Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 9, стр. 1232-1235

Вклад зернограничных пор в высокотемпературный фон внутреннего трения в металлах с ультрамелким зерном

В. Г. Кульков *

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский университет “МЭИ”, филиал в г. Волжском
Волжский, Россия

* E-mail: vikulkov@yandex.ru

Поступила в редакцию 10.04.2020
После доработки 29.04.2020
Принята к публикации 27.05.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

На основе решения неоднородного уравнения диффузии вакансий в кольцевой области сопряжения зерен находится энергия активации фона внутреннего трения. Зависимость логарифма внутреннего трения от обратной температуры представляется графиком с двумя или тремя прямолинейными участками с различными углами наклона к координатным осям. Это свидетельствует о разной энергии активации фона при различных температурах.

Возрастание интереса исследователей к пористым материалам связано с тем, что они обладают рядом интересных физических свойств, таких как пониженная плотность, повышенные диффузионная проницаемость, пластичность, адсорбционная и каталитическая активность, звукопоглощение и другие [13]. Известно, что пористые материалы обладают повышенной величиной внутреннего трения. Это относится к объемным [4] и пленочным структурам [5]. В большинстве случаев поры имеют различную геометрическую форму – от длинной цилиндрической [6] до сферической и линзовидной [7], а также могут располагаться в области границ зерен [8, 9]. Целью предлагаемой работы является исследование механизма внутреннего трения в поликристаллическом материале, на границах зерен которого располагаются поры.

Будем считать сечения пор границей зерна окружностями, а сами поры одинакового размера, равномерно распределенными по площади границы. Рассмотрим одну из пор. Расчетную область примем кольцевой, как показано на рис. 1. Здесь внутренний круг – сечение поры радиуса $R - \Delta R,$ а кольцо – беспористый участок границы внешнего радиуса R, на котором соседние зерна сопрягаются. Если принять радиус пор за ${{R}_{0}} = R - \Delta R,$ то величину R найдем из условия равенства отношений площади беспористой части к полной площади для всей границы и для выбранной нами области: $\nu = {{\left( {1 - \Delta } \right)}^{2}},$ где $\Delta = {{\Delta R} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta R} R}} \right. \kern-0em} R}.$ Тогда $R = {{R}_{0}}\sqrt {1 - \Delta } .$ На границу действует переменное по времени нормальное напряжение. Кольцевая область сопряжения зерен является распределенным периодически действующим источником избыточных вакансий. На внутренней и внешней окружностях эти вакансии уходят в поры, поэтому избыточная концентрация вакансий на них обращается в ноль.

Рис. 1.

Сечение пор плоскостью границы. Поры выделены белым цветом.

Неоднородное уравнение диффузии вакансий для кольцевой области имеет вид:

(1)
$\frac{{\partial C\left( {r,t} \right)}}{{\partial t}} = D\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial C\left( {r,t} \right)}}{{\partial r}}} \right) + A\exp \left( {i\omega t} \right).$

Здесь $C\left( {r,t} \right)$ – избыточная по сравнению с равновесной концентрация вакансий в границе, D – зернограничный коэффициент диффузии вакансий, r – полярный радиус, A – плотность источника вакансий. Считаем, что источник вакансий однородно распределен по площади области, поэтому $A = {\text{const}}.$ Решение задачи удобно проводить с использованием безразмерной переменной $\rho = {r \mathord{\left/ {\vphantom {r R}} \right. \kern-0em} R}.$ Граничные условия имеют вид ${{\left. {C\left( {\rho ,t} \right)} \right|}_{{{\rho } = 1 - \Delta }}} = 0,$ ${{\left. {C\left( {\rho ,t} \right)} \right|}_{{{\rho } = 1}}} = 0.$ Решаем (1) методом Фурье. Для этого представляем координатную часть функции $C\left( {\rho ,t} \right)$ в виде ряда по функциям ${{u}_{n}}\left( \rho \right) = {{c}_{1}}{{J}_{0}}\left( \rho \right)$ + ${{c}_{2}}{{N}_{0}}\left( \rho \right),$ где ${{J}_{0}}\left( \rho \right)$ и ${{N}_{0}}\left( \rho \right)$ – функции Бесселя первого и второго рода. Коэффициенты c1 и c2 находятся с учетом граничных условий, что дает ${{u}_{n}}\left( \rho \right)$ = ${{N}_{0}}\left( {{{\lambda }_{n}}} \right){{J}_{0}}\left( {{{\lambda }_{n}}\rho } \right)$ – ‒ ${{J}_{0}}\left( {{{\lambda }_{n}}} \right){{N}_{0}}\left( {{{\lambda }_{n}}\rho } \right),$ где λk – корни уравнения ${{J}_{0}}\left( {\lambda \left( {1 - \Delta } \right)} \right){{N}_{0}}\left( \lambda \right)$${{J}_{0}}\left( \lambda \right){{N}_{0}}\left( {\lambda \left( {1 - \Delta } \right)} \right) = 0.$ Тогда

(2)
$\begin{gathered} C\left( {\rho ,t} \right) = \sum\limits_n {{{b}_{n}}{{u}_{n}}\left( \rho \right)\exp \left( {i\left( {\omega t - {{\varphi }_{n}}} \right)} \right)} , \\ A = \sum\limits_n {{{a}_{n}}{{u}_{n}}\left( \rho \right)} . \\ \end{gathered} $

Здесь an и bn – коэффициенты разложения, φn – фазы. Подставляя (2) в (1), находим:

(3)
$C\left( {\rho ,t} \right) = \sum\limits_n {\frac{{{{a}_{n}}}}{\omega }\frac{Z}{{\sqrt {{{Z}^{2}} + \lambda _{n}^{4}} }}{{u}_{n}}\left( \rho \right)\exp \left( {i\left( {\omega t - {{\varphi }_{n}}} \right)} \right)} .$

Здесь $Z = {{\omega {{R}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega {{R}^{2}}} D}} \right. \kern-0em} D},$ ${\text{tg}}{{\varphi }_{n}} = {Z \mathord{\left/ {\vphantom {Z {\lambda _{n}^{2}}}} \right. \kern-0em} {\lambda _{n}^{2}}},$ ω – частота приложенного напряжения. Выражение для коэффициентов разложения Титчмарша ${{a}_{n}}$ имеет вид [10]

(4)
$\begin{gathered} {{a}_{n}} = \frac{{{{\pi }^{2}}A\lambda _{n}^{2}}}{2}{{\left[ {J_{0}^{2}\left( {{{\lambda }_{n}}\left( {1 - \Delta } \right)} \right) - J_{0}^{2}\left( {{{\lambda }_{n}}} \right)} \right]}^{{ - 1}}} \times \\ \times \,\,J_{0}^{2}\left( {{{\lambda }_{n}}\left( {1 - \Delta } \right)} \right)\int\limits_{1 - \Delta }^1 {{{u}_{n}}\left( \rho \right)\rho d\rho } . \\ \end{gathered} $

Скорость взаимного нормального смещения зерен $\upsilon \left( t \right)$ определяется количеством уходящего вещества из кольцевой области границы.

(5)
$\upsilon \left( t \right) = \frac{{j\left( t \right)}}{{\pi {{R}^{2}}\left( {1 - {{{\left( {1 - \Delta } \right)}}^{2}}} \right)}},$
где $j\left( t \right)$ = $ - 2\pi \delta D({{\left. {{{\partial C\left( {\rho ,t} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial C\left( {\rho ,t} \right)} {\partial \rho }}} \right. \kern-0em} {\partial \rho }}} \right|}_{{{\rho } = 1}}}$ – (1 – Δ) ×  × ${{\left. {{{\partial C\left( {\rho ,t} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial C\left( {\rho ,t} \right)} {\partial \rho }}} \right. \kern-0em} {\partial \rho }}} \right|}_{{{\rho } = 1 - \Delta }}})$ – полный поток вакансий через обе границы области, δ – диффузионная ширина границы. После вычисления с учетом (3) получаем

(6)
$\begin{gathered} \upsilon \left( t \right) = \frac{{2D\delta }}{{\omega {{R}^{2}}\left( {1 - {{{\left( {1 - \Delta } \right)}}^{2}}} \right)}} \times \\ \times \,\,\sum\limits_n {\frac{{{{a}_{n}}{{I}_{n}}\lambda _{n}^{2}Z}}{{\sqrt {{{Z}^{2}} + \lambda _{n}^{4}} }}\exp \left( {i\left( {\omega t - {{\varphi }_{n}}} \right)} \right)} . \\ \end{gathered} $

Здесь введено обозначение

$\begin{gathered} {{I}_{n}} = \int\limits_{1 - \Delta }^1 {{{u}_{n}}\left( \rho \right)\rho d\rho } = \\ = \frac{1}{{{{\lambda }_{n}}}}\left[ {{{N}_{0}}\left( {{{\lambda }_{n}}} \right)\left( {{{J}_{1}}\left( {{{\lambda }_{n}}} \right) - \left( {1 - \Delta } \right){{J}_{1}}\left( {{{\lambda }_{n}}\left( {1 - \Delta } \right)} \right)} \right)} \right. - \\ \left. { - \,\,{{J}_{0}}\left( {{{\lambda }_{n}}} \right)\left( {{{N}_{1}}\left( {{{\lambda }_{n}}} \right) - \left( {1 - \Delta } \right){{N}_{1}}\left( {{{\lambda }_{n}}\left( {1 - \Delta } \right)} \right)} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Получение адекватного решения задачи требует необходимость учета так называемого эффекта подстройки напряжений [11, 12]. Он заключается в следующем. Диффузионный поток вещества из кольцевой области приводит к неравномерному распределению в ней вакансий. Зоны вблизи границ кольца релаксируют быстрее. Более удаленные зоны воспринимают напряжения в большей степени. Происходит перераспределение напряжений в кольце с условием равенства внешней приложенной силы интегралу от распределенного напряжения. Взаимосвязь между локальным нормальным напряжением и концентрацией избыточных вакансий имеет вид

(7)
$\sigma \left( {\rho ,t} \right) = \frac{{C\left( {\rho ,t} \right)kT}}{{{{C}_{0}}\Omega }}.$

Здесь Ω – атомный объем, C0 – равновесная концентрация вакансий в границе. Описанный эффект можно записать в виде равенства $\frac{{2\pi kT{{R}^{2}}}}{{{{C}_{0}}\Omega }}$$\left| {\int_{1 - \Delta }^1 {C\left( {\rho ,t} \right)\rho d\rho } } \right|$ = $\pi {{\sigma }_{0}}{{R}^{2}}\left( {1 - {{{\left( {1 - \Delta } \right)}}^{2}}} \right).$ Здесь σ0 – амплитуда приложенного напряжения. Из последнего выражения с учетом (3) и (4) получаем

(8)
$\begin{gathered} A = \frac{{2{{C}_{0}}\Omega \omega {{\sigma }_{0}}\left( {1 - {{{\left( {1 - \Delta } \right)}}^{2}}} \right)}}{{\pi kT}}{{\left( {S_{1}^{2} + S_{2}^{2}} \right)}^{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}, \\ {{S}_{1}} = \sum\limits_n {\frac{{\lambda _{n}^{4}I_{n}^{2}Z}}{{\left( {1 - {{G}_{n}}} \right)\left( {{{Z}^{2}} + \lambda _{n}^{4}} \right)}}} , \\ {{S}_{2}} = \sum\limits_n {\frac{{\lambda _{n}^{2}I_{n}^{2}{{Z}^{2}}}}{{\left( {1 - {{G}_{n}}} \right)\left( {{{Z}^{2}} + \lambda _{n}^{4}} \right)}}} ,\,\,\,{{G}_{n}} = \frac{{J_{0}^{2}\left( {{{\lambda }_{n}}} \right)}}{{J_{0}^{2}\left( {{{\lambda }_{n}}\left( {1 - \Delta } \right)} \right)}}. \\ \end{gathered} $

Величина внутреннего трения может быть найдена из выражения

(9)
${{Q}^{{ - 1}}} = {{\Delta W} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta W} {2\pi W}}} \right. \kern-0em} {2\pi W}},$

где в числителе стоит величина рассеянной за период энергии, а в знаменателе – максимальная запасенная упругая энергия.

