Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 12, стр. 1814-1820

Расслоения

Расслоенное пространство состоит из:

1) базы M (некоторое многообразие, в частности пространство–время);

2) пространства расслоения E;

3) проекции π: E → M, которая представляет сюръективное отображение;

4) стандартного, или, модельного слоя F, причем, π^–1(x) = F_x, x ∈ M;

5) структурной группы G.

Такую структуру, состоящую из перечисленных объектов 1–5, обозначим через (E, π, M, F, G). С математической точки зрения M, E, F представляют собой топологические пространства. Локально расслоенное пространство устроено очень просто, но глобально оно может иметь сложную структуру. Однако если расслоение имеет простую структуру и в глобальном смысле, то оно называется тривиальным и имеет вид E = M × F. При этом π(x, y) = x ∀x ∈ M и ∀y ∈ E. Например, если в качестве базы выбрать окружность, а в качестве стандартного слоя F – отрезок, то M × F представляет собой цилиндр. Множество π^–1(x) ⊂ E, которое является прообразом точки x ∈ M, называется слоем расслоения над точкой x. Слой расслоения изоморфен стандартному слою F. Кроме того, предполагается, что существует покрытие многообразия M (базы) открытыми множествами, т.е. существует семейство открытых множеств (карт) {U_i}_i∈I, где I – множество индексов. При этом для каждого U_i можно определить диффеоморфизм φ_i: π^–1(U_i) → U_i × F, удовлетворяющий условию $\pi \varphi _{i}^{{--{\text{1}}}}$(x, f) = x, где x ∈ U_i, f ∈ F. Поэтому имеется изоморфизм многообразий π^–1(U) $ \simeq $ U × × F, где U – открытая окрестность произвольной точки. Данный диффеоморфизм отражает факт локальной тривиальности расслоения. Пара (U_i, φ_i) называется локальной тривиализацией расслоения в окрестности точки x (x ∈ U_i, i ∈ I). Далее для любых локальных тривиализаций (U_i, φ_i), (U_j, φ_j) в окрестности точки x можно определить [8, 9] диффеоморфизмы

Диффеоморфизмы (1) порождают отображения непустых пересечений (U_i ∩ U_j) ≡ U_ij в группу диффеоморфизмов стандартного слоя F, т.е. g_ij: (U_i ∩ U_j) → dif f(F). Семейство отображений {g_ij}_i,j ∈ I называется функциями перехода расслоения (E, π, M, F, которые формируют структурную группу G = {g_ij}, действующую в F (группу автоморфизмов слоя).

Глобальное сечение расслоения E – это непрерывное отображение s: M → E, удовлетворяющее ∀x ∈ M условию π(s(x)) = x. Глобальное сечение не всегда можно определить, поэтому, как правило, определяют локальные сечения над открытыми подмножествами базы. Такие сечения при преобразовании локальных координат преобразовываются согласно правому действию функций перехода: s_j(x) = s_i(x)g_ij(x), где x ∈ U_i ∩ U_j.

Можно считать, что G действует на F точно и транзитивно (транзитивность означает, что имеется лишь одна орбита), поэтому все элементы слоя эквивалентны (тождественны). Однако в общем в различных точках базы эти множества тождественных элементов “ориентированы” по-разному. Физической причиной этого может быть, например, воздействие некоторого внешнего поля, которое не нарушает топологическую эквивалентность слоев в различных точках. Поэтому для их сравнения в ходе эволюции физической системы по некоторому пути в базе, необходимо ввести понятие связности. Отождествление слоев вдоль пути в расслоенном пространстве называется параллельным переносом (или, калибровочной связностью). Поэтому связность определяет изоморфизм между слоями данного расслоения над различными точками пути.

