Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 1, стр. 42-46

ВВЕДЕНИЕ

Генерация встречных ортогонально-поляризованных мод традиционно рассматривается в изотропных кубически нелинейных средах [1]. Встречные моды удобно использовать для формирования квантовых фантомных изображений [2]. Отметим, что в квадратичных монодоменных кристаллах рождение и генерация встречных мод отсутствует в связи с отсутствием фазового синхронизма между взаимодействующими пучками. В то же время, ранее теоретически и экспериментально рассматривалось встречное взаимодействие в кристаллах с регулярной доменной структурой (РДС-кристаллах), когда все взаимодействующие моды имели одинаковую поляризацию в том числе спонтанное параметрическое рассеяние [3, 4]. Недавние работы [5–8] теоретически и экспериментально рассматривали рождение встречных поляризованных мод с учетом только спонтанного параметрического процесса и минуя квантовые корреляции и поляризационные характеристики мод. Также отметим работы [9–13], посвященные теме абсолютного измерения яркости терагерцовых волн, где рассмотрены процессы спонтанного параметрического процесса с генерацией не только попутных, но и встречных терагерцовых волн в РДС-кристаллах.

Данная работа посвящена возможности рождения и реализации двух нелинейных процессов (спонтанный параметрический процесс, суммарная генерация частот) и изучению квантовых статистических характеристик ортогонально-поляризованных встречных мод, что позволяет их легко разделить в экспериментальных схемах. Для реализации таких процессов можно использовать метаматериалы, например, регулярные доменные структуры (РДС), чтобы компенсировать фазовый набег за счет обратной решетки волнового вектора или чередования значения восприимчивости ${{\chi }^{{\left( 2 \right)}}}$ с периодом домена $\Lambda $ (см. рис. 1).

ПРОЦЕССЫ В РДС-КРИСТАЛЛЕ

Пусть четыре стационарные, плоские, монохроматические моды, характеризуемые операторами уничтожения фотона ${{\hat {A}}_{{1e}}},$ ${{\hat {A}}_{{1o}}},$ ${{\hat {A}}_{{2e}}}$ и ${{\hat {A}}_{{3e}}}$ коллинеарно распространяются внутри РДС-кристалла с квадратичной нелинейностью. Нелинейные оптические процессы, которые описывают эффективное взаимодействие и распространение четырех мод внутри РДС-кристалла имеют вид:

где ${{k}_{{jp}}}$ – абсолютные значения волновых векторов соответствующих мод с частотами ${{\omega }_{{jp}}};$ $j = 1,2,3,$ $j = 1,2,3;$ $p = o,e;$ $\Delta {{k}_{q}}$ – волновые расстройки соответствующего процесса для однородного кристалла; $q = 1,2;$ ${{m}_{q}} = \pm 1, \pm 3, \pm 5...$ – порядки квазисинхронизма; ${{G}_{q}} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {{{\Lambda }_{q}}}}} \right. \kern-0em} {{{\Lambda }_{q}}}}$ – волновое число – модуль “псевдовектора” решетки доменной структуры с периодом ${{\Lambda }_{q}};$ $\delta {{k}_{{1,2}}}$ – волновые расстройки соответствующего процесса и $ - {{m}_{{1,2}}} = \pm 1, \pm 3, \pm 5...$ порядки квазисинхронизма. Выполнение условия квазисинхронизма для рассматриваемых процессов соответствует $\delta {{k}_{1}} = \delta {{k}_{1}} = 0.$ Одновременный квазисинхронизм в одной и той же доменной структуре с ${{G}_{1}} = {{G}_{2}} = G$ можно реализовать, например, при различных порядках квазисинхронизма ${{m}_{{1,2}}}.$ Нами найдены значения порядков квазисинхронизма, когда ${{m}_{1}} = {{m}_{2}} = 1,3,5,7$ (для процессов 1 и 2) при длинах волн ${{\lambda }_{{1e}}} = {{\lambda }_{{1o}}} = 5.349\mu m,$ ${{\lambda }_{{2e}}} = 2.6745\mu m,$ ${{\lambda }_{{3e}}} = 1.7830\mu m$ и периодов $\Lambda _{{1,2}}^{{\left( 1 \right)}} = 1.2\mu m;$ $\Lambda _{{1,2}}^{{\left( 3 \right)}} = 3.8\mu m;$ $\Lambda _{{1,2}}^{{\left( 5 \right)}} = 6.4\mu m;$ $\Lambda _{{1,2}}^{{\left( 7 \right)}}$ = = 8.9μm в РДС-кристалле ${\text{LiNb}}{{{\text{O}}}_{3}}.$ Верхний индекс при $\Lambda $ означает порядок квазисинхронизма.