(10)

Здесь Re – действительная часть комплексной величины, V – объем зерна, E – модуль Юнга, β – безразмерный коэффициент, учитывающий количество кольцевых областей в границе и ее ориентацию по отношению к приложенным напряжениям. Воспользовавшись (3), (4), (6)–(10), выражение для внутреннего трения можно записать в виде:

(11)
$\begin{gathered} {{Q}^{{ - 1}}} = \frac{{4{{\pi }^{3}}\beta \delta {{C}_{0}}\Omega E\left( {1 - {{{\left( {1 - \Delta } \right)}}^{2}}} \right)}}{{VkT}}\frac{1}{Z}\frac{{\left( {{{S}_{3}}{{S}_{1}} + {{S}_{4}}{{S}_{2}}} \right)}}{{S_{1}^{2} + S_{2}^{2}}}, \\ {{S}_{3}} = \sum\limits_n {\frac{{\lambda _{n}^{6}I_{n}^{2}Z}}{{\left( {1 - {{G}_{n}}} \right)\left( {{{Z}^{2}} + \lambda _{n}^{4}} \right)}}} , \\ {{S}_{4}} = \sum\limits_n {\frac{{\lambda _{n}^{4}I_{n}^{2}{{Z}^{2}}}}{{\left( {1 - {{G}_{n}}} \right)\left( {{{Z}^{2}} + \lambda _{n}^{4}} \right)}}} . \\ \end{gathered} $

Здесь β – геометрический коэффициент.

На рис. 2 изображен график зависимости lnF(Z) от $\ln Z,$ где $F\left( Z \right)$ = $\frac{1}{Z}\frac{{\left( {{{S}_{3}}{{S}_{1}} + {{S}_{4}}{{S}_{2}}} \right)}}{{S_{1}^{2} + S_{2}^{2}}}$ – зависящая от Z часть формулы (11). При расчете было принято $\Delta = 0.5.$ Выражение для граничного коэффициента диффузии вакансий имеет вид D = = ${{D}_{0}}\exp \left( {{{ - {{U}_{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{U}_{m}}} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}}} \right),$ где Um – энергия активации миграции вакансий. Учитывая выражения для Q–1 и Z, можно считать, что с точностью до постоянного слагаемого по осям на рис. 2 откладываются величины ${{Q}^{{ - 1}}} \cdot T$ и обратная температура. График содержит два прямолинейных участка с тангенсами углов наклона, равными –1 и –0.6. Это означает, что эффективная энергия активации фона внутреннего трения равна $0.6{{U}_{m}}$ в области низких температур и высоких частот, либо ${{U}_{m}}$ в области высоких температур и низких частот. Такой вид зависимости можно понять из сравнения диффузионной длины вакансий, рождаемых в кольцевой зоне, за время полупериода колебаний с ее шириной ΔR. В интервале низких температур $\sqrt {{D \mathord{\left/ {\vphantom {D \omega }} \right. \kern-0em} \omega }} < \Delta R < R,$ что равносильно $Z < \zeta ,$ где ζ – величина порядка единицы. В этом случае вакансии в центральной области кольца не успевают достичь границы и тем самым не обеспечивают взаимного смещения зерен. В высокотемпературном интервале вакансии из любой точки области стекают в сток, вызывая смещение зерен и проявляя релаксационный процесс в полной мере. Согласно рис. 2 смена режима происходит при значении $\ln {{Z}_{0}},$ примерно равном 4.6, что определяется точкой пересечения двух касательных к линии графика. Отсюда можно оценить размер пор и беспористой области границы ${{\omega {{R}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega {{R}^{2}}} D}} \right. \kern-0em} D} \approx 100,$ откуда $R = 2\Delta R$$10\sqrt {{D \mathord{\left/ {\vphantom {D \omega }} \right. \kern-0em} \omega }} .$ Такое поведение температурной зависимости фона внутреннего трения наблюдается также в аморфных и кристаллических телах, где истоками и стоками вакансий являются протяженные структурные дефекты [1314]. Разница в том, что в них диффузия имеет трехмерный характер, тогда как в границах зерен она двумерна. В выражении (11) равновесная зернограничная концентрация вакансий C0 считается постоянной и не зависит от температуры. Это справедливо для так называемых равновесных границ, поскольку концентрация тепловых вакансий в них обычно гораздо меньше, чем концентрация структурных вакансий, связанных с избыточным объемом межзеренных границ. Лишь при температурах, близких к точке плавления тепловых вакансий в границе может стать больше, чем структурных. При этом на графике зависимости ${{Q}^{{ - 1}}}T$ от обратной температуры возможно появление дополнительного излома. Его положение может быть также связано с исходным неравновесным строением границ. Принято считать [15, 16], что неравновесные границы имеют повышенный свободный объем. В таком случае положение излома будет зависеть от его величины. При температурах, выше точки этого излома энергия активации внутреннего трения включает как энергию миграции вакансий, так и энергию их образования ${{U}_{f}} + {{U}_{m}},$ что совпадает с энергией самодиффузии атомов в границе. При этом наклон графика возрастает. Согласно (11) величина внутреннего трения зависит от отношения смещения зерен в нормальном к границе направлении и размера зерен. Поэтому описанный механизм лучше проявляется в поликристаллических металлах с ультрамелким или наномасштабным размером зерна. Ряд технологий получения таких материалов неизбежно связан с наличием в них пористости [17].

