Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 5, стр. 655-661

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что ряд легких ядер могут быть представлены как состоящие из альфа-частиц (альфа-кластеров) и внешних (валентных) нуклонов [1, 2]. Структура ядер ⁶Li, ⁷Li как систем, состоящих, соответственно, из α-кластера, протона и нейтрона (α + p + n) и из α-кластера, протона и двух нейтронов (α + p + 2n) рассмотрена в работе [3]. Было показано, что наиболее вероятными конфигурациями внешних нуклонов является образование дейтронного кластера в ядре ⁶Li и более сильно связанного тритонного кластера в ядре ⁷Li. Аналогично наиболее вероятной конфигурацией внешних нуклонов в ядре ⁷Be является образование сильно связанного кластера ³Не [4]. Структура ядер ⁹Be, ¹⁰Be как систем, состоящих из двух α-кластеров и, соответственно, одного (2α + n) и двух нейтронов (2α + 2n) рассмотрена в работе [4]. Было показано, что наиболее вероятной в ядре ⁹Be является конфигурация ядерной “молекулы” с нейтроном между α-частицами. В ядре ¹⁰Be конфигурация ядерной “молекулы” с двумя нейтронами, образующими динейтронный кластер между α-частицами, обеспечивает большую устойчивость системы и большее значение энергии разделения ядра на α-частицами и нуклоны. Добавление к ядру ¹⁰Be двух протонов приводит к существенному изменению структуры системы – ядро ¹²С может быть представлено как состоящее из трех α-частиц (α-кластеров) [5, 6]. В данной работе изучается структура соседних ядер ¹⁰Be, ¹⁰С, ¹¹Be, ¹¹С как систем, состоящих из двух α-частиц и из двух и трех нуклонов. Для решения квантовых задач четырех и пяти тел использован метод фейнмановских континуальных интегралов [7–10]. Вычисление так называемого пропагатора ${{K}_{{\text{E}}}}\left( {q,\tau ;q,0} \right)$ (континуального интеграла или интеграла по траекториям) в мнимом (евклидовом) времени $t = - i\tau $ по схеме, изложенной в работе [11] с использованием параллельных вычислений [12] позволяет определить энергию ${{E}_{0}}$ и плотность вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{0}}\left( q \right)} \right|}^{2}}$ для основного состояния системы, описываемой $s$‑мерным вектором $q$ координат Якоби. Для этого используется асимптотика ${{K}_{E}}\left( {q,\tau ;q,0} \right){\text{:}}$

где ${{E}_{n}}$ – энергия и ${{\left| {{{\Psi }_{n}}\left( q \right)} \right|}^{2}}$ – плотность вероятности для n-го возбужденного состояния системы. Расчеты как и в работах [3, 4, 11] выполнялись в безразмерных переменных $\tilde {q} = {q \mathord{\left/ {\vphantom {q {{{x}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{x}_{0}}}},$ $\tilde {V} = {{V(q)} \mathord{\left/ {\vphantom {{V(q)} {{{\varepsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }_{0}}}},$ ${{\tilde {E}}_{0}} = {{{{E}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{0}}} {{{\varepsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }_{0}}}},$ $\tilde {m} = {m \mathord{\left/ {\vphantom {m {{{m}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{0}}}},$ $\tilde {\tau } = {\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}},$ $\Delta \tilde {\tau } = {{\Delta \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta \tau } {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}},$ ${{\tilde {K}}_{E}}$ = = K_Ex₀ где ${{x}_{0}} = 1$ фм, ${{\varepsilon }_{0}} = 1$ МэВ, ${{m}_{0}}$ − масса нейтрона, ${{t}_{0}} = {{{{m}_{0}}x_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{0}}x_{0}^{2}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }$ ≈ $1.57 \cdot {{10}^{{ - 23}}}$ с, ${{b}_{0}} = {{{{t}_{0}}{{\varepsilon }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{t}_{0}}{{\varepsilon }_{0}}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }$ ≈ ≈ 0.02412. Энергия ${{\tilde {E}}_{0}}$ и плотность вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{0}}(\tilde {q})} \right|}^{2}}$ находились с помощью выражения

справедливого в области линейной части графика зависимости пропагатора от $\tilde {\tau }.$ В частности, квадрат модуля ненормированной волновой функции основного состояния ${{\left| {{{\Psi }_{0}}(q)} \right|}^{2}}$ вычислялся по формуле

Как и в работах [3, 4, 11, 12] параллельные вычисления с использованием технологии CUDA [13–15] выполнялись на гетерогенном кластере HybriLIT [16] Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований.

ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР ¹⁰B, ¹⁰С

Ядра ¹⁰B и ¹⁰С представим состоящими из двух α-частиц и двух нуклонов: нейтрона и протона для ¹⁰B, двух протонов для ¹⁰С. Потенциалы взаимодействия перечисленных частиц приведены в работах [3, 4]. В частности, ядерную часть взаимодействия α-частиц с учетом усредненного действия отталкивательного кора нуклон-нуклонного взаимодействия и принципа Паули можно описать с помощью псевдопотенциала $V_{{{{\alpha }} - {{\alpha }}}}^{{(N)}}(r)$ в форме суммы

функций типа Вудса–Саксона (фермиевского распределения)

Для ядер ^{10, 11}B и ^{10, 11}С были использованы те же значения параметров потенциала (4), что и для ядра ¹⁰Be в работе [4]: ${{B}_{{{{\alpha 1}}}}}$ = 3.73 фм, ${{B}_{{{{\alpha 2}}}}}$ = 2.71 фм, ${{a}_{{{{\alpha 1}}}}} = {{a}_{{{{\alpha 2}}}}}$ = 0.512 фм, ${{U}_{{{{\alpha 1}}}}}$ = 33 МэВ, ${{U}_{{{{\alpha 2}}}}}$ = 38 МэВ. Кулоновская часть $V_{{{{\alpha }} - {{\alpha }}}}^{{(C)}}(r)$ взаимодействия α-частиц может быть представлена в форме потенциала взаимодействия двух равномерно заряженных шаров радиуса ${{R}_{{{\alpha }}}}$ и заряда ${{q}_{{{\alpha }}}}$ каждый, которые могут проникать друг в друга

где ξ = r/(2Rα). Выражение (6) для интервала $0 \leqslant r \leqslant 2{{R}_{{{\alpha }}}}$ может быть получено путем интерполяции между двумя точными значениями

где $\rho = {{q}_{{{\alpha }}}}{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 {\left( {4\pi R_{{{\alpha }}}^{3}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {4\pi R_{{{\alpha }}}^{3}} \right)}}$ и в каждом интеграле интегрирование ведется по объему шара радиуса ${{R}_{{{\alpha }}}}.$ Среднеквадратичный зарядовый радиус ядра ⁴Не равный ${{r}_{{ch}}}$ = 1.68 фм (см., например, [17]) соответствует радиусу однородно заряженного шара ${{R}_{{ch}}} = {{r}_{{ch}}} \cdot {5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}$ = 2.8 фм. Графики кулоновской части $V_{{{{\alpha }} - {{\alpha }}}}^{{(C)}}(r)$ взаимодействия для ${{R}_{{{\alpha }}}}$ = 2.8 фм и полного потенциала взаимодействия α-частиц ${{V}_{{{{\alpha }} - {{\alpha }}}}}(r)$ = = $V_{{{{\alpha }} - {{\alpha }}}}^{{(N)}}(r) + V_{{{{\alpha }} - {{\alpha }}}}^{{(C)}}(r)$ показаны на рис. 1.

При расчетах пропагатора использовались координаты Якоби

для ядра ¹⁰C (системы α + p + p + α) и

для ядра ¹⁰B (системы α + p + n + α). Для описания взаимодействия между протоном и нейтроном в ядре ¹⁰B использован триплетный потенциал $V_{{p - n}}^{{({{1}^{ + }})}}(r)$ взаимодействия протона с нейтроном, имеющий место в дейтроне [3].

Результаты расчетов пропагатора для ядер ¹⁰B и ¹⁰С в сравнении с результатами для ядра ¹⁰Be [4] показаны на рис. 2а. Определенные с помощью линейной регрессии по линейным участкам графиков значения энергии разделения ядер на две альфа-частицы и нуклоны в сравнении с экспериментальными значениями (см., например, [17]) приведены в табл. 1. Для энергий получено согласие с экспериментальными данными.

Вычисление плотности вероятности по формуле (3) с потенциальной энергией, симметричной по отношению к перестановке α-частиц (и протонов для ядра ¹⁰С), дает координатную волновую функцию, симметричную по отношению к перестановке α-частиц, а кроме того, и протонов для ядра ¹⁰С.