Фаза Берри

В контексте теории расслоений геометрические фазы возникают следующим образом. В качестве базы здесь служит пространство параметров, которое обозначим {X}. Над каждой точкой базы имеется собственное состояние зависящего от параметра гамильтониана, которое находится путем решения соответствующего нестационарного уравнения Шрёдингера. Собственное состояние при этом определено с точностью до комплексной фазы точкой единичной окружности $\exp (i\varphi (\vec {x},t)) \equiv \exp (i\varphi )$ и, следовательно, собственное состояние полностью характеризуется с помощью пары $(X,\exp (i\varphi )).$ Эти данные позволяют конструировать линейное расслоение, соответствующее главному расслоению со структурной группой G = U(1) и стандартным слоем F = U(1) (соответствующим множеству всевозможных фаз – точек окружности $ \equiv \exp (i\varphi ),$ соответствующей определенной точке базы). Поэтому сечение данного расслоения фиксирует определенную фазу собственного состояния. Изменению параметров в базе соответствует определенная кривая в базовом пространстве, которая порождает траекторию эволюции собственного состояния в расслоенном пространстве E. Эта траектория определяется с помощью связности расслоения. В данном случае связность имеет следующий смысл. В квантовой механике топологическая (или геометрическая) фаза, возникающая в результате адиабатического изменения параметров, может быть представлена в форме

где ${{\nabla }_{{{\lambda }}}}$ – оператор дифференцирования по многомерному вещественному параметру λ, λ = λ(t), t – время, ${{A}_{n}} = {{A}_{n}}(\lambda ) = i\left\langle {n(\lambda )\left| {{{\nabla }_{{{\lambda }}}}} \right|n(\lambda )} \right\rangle $ играет роль калибровочного потенциала, |n(λ)〉 – собственное состояние [10]. Поскольку группа Ли U(1) является однопараметрической, а генератором t ее алгебры Ли является мнимая единица (т.е. t = i), то для калибровочного потенциала A имеем A = = A_n(λ)dλt. Для группы голономии $\exp \left( {i\oint_C A } \right)$ получаем фазу $\oint_C A $ = $i\oint_C {{{A}_{n}}(\lambda ){\text{d}}\lambda } = i\gamma .$ Эта фаза и есть так называемая фаза Берри.

Коцепи и когомологии

Как известно, 0- и 1-коцепями соответственно называются отображения ν: Σ₀(K) → G и u: Σ₁(K) → → G, где G – некоторая группа; обозначим совокупности 0- и 1-коцепей соответственно, как C⁰(K, G) и C¹(K, G). 1-коцепь называется 1-коциклом z, если выполнено так называемое тождество 1-коцикла

где c ∈ Σ₂(K), а ∂_ic ∈ Σ₁(K) – сингулярные 1-симплексы, являющиеся границами 2-симплекса c (“треугольник” в качестве своих границ имеет три “отрезка”). Здесь z(∂₀c) z(∂₂c) ≡ z(p) где p – путь, составленный с помощью композиции ∗ из двух 1-симплексов p = ∂₀c ∗ ∂₂c (аналогично составляются и более “длинные” пути, состоящие из большего числа сингулярных 1-симплексов). Если C⁰(K, G) $ \ni $ ν – 0-коцепь, то ее кограница d: C⁰(K, G) → C¹(K, G) представляет собой 1-коцепь u ∈ C¹(K, G): dν(a) ≡ u(b) = ν(∂₀b)ν(∂₁b)^–1, a ∈ K. Заметим, что функции перехода g_ij также удовлетворяют соотношению 1-коцикла: g_ij(x)g_jk(x) = g_ik(x), x ∈ U_ijk. В дальнейшем при обсуждении топологических секторов нам понадобится понятие зависящих от пути 1-коциклов, связанных с нетривиальной топологией в базе расслоения. Описание этих коциклов требует рассмотрения неабелевых когомологий, которые в отличие от абелевых, еще не до конца изучены. Однако несколько первых (1-, 2-, 3-) неабелевых когомологий для частично упорядоченных множеств описаны в упомянутой работе [11], которые используют для этого формализм n-категорий, где учитываются также и морфизмы между морфизмами. Нам здесь с этой целью понадобится понятие 2-группы (которая обозначается как 2G и является частным случаем 2-категории). Опуская более точные определения, суть n-категории можно свести к следующему. Под категорией (см., например, [12]) мы понимаем совокупность объектов определенной природы (линейных пространств, алгебр, групп и пр.) и морфизмов (отображений) между ними, которые удовлетворяют определенным аксиомам. Отображения между разными категориями задаются так называемыми функторами, также удовлетворяющие некоторым аксиомам. Между функторами имеются отображения, которые называются естественными преобразованиями. Наиболее наглядным примером 2-категории может служить категория категорий, где объектами служат категории, морфизмами – функторы между этими категориями. Морфизмы между морфизмами (т.е. морфизмы между функторами) – это естественные преобразования. Поэтому 2-категория – это ничто иное, как совокупность объектов и совокупности двух видов морфизмов. Аналогично в 3-категории имеются совокупности объектов и совокупности уже трех видов морфизмов и т.д. Обычную группу также можно рассматривать как категорию, но всего лишь с одним объектом. В качестве объекта выступает сама группа G, а морфизмы – это элементы этой группы, задающие отображения g: G → G ∀g ∈ ∈ G. В качестве 2-морфизмов тогда рассматриваются морфизмы (отображения) между элементами группы. Интуитивно это можно понять так: группа описывает симметрии системы, а морфизмы между морфизмами – симметрии между симметриями (внутренние автоморфизмы группы). 2-группу, состоящую из одного объекта G и двух видов морфизмов, обозначают как 2G (в более полном объеме структура 2-группы выяснится чуть ниже при обсуждении 2-коцепи).

