментальными данными и могут быть использованы для интерпретации будущих экспериментов по проверке галлиевой аномалии, в том числе эксперимента на основе ядер ⁶⁵Zn [45 ] .