Примеры распределений величины ${{\tilde {K}}_{E}}(\vec {x},\vec {y},\vec {z},\tau ;$ $\vec {x},\vec {y},\vec {z},0)$ для четырехтельных конфигураций ¹⁰С (2α + 2p) и ¹⁰B (2α + p + n) показаны на рис. 3 и 4. Узкие максимумы функции ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {x,y,z,\tau ;x,y,z,0} \right)$ на рис. 3а, 3б соответствуют плотности вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{0}}(\vec {x},\vec {y},\vec {z})} \right|}^{2}}$ основного состояния ядер ¹⁰С и ¹⁰B. В таком состоянии наиболее вероятной является конфигурация с валентными нуклонами: дипротонным кластером ${{p}^{2}}$ для ¹⁰С (α + ${{p}^{2}}$ + α) и дейтронным кластером d для ¹⁰B (α + d + α) между α-частицами (рис. 3в) при расстоянии между их центрами $x = \left| {{{{\vec {r}}}_{{{{{{\alpha }}}_{{\text{2}}}}}}} - {{{\vec {r}}}_{{{{{{\alpha }}}_{{\text{1}}}}}}}} \right|$ ≈ 3 фм, соответствующего окрестности минимума потенциала ${{V}_{{{{\alpha }} - {{\alpha }}}}}(r)$ (рис. 1). Ширина распределения ${{\left| {{{\Psi }_{0}}(\vec {x},\vec {y},\vec {z})} \right|}^{2}}$ для ядра ¹⁰С несколько больше, чем для ядра ¹⁰B, что связано с меньшей энергией разделения на нуклоны и α‑частицы. Представленные на рис. 3в модели положений частиц, соответствующих максимумам плотностей вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{0}}(\vec {x},\vec {y},\vec {z})} \right|}^{2}}$ основного состояния, согласуются с представлениями о форме ядер ¹⁰B и ¹⁰С как о ядерных молекулах, состоящих из двух α-частица (α-кластеров) и внешних (валентных) нуклонов. Как видно из рисунка, конфигурации 1 с дипротонным (дейтронным) кластером наиболее вероятны и соответствуют основному состоянию ядер ¹⁰С и ¹⁰B. Конфигурации 2, соответствующие валентным нуклонам, удаленным друг от друга на расстояние, превышающее радиус действия ядерных сил, маловероятны.

Сравнение распределений ${{\tilde {K}}_{E}}(\vec {x},\vec {y},\vec {z},\tau ;$ $\vec {x},\vec {y},\vec {z},0)$ для двух значений $\tilde {\tau } = {\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}}$ = 12 и $\tilde {\tau } = {\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}}$ = 20 показано на рис. 4. Величина ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {x,y,z,\tau ;x,y,z,0} \right)$ представляет собой комбинацию (1) плотностей вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{0}}(\vec {x},\vec {y},\vec {z})} \right|}^{2}}$ основного состояния и возбужденных состояний, причем веса последних снижаются с ростом τ. Такое снижение имеет место для максимумов при больших расстояниях между α-частицами и отсутствует для максимумов при $x = \left| {{{{\vec {r}}}_{{{{{{\alpha }}}_{{\text{2}}}}}}} - {{{\vec {r}}}_{{{{{{\alpha }}}_{{\text{1}}}}}}}} \right|$ ≈ 3 фм, соответствующих основному состоянию ядер ¹⁰С и ¹⁰B. Поэтому максимумы функции ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {x,y,z,\tau ;x,y,z,0} \right)$ при больших расстояниях между α-частицами соответствуют возбужденным состояниям с движением ядра ⁴Не и нестабильного ядра ⁶Be на рис. 4а, 4б и стабильного ядра ⁶Li на рис. 4в, 4г. Такое движение может быть инфинитным с резонансом в области притяжения ядер или колебательным между центральным отталкивательным кором и вершиной кулоновского барьера межъядерного взаимодействия подобного, показанному на рис. 1.

