Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 2, стр. 263-268

ВВЕДЕНИЕ

Во многих практически интересных случаях распространение акустических волн через океаническую среду осуществляется при малом входном отношении сигнал/помеха на фоне гидродинамических возмущений. Интенсивная помеха маскирует информацию, а случайно-неоднородная среда ее искажает.

В океанических волноводах излучение широкополосного (шумового или детерминированного) источника звука трансформируется в интерференционную картину (интерферограмму) [1]. Под интерферограммой понимается спектральная плотность (квадрат модуля принимаемого сигнала) в переменных частота-время. Образование интерферограммы обусловлено волноводной дисперсией и многомодовым распространением. Изменение частоты излучения приводит к локализации интерференционных полос, вдоль которых сохраняется разность фаз между интерферирующими модами. Конфигурация локализованных полос определяется параметрами волновода, скоростью и траекторией источника.

На основе устойчивых структурных особенностей, формируемых широкополосным сигналом интерферограммы, предложена помехоустойчивая интерферометрическая обработка [2, 3]. Она заключается в следующем. За время наблюдения $\Delta t$ в полосе $\Delta {{\omega }}$ вдоль интерференционных полос реализуется квазикогерентное накопление J независимых реализаций поля источника длительностью T с временным интервалом ${{\delta }}T$ между ними: $J = {{\Delta t} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta t} {\left( {T + {{\delta }}T} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {T + {{\delta }}T} \right)}}.$ Формируется интерферограмма $I\left( {{{\omega }},~t} \right)$ и к ней применяется частотно-временное двумерное преобразование Фурье. На выходе интегрального преобразования спектральная плотность, трактуема как голограмма, локализуется в виде фокальных пятен. Дана классификация фокальным пятнам, выявлена связь координат их основных максимумов с радиальной скоростью (проекция скорости по направлению к приемнику) и удалением источника.

Основным стимулом разработки интерферометрической обработки была локализация малошумных источников [2, 3]. В настоящее время найдено приложение интерферометрической обработки для получения невозмущенной интерферограммы на фоне случайно-неоднородной океанической среды. Экспериментально такая возможность впервые была зарегистрирована при обработке данных эксперимента SWARM-95 [4] и описана в работе [5]. Обычная интерферометрия, без применения двумерного преобразования Фурье, не позволяет это выполнить. Теоретическое обоснование этого эффекта –передавать неискаженную интерферограмму через неоднородную среду –опирается на свойство голограммы давать непересекающиеся области спектральной плотности, обусловленные невозмущенным и возмущенным полями. Последнее вытекает из свойства двумерного преобразования Фурье –преобразования периодической функции в локализованные области.

При этом остается открытым принципиально важный вопрос о погрешности реконструирования интерферограммы невозмущенного поля. В рамках численного моделирования анализ этой погрешности в условиях, когда на стационарной трассе ИВВ приводили к взаимодействию мод поля источника, проанализирован в [6].

Цель данной работы – на основе численного моделирования оценить погрешность восстановления интерферограммы невозмущенного поля в случае, когда на стационарной трассе ИВВ вызывали горизонтальную рефракцию мод.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Интенсивные внутренние волны – гидродинамическое явление, широко распространенное в океанической среде. В мелководных акваториях они представляют собой цуги интенсивных короткопериодных колебаний водной поверхности постоянной плотности, трактуемые как цуги солитонов, которые распространяются в направлении береговой кромки со скоростью $u\sim 0.51$ м/с и разделены промежутками затишья ${{\delta }}L\sim 10$ км. Причина их возникновения обусловлена внутренними приливами: на шельфе происходит почти регулярная передача энергии от внутренних приливных волн к короткопериодным волнам. Согласно экспериментальным данным длина цугов $~L\sim $ 2–4 км, период $\Lambda \sim $ 200–400 м (расстояние между гребнями соседних солитонов), полуширина $\eta \sim $ 50–150 м и амплитуда $B\sim $ 10–30 м [7]. Цуги солитонов характеризуются: а) анизотропностью в горизонтальной плоскости, радиус кривизны фронта $r = $ 15–25 км; б) квазисинусоидальностью в направлении распространения, т.е. узким пространственным спектром; в) синхронностью вертикальных смещений по глубине, что свидетельствует о доминировании первой гравитационной моды. Указанные свойства обусловливают горизонтальную рефракцию звуковых волн источника, если акустическая трасса расположена под малыми углами к волновому фронту цуга солитонов [8]. Наличие ИВВ делает среду распространения подобием дифракционной решетки, покрывающей значительную акваторию с размерами порядка 10 × 20 км².

Примем, что скорость цуга солитонов направлена по нормали к трассе протяженностью x₀, расположенной вдоль горизонтальной оси x. Трасса направлена вдоль оси x от источника к приемнику, волновой фронт солитонов является плоским. В отсутствие возмущения океанической среды волновод считается горизонтально-однородным глубиной H. Невозмущенные значения величин обозначим чертой сверху, а возмущенные –тильдой. При сделанных предположениях квадрат показателя преломления

где z –глубина приемника, t –время, ось y перпендикулярна оси x (правосторонняя декартовая система координат). Под показателем преломления понимается отношение скоростей звука на поверхности z = 0 к значению скорости звука на рассматриваемой глубине. В соответствии с [9] Здесь Q ≈ 2.4 с²/м –константа, определяемая физическими свойствами воды; $N\left( z \right)$ – частота плавучести; $\Phi \left( z \right)$ – собственная функция первой гравитационной моды, нормированная на собственное значение на глубине приема; $\varsigma \left( {y,t} \right)$ – отклонение поверхности от глубины, где $\Phi \left( z \right) = 1.$ В силу выбранной геометрии задачи правая часть соотношения (2) не зависит от координаты x. Величину $\varsigma \left( {y,~t} \right),$ представляющую собой огибающую цуга солитонов в момент пересечения трассы, можно записать в виде последовательности N различных солитонов с амплитудами ${{B}_{n}},$ сдвинутыми относительно друг друга на период ${{\Lambda }_{n}},$ и распространяющимися со скоростями ${{u}_{n}}$где ${{\eta }_{n}}$ − полуширина n-го солитона на уровне 0.42 от максимума. Знак минус означает, что возмущение показателя преломления направлено в сторону дна.

Учитывая малость ${{\tilde {n}}^{2}}$ по отношению к ${{\bar {n}}^{2}},$ ${{\tilde {n}}^{2}} \ll {{\bar {n}}^{2}},$ вещественную часть горизонтального волнового числа ${{h}_{m}}\left( {x,~z,~t} \right)$ звукового поля моды номера m можно представить как

где линейная поправка в рамках теории возмущений [8] определяется выражением Здесь $\bar {k}_{0}^{2} = {{{{{{\omega }}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\omega }}}^{2}}} {\bar {c}_{0}^{2}}}} \right. \kern-0em} {\bar {c}_{0}^{2}}}$ − квадрат волнового числа на глубине $z = 0,$ $\bar {c}\left( z \right)$ − распределение скорости звука по глубине, ${{\omega }} = 2{{\pi }}f$ − циклическая частота; ${{\bar {\psi }}_{m}}\left( z \right)$ − собственная функция m-й моды. Подставив (2) в (5), получаем где величина

− зависимость линейной поправки горизонтального волнового числа от номера моды. Границы применимости метода возмущения ограничены амплитудами солитонов порядка несколько десятков метров, характерными для мелководных акваторий [8].

Звуковое поле в точке приема рассчитывалось в рамках метода модовых параболических уравнений [8].

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Невозмущенный волновод выбран горизонтально-однородным глубиной $H = 70$ м, близким по характеристикам экспериментальному каналу [4]. Рассматривались два диапазона частот: $\Delta {{f}_{1}} = $ 100–120 Гц и $\Delta {{f}_{2}} = $ 300–320 Гц. Параметры жидкого поглощающего дна: отношение плотности грунта и воды ${{\rho }} = 1.8;$ для первого диапазона частот комплексный показатель преломления $n = 0.84\left( {1 + i0.03} \right),$ для второго − $n = 0.84\left( {1 + i0.05} \right).$

Расстояние между неподвижными источником и приемником ${{x}_{0}} = 10$ км. Точечный источник располагался на глубине ${{z}_{s}} = 20$ м, приемник − на глубине ${{z}_{q}} = 45$ м. Задавался равномерный спектр, импульсы регистрировались с периодичностью 5 с, дискретизация по частоте спектра принимаемого сигнала 0.25 Гц. В качестве модели возмущения выбран цуг ИВВ (3), состоящий из трех одинаковых солитонов Параметры солитона: амплитуда $B = 20$ м, ширина $ = 200$ м, скорость $u = 0.7$ м/с, период $\Lambda = 250$ м. Ширина фронта возмущения превышает длину трассы. Время наблюдения $T = 20$ мин, за это время цуг солитонов полностью пересекал трассу. В диапазоне частот $\Delta {{f}_{1}}$ поле формировалось тремя модами, в диапазоне частот $\Delta {{f}_{2}}$ − пятью модами. Разумеется, выбор простой модели цуга солитонов никак не влияет на решение поставленной задачи. Существенно лишь проявление эффекта горизонтальной рефракции за время наблюдения. При выбранной модели спектра интерферограмма невозмущенного поля с точностью до постоянного множителя воспроизводит передаточную функцию волновода.

Результаты моделирования приведены на рис. 1−4. С целью повышения контрастности и информативности на интерферограммах вырезаны средние значения. Если эти средние значения не вычитать из интерферограммы до преобразования Фурье, то на голограмме в области начала координат появится острый пик большой интенсивности.

На рис. 1 представлены интерферограммы и модули голограмм невозмущенных полей в отсутствие пересечения трассы цугом солитонов. С увеличением частоты возрастает изрезанность интерференционной картины, состоящая из локализованных вертикальных полос, и число фокальных пятен на оси времени голограммы, что объясняется возрастанием числа мод.

Интерферограммы и модули голограмм при пересечении цугом солитонов трассы показаны на рис. 2. На интерферограммах наблюдаются горизонтальные полосы длительностью $\Delta t = 5.9$ мин, когда трасса расположена между гребнями соседних солитонов, т.е. соответствует периоду цуга $\Lambda = 250$ м (рис. 2а и 2в). Звуковое поле концентрируется в направлении трассы, что приводит к тонкой периодической структуре расположения спектральной плотности внутри полос с ярко выраженными фокальными пятнами. Линейные размеры фокальных пятен: ${{\delta }}{{f}_{1}} = 2.5$ Гц, ${{\delta }}{{t}_{1}} = 1.3$ мин − диапазон $\Delta {{f}_{1}}$ и ${{\delta }}{{f}_{2}} = 3.5$ Гц, ${{\delta }}{{t}_{2}} = 1.3$ мин − диапазон $\Delta {{f}_{2}}.$ Масштабы периодичности максимумов фокальных пