Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 12, стр. 1770-1774

ВВЕДЕНИЕ

Для квантовых сетей, позволяющих выполнять распределенные квантовые вычисления, необходима передача кодируемых квантовых состояний между сетевыми узлами, что успешно реализуется, используя потоки фотонных кубитов [1–4]. Выполнение разнообразных быстрых операций с фотонными кубитами является актуальной задачей квантовых сетей, решение которой возможно при использовании интегральных волноводных систем. Использование квантовой памяти в таких интегральных системах существенно расширяет возможности квантового процессинга с фотонными кубитами. В качестве квантовой памяти могут использоваться высокодобротные резонаторы с одиночными резонансными атомами, что открывает возможность выполнения дополнительных квантовых операций, используя долгоживущие квантовые состояния атома [5, 6].

Представляет интерес атомно-резонаторная квантовая память, в которой сопоставимы по величине постоянные взаимодействия атома с фотоном в резонаторе и резонатора с внешним волноводом, при которых реализуется максимальная скорость выполнения операций с однофотонными полями. Кроме того, в быстрой квантовой памяти сильнее подавляются эффекты релаксации и необратимые потери в резонаторе, что облегчает точность реализации квантовых операций. К настоящему времени получены обнадеживающие результаты по реализации квантовой памяти на атоме в резонаторе в условиях быстрого неадиабатического взаимодействия с сигнальным фотоном [7–9]. Однако эффективность продемонстрированных протоколов быстрой квантовой памяти пока не превосходит 9% с учетом релаксации и потерь резонатора, и 63% в условиях слабой релаксации и минимальных потерь резонатора [8]. Достижение более высокой практически значимой эффективности такой квантовой памяти остается актуальной проблемой, решению которой посвящается настоящая работа.

Мы разрабатываем протокол высокоэффективной быстрой квантовой памяти на трехуровневом атоме в высокодобротном резонаторе. Ранее нами было показано [10], что использование оптимальной временной формы управляющего лазерного импульса может увеличить эффективность переноса фотонного волнового пакета на долгоживущие состояния атома в разрабатываемом протоколе квантовой памяти практически до 100%. Однако найденное аналитическое решение для временной формы контролирующего поля является сложным для практической реализации и требует дальнейшего совершенствования разрабатываемого протокола квантовой памяти, с поиском более плавного включения контролирующего поля.

ПРИНЦИПИАЛЬНАЯ СХЕМА И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Возможная интегрально-волноводная схема рассматриваемой квантовой памяти изображена на рис. 1. Оптический волновод переходит в нанофотонный резонатор, настроенный на частоту ${{\omega }_{{31}}}$ оптического перехода $\left| 1 \right\rangle \leftrightarrow \left| 3 \right\rangle $ атома, которая совпадает с несущей частотой фотонного волнового пакета. Частота контролирующего поля совпадает с частотой ${{\omega }_{{32}}}$ резонансного атомного перехода 2–3 и отстроена от частоты нанофотонного резонатора. В этом случае контролирующее поле будет проходить из волновода через нанофотонный резонатор, не испытывая отражения [11]. Учитывая геометрию нанофотонного резонатора, контролирующее поле может подаваться на атом не по волноводу, под некоторым углом к оси нанорезонатора. В качестве трехуровневого атома может быть использован редкоземельный ион, обладающий большим временем жизни оптической и спиновой когерентности [12]. Неадиабатическое взаимодействие фотона с атомом в высокодобротном резонаторе описывается Гамильтонианом:

где ${{H}_{a}} = \sum\nolimits_{m = 2}^3 {\hbar {{\omega }_{{a1}}}{{{\hat {P}}}_{{mm}}}} $ – гамильтониан трехуровневого атома (${{\omega }_{{a1}}}$ – частота атомного перехода $\left| 1 \right\rangle \leftrightarrow \left| m \right\rangle $), $~{{H}_{c}} = \hbar {{\omega }_{c}}\hat {a}_{c}^{ + }{{\hat {a}}_{c}}$ – гамильтониан моды резонатора (${{\omega }_{c}}$ – частота резонатора), ${{H}_{f}} = \int_0^\infty {d\omega ~\hbar \omega \hat {a}_{\omega }^{ + }{{{\hat {a}}}_{\omega }}} $ – Гамильтониан волноводной моды, ${{V}_{{a{{\Omega }}}}} = \hbar \left\{ {{{{{\Omega }}}_{0}}\left( t \right){{{\hat {P}}}_{{32}}}{{e}^{{i\left[ {{{\omega }_{{{\Omega }}}}t + \varphi \left( t \right)} \right]}}} + h.c.} \right\}$ – Гамильтониан взаимодействия атома с контролирующим лазерным полем, характеризующимся частотой Раби ${{{{\Omega }}}_{0}}\left( t \right)$ и фазой $\varphi \left( t \right)$ поля, связывающего атомные состояния $\left| 2 \right\rangle $ и $\left| 3 \right\rangle ,$ ${{V}_{{ac}}} = \hbar g\left( {{{{\hat {a}}}_{c}}{{{\hat {P}}}_{{31}}} + \hat {a}_{c}^{ + }{{{\hat {P}}}_{{13}}}} \right)$ – Гамильтониан взаимодействия атома и резонатора ($g$ – константа связи взаимодействий атом-мода резонатора) и ${{V}_{{fc}}} = \hbar \int_0^\infty {d\omega ~\left( {{{g}_{{c\omega }}}\hat {a}_{\omega }^{ + }{{{\hat {a}}}_{c}} + h.c} \right)} $ – Гамильтониан связи между модой резонатора и волноводными модами, где ${{g}_{{c\omega }}}$ – константа взаимодействия моды резонатора и волноводной моды. Поведение исследуемой квантовой системы описывается волновой функцией