Рис. 2.

Зависимость $\ln F\left( Z \right)$ от $\ln Z$ (толстая линия). Тонкими линиями показаны касательные к графику в низко- и высокотемпературных областях. Ширина кольца $\Delta = 0.5.$

Распределение локальных напряжений в зависимости от радиальной координаты можно получить, воспользовавшись выражениями (3), (7) и (8):

(12)
$\begin{gathered} \operatorname{Re} \sigma \left( {\rho ,t} \right) = \frac{{\pi {{\sigma }_{0}}\left( {1 - {{{\left( {1 - \Delta } \right)}}^{2}}} \right)}}{{\sqrt {S_{1}^{2} + S_{2}^{2}} }} \times \\ \times \,\,\left[ {\sum\limits_n {\frac{{{{u}_{n}}\left( \rho \right)\lambda _{n}^{2}{{I}_{n}}Z}}{{\left( {1 - {{G}_{n}}} \right)\left( {{{Z}^{2}} + \lambda _{n}^{4}} \right)}}\left( {\lambda _{n}^{2}\cos \omega t + Z\sin \omega t} \right)} } \right]. \\ \end{gathered} $

Это распределение показано на рис. 3 для различных значений фазы колебаний ωt. Значение величины $Z = 6.9$ выбрано на низкотемпературном участке графика, представленного на рис. 2. Из рис. 3 видно, что диффузионные зоны вакансий примыкают к границам кольца, средняя часть почти не участвует в процессе. Концентрация вакансий в ней определяется только их генерацией и поглощением и остается почти независимой от координаты. Расчеты по формуле (12) показывают, что повышение температуры приводит к смещению границ диффузионной зоны к центру кольца. При высоких температурах график зависимости напряжения от радиальной координаты показывает, что в процесс вовлекаются все области кольца.

Рис. 3.

Распределение напряжения по ширине кольцевой области в единицах 2πσ0. Ширина кольца $\Delta = 0.5.$ Параметр $\ln Z = 6.9.$ Значения фаз: 1 – ωt = = 2πn; 2 – ωt = π/8 + 2πn; 3 – ωt = π/2 + 2πn; 4 – ωt = = 5π/8 + 2πn; 5 – ωt = 3π/2 + 2πn, n – целое.

