Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 12, стр. 1706-1710
Распространение предельно коротких оптических импульсов в оптически анизотропной среде с примесными углеродными нанотрубками
Н. Н. Конобеева 1, *, М. Б. Белоненко 1
1 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образовани
“Волгоградский государственный университет”
Волгоград, Россия
* E-mail: yana_nn@volsu.ru
Поступила в редакцию 05.07.2021
После доработки 26.07.2021
Принята к публикации 27.08.2021
Аннотация
Исследовано распространение электромагнитных волн в нелинейной оптически анизотропной среде с углеродными нанотрубками, содержащими примеси, для описания которых выбрана четырехуровневая модель. Получено эффективное уравнение на векторный потенциал электромагнитного поля импульса с учетом второй компоненты поляризации. Выявлена зависимость компонент поля импульса от параметров задачи.
ВВЕДЕНИЕ
Важной задачей современной оптики является изучение распространения электромагнитных волн в различных нелинейных средах, поскольку вопросы, возникающие в данном контексте крайне важны при проектировании и разработке устройств опто- и нано-электроники [1]. Установление баланса между дисперсией и нелинейностью позволяет получать импульсы с фиксированной амплитудой и формой, что важно для практических приложений, например, при конструировании волноводов [2, 3].
Отметим, что получению импульсов с заданными характеристиками способствуют и свойства среды, в которой происходит их распространение. Например, хорошо известно, что среды, содержащие углеродные нанотрубки (УНТ) [4], оказывают стабилизирующее действие на импульс [5]. В проведенных ранее исследованиях учитывалась только одна поляризация света, когда вектор электрического поля был сонаправлен оси углеродных нанотрубок. В данной работе будут учтены не только оптически анизотропные свойства нелинейной среды, но и примеси, содержащиеся в углеродных нанотрубках, которые также могут оказать существенное влияние на распространение электромагнитных импульсов в изучаемых средах. Поскольку введение примесей изменяет структуру углеродных нанотрубок, а значит и их свойства.
Поэтому представляется актуальным изучить особенности эволюции электромагнитных импульсов в массиве полупроводниковых углеродных нанотрубок с учетом примеси, а также влияние параметров среды, в которой они распространяются.
МОДЕЛЬ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим диэлектрическую анизотропную среду, в которую помещены углеродные нанотрубки с примесью. Оси декартовой системы координат сонаправлены осям кристалла. Оси углеродных нанотрубок лежат в плоскости X0Y и образуют с осью 0X угол α. Направление электрического поля совпадает с осью 0X [6].
Будем считать, что примесь по объему массива УНТ распределена равномерно. То есть используем приближение, в котором расстояние между примесями во много раз меньше, чем характерная длина волны электрона в зоне проводимости. Для определенности рассмотрим четырехуровневую примесь.
Для определения спектра углеродных нанотрубок с учетом примеси мы используем длинноволновое приближение, в котором эффективный гамильтониан системы можно записать в виде [7]:
(1)
$\begin{gathered} H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&f \\ {f{\text{*}}}&0 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\nu }_{{1,1}}}}&{{{\nu }_{{1,2}}}} \\ {{{\nu }_{{2,1}}}}&{{{\nu }_{{2,2}}}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {{{\nu }_{{1,3}}}}&{{{\nu }_{{1,4}}}} \\ {{{\nu }_{{2,3}}}}&{{{\nu }_{{2,4}}}} \end{array}} \end{array}} \right) \times \\ \times \,\,{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\nu _{{1,1}}^{*}}&{\nu _{{2,1}}^{*}} \\ {\nu _{{1,2}}^{*}}&{\nu _{{2,2}}^{*}} \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\nu _{{1,3}}^{*}}&{\nu _{{3,2}}^{*}} \\ {\nu _{{1,4}}^{*}}&{\nu _{{4,2}}^{*}} \end{array}} \end{array}} \right)}^{{ - 1}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{W}_{1}}}&0 \\ 0&{{{W}_{2}}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 0&0 \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 0&0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {{{W}_{3}}}&0 \\ 0&{{{W}_{4}}} \end{array}} \end{array}} \right), \\ \end{gathered} $Находя собственные значения гамильтониана, получаем выражение для энергетического спектра электронов примесных углеродных нанотрубок [8]:
(2)
$\begin{gathered} {{\varepsilon }_{{imp}}}\left( {p,s} \right) = \frac{1}{2}\left( {R + Q + } \right. \\ \left. { + \,\,\sqrt {{{{\left( {R - Q} \right)}}^{2}} - 4\left( {D\left( {f + f{\text{*}}} \right) - \varepsilon {{{\left( {p,s} \right)}}^{2}} - {{D}^{2}}} \right)} } \right), \\ \end{gathered} $Вектор потенциал имеет вид: $\vec {A} = ({{A}_{x}}\left( {x,y,z,t} \right),$ ${{A}_{y}}\left( {x,y,z,t} \right),0),$ плотность электрического тока $\vec {j} = ({{j}_{x}}\left( {x,y,z,t} \right),$ ${{j}_{y}}\left( {x,y,z,t} \right),0).$
Используя переход к цилиндрической системе координат, а также учитывая калибровку: $\vec {E} = - {{c}^{{ - 1}}}{{\partial{ \vec {A}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial{ \vec {A}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$ запишем трехмерное волновое уравнение на две компоненты векторного потенциала:
(4)
$\begin{gathered} \frac{1}{{\nu _{o}^{2}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{x}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {{A}_{x}}}}{{\partial r}}} \right) + \frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{x}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + \frac{1}{{{{r}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{x}}}}{{\partial {{\phi }^{2}}}} + \\ + \,\,\frac{{4\pi }}{c}{{j}_{x}}\left( {{{A}_{x}},{{A}_{y}}} \right),\,\,\,\,\frac{1}{{\nu _{e}^{2}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{y}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {{A}_{y}}}}{{\partial r}}} \right) + \\ + \,\,\frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{y}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + \frac{1}{{{{r}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{y}}}}{{\partial {{\phi }^{2}}}} + \frac{{4\pi }}{c}{{j}_{y}}\left( {{{A}_{x}},{{A}_{y}}} \right), \\ {{\nu }_{o}} = {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {{{n}_{x}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{x}}}},\,\,\,\,{{\nu }_{e}} = {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {{{n}_{y}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{y}}}} \\ \end{gathered} $r, z, φ – координаты в цилиндрической системе, nx, ny – показатели преломления в направлении x и y соответственно, c – скорость света.