Сравнение зависимостей пропагатора ${{\tilde {K}}_{E}}(\vec {x},\vec {y},$ $\vec {z},\tau ;\vec {x},\vec {y},\vec {z},0)$ от $\tilde {\tau } = {\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}}$ вблизи для максимумов при малых и больших расстояниях между α-частицами для ядер ¹⁰B и ¹⁰С показаны на рис. 5. Определенные с помощью линейной регрессии по линейным участкам графиков значения энергии возбужденных состояний приведены в табл. 1. Они близки к экспериментальным значениям энергий разделения ядер, соответственно ¹⁰B → ⁴Не + ⁶Li и ¹⁰С → ⁴Не + ⁶Be (см., например, [17]).

Топография пропагатора ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {x,y,z;\tilde {\tau }} \right)$ в координатах Якоби $\vec {x} \bot \vec {y}{\text{,}}$ $\vec {z}||\vec {y}$ для большого расстояния между центрами масс α-частицам и нуклонов z = 7 фм, показанная на рис. 6, позволяет выделить плотности вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{n}}} \right|}^{2}}$ для возбужденных разделенных состояний системы (2α + p + n). Локальные максимумы соответствуют разделению системы на: дейтрон и ядро ⁸Be (конфигурация 1), ядра ⁴Не и ⁶Li (конфигурации 2 и 3). Протяженная область 4 соответствует разделению системы на два ядра ⁴Не и дейтрон.

ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР ¹¹B, ¹¹С

Ядра ¹¹B и ¹¹С представим состоящими из двух α-кластеров и трех нуклонов: двух нейтронов и протона для ¹¹B, двух протонов и нейтрона для ¹¹С.

Для ядра ¹¹B (системы 2α + p + 2n) использовались координаты Якоби (см. рис. 7)

Потенциальная энергия ядра ¹¹B

включает нуклон-нуклонную часть

которая несимметрична по отношению к перестановке нейтронов. Здесь $V_{{p - n}}^{{({{0}^{ + }})}}\left( {\left| {{{{\vec {r}}}_{1}} - {{{\vec {r}}}_{2}}} \right|} \right)$ и $V_{{p - p}}^{{({{0}^{ + }})}}\left( {\left| {{{{\vec {r}}}_{1}} - {{{\vec {r}}}_{2}}} \right|} \right)$ − это не имеющие связанных состояний синглетные потенциалы взаимодействия соответственно протона с нейтроном и протона с протоном. Определяемый энергией (12), (13) пропагатор ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {\vec {x},\vec {y},\vec {z},\vec {s},\tau ;\vec {x},\vec {y},\vec {z},\vec {s},0} \right)$ также несимметричен по отношению к перестановке нейтронов. Координатная волновая функция должна быть симметрична по отношению к перестановке двух нейтронов с радиус-векторами ${{\vec {r}}_{{{{n}_{1}}}}},{{\vec {r}}_{{{{n}_{2}}}}}$ из-за антисимметричности спиновой волновой функции с полным спином $S = 0$ по отношению к перестановке нейтронов. Такая ненормированная координатная волновая функция может быть получена с помощью симметричной комбинации в координатах Якоби

где

Результаты расчетов пропагатора для ядер ¹¹B и ¹¹С показаны на рис. 2б. Определенные с помощью линейной регрессии по линейным участкам графиков значения энергии разделения ядер на две альфа-частицы и нуклоны в сравнении с экспериментальными значениями (см., например, [17]) приведены в табл. 1.

Примеры распределений плотности вероятности для конфигураций ¹¹С (2α + 2p + n) и ¹¹B (2α + p + 2n) показаны на рис. 8а–8г. Узкие максимумы соответствуют плотности вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{0}}(\vec {x},\vec {y},\vec {z},\vec {s})} \right|}^{2}}$ основного состояния ядер ¹¹С и ¹¹B. Для ядра ¹¹B наиболее вероятными является конфигурация с валентными протоном и нейтронами (тритонным кластером t) между α‑частицами (α + $t$ + α). Аналогично для ядра ¹¹С наиболее вероятна конфигурация с валентными нейтронами и протоном (кластером ³He между α-частицами (системы α + ³He + α).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный поход к расчетам характеристик основного состояния ядер ^{10, 11}B, ^{10, 11}С может служить полезным дополнением к существующим более сложным теоретическим методам. Он позволяет достаточно просто определить зависимость энергии основного состояния от параметров потенциалов и вероятности различных конфигураций составляющих систему частиц.

Автор выражает благодарность команде гетерогенного кластера Лаборатории информационных технологий ОИЯИ за содействие выполнению трудоемких компьютерных расчетов.