ПОВОРОТ ДОМЕНА И КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРОВ ${{\chi }^{{(1)}}}$ И ${{\chi }^{{(2)}}}$

Рассматрим РДС-кристалл на основе ${\text{LiNb}}{{{\text{O}}}_{{\text{3}}}}.$ Определим знаки перед компонентами тензора второго (линейная восприимчивость ${{\chi }^{{(1)}}}$) и третьего (нелинейная восприимчивость ${{\chi }^{{(2)}}}$) рангов. Отметим, что, тензор третьего ранга $\chi _{{m,n,p}}^{{(2)}}$ симметричен относительно перестановки двух последних индексов, то есть, $\chi _{{m,n,p}}^{{(2)}} = \chi _{{m,p,n}}^{{(2)}}$ и обладает симметрией класса ${{C}_{{3{{\nu }}}}}$ [14]. Известно, что данный кристалл имеет только три независимых ненулевых компонента $\chi _{{z,z,z}}^{{\left( 2 \right)}}\left( { = {{d}_{{33}}}} \right),$ $\chi _{{y,y,y}}^{{\left( 2 \right)}}\left( { = {\kern 1pt} {{d}_{{22}}}} \right)$ = = $ - \chi _{{x,y,x}}^{{\left( 2 \right)}}\, = - \chi _{{y,x,x}}^{{\left( 2 \right)}}$ и $\chi _{{x,x,z}}^{{\left( 2 \right)}}\left( { = {{d}_{{15}}}} \right)$ = $\chi _{{y,y,z}}^{{(2)}}$ = $\chi _{{z,x,x}}^{{\left( 2 \right)}}\, = \chi _{{z,y,y}}^{{\left( 2 \right)}}.$

Для определения знака перед компонентами связи необходимо применить матрицу вращения $R$ на ${{\chi }^{{\left( 2 \right)}}}$ [14]. Поворот домена кристалла вокруг оси $x$ на угол $\alpha $ и знак минус перед ${{\chi }^{{\left( 2 \right)}}}$ задается следующим уравнением [14]

где ${{R}^{x}}(\alpha ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&{\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\ 0&{\sin \alpha }&{\cos \alpha } \end{array}} \right)$ – матрица вращения против часовой стрелки вокруг оси $x$ на угол $\alpha .$ В случае, когда $\alpha = \pi ,$ появляется отрицательный знак перед нелинейными компонентами тензора $\tilde {\chi }_{{z,z,z}}^{{(2)}}(\pi ) = - \chi _{{z,z,z}}^{{(2)}},$ $\tilde {\chi }_{{y,y,y}}^{{(2)}}(\pi ) = - \chi _{{y,y,y}}^{{(2)}}$ и $\tilde {\chi }_{{x,x,z}}^{{(2)}}(\pi ) = - \chi _{{x,x,z}}^{{(2)}},$ т.е., все ненулевые компоненты тензора третьего ранга становятся отрицательными. Аналогичную процедуру поворота домена можно применить в случае, когда рассматривается тензор линейной восприимчивости ${{\chi }^{{\left( 1 \right)}}}{\text{:}}$

Отметим, что поворот домена против часовой стрелки на угол $\alpha = \pi $ вокруг оси $x$ не меняет знаки главных компонентов тензора $\tilde {\chi }_{{j,j}}^{{(1)}} = \chi _{{j,j}}^{{(1)}}.$ Тензор ${{\chi }^{{(1)}}}$ является симметричным, поэтому ее недиагональные компоненты после поворота можно привести к диагональному виду, т.е., недиагональные элементы можно свести к нулю [14]. В результате поворота компоненты тензора ${{\chi }^{{(2)}}}$ и значения нелинейных эффективных коэффициентов меняют знак с положительного на отрицательный.

СИСТЕМА ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

Система операторных уравнений, которая описывает рассматриваемые нелинейные процессы (1), (2) имеет вид

Здесь $\gamma = \frac{{{{\gamma }_{2}}}}{{{{\gamma }_{1}}}}$ – соотношение нелинейных коэффициентов, которые отвечают за нелинейные процессы (1,2); $\ell = {{\gamma }_{1}}z$ – приведенная длина взаимодействия. Система (5)–(7) операторных уравнений нами решена аналитически с помощью преобразования Фурье по поперечным координатам $\left( {x,y} \right)$ где ${{\hat {a}}_{{jp}}},$ $\hat {a}_{{jp}}^{\dag }$ – соответственно, операторы уничтожения и рождения фотонов. Они удовлетворяют стандартным коммутационным соотношениям: $\left[ {\hat {a}_{{jp}}^{\dag },{{{\hat {a}}}_{{j{\kern 1pt} 'p{\kern 1pt} '}}}} \right] = {{\delta }_{{jp,j{\kern 1pt} 'p{\kern 1pt} '}}}.$ Интегрирование ведется в поперечной плоскости $\vec {r} = \left\{ {x,y} \right\}.$

Корректность решения линейной системы операторных уравнений (5)–(7) и расчетов проверялась выполнением коммутационных соотношений. Конкретный вид решения опущен в связи с громоздкостью.

КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЯРИЗАЦИИ МОД

Для изучения квантовых статистических характеристик [15, 16] среднего числа фотонов, коэффициентов корреляций 2-го порядка и степени поляризации между ортогонально-поляризованными модами на частотах ${{\omega }_{o}}$ и ${{\omega }_{e}}$ вычислены следующие величины.

