Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 5, стр. 676-681

ВВЕДЕНИЕ

Сверхтяжелые элементы (СТЭ) с атомным номером больше 100 привлекают внимание на протяжении всего времени развития ядерной физики. Оценки в рамках модели жидкой капли приводят к ограничению на существование СТЭ с зарядом ядра Z > 104, однако благодаря стабилизирующим эффектам оболочек [1] время жизни известных сверхтяжелых нуклидов составляет ~10⁵–10^–5 с. Кроме того, предсказано существование “острова стабильности” – области относительной стабильности (максимальное время жизни до 10¹⁰ c [2]) для ядер с зарядом Z ~ 112–126 и числом нейтронов N ~ 172–184 [3]. Высокая вероятность распада ядер СТЭ приводит к большим трудностям в измерении их характеристик. Данных по измерению спектров для СТЭ нет [4], поэтому мы можем судить о структуре ядра лишь по теоретическим прогнозам. Плотность одночастичных уровней в ядрах СТЭ крайне высока, поэтому магические числа и порядок заполнения энергетических уровней зависят от модели, в рамках которой производится расчет [5, 6]. Ядра СТЭ содержат экстремально большое число нуклонов – около 300. На стабильность многонуклонной системы в значительной степени влияет деформация [7], кроме того, в распределении плотности внутри ядра могут наблюдаться такие экзотические эффекты, как полупузыри и кольца, обусловленные сильным кулоновским отталкиванием [3]. Все указанные особенности заставляют экспериментаторов прилагать значительные усилия по синтезу новых изотопов и изучению их свойств. В настоящее время ведутся попытки по синтезу 119-го и 120-го элементов [8, 9].

В нашей работе основное внимание будет уделено массе атомного ядра и энергии связи как базовым характеристикам ядра. Из 150 известных изотопов СТЭ экспериментальное значение массы ядра получено лишь для 26 нуклидов. С другой стороны, на данный момент предложено большое количество разных вариантов модельных расчетов энергии связи B. Решение уравнения Шредингера и его релятивистских аналогов с учетом реальных и даже эффективных сил пока является слишком трудоемкой задачей и для СТЭ не может применяться, так как вычислительные возможности ограничивают применимость подобных методов массовым числом A ~ 40 [10]. Расчеты в моделях среднего поля позволяют точно рассчитать энергию связи для отдельных ядер; средняя точность предсказаний составляет от 0.3 до 1 МэВ для полной энергии связи [11, 12]. Наиболее точные макро-микроскопические модели, такие как FRDM (для ядер с N ≥ 65 среднеквадратичное отклонение σ ~ 0.34 МэВ [13]), для СТЭ могут давать оценки, отличающиеся от экспериментальных на 0.5–1.5 МэВ. Стоит также отметить полуэмпирическую модель Weizsäcker–Skyrme [14], сочетающую в себе достижения жикдокапельной модели с микроскопическими расчетами с использованием функционала плотности энергии в форме Скирма для расчета микроскопической поправки. В своей последней итерации (WS4 + RBF), где для улучшения точности применяется метод радиальных базисных функций, который можно рассматривать как простейшую нейронную сеть, модель демонстрирует наиболее точное описание масс известных ядер среди всех массовых моделей – среднеквадратичное отклонение для СТЭ составляет 0.13 МэВ, для всех ядер – 0.16 МэВ [15].

Среди методов предсказания неизвестных масс ядер отдельное место занимают феноменологические подходы с использованием локальных массовых соотношений, основанные на непрерывности массовой поверхности. Энергии отделения одного или двух нуклонов и другие соотношения, составленные из энергий связи соседних ядер, на разных изолиниях (N, Z, N–Z, A = const) аппроксимируются гладкими зависимостями, которые экстраполируются в область неизвестных ядер [16, 17]. Могут быть также составлены алгебраические соотношения, примерно равные нулю, которые связывают массы атомных ядер [18] или энергии α-распада [19]. В систематике AME2016 [20], обобщающей все экспериментальные данные по массам атомных ядер, каждому нуклиду (в том числе с неизвестной массой) приписывается такое значение массы, чтобы все связанные с ним массовые характеристики наиболее плавно зависели от N, Z и A. Точность предсказаний AME2016 для СТЭ составляет σ ~ 0.3–0.6 МэВ. Несомненным преимуществом локальных подходов является прозрачность схемы и высокая точность расчетов, однако использование массовых соотношений ограничено необходимой привязкой к уже полученным экспериментальным данным, что существенно сужает область их применения.

В нашей работе для получения оценок энергии связи мы использовали локальное массовое соотношение, отражающее остаточное нейтрон-протонное взаимодействие (np-взаимодействие). Данное соотношение и связанные с ним массовые формулы успешно применяются для предсказания масс ядер с 60-х годов [17, 18, 21], однако их использование в области СТЭ ограничено Z = = 106 и N = 157. Данное ограничение не имеет физической природы и обусловлено исключительно текущей ситуацией по наличию экспериментальных значений масс ядер в этой области. В настоящей работе мы предлагаем два подхода для преодоления данного ограничения и использования соотношения для np-взаимодействия для изотопов 107–110 элементов.

МАССОВОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ ОСТАТОЧНОГО np-ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Поверхность энергии связи B(N, Z) считается непрерывной, поэтому учет ее локального, вблизи определенного нуклида (N, Z), поведения позволяет связывать энергии связи ядер в некоторые линейные соотношения. В зависимости от конструкции значение алгебраического соотношения может быть постоянным или плавно изменяться с ростом A, N, Z. Если характеристика отражает расслоение массовой поверхности по четности Z или N, изотопы разделяют на две или четыре группы, чтобы избежать скачкообразного поведения соотношения.

Предсказание масс ядер с использованием алгебраических соотношений, связывающих массы лежащих рядом на NZ-диаграмме нуклидов, и есть метод локальных массовых соотношений. Для получения оценок строятся аппроксимации соотношений. Предпочтительными являются характеристики, наименее чувствительные к оболочечным эффектам. Аппроксимации массовых соотношений позволяют получать с использованием массива экспериментальных данных оценки масс неизвестных ядер, а также связанные с массами характеристики: энергии связи, энергии реакций, оценки расслоения массовой поверхности и т.д. С другой стороны, отклонение экспериментального значения от предсказательного тренда, полученного из массового соотношения, может свидетельствовать о наличии магических ядер.

Основное соотношение в нашей работе отражает остаточное нейтрон-протонное (np) взаимодействие [22]:

где ${{S}_{p}}$ и ${{S}_{n}}$ – энергии отделения протона и нейтрона соответственно. Эмпирические значения ${{\Delta }_{{np}}}\left( {Z,N} \right)$ делятся на две группы по четности массового числа A: для четных A в области СТЭ величина ${{\Delta }_{{np}}}\sim 0.5\,\,{\text{МэВ}}$ и плавно уменьшается с ростом A, для нечетных A ${{\Delta }_{{np}}}\left( {Z,N} \right) \approx {\text{const}}.$ Хорошим приближением для аппроксимации ${{\Delta }_{{np}}}\left( {Z,N} \right)$ при четных A является степенная зависимость с γ = –1 [17, 22]:

Параметры функции приведены в табл. 1. Таким образом, с использованием аппроксимации из формулы (1) можно получить оценку любой из четырех энергий связи, например:

Начиная с известных значений энергии связи, итерационным путем получают оценки для новых значений, усредняя оценки для одного ядра, если возможно. Подробности итерационной процедуры, а также результаты предсказаний энергий связи для нуклидов с Z ≤ 106, N ≤ 157 приведены в нашей предыдущей работе [23]. На рис. 1 приведен фрагмент NZ-диаграммы с выделенной областью, где может быть использована данная методика (клетки, помеченные ×). Для того, чтобы получить оценки для элементов Z = 107–110, необходимо было использовать дополнительные данные.

ОЦЕНКИ МАССОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для дальнейших расчетов мы использовали энергии реакций: в первом варианте это были энергии отделения двух протонов ${{S}_{{pp}}}$ и двух нейтронов ${{S}_{{nn}}},$ во втором варианте в качестве дополнительных экспериментальных данных были использованы данные по энергии α-распада ${{Q}_{{{\alpha }}}}.$ Энергии отделения

удобны тем, что практически линейно зависят от N, Z: ${{S}_{{pp}}}$ от Z и ${{S}_{{nn}}}$ от N. Это свойство энергий отделения позволяет получить наиболее точные аппроксимации на некоторых линиях изотопов и изотонов. Были выбраны две наиболее близкие к ядру ${}_{{157}}^{{263}}Sg$ линии изотонов N = 154 для ${{S}_{{pp}}}$ и изотопов Z = 100 для ${{S}_{{nn}}}$ с достаточным числом экспериментальных значений массы на этих линиях. Параметры линейных аппроксимаций

были получены в работе [24] и приведены в табл. 2. Экстраполируя зависимости (6) и (7) в область Z > > 106, N > 157, мы получили 8 опорных значений энергии связи: N = 154, Z = 107–110; Z = 100, N = = 158–161 (см. рис. 1, клетки со знаками “S_pp, S_nn”). Далее мы применили итерационную процедуру, описанную в предыдущем разделе (см. рис. 1, клетки, помеченные *). На данный момент в области Z > 106, N > 157 имеется в наличии всего пять экспериментальных значений масс изотопов Z = 108 и 110. Мы провели два варианта расчета: без учета этих данных и с включением экспериментальных данных для Z = 108 и 110 в схему расчета. Результаты для удельной энергии связи представлены на рис. 2 (сплошная и пунктирная линии). Различие двух вариантов расчета наиболее заметно для изотопов Z = 110 – во втором случае получены более низкие значения для всех нуклидов в цепочке. Существенно различаются данные результаты в применении к расчету энергии α-распада

В случае использования экспериментальных масс наблюдается локальный пик при N = 159 (рис. 3а), чего не наблюдается для первого варианта расчета и в других моделях. Вероятно, это означает, что 8 опорных точек, полученные из линий отделения двух нуклонов, и пять экспериментальных значений масс лежат на разных уровнях массовой поверхности, и локальные тренды противоречат друг другу в области между этими точками. Также важно иметь ввиду указания на существование магического ядра с Z = 108, что несомненно должно привести к появлению оболочечных эффектов, нарушающих гладкое поведение разностных характеристик.

Для уточнения наших оценок, мы решили принять во внимание экспериментальные данные для энергии α-распада. Альфа-распад – основной (наряду со спонтанным делением) канал распада ядер СТЭ. Для изотопов Z = 107–110 имеется 15 экспериментально измеренных значений ${{Q}_{{{\alpha }}}},$ 13 из них можно использовать для получения опорных точек (см. рис. 1, клетки со знаком “Q”):

Предсказания для остальных изотопов получены по схеме, изложенной выше, с использованием массового соотношения ${{\Delta }_{{np}}}.$ Результат расчета удельной энергии связи приведен на рис. 2 (штрих-пунктирная линия). Следует отметить существенное уменьшение полученных значений для всей цепочки изотопов Z = 110. При этом общие тенденции поведения остаются прежними. Использование экспериментальных данных по энергии α-распада $~$позволяет получить более надежные зависимости ${{Q}_{{{\alpha }}}}\left( N \right),$ не имеющие резких скачков и хорошо согласующиеся с экспериментом (см. рис. 3б). Таким образом, полученные данные свидетельствуют о том, что экспериментальные значения ${{Q}_{{{\alpha }}}}$ могут быть использованы для расширения области применения локальных массовых соотношений, построенных на основе формулы для ${{\Delta }_{{np}}}.$

На рис. 4 приведены значения логарифма периода полураспада $\lg ({{T}_{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}~)$(в секундах) по α-каналу, полученные на основе предсказанных значений ${{Q}_{{{\alpha }}}}$ с использованием систематики Вайолы–Сиборга [25]

в параметризации [26]: a = 1.389, b = 13.862, c = = – 0.1086 и d = – 41.458, фактор h_log равен 0, 0.641, 0.437 и 1.024 для четно-четных, четно-нечетных (четных по Z), нечетно-четных и нечетно-нечетных ядер, соответственно. Расчетные значения совпадают с экспериментальными данными [27] в пределах одного порядка для периода полураспада.

Описанный выше подход, основанный на локальных массовых соотношениях, характеризуется прозрачностью схемы вычислений и хорошей точностью и позволяет в перспективе охватить все ядра вплоть до Z = 118.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены оценки удельной энергии связи B/A для нуклидов с Z = 107−110 и N = 152− 161 с использованием аппроксимаций выражения для остаточного np-взаимодействия Δ_np, а также энергий отделения двух протонов ${{S}_{{pp}}}$ (N = 154) и двух нейтронов ${{S}_{{nn}}}$ (Z = 100). Продемонстрированные отклонения значений удельных энергий связи и энергий α-распада от монотонной зависимости, возникающие при учете имеющихся экспериментальных значений масс для изотопов Z = 108 и 110, свидетельствуют о проявлении оболочечных эффектов в данной области.

Использование экспериментальных значений энергии α-распада ${{Q}_{{{\alpha }}}}$ позволяет существенно расширить область применения локальных массовых соотношений, основанных на формуле для ${{\Delta }_{{np}}}$ и эффективно учесть изменения структуры ядер с увеличением массового числа. На основе B/A проведены расчеты энергии α-распада ${{Q}_{{{\alpha }}}},$ также с использованием систематики Виолы–Сиборга получены оценки периода полураспада ${{T}_{{{\alpha }}}}$ для СТЭ с Z = 107–110. Качество предсказаний по методу локальных массовых соотношений сравнимо с оценками АМЕ16. Метод локальных массовых соотношений прост в использовании и весьма точен при небольшом количестве шагов.

Предполагается дальнейшей развитие метода локальных массовых соотношений, а также исследование новых характеристик, отражающих поведение массовой поверхности, и получение предсказаний для массовых характеристик для изотопов вплоть до Z = 118.