Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 5, стр. 662-670

ВВЕДЕНИЕ

Коллективное ядерное движение большой амплитуды, примерами которого являются слияние [1–5], деление [6–8] и квазиделение [3, 9, 10], представляет большой интерес как с экспериментальной, так и с теоретической точек зрения. В результате соответствующих экспериментов были синтезированы ядра с зарядовыми числами Z от 104 до 118 [11, 12].

В настоящей работе внимание сконцентрировано на процессе захвата ядер в орбитальное движение при их столкновении. Если произведение зарядовых чисел сталкивающихся ядер Z₁ и Z₂ не превосходит 1300, захват завершается слиянием [13], далее в тексте используется только этот термин.

Существует несколько методов для расчета сечений слияния. Метод Хартри–Фока с зависимостью от времени [14–16], являясь одним из наиболее реалистичных, реализуется с существенными ограничениями и требует значительных затрат компьютерных ресурсов. Менее требовательными к вычислительным мощностям методами являются, например, метод связанных каналов [17‒19] или траекторный анализ с учетом диссипации [20–22].

Важной частью любого из методов является процедура нахождения энергии сильного ядро-ядерного взаимодействия (СиЯВ) ${{U}_{n}}\left( R \right).$ Для расчета энергии СиЯВ часто используется параметризация потенциала формулой Вудса–Саксона (недостатком которой является привязка к экспериментальным данным: три независимых параметра этой формулы – глубина, радиус и диффузность – варьируются так, чтобы расчет воспроизводил экспериментальные сечения слияния при надбарьерных энергиях). Также могут быть использованы потенциал proximity и другие феноменологические потенциалы. В настоящее время часто предпочтение отдается более теоретически обоснованному методу двойной свертки (double folding) [23–27]. В этом методе энергия СиЯВ ${{U}_{n}}\left( R \right)$ вычисляется следующим образом:

Здесь ${{\vec {r}}_{1}}$ и ${{\vec {r}}_{2}}$ – радиус-векторы двух взаимодействующих точек (ядра-снаряда и ядра-мишени соответственно), $\vec {R}$ – вектор, соединяющий центры масс ядер, ${{\rho }_{{A1}}}\left( {{{r}_{1}}} \right)$ и ${{\rho }_{{A2}}}\left( {{{r}_{2}}} \right)$ – нуклонные плотности ядер, ${{\nu }_{{NN}}}$ – эффективный нуклон-нуклонный потенциал. В настоящей работе рассмотрены сферические сталкивающиеся ядра.

Оценки материальной плотности ядер в значительной степени опираются на экспериментальную информацию о зарядовых распределениях плотности [28–30]. В настоящее время эксперименты по измерению непосредственно нуклонной плотности немногочисленны [31–33] и имеют большие погрешности.

Теоретическое описание нуклонных плотностей ядер осуществляется во многих моделях, например в релятивистской модели среднего поля [34], в подходе Хартри–Фока [35–37]. Однако микроскопические расчеты весьма трудоемки. Расчет нуклонной плотности в одночастичном приближении с дисперсионными оптическими потенциалами является менее ресурсоемким [38, 39]. Наиболее популярной аппроксимацией радиальной зависимости плотности протонов ${{\rho }_{Z}}\left( {r{\text{\;}}} \right)$ и нейтронов ${{\rho }_{N}}\left( r \right)$ является распределение Ферми [25, 27, 40, 41]:

В настоящей статье изложен упрощенный алгоритм расчета плотности нейтронов ${{\rho }_{N}}\left( r \right)$ и протонов ${{\rho }_{Z}}\left( r \right),$ основанный на известной плотности электрического заряда в ядре. Этот алгоритм может быть полезен экспериментаторам. Основа предложенного алгоритма – линейная интерполяция параметров плотности нуклонов для произвольного сферического ядра между определенными в этой работе параметрами для шести ядер, выбранных в качестве реперных.

