Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 12, стр. 1720-1726

ВВЕДЕНИЕ

Важным фактором, влияющим на особенности распространения волн в периодических структурах (ПС), является наличие или отсутствие консервативности системы. В последнее время в центре внимания исследователей находятся активные искусственные ПС, т.е. такие структуры, в которых консервативность нарушена. Изготовить подобную структуру возможно путем допирования основного материала какими-либо активными элементами, например ионами редкоземельных металлов. Такой подход используется, например, при создании структур с симметрией четность-время, так называемых PT- (parity-time) симметричных ПС. Дополнительный профиль усиления/поглощения, возникающий за счет чередования слоев из усиливающих и поглощающих материалов, обуславливает необычные асимметричные свойства оптических сред с PT-симметрией. Применение PT-симметричных ПС открывает новые возможности в управлении, усилении и генерации оптического излучения, поэтому исследования по данной теме весьма актуальны.

В отличие от непериодических структур, распространение излучения в линейных ПС приводит к возникновению запрещенной полосы частот, что в свою очередь порождает обратные волны. Несмотря на энергетические потери в ПС за счет поглощения, возможно компенсировать их и даже использовать для создания новых оптических устройств.

Инициированные в работе [1] в 1998 г. исследования PT-симметрии, оформились как чрезвычайно активная и плодотворная научная область, имеющая теоретическое, экспериментальное и коммерческое применение. В PT-симметричных оптических системах возможно достижение энергетического баланса поглощения и усиления, поскольку волна усиливается в некоторых областях системы и ослабляется в других [2].

Оптические системы в параксиальном приближении описываются системами уравнений типа Шредингера. Поэтому их можно рассматривать как PT-симметричные системы, считая диэлектрическую проницаемость аналогом комплексного потенциала, причем условие PT-симметрии имеет вид: $\varepsilon \left( r \right) = \,\,~\varepsilon ~*( - r)$ [2–4].

Последнее условие означает, что для вещественной и мнимой частей проницаемости верно Re[ε(–r)] = Re[ε(r)], ${\text{Im}}[\varepsilon ( - r)] = - {\text{Im}}[\varepsilon (r)]{\text{,}}$ тем самым, в среде присутствуют и поглощение, и усиление.

PT-симметричные оптические системы интенсивно изучаются многими авторами (см., например, обзор [2], а также [5–7]. Даже в линейном случае оптическая PT-симметричная структура обладает необычными свойствами в окрестности запрещенной полосы частот. К интересным эффектам можно отнести наблюдаемое в [8, 9] полное поглощение отраженного излучения. В системе с нарушенной PT-симметрией при достаточно сильном поглощении и усилении возможна генерация светового излучения. Это явление легло в основу конструкции PT-симметричного лазера [10, 11].

При увеличении интенсивности падающего излучения необходимо учитывать нелинейные эффекты. Как правило, исследуются PT-системы с керровской нелинейностью [12, 13]. Среди описанных нелинейных эффектов следует отметить генерацию оптических солитонов [14] и возможность оптической бистабильности в активных средах [15, 16].

Рассмотрение сред с квадратичной нелинейностью представляет безусловный интерес для исследователей в связи с более низким порогом по интенсивности проявления нелинейных явлений.

Периодические структуры с квадратичной нелинейностью интенсивно исследуются последние 20 лет. Отметим, что даже в пассивной структуре (где нет поглощения/усиления) картина протекания нелинейных волновых взаимодействий гораздо сложнее, нежели в среде с кубичной нелинейностью. Это обусловлено тем, что любой процесс в периодической среде с квадратичной нелинейностью представляет из себя конкуренцию между традиционным параметрическим взаимодействием волн с различными частотами и взаимодействием прямой и обратной волн одной частоты [17].

Такие процессы, как генерация второй гармоники, невырожденное трехчастотное взаимодействие, а также генерация субгармоники протекают при конкуренции между традиционным параметрическим взаимодействием волн с различными частотами и взаимодействием прямой и обратной волн.

В настоящей работе с помощью численного моделирования анализируется процесс распространения оптического излучения в среде с квадратичной нелинейностью и симметрией четность-время. Исследование проводится на основе оригинальной модели, учитывающей дифракцию. Более простые системы уравнений без учета дифракции и в пассивной среде изучались в работах [18, 19].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим генерацию второй гармоники (ГВГ) фемтосекундным лазерным излучением в планарной периодической диэлектрической структуре, описываемой следующей зависимостью диалектрической проницаемости [20]

от координаты распространения z. В выражении (1) d-период брэгговской структуры, первое слагаемое ε₀ описывает среднее значение диэлектрической проницаемости, а амплитуды остальных слагаемых малы, $\Delta {{\varepsilon }_{R}},\Delta {{\varepsilon }_{{{{R}_{2}}}}}$ и $\Delta {{\varepsilon }_{I}},\Delta {{\varepsilon }_{{{{I}_{2}}}}}$ – амплитуды изменения вещественной и мнимой частей диэлектрической проницаемости соответственно для излучения на основной и удвоенной частотах.