Предполагается, что однофотонный волновой пакет передается через волновод в высокодобротный резонатор, содержащий трехуровневый атом, находящийся в основном состоянии $\left| 1 \right\rangle $ (рис. 1) так, что $\smallint d\omega {{\left| {{{f}_{\omega }}\left( {t \to - \infty } \right)} \right|}^{2}} = 1$ с начальными амплитудами ${{a}_{c}}\left( {t \to - \infty } \right)$ = $S\left( {t \to - \infty } \right)$ = $b\left( {t \to - \infty } \right) = 0.$ Используя (2) в уравнении Шрёдингера с Гамильтонианом (1), получаем уравнения для медленно меняющихся амплитуд:

где ${{a}_{c}} = {{a}_{c}}\left( t \right){{e}^{{i{{\omega }_{l}}t}}},$ $S = S\left( t \right){{e}^{{i{{\omega }_{l}}t}}},$ $b = b\left( t \right){{e}^{{i\left( {{{\omega }_{{{\Omega }}}} - {{\omega }_{l}}} \right)t}}},$ $~{{a}_{{in}}} = {{a}_{{in}}}\left( t \right){{e}^{{i{{\omega }_{l}}t}}}$ = $ - i\frac{{{{g}_{{cw}}}}}{{\sqrt \kappa }}{{e}^{{i{{\omega }_{l}}t}}}\smallint d\omega {{f}_{\omega }}\left( {{{t}_{0}}} \right){{e}^{{i\omega \left( {t - {{t}_{0}}} \right)}}},$ $\smallint dt{{a}_{{in}}}\left( t \right)a_{{in}}^{*}\left( t \right) = 1,$ $\kappa = 2\pi {{\left| {{{g}_{{cw}}}} \right|}^{2}},$ ${{{{\Delta }}}_{s}} = {{\omega }_{{31}}} - {{\omega }_{l}},$ ${{{{\Delta }}}_{b}} = \left( {{{\omega }_{{21}}} + {{\omega }_{{{\Omega }}}} - {{\omega }_{l}}} \right),$ ${{{{\Delta }}}_{s}} = {{\omega }_{c}} - {{\omega }_{l}},$ для более общего анализа также вводятся феноменологические константы атомного затуханияγ_s, γ_b и затухание в резонаторе ${{\kappa }_{{loss}}}.$

Входной импульс представляет собой импульс гауссовой формы: ${{a}_{{in}}}\left( t \right) = \sqrt {\frac{{{{{{\Delta }}}_{f}}}}{{\sqrt \pi }}} {{e}^{{ - \frac{{{{{\left( {{{{{\Delta }}}_{f}}t} \right)}}^{2}}}}{2}}}},$ где ${{{{\Delta }}}_{f}}$ – спектральная ширина волнового пакета сигнального фотона. При решении дифференциального уравнения первого порядка для частоты Раби ${{{{\Omega }}}_{0}}\left( t \right),$ полученного из системы уравнений (3)–(5) для случая пренебрежимо слабой релаксации ${{\gamma }_{{s,b}}}t \ll 1,$ отсутствия потерь в резонаторе ${{\kappa }_{{loss}}} = 0~$ и точных резонансов ${{\Delta }_{{s,b,c}}} = 0$ находим решения для частоты Раби и населенности долгоживущего уровня в условиях отсутствия отражения фотона от резонатора:

где $c = {{2\sqrt \pi {{g}^{2}}\kappa } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\sqrt \pi {{g}^{2}}\kappa } {{{{{\Delta }}}_{f}}}}} \right. \kern-0em} {{{{{\Delta }}}_{f}}}}$ определяется из начального условия ${{\left| {b\left( { - \infty } \right)} \right|}^{2}} = 0.$

Отметим, что решение (7) с учетом ${{\left| {S\left( {t \to \infty } \right)} \right|}^{2}} \to 0,$ ${{\left| {{{a}_{c}}\left( {t \to \infty } \right)} \right|}^{2}} \to 0$ дает следующее поведение для вероятности сохранения фотонного пакета в резонаторе с атомом:

для полной вероятности получить возбуждение в моде атом + резонатор. Таким образом, мы получаем ${{\left| {b\left( {t \to \infty } \right)} \right|}^{2}} \to 1,$ что показывает эффективное сохранение фотона в долгоживущем атомном состоянии $\left| 2 \right\rangle $ к концу взаимодействия.