АППРОКСИМАЦИЯ ПЛОТНОСТЕЙ ПРОФИЛЕМ ФЕРМИ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ ХВОСТОМ (FE-АППРОКСИМАЦИЯ)

На первом этапе мы ставим своей целью аппроксимировать протонную ${{\rho }_{{ZSKX}}}\left( r \right)$ и нейтронную ${{\rho }_{{NSKX}}}\left( r \right)$ плотности реперных сферических ядер ¹²С, ¹⁶О, ³⁶S, ⁹²Zr, ¹⁴⁴Sm, ²⁰⁴Pb, полученные с помощью метода Хартри–Фока с набором параметров SKX (HF SKX) в работе [36], фермиевскими функциями (2) и (3) соответственно.

Алгоритм нахождения параметров ${{\rho }_{{ZС}}},$ ${{r}_{{Z0}}},$ ${{a}_{Z}}$ (${{\rho }_{{NС}}},$ ${{r}_{{N0}}},$ ${{a}_{N}}$) опишем на примере плотности протонов.

В массиве значений протонной плотности ${{\rho }_{{ZSKX}}}\left( r \right)$ мы находим максимальное значение (оно должно быть близким по значению к ${{\rho }_{{ZSKX}}}\left( 0 \right),$ но не обязательно совпадает с ним, см., например, рис. 1а, 1г и рис. 2а). Это значение принимается за начальное значение ${{\rho }_{{ZCF}}}.$

Далее определяется расстояние от центра ядра ${{R}_{Z}},$ на котором ${{\rho }_{{ZSKX}}}\left( {{{R}_{Z}}} \right) \approx {{{{\rho }_{{ZCF}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rho }_{{ZCF}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ (радиус половинной плотности ядра). Затем численно находится производная ${{d{{\rho }_{{ZSKX}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{{\rho }_{{ZSKX}}}} {dr}}} \right. \kern-0em} {dr}}$ при $r = {{R}_{Z}}.$ Легко показать, что

Соотношение (4) используется для определения диффузности ${{a}_{Z}}.$ Знаки приближенного, а не точного равенства обусловлены тем, что расчеты проводятся на сетке. Из связи ${{R}_{Z}} = {{r}_{{Z0}}}{{A}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ следует выразить ${{r}_{{Z0}}}.$ С полученными параметрами ${{\rho }_{{ZCF}}},$ ${{r}_{{Z0}}},$ ${{a}_{Z}}$ вычисляется протонная плотность ${{\rho }_{{ZF}}}\left( r \right)$ по формуле (2) в диапазоне от 0 до 10 фм с шагом 0.1 фм. Полученное распределение должно удовлетворять условию нормировки

однако на первом этапе, поскольку в качестве ${{\rho }_{{ZCF}}}$ выбрано максимальное значение плотности, правая часть (5) больше левой.

Далее действия, описанные в предыдущем абзаце, повторяются с постепенным уменьшением значения параметра ${{\rho }_{{ZCF}}}$ на 0.1% на каждом шаге. Окончательные значения параметров ${{\rho }_{{ZCF}}},$ ${{r}_{{Z0}}}$ и ${{a}_{Z}}$ соответствуют минимальной разности между правой и левой частями формулы (5). Такая же процедура применяется для нахождения параметров плотности нейтронов.

На рис. 1 и рис. 2 протонные и нейтронные плотности, полученные в результате аппроксимации фермиевской функцией (F-аппроксимации), сравниваются с плотностями, рассчитанными по методу HF SKX (HF SKX-плотностями). Согласие получается довольно хорошим; исключением является область, отдаленная от центра (область “хвостов” плотностей): здесь F-аппроксимация переоценивает HF SKX-плотности. Это неизбежно должно сказываться на величине энергии СиЯВ ${{U}_{n}}\left( R \right)$ сталкивающихся ядер (см. табл. 4).