Распространение оптического излучения в такой структуре в предположении когерентности излучения, усреднения по координате y и в пренебрежении дисперсией может быть описано с помощью волнового уравнения [21]

где $E(z,x,t)$ – напряженность электрического поля, $P\left( {z,x,t} \right)$ – нелинейная поляризация. Методом связанных волн для медленно изменяющихся амплитуд прямых ${{E}_{{1,2 + }}}$ и обратных ${{E}_{{1,2 - }}}$ волн обеих гармоник из волнового уравнения (2) можно получить следующую систему связанных дифференциальных уравнений

Отметим, что аналогичная система была получена в работах [18, 19] в пассивной среде и без учета дифракции по переменной x. В работе [20] были получены аналогичные уравнения без учета генерации второй гармоники и дифракции.

В уравнениях (3) $\delta = {{({{k}_{1}} - \alpha )} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{k}_{1}} - \alpha )} {{{l}_{{nl}}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{{nl}}}}},$ ${{\delta }_{2}} = {{({{k}_{2}} - 2\alpha )} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{k}_{2}} - 2\alpha )} {{{l}_{{nl}}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{{nl}}}}}$ – отстройки от брэгговского резонанса на основной и удвоенной частотах, ${{\Delta }}k = {{k}_{2}} - 2{{k}_{1}}$ – расстройка фазовых скоростей, ${{k}_{{1,2}}}$ – волновые числа на основной и удвоенной частотах, $\alpha = \frac{\pi }{d},$ z – переменная, вдоль которой распространяется излучение, измеряется в единицах нелинейной длины ${{l}_{{nl}}} = {{\left( {{{\gamma }_{1}}\sqrt {{{I}_{1}}} } \right)}^{{ - 1}}}$$\left( {z \to z{{l}_{{nl}}}} \right),$ x – поперечная переменная, измеряется в единицах поперечной ширины пучка ${{a}_{x}}(x \to {x \mathord{\left/ {\vphantom {x {{{a}_{x}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{x}}}}),$ $\tau = \frac{t}{\eta }{{l}_{{nl}}}$ – безразмерное время, связанное с физическим временем t соотношением, $\eta = \frac{{{{\varepsilon }_{0}}{{\omega }_{0}}}}{{{{c}^{2}}{{k}_{1}}}} = \frac{{\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}} }}{c},$ с учетом $k_{1}^{2} = \frac{{{{\varepsilon }_{0}}}}{{{{c}^{2}}}}\omega _{0}^{2},$ ${{\omega }_{0}}$ – частота брэгговского резонанса. $\kappa = \frac{{\omega _{0}^{2}}}{{{{c}^{2}}{{k}_{1}}}}\frac{{{{\Delta }}{{\varepsilon }_{R}}}}{4}\frac{1}{{{{l}_{{nl}}}}}$ = = $\frac{{{{\omega }_{0}}}}{{c\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}\left( {{{\omega }_{0}}} \right)} }}\frac{{{{\Delta }}{{\varepsilon }_{R}}}}{4}\frac{1}{{{{l}_{{nl}}}}},$ ${{\kappa }_{2}} = \frac{{4\omega _{0}^{2}}}{{{{c}^{2}}{{k}_{2}}}}\frac{{{{\Delta }}{{\varepsilon }_{{R2}}}}}{4}\frac{1}{{{{l}_{{nl}}}}}$ = $\frac{{2{{\omega }_{0}}}}{{c\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}\left( {2{{\omega }_{0}}} \right)} }}\frac{{{{\Delta }}{{\varepsilon }_{{R2}}}}}{4}\frac{1}{{{{l}_{{nl}}}}}$ –  параметры брэгговской связи. $g = \frac{{\omega _{0}^{2}}}{{{{c}^{2}}{{k}_{1}}}}\frac{{{{\Delta }}{{\varepsilon }_{I}}}}{4}\frac{1}{{{{l}_{{nl}}}}}$ = $\frac{{{{\omega }_{0}}}}{{c\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}} }}\frac{{{{\Delta }}{{\varepsilon }_{I}}}}{4}\frac{1}{{{{l}_{{nl}}}}},$ ${{g}_{2}} = \frac{{4\omega _{0}^{2}}}{{{{c}^{2}}{{k}_{2}}}}\frac{{{{\Delta }}{{\varepsilon }_{{I2}}}}}{4}\frac{1}{{{{l}_{{nl}}}}}$ = $\frac{{2{{\omega }_{0}}}}{{c\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}(2{{\omega }_{0}})} }}\frac{{{{\Delta }}{{\varepsilon }_{{I2}}}}}{4}\frac{1}{{{{l}_{{nl}}}}}$ – параметры несимметричной связи между встречными волнами. ${{\gamma }_{1}} = \frac{{4\pi }}{{{{c}^{2}}{{k}_{1}}}}\omega _{0}^{2}{{\chi }^{{(2)}}}$$( - {{\omega }_{0}},2{{\omega }_{0}}),$ ${{\gamma }_{2}} = \frac{{8\pi }}{{{{c}^{2}}{{k}_{2}}}}$$\omega _{0}^{2}{{\chi }^{{(2)}}}({{\omega }_{0}},{{\omega }_{0}})$ – коэффициенты квадратичной нелинейности, где ${{\chi }^{{(2)}}}$ – нелинейная восприимчивость среды, $\sigma = {{{{\gamma }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\gamma }_{2}}} {{{\gamma }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\gamma }_{1}}}}$ – их отношение; ${{D}_{{x,1}}} = {{\left( {2{{k}_{1}}{{l}_{{nl}}}a_{x}^{2}} \right)}^{{ - 1}}},$ ${{D}_{{x,2}}} = {{\left( {2{{k}_{2}}{{l}_{{nl}}}a_{x}^{2}} \right)}^{{ - 1}}}$ – дифракционные параметры для волны на основной и удвоенной частоте, соответственно.