Введем теперь понятие 2-коцепи [11] как пару отображений w_i: Σ_i(K) → (2G)_i, i = 1, 2. Эти отображения действуют следующим образом: w₁(b) = = (e, τ_b), ${{w}_{2}}(c) = (\nu (c),{{\tau }_{{{{\partial }_{1}}c}}}),$ b ∈ Σ₁(K), c ∈ Σ₂(K). Здесь ν: Σ₂(K) → G, τ: Σ₁(K) → inn(G), inn(G) – группа внутренних автоморфизмов группы G. Кограница d 1-коцепи u определяет 2-коцепь:

где w_u(c) ≡ u(∂₀c) u(∂₂c) u(∂₁c)^–1, ad(g)_h = ghg^–1 присоединенное действие, g, h ∈ G. Отсюда ясно, 1‑коцепь будет кограницей лишь в том случае, если будет удовлетворять тождеству 1-коцикла (2), поскольку при этом w_u(c) = z(∂₀c) z(∂₂c) z(∂₁c)^–1 = = e, e – единица в G = 2G₁ (т.е. начало и конец 2-коцепи отображаются в один и тот же элемент группы).

Среди 1-коцепей есть такие, которые удовлетворяют соотношениям

где $\Sigma _{2}^{N}(K)$ – множество 2-симплексов, образующих нерв в Σ₂(K), которые удовлетворяют соотношению ∂₁b < ∂₀b и |b| = ∂₀b (|b| – носитель 1-симплекса b). Такие 1-коцепи образуют связности в главном расслоении. Очевидно, что 1-коциклы удовлетворяют этому условию и являются связностями и к тому же они образуют плоские связности. Однако определение плоской связности требует определения кривизны связности. Кривизна W_u определяется как 2-кограница 1-коцепи u, т.е. W_u ≡ du. С помощью (3) и (4) тогда имеем: где w_u(c) = (∂₀c) u(∂₂c) u(∂₁c)^–1. Связность u называется плоской, если ее кривизна тривиальна, т.е. W_u ∈ (2G)₁. Очевидно, что 1-коциклы, удовлетворяющие этим требованиям, являются плоскими связностями. В дальнейшем мы сосредоточимся на плоских связностях.

Введем понятие группы голономии, поскольку фаза Берри порождается посредством параллельных переносов по петлям (замкнутым путям). Группа голономии является при этом подгруппой группы автоморфизмов слоя. Как уже было упомянуто при обсуждении равенства (2), путь p составляется с помощью композиции n экземпляров 1-симплексов b, т. е. p = b_n∗b_{n – 1} ∗…∗b₁, причем ∂₀b_{i – 1} = ∂₁b_i, i = 1, 2, …, n. Началом и концом пути являются 0-симплексы ∂₁p = ∂₁b₁ = a₀ и ∂₀p = = ∂₀b_n = a₁ соответственно. Путь из 0-симплекса a₀ в 0-симплекс a₁ принято обозначать как p(a₀, a₁). Множество путей, начинающиеся в a₀ и заканчивающиеся в a₁ обозначим как P(a₀, a₁). Следовательно, p(a₀, a₁) ∈ P(a₀, a₁). Обратный путь определяется как $\bar {p} = {{b}_{1}} * ... * {{b}_{n}},$ где обратный 1-симплекс $\bar {b}$ определяется как ${{\partial }_{0}}\bar {b} = {{\partial }_{1}}b$, ${{\partial }_{1}}\bar {b} = {{\partial }_{0}}b$, $\left| b \right| = \bar {b}$|. Из сказанного следует, что композировать (“умножать”) можно лишь такие пути, где конец пути совпадает с началом последующего пути. Поэтому с математической точки зрения пути образуют группоид [13].