Запишем стандартное выражение для плотности тока вдоль оси УНТ [9]:
где e – заряд электрона, здесь и далее ħ = 1, интегрирование ведется по первой зоне Бриллюэна, p – компонента квазиимпульса электрона проводимости вдоль оси нанотрубки, $\nu \left( {p,s} \right)$ = = ${{\partial {{\varepsilon }_{{imp}}}\left( {p,s} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\varepsilon }_{{imp}}}\left( {p,s} \right)} {\partial p}}} \right. \kern-0em} {\partial p}}$ – скорость электронов, $F\left( {p,s} \right)$ – функция распределения Ферми.В работе [10] показано, что накопление заряда вследствие неоднородности поля для предельно коротких импульсов не дает существенного вклада. Поэтому цилиндрическая симметрия в распределении поля сохраняется и производную по углу можно не рассматривать. В этом случае получаем эффективное уравнение на компоненты векторного потенциала:
(6)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {{A}_{x}}}}{{\partial r}}} \right) + \frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{x}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} - \frac{1}{{\nu _{o}^{2}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{x}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{4e{{n}_{0}}{{\gamma }_{0}}a{\text{cos}}\alpha }}{c}\sum\limits_{q = 1}^\infty {{{b}_{q}}{\text{sin}}\left( {\frac{{aeq\left( {{{A}_{x}}{\text{cos}}\alpha + {{A}_{y}}{\text{sin}}\alpha } \right)}}{c}} \right)} = 0 \hfill \\ \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {{A}_{y}}}}{{\partial r}}} \right) + \frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{y}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} - \frac{1}{{\nu _{e}^{2}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{y}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{4e{{n}_{0}}{{\gamma }_{0}}a{\text{sin}}\alpha }}{c}\sum\limits_{q = 1}^\infty {{{b}_{q}}{\text{sin}}\left( {\frac{{aeq\left( {{{A}_{x}}{\text{cos}}\alpha + {{A}_{y}}{\text{sin}}\alpha } \right)}}{c}} \right)} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$n0 – концентрация электронов,
(7)
$\begin{gathered} {{b}_{q}} = \sum\limits_s {\frac{q}{{{{\gamma }_{0}}}}{{a}_{{sq}}}\int\limits_{1Bz} {dp{\kern 1pt} '{\text{cos}}\left( {p{\kern 1pt} 'q} \right)} } \times \\ \times \,\,\frac{{{\text{exp}}\left( { - {{{{\varepsilon }_{{imp}}}\left( {p{\kern 1pt} ',s} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{{imp}}}\left( {p{\kern 1pt} ',s} \right)} {{{k}_{B}}T}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{B}}T}}} \right)}}{{1 + {\text{exp}}\left( { - {{{{\varepsilon }_{{imp}}}\left( {p{\kern 1pt} ',s} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{{imp}}}\left( {p{\kern 1pt} ',s} \right)} {{{k}_{B}}T}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{B}}T}}} \right)}}, \\ \end{gathered} $kB – постоянная Больцмана, T – температура, asq – коэффициенты в разложении закона дисперсии электронов (2) в ряд Фурье:
(8)
${{\varepsilon }_{{imp}}}\left( {p{\kern 1pt} ',s} \right) = \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{q = 1}^\infty {{{a}_{{sq}}}{\text{cos}}\left( {p{\kern 1pt} 'q} \right)} ,$(9)
${{a}_{{sq}}} = \int\limits_{1Bz} {dp{\kern 1pt} '{\text{cos}}\left( {p{\kern 1pt} 'q} \right){{\varepsilon }_{{imp}}}\left( {p{\kern 1pt} ',s} \right)} .$Поскольку коэффициенты, определяемые уравнение (7), уменьшаются с ростом номера q, мы можем учесть только первые 10 слагаемых в уравнениях (6) [11].
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Система уравнений (6) после обезразмеривания была решена с использованием численных методов с начальными условиями вида:
(10)
$\begin{gathered} {{A}_{x}} = U{\text{exp}}\left( { - {{{\left( {\frac{z}{{l_{z}^{2}}}} \right)}}^{2}}} \right){\text{exp}}\left( { - \frac{{{{x}^{2}} + {{y}^{2}}}}{{\gamma _{p}^{2}}}} \right), \\ \frac{d}{{dt}}{{A}_{x}} = \frac{{2{{\nu }_{o}}U}}{{{{\gamma }_{p}}^{2}}}{\text{exp}}\left( { - {{{\left( {\frac{z}{{l_{z}^{2}}}} \right)}}^{2}}} \right){\text{exp}}\left( { - \frac{{{{x}^{2}} + {{y}^{2}}}}{{\gamma _{p}^{2}}}} \right), \\ {{A}_{y}} = 0,\,\,\,\,\frac{d}{{dt}}{{A}_{y}} = 0, \\ \end{gathered} $Продемонстрируем типичные графики эволюции электромагнитного поля при его распространении по образцу на рис. 1. Из рисунка видно, что наблюдается существенное поперечное расплывание импульса. Также можно отметить и продольную дисперсию для компоненты Ey. Несмотря на это, импульс локализуется в направлении распространения. Здесь существенно дисперсионное растекание импульса, связанное с тем, что в задаче учитываются обе компоненты поля (Ex и Ey).
На рис. 2 построены срезы вдоль оси z по максимуму. Из рисунка видно, что эволюция компонент поля Ex и Ey отличается кардинальным образом. Если для первой компоненты (Ex) наблюдается ее усиление с течением времени, то для второй (Ey) – затухание. Стоить отметить существенный рост второй компоненты поля по сравнению с начальным моментом времени. Также возбужденная составляющая импульса уширяется меньше. Это может быть связано с тем, что здесь с самого начала действуют нелинейные эффекты, которые компенсируют расплывание импульса.
Влияние угла наклона УНТ к оси кристалла ОХ продемонстрировано на рис. 3. На рис. 3б не показана кривая для α = 0 рад, поскольку ей в любой точке z соответствует нулевое значение, т.е. когда ось УНТ сонаправлена оси OX кристалла, компонента поля Ey отсутствует. Рисунок 3 демонстрирует, что увеличение угла наклона оси нанотрубок к оси OX по-разному влияет на компоненты электрического поля импульса, что можно связать с сильной зависимостью нелинейности от угла наклона.
Также не было исследовано влияние параметров примеси на распространение импульса. Результаты расчетов показали, что эффекты, связанные с оптически анизотропными свойствами среды, превосходят вклад от примеси в углеродных нанотрубках.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
С учетом оптической анизотропии кристалла, в который помещаются УНТ проведено моделирование эволюции предельно коротких оптических импульсов в примесных углеродных нанотрубках. Показано, что в оптически анизотропной среде с примесными углеродными нанотрубками импульс распространяется достаточно устойчиво, сохраняя свою локализацию. Существенная поперечная дисперсия связана с наличием второй компоненты вектора электрического поля, вносящей свой вклад. Угол наклона оси примесных УНТ к оси кристалла позволяет не только управлять продольной дисперсией, но и амплитудой предельно короткого оптического импульса.
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ и Совета по грантам Президента РФ (проект № MД-3173.2021.1.2).
Список литературы
Mihalache D. // Roman. Rep. Phys. 2021. V. 73. Art. No. 403.
Bendow B., Gianino P.D., Tzoar N., Jain M. // J. Opt. Soc. Am. 1980. V. 70. No. 5. P. 539.
Mollenauer L.F., Gordon J.P., Islam M.N. // IEEE J. Quant. Electron. 1986. V. QJ3-22. P. 157.
Iijima S. // Nature. 1991. V. 354. P. 56.
Konobeeva N.N., Fedorov E.G., Rosanov N.N. et al. // J. Appl. Phys. 2019. V. 126. Art. No. 203103.
Матвеев А.Н. Оптика. М.: Высшая школа, 1985. 351 с.
Cortijo A., Guinea F., Vozmediano M.A.H. // J. Phys. A. 2012. V. 45. Art. No. 383001.
Федоров Э.Г., Конобеева Н.Н., Белоненко М.Б. // Хим. физ. 2014. Т. 33. № 5. С. 96; Fedorov E.G., Konobeeva N.N., Belonenko M.B. // Russ. J. Phys. Chem. В. 2014. V. 8. No. 3. P. 409.
Елецкий А.В. // УФН. 1997. Т. 167. С. 945; Eletskii A.V. // Phys. Usp. 1997. V. 40. No. 9. P. 899.
Zhukov A.V., Bouffanais R., Fedorov E.G., Belonenko M.B. // J. Appl. Phys. 2013. V. 114. Art. No. 143106.
Belonenko M.B., Demushkina E.V., Lebedev N.G. // J. Russ. Las. Res. 2006. V. 27. P. 457.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Серия физическая