Среднее число фотонов

Коэффициенты корреляции фотонов между модами

Степень поляризации взаимодействующих ортогональных мод

где ${{\left| {\vec {\varkappa }} \right|}^{2}} = \frac{{{{{\left( {k_{{jp}}^{{(x)}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {k_{{jp}}^{{(y)}}} \right)}}^{2}}}}{{2{{k}_{{jp}}}}},$ ${{\hat {S}}_{{0,1}}}\left( {\vec {\varkappa },\ell } \right)$ = $\hat {a}_{{1o}}^{ + }\left( {\vec {\varkappa },\ell } \right)$ × × ${{\hat {a}}_{{1o}}}\left( {\vec {\varkappa },\ell } \right)$ ± $\hat {a}_{{1e}}^{ + }\left( {\vec {\varkappa },0} \right){{\hat {a}}_{{1e}}}\left( {\vec {\varkappa },0} \right),$ ${{\hat {S}}_{2}}\left( {\vec {\varkappa },\ell } \right)$ = $\hat {a}_{{1o}}^{ + }\left( {\vec {\varkappa },\ell } \right)$ × × ${{\hat {a}}_{{1e}}}\left( {\vec {\varkappa },0} \right)$ + $\hat {a}_{{1e}}^{ + }\left( {\vec {\varkappa },0} \right){{\hat {a}}_{{1o}}}\left( {\vec {\varkappa },\ell } \right),$ и ${{\hat {S}}_{3}}\left( {\vec {\varkappa },\ell } \right)$ = $i\hat {a}_{{1e}}^{ + }\left( {\vec {\varkappa },0} \right)$ × × ${{\hat {a}}_{{1o}}}\left( {\vec {\varkappa },\ell } \right)$ – $i\hat {a}_{{1o}}^{ + }\left( {\vec {\varkappa },\ell } \right){{\hat {a}}_{{1e}}}\left( {\vec {\varkappa },0} \right)$ – операторы Стокса и удовлетворяют стандартным коммутационным соотношениям [15, 16].

Усреднение фотонов, коэффициентов корреляций и степени поляризации (8)–(11) произведены в случае, когда мода накачки не истощалась, а остальные моды находились в вакуумном состоянии (см. рис. 2 и 3). Значения коэффициентов корреляций и степени поляризации вычислялись, когда мода на частоте ${{\omega }_{e}}$ находилась в начальной точке кристалла 0, а моды на частотах ${{\omega }_{o}}$ и $3{{\omega }_{e}}$- в конечной точке $\ell .$ Рисунок 2 показывает, что имеется высокая корреляции между модами $\left( {{{\omega }_{o}},{{\omega }_{e}}} \right),$ $\left( {{{\omega }_{o}},3{{\omega }_{e}}} \right)$ и $\left( {{{\omega }_{e}},3{{\omega }_{e}}} \right).$ С возрастанием длины РДС-кристалла значение коэффициентов корреляций стремится к 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Впервые рассмотрена возможность реализации вырожденного параметрического процесса, когда две ортогонально-поляризованные встречные моды рождаются и распространяются внутри РДС-кристалла. Найдены длины волны, периоды решеток и порядки квазисинхронизма в случае LiNbO₃, когда оба нелинейных процесса (1), (2) одновременно могут эффективно реализовываться.

Установлено, что среднее число фотонов (10), корреляционные коэффициенты второго порядка (11)–(13) слабо зависят от дифракции внутри РДС-кристалла. Это дает хорошие шансы получать фантомные изображения высокого качества, потому что дифракция, как правило, наиболее губительно действует на пространственное разрешение [17]. Опущены кривые корреляций и степень поляризации при разных значениях поперечной части волнового числа, так как поведение кривых почти не меняется, что и подтверждает независимость взаимодействующих пучков от условий фазового синхронизма.

На рис. 2 приведены значения коэффициентов корреляции 2-го порядка. При ${{g}^{{\left( 2 \right)}}} > 1$ преобладают фотоны парные, коррелированные в двух модах. Кривые корреляций показывают, что встречные ортогонально-поляризованные моды могут стать хорошими кандидатами для формирования квантовых фантомных изображений аналогично, как в случае встречного четырехфотонного cмешения в формировании фантомных изображений с помощью кубической нелинейной среды [2].

Отмечено, что дифракция внутри РДС-кристалла слабо влияет на эффективность нелинейных процессов по сравнению с попутным взаимодействием.

Показано, что степень поляризации не равна нулю (см. рис. 3). Это связано с тем, что фотон моды на частоте ${{\omega }_{e}}$ участвует в процессе (3).

Отметим, что волноводы, интегральные схемы на основе квадратичной нелинейности (РДС-кристалл на базе ${\text{LiNb}}{{{\text{O}}}_{3}}$ [8]) могут стать хорошим кандидатом для задач эндоскопии, так как встречные ортогонально-поляризованные коррелированные моды также могут содержать поляризационные характеристики изучаемого объекта при формировании фантомных изображений. Встречные моды в рассматриваемом РДС-кристалле слабо зависят от дифракции, что важно для формирования квантовых фантомных изображений высокого качества.

Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект № 21-12-00155).