Мы предполагаем, что периодическая среда окружена однородной линейной средой с диэлектрической проницаемостью ${{\varepsilon }_{0}},$ в которой можно пренебречь расплыванием пучка за счет дифракции (рис. 1). Тем самым распространение лазерного излучения в такой среде (при $0 < x < {{L}_{x}}$ и $0 < z < {{L}_{{left}}},$ ${{L}_{{right}}} < z < {{L}_{z}}$) описывается уравнениями (3), в левой части которых оставлены только два первых слагаемых.

На границах рассматриваемых областей ставятся граничные условия

при $\tau = 0$ задается начальное условие

Рассмотрим падение на периодическую структуру излучения на основной частоте в виде пучка, имеющего солитонный профиль, при отсутствии излучения на частоте второй гармоники

Параметры ${{h}_{z}}$ и ${{h}_{x}}$ характеризуют ширину пучка в продольном и поперечном направлении, соответственно.

Уравнения (3)–(6) решаются численно с использованием консервативной нелинейной разностной схемы на характеристической сетке, реализуемой с помощью итерационного алгоритма.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Численные расчеты в настоящей работе проводились для следующих значений безразмерных параметров, которые соответствуют окрестности нижней границы брэгговской щели:

Для параметров (7) ранее [18] было продемонстрировано формирование брэгговских солитонов на основной частоте и частоте второй гармоники в пассивной 1D полубесконечной периодической среде, причем формирование солитонов происходило как для прямых волн, так и для отраженных волн.

Можно показать, что учет конечной ширины пучка в поперечном направлении (вдоль переменной x), а также активная среда оказывают существенное влияние на формирование и распространение брэгговских солитонов. Рисунки 2, 3 и 4 демонстрируют особенности формирования солитонов при учете конечной ширины пучка в поперечном направлении для пассивной среды ($g = 0,$ рис. 2) и двух активных сред, различающихся порядком поглощающих и генерирующих слоев: $g = 1$ (рис. 3) и $g = - 1$ (рис. 4).

Сравнение с результатами работы [18], показывает, что учет конечной ширины пучка в поперечном направлении качественно не изменяет характер, приводя преимущественно к трансформации исходного солитонного пучка к серповидной форме. Заметим, что серповидная форма пучка прямой волны на основной частоте отражается также в форме пучков остальных трех волн: отраженной волны на основной частоте и обеих волн на удвоенной частоте.

Наличие активных компонентов периодической структуры приводит к существенной трансформации картины формирующихся солитонов. Причем критически важным в этом случае является порядок чередования поглощающих и усиливающих слоев. В частности, при $g = 1$ (рис. 3) обратные волны не формируются. Действительно, в этом случае $\kappa - g = {{\kappa }_{2}} - {{g}_{2}} = 0,$ поэтому во втором и четвертом уравнениях отсутствует генерирующие слагаемые.

При ином чередовании активных и пассивных слоев, картина формирования солитонов существенно изменяется. Помимо отражения основной волны от передней границы периодической структуры наблюдается также отражение от задней границы (рис. 4а). В результате на основной частоте формируется обратная волна, состоящая из нескольких субпучков (рис. 4г), тогда как распространение остальных волны близко к солитоноподобному.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены особенности формирования брэгговских солитонов в пассивных и активных средах в условиях генерации второй гармоники при учете конечной ширины пучка в поперечном направлении. Установлено, что порядок чередования усиливающих и поглощающих слоев в активной периодической структуре оказывает существенное влияние на процесс формирования солитонов прямой и обратной волны на основной и удвоенной частотах. Показано, что изменением чередования генерирующих и поглощающих слоев можно добиться как усиления пропускания излучения через периодическую структуру, так и усиления отражения излучения от границ периодической структуры.

Исследование выполнено при поддержке Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского государственного университета “Фотонные и квантовые технологии. Цифровая медицина”.