Для улучшения результатов расчета в хвостовой области предложена модифицированная аппроксимация плотности экспоненциальной функцией при $r \geqslant {{r}_{E}} = {{R}_{Z}} + \Delta R$ ($r \geqslant {{r}_{E}}$ = ${{R}_{N}} + \Delta R$), в соответствии с которой диффузность ${{a}_{E}}$ убывает с расстоянием по следующему закону:

Соответственно, плотности имеют вид:

Аппроксимация плотностей ${{\rho }_{{ZSKX}}}\left( r \right),$ ${{\rho }_{{NSKX}}}\left( r \right)$ формулами (6), (7) показана на рис. 1 и 2. Теперь согласие с HF SKX-плотностями в хвостах намного лучше. Оно достигается ${\text{c}}$ параметрами δ = = 0.02 фм^–x и ΔR = 0.5 фм для всех реперных ядер. Значения параметра $x$ оказываются одинаковыми для протонов и нейтронов для одного ядра, но различными для разных ядер (см. табл. 1). Следует отметить, что модифицированная аппроксимация (FE-аппроксимация) требует последующей дополнительной перенормировки: величины плотностей на малых расстояниях (плато) на рис. 1а, 1г и 2а, 2г не совпадают. Обозначим параметры, полученные в результате этой перенормировки, ${{\rho }_{{ZCFE}}}$ и ${{\rho }_{{NCFE}}}.$ Диффузности ${{a}_{Z}},$ ${{a}_{N}}$ и параметры ${{r}_{{Z0}}},$ ${{r}_{{N0}}}$ при этом не изменяются.

Значения параметров ${{\rho }_{{ZCFE}}},$ ${{a}_{Z}},$ ${{r}_{{Z0}}}$ (${{\rho }_{{NCFE}}},$ ${{a}_{N}},$ ${{r}_{{N0}}}$), полученные для реперных ядер, приведены в табл. 1. Обращает на себя внимание, что эти значения различны для протонов и нейтронов одного и того же ядра. Также в табл. 1 указаны относительные разности

характеризующие степень согласия аппроксимирующей FE-плотности с аппроксимируемой HF SKX-плотностью.

Для нахождения нуклонных плотностей произвольных сферических ядер необходимо произвести линейную интерполяцию параметров ${{r}_{{Z0}}}$ (${{r}_{{N0}}}$), ${{a}_{Z}}$ (${{a}_{N}}$) по зарядовому числу ядра между соответствующими узловыми значениями, приведенными в табл. 1. После того как диффузности и параметры радиусов найдены, значения ${{\rho }_{{ZСFE}}}$ (${{\rho }_{{NСFE}}}$) определяются из условий нормировки.

ЗАРЯДОВАЯ ПЛОТНОСТЬ В ЯДРАХ

Зарядовая плотность в сферическом ядре, ${{\rho }_{q}}\left( r \right),$ как функция расстояния $r$ от центра ядра вычисляется с помощью конволюции [42]

Здесь ${{s}_{p}} = \left| {\vec {r} - {{{\vec {r}}}_{p}}} \right|,$ ${{s}_{n}} = \left| {\vec {r} - {{{\vec {r}}}_{n}}} \right|;$ ${{\vec {r}}_{p}}$ (${{\vec {r}}_{n}}$) означает радиус-вектор центра масс протона (нейтрона); ${{f}_{p}}\left( {{{s}_{p}}} \right)$ (${{f}_{n}}\left( {{{s}_{n}}} \right)$) – распределение заряда внутри протона (нейтрона).

Для распределения заряда внутри протона в настоящей работе используется гауссово распределение [42]

где параметр ${{\sigma }_{G}} = {{\sqrt 2 {{R}_{{qp}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 2 {{R}_{{qp}}}} {\sqrt 3 }}} \right. \kern-0em} {\sqrt 3 }},$ а ${{R}_{{qp}}}$ – экспериментальное значение среднеквадратичного зарядового радиуса протона, ${{R}_{{qp}}} = 0.8791$ фм [29].

Для зарядового распределения внутри нейтрона мы используем следующую аппроксимацию:

Здесь $\left\langle {R_{n}^{2}} \right\rangle = - 0.1149\,\,{\text{ф}}{{{\text{м}}}^{2}}$ – экспериментальное среднее значение квадрата зарядового радиуса нейтрона [29], а параметр ${{\sigma }_{n}} = 0.22\,\,{\text{фм}}{\text{.}}$

СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

Зарядовые плотности ${{\rho }_{q}}\left( r \right),$ рассчитанные с помощью аппроксимированных протонных ${{\rho }_{Z}}\left( r \right)$ и нейтронных ${{\rho }_{N}}\left( r \right)$ плотностей, сравниваются с экспериментальными на рис. 3. При этих расчетах применен описанный выше FE-алгоритм, согласие получается довольно хорошим.

Количественное сравнение расчетных среднеквадратичных зарядовых радиусов ${{r}_{{msqFE}}}$ с экспериментальными ${{r}_{{msqexp}}}$ для нескольких сферических ядер, не являющихся реперными, проведено в табл. 2. Cравнение радиусов также удобно проиллюстрировать с помощью относительной разности

Из табл. 2 видно, что относительная разность между экспериментальными и расчетными среднеквадратичными зарядовыми радиусами не превышает 2%, а в большинстве случаев составляет менее 1%.

Применим теперь нуклонные плотности, полученные с помощью разработанного нами FE-алгоритма, для расчета энергии СиЯВ ${{U}_{n}}\left( R \right)$ (1) и кулоновских барьеров. В расчетах энергии СиЯВ использован эффективный нуклон-нуклонный потенциал ${{\nu }_{{NN}}}$ M3Y Paris с плотностной зависимостью CDM3Y1 (см. табл. 1 и формулу (6) в работе [43]). Кулоновская составляющая взаимодействия ядер вычислена также методом двойной свертки c потенциалом кулоновского отталкивания точечных зарядов (см. формулу (5) в [43]).

Результаты таких расчетов для ряда реакций представлены в табл. 3. В ней приведены следующие величины: высота расчетного барьера ${{U}_{{B0FE}}}$ для нулевого углового момента; высота экспериментального барьера ${{U}_{{B0exp}}}.$ Также указаны приближенные значения высот барьеров ${{B}_{Z}},$ определенные по оценочной формуле

Относительная разность высот расчетного и экспериментального барьеров

не превышает 3%.

В табл. 4 приведены результаты расчетов ${{U}_{{B0}}}$ для трех реакций с учетом экспоненциального хвоста при аппроксимации плотностей и без него. Из этих результатов видно, что экспоненциальная поправка является значимой: высоты барьеров отличаются на 1.1%. Заметим, что при замене версии Paris потенциала нуклон-нуклонного взаимодействия M3Y на версию Reid высота барьера меняется менее чем на 0.017%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Зависимость плотности нуклонов в сферических ядрах от расстояния от центра ядра требуется для вычисления различных характеристик самих ядер и их взаимодействия. Расчет этих плотностей в микроскопических подходах весьма трудоемок. В литературе часто эти плотности аппроксимируют распределением Ферми. Однако при этом остается значительный произвол в параметрах этого профиля (радиус половинной плотности ${{r}_{0}}{{A}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ и диффузность $a$).

В настоящей работе мы аппроксимировали результаты расчетов нейтронных и протонных плотностей, полученных в микроскопическом подходе Хартри–Фока с SKX-параметрами, формулой Ферми для шести реперных ядер (F-аппроксимация, см. формулы (2), (3)). Проведенные расчеты показывают, что на периферии ядер (в хвостовой области) значения плотностей, полученные таким образом, существенно превышают плотности, вычисленные методом Хартри–Фока. Поэтому для этой области в настоящей работе предложена модернизированная экспоненциальная зависимость, использующая переменную диффузность. Такой FE-алгоритм позволил гораздо лучше воспроизвести микроскопические нуклонные плотности.

Далее был проведен расчет зарядовых плотностей в реперных ядрах с использованием нуклонных FE-плотностей. Оказалось, что рассчитанные таким образом зарядовые плотности хорошо согласуются с экспериментальными. Параметры распределения Ферми, ${{r}_{0}}$ и $a,$ для других сферических ядер находятся с помощью линейной интерполяции. В работе показано, что для многих сферических ядер предложенный подход обеспечивает отличие расчетного среднеквадратичного зарядового радиуса от экспериментального менее 2%.

Кроме того, разработанный FE-алгоритм применен для расчета высот кулоновских барьеров для ряда реакций. Расчетные величины высот оказались в хорошем согласии с экспериментальными. Отличие не превосходит 3%, а более чем в половине рассмотренных случаев укладывается и в 2%.

Разработанный алгоритм устраняет неопределенности в параметрах формулы Ферми для протонных и нейтронных плотностей и может быть полезен другим исследователям для быстрых и достаточно точных расчетов.