Подобные изломы на зависимости логарифма высокотемпературного фона внутреннего трения от обратной температуры наблюдаются и в других системах, где межзеренные или межфазные границы имеют геометрические неоднородности, связанные с их дефектным строением или огранкой второй фазы [1820].

В заключении отметим, что в настоящей работе рассмотрен один из возможных механизмов фона внутреннего трения, обусловленный вкладом пористых границ зерен. Зависимость логарифма внутреннего трения от обратной температуры имеет прямолинейные участки и содержит один или два излома, положение которых определяется соотношением между диффузионными характеристиками вакансий и геометрическими размерами пористой системы. Этим участкам соответствуют разные энергии активации процесса: граничной самодиффузии, полная энергия активации миграции вакансий или ее часть.

Список литературы

  1. Liu P.S., Chen G.F. Porous materials: processing and applications. Butterworth-Heinemann, 2014. 576 p.

  2. Qin J., Chen Q., Yang C., Huang Y. // J. Alloys Compounds. 2016. V. 654. P. 39.

  3. Otaru A.J. // Appl. Acoust. 2019. V. 143. P. 183.

  4. Li Q., Jiang G., Dong J. et al. // J. Alloys Compounds. 2016. V. 680. P. 522.

  5. Du G., Tan Z., Li Z. et al. // Curr. Appl. Phys. 2018. V. 18. №. 11. P. 1388.

  6. Ota K., Ohashi K., Nakajima H. // Mater. Sci. Engin. A. 2003. V. 341. № 1–2. P. 139.

  7. Hartland P., Crocker A.G., Tucker M.O. // J. Nucl. Mater. 1988. V. 152. № 2–3. P. 310.

  8. Bobrowski P., Faryna M., Pędzich Z. // Mater. Res. Bull. 2014. V. 57. P. 203.

  9. Wynblatt P., Chatain D. // Acta Mater. 2013. V. 61. № 12. P. 4572.

  10. Коренев Б.Г. Введение в теорию Бесселевых функций. М.: Наука, 1971, 288 с.

  11. Кульков В.Г. // ЖТФ. 2007. Т. 77. № 3. С. 43; Kul’kov V.G. // Tech. Phys. 2007. V. 52. № 3. P. 333.

  12. Кульков В.Г. // Поверхн. Рент., синхротр. нейтр. иссл. 2005. № 11. С. 108.

  13. Золотухин И.В., Калинин Ю.Е. // ФТТ. 1995. Т. 37. № 2. С. 536.

  14. Калинин Ю.Е., Даринский Б.М. // МиТОМ. 2012. № 5. С. 15; Kalinin, Y.E., Darinskii B.M. // Met. Sci. Heat. Treat. 2012. V. 54. № 5–6. P. 221.

  15. Чувильдеев В.Н. Неравновесные границы зерен в металлах. Теория и приложения. М.: Физматлит, 2004. 304 с.

  16. Pumphrey P.H., Gleiter H. // Phil. Mag. 1975. V. 32. № 4. P. 881.

  17. Мулюков Р.Р., Имаев Р.М., Назаров А.А. и др. Сверхпластичность ультрамелкозернистых сплавов: Эксперимент, теория, технологии М.: Наука, 2014. 284 с.

  18. Кульков В.Г., Цирульников П.П., Сыщиков А.А. // ФПСМ. 2018. Т. 15. № 3. С. 397; Kul’kov V.G., Tsirul’nikov P.P., Syshchikov A.A. // BPMS. 2018. V. 15. № 3. P. 397.

  19. Кульков В.Г., Васильева Ю.В. // Персп. мат. 2009. № 7. С. 171.

  20. Дешевых В.В., Кульков В.Г., Коротков Л.Н, Тарасов Д.П. // Комп. наностр. 2012. № 2. С. 24.

Дополнительные материалы отсутствуют.