ПАРАМЕТРЫ ОПТИМИЗАЦИИ КОНТРОЛИРУЮЩЕГО ПОЛЯ

Условия согласования (отсутствия отражения фотона) рассматриваемого протокола памяти справедливы только при определенных параметрах взаимодействия. Временная динамика контролирующего лазерного поля ${{{{\Omega }}}_{0}}\left( t \right)$ для некоторых параметров взаимодействия может иметь сложное поведение – принимать большие значения и затем резко спадать за короткое время. Такие контролирующие импульсы сложно генерировать в реальных экспериментах. В реальных условиях управляющее лазерное поле можно представить в виде ${{\Omega }}\left( t \right) = F\left( t \right){{\Omega }_{0}}\left( t \right),$ где $F\left( t \right)$ – функция плавно включающая взаимодействие, которую мы примем в виде ${{F}^{2}}\left( t \right) = {{P}_{{a + c}}}\left( {{{{{\Delta }}}_{{f2}}},t - {{t}_{2}}~} \right),$ где ${{{{\Delta }}}_{{f2}}},{{t}_{2}}~$ – ширина и время включения передаточной функции соответственно – подлежащие определению. Данный выбор функции включения мотивируется выбором схожей временной асимптотики. Важно найти значения параметров ${{{{\Delta }}}_{{f2}}},{{t}_{2}},$ при которых возможно эффективное сохранение фотона на долгоживущий уровень атома.

Путем численного моделирования было найдено, что ${{{{\Delta }}}_{{f2}}} = 3g$ является близким к оптимальному выбору скорости включения контролирующего поля. Также было показано, что оптимальным является следующее соотношение для параметров постоянной связи κ, которая должна в несколько раз превосходить постоянную связи g и ширину спектра ${{\Delta }_{f}}~$ фотонного волнового пакета [10]. Ниже мы изучаем реализацию оптимального включения для подобных параметров системы ($\kappa \approx 3g,$ ${{\Delta }_{f}}~ \approx 0.5g$). При этом приемлемая плавность функции включения реализуется для ${{\Delta }_{{f2}}}~ \approx \kappa .$

На рис. 2а приведены результаты расчетов эффективности переноса фотонного волнового пакета на долгоживущий уровень атома в зависимости от времени включения ${{t}_{2}}$ функции ${{P}_{{a + c}}}\left( {{{{{\Delta }}}_{{f2}}},t - {{t}_{2}}~} \right)$ при ${{\Delta }_{f}}~ = 0.529,$ $\kappa = 3.35,$ $g = 1,$ Δ_f2 = κ. В общем случае контролирующее поле Ω(t) имеет двугорбый характер, что реализуется при раннем времени включения ${{t}_{2}} < - 3.$ С увеличением ${{t}_{2}}$ первый максимум ${{\Omega }}\left( t \right)$ исчезает при ${{t}_{2}} \cong - 3.$ На рис. 2б представлено поведение переноса состояния фотона на атомные состояния, вероятности возбуждения атома на различные состояния и моды резонатора для момента включения ${{t}_{2}} \cong - 3.$ При этом эффективность памяти остается довольно высокой $({{\left| b \right|}^{2}} = 0.9995),$ что достаточно для выполнения квантовых алгоритмов и проведения процедуры коррекции ошибок. Асимптотический режим поведения контролирующего поля адаптирован к временной форме фотонного волнового пакета, что обеспечивает однонаправленный перенос фотона на атомные состояния без отражения в волновод.

Дальнейшее увеличение времени включения ${{t}_{2}}$ приводит к существенному укорочению переднего фронта контролирующего поля, что сопровождается уменьшением эффективности квантовой памяти. Резкий спад эффективности имеет место при времени включения ${{t}_{2}} > - 1$ (${{\left| b \right|}^{2}} = 0.9795$ при ${{t}_{2}} = - 1$). Таким образом, мы показываем, что можно в значительной степени изменять включение взаимодействия контролирующего лазерного излучения, делая его достаточно плавным, не ослабляя существенно эффективность сохранения состояния фотона на долгоживущее состояние атома.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Используя аналитическое решение [10], предложен оптимальный режим включения контролирующего лазерного поля для быстрого и эффективного сохранения фотонного волнового пакета на долгоживущем уровне трехуровневого атома в высокодобротном резонаторе. Для предложенного режима показана возможность выбора оптимального времени и скорости включения контролирующего поля, при котором контролирующее поле приобретает вид импульса с плавным передним и задним фронтом, обеспечивающего высокую эффективность для быстрой квантовой памяти волнового пакета фотона с гауссовым временным профилем. Рассмотренная схема быстрой квантовой памяти может быть реализована в интегральной волноводной системе с нанофотонным резонатором.