Рассмотрим теперь замкнутый путь (петлю) p(a, a) и ее частный случай – тривиальную петлю p(a, a) ≡ ι_a. Тривиальную петлю ι_a можно определить как вырожденный 1-симплекс ∂₀b = a = ∂₁b, a = |b| и интуитивно представить себе так: из точки a идем по определенному пути до некоторой промежуточной точки, а затем ровно по этому же пути возвращаемся назад. В итоге получается, что никакого “движения” не было, мы остались на месте; отсюда и название – вырожденная петля. Ясно, что если K односвязно (т.е. не имеет топологических дефектов), то “настоящая петля” p(a, a) и тривиальная петля ι_a гомотопны между собой. Поэтому первую гомотопическую группу (фундаментальную группу) частично упорядоченного множества K можно определить, как фактор по отношению эквивалентности ∼: π₁(K; a) = {p: a → a}/∼ [13]. Тогда, согласно [11], назовем группой голономии hol_u(a) 1-коцепи над петлями, т. е.

где u – 1-коцепь, являющаяся связностью. Аналогично определяется суженная группа голономии ${\mathbf{hol}}_{u}^{0}(a)$ над ι_a:

Также заметим, что hol_u(a) = {u(p) ∈ G|p: a → a} является подгруппой группы G, а hol$_{u}^{0}$(a) = {u(p) ∈ ∈ G|p: a → a} – нормальная подгруппа группы hol_u(a) = {u(p) ∈ G|p: a → a}.

Зависящие от пути коциклы и топологические секторы

Рассмотрим свободное поле Дирака ψ: S_c(DM) → → B(H), удовлетворяющее уравнению Дирака {iD – m}ψ = 0, где S_c(DM) – пространство сечений (элементами которого являются спиноры f) c компактным носителем, DM – расслоение Дирака [14], D : S_c(DM) → S_c(DM) – оператор Дирака и B(H) – алгебра операторов в гильбертовом пространстве¹¹. Эти поля ∀ f, f  ' ∈ S_c(DM) удовлетворяют соотношениям антикоммутации:

Определим локальную алгебру полей ψ стандартным образом как алгебру фон Неймана F_o = = {ψ(f), ψ(f  ')|f, f  ' ∈ S_c(DM)}", где двойной штрих означает взятие повторного коммутанта (дважды коммутант). Пусть G = U(1) есть калибровочная группа. Действие этой группы с ς = exp(iχ) ∈ U(1) в алгебре F_o приводит к расщеплению на спектральные подпространства (которые являются зарядовыми суперотборными секторами [15], индексированными целыми числами k ∈ Z):

где α: ς → α_ς – автоморфизмы полевой алгебры.

В случае, когда база представляет собой частично упорядоченное направленное множество, алгебру локальных наблюдаемых ${{\Re }_{o}}$ (o ∈ M⁴) можно определить, как калибровочно-инвариантную подалгебру локальной полевой алгебры, т.е. ${{\Re }_{o}}$ = {F ∈ F_o ∩ G'} ⊆ B(H₀) (где H₀ – вакуумное гильбертово пространство). Алгебры ${{\Re }_{o}}$ порождают так называемую сеть алгебры локальных наблюдаемых ${{(\Re ,\iota )}_{{{{M}^{4}}}}},$ $\Re $ : o → ${{\Re }_{o}}$ и ${{\iota }_{{o{\kern 1pt} 'o}}}:{{\Re }_{o}} \to {{\Re }_{{o{\kern 1pt} '}}},$ o ⊆ o'²². В [16] показано, что неприводимые локализованные представления π^o определяют суперотборные сектора алгебры наблюдаемых. Более того, такие представления локально унитарно эквивалентны вакуумному представлению π₀ и суперотборные секторы могут быть проанализированы в гильбертовом пространстве вакуумного представления: таким представлениям соответствуют локализованные эндоморфизмы алгебры наблюдаемых. Далее, в [17] было показано, что теория суперотборных секторов эквивалентным образом может быть описана посредством локализованных 1-коциклов: любой 1-коцикл с точностью до эквивалентности определяет локализованный эндоморфизм ρ_o-алгебры ℜ. Преимущество этого подхода проявляется при рассмотрении многообразий с нетривиальной топологией: в многосвязных пространствах соответствие между локализованными представлениями алгебры и локализованными эндоморфизмами нарушается, тогда как соответствие между локализованными представлениями алгебры и коциклами сохраняется. Поэтому рассмотрим локальные секторы вида π^o: ${{\Re }_{o}}$ → B(H₀) с тем требованием, чтобы они были унитарно эквивалентны посредством семейства 1-коциклов {z_oo' ∈ U(${{\Re }_{{o{\kern 1pt} '}}}$)}_o ⊆ o', представляющих собой группу унитарных операторов в ${{\Re }_{o}}.$ Секторы можно определить тогда с помощью пар (z, π), где z удовлетворяют тождеству 1-коцикла (2). Любой 1-коцикл определяет семейство эквивалентных ∗-эндоморфизмов ρ = {ρ_o ∈ end(ℜ)} как ρ_o' = = ad z(p(o', o)) ◦ ρ_o, o ⊆ o'.

Если z представляют собой 1-кограницу, то такое представление называется топологически тривиальным. В случае односвязных K (т.е. в случаях с тривиальной топологией) представления оказываются тривиальными и при этом z не зависят от пути. В работе [16] показывается, что 1-коциклы определяют унитарные представления фундаментальной группы частично-упорядоченного множества. Если имеем представление $\varrho $ : π₁(K) → U(1), то оказывается, что представление (z, π) в общем топологически нетривиальное, причем морфизм $\varrho {\text{:}}$ π₁(K) → U(1) определяет 1-форму A из кокасательного расслоения, т.е. $\varrho $(p(a, a)) = exp($\oint_{p(a,a)} A $) ∈ ∈ U(1), где [p(a, a)] ∈ π₁(K). При этом A может быть истолкована как плоская связность (плоский калибровочный потенциал)³³. Согласно теореме Стокса, условие $\oint_{p(a,a)} A \ne 0$ может указать на возникновение вихревых потоков благодаря вращению конечной квантовой ферми-системы. Неабелевы топологические представления возникают в случае представления группы π₁(K) в группу U(n), которое называется монодромией. При этом в ${{\varrho }^{z}}{\text{:}}$ π₁(K) → U(n) инвариант n называется топологической размерностью (z, π), а z – топологической компонентой [16] и в данном контексте имеет смысл фазы Берри, приобретаемой функцией состояния нуклона. Поэтому топологическая компонента является голономией плоской связности z. Топологическая размерность является в общем новым инвариантом сектора и ограничена его статистической размерностью. Однако таких специфических вопросов мы здесь касаться не будем. Отсюда видно, что если ${{\varrho }^{z}}{\text{:}}$ π₁(K) → U(n) является тривиальным, то получим обычные зарядовы сектора. Случай, когда z представляет собой 1-кограницу, приводит к такому тривиальному представлению, поскольку 0-коцепь ν здесь является 0-коциклом, удовлетворяющим условию ν(∂₀b) = ν(∂₁b) и, следовательно, dν(b) = ν(∂₀b) ν(∂₁b)^–1 = e, где e – тождественный элемент группы. В случае нетривиального представления π₁(K) имеем топологические секторы, соответствующие представлениям $\Re $ в плоском гильбертовом расслоении со слоем H₀. В этом случае 1-коциклы оказываются зависящими от пути и приводят к топологическим секторам. Топологические заряды являются наблюдаемыми в том смысле, что они определены операторами z(p), где p представляет собой путь или петлю. Они могут быть зарегистрированы как амплитуды перехода из одного состояния в другое благодаря взаимодействию квантового поля с плоским внешним калибровочным потенциалом A, что приводит к появлению фазового фактора $\exp \left( {\oint_{p(a,a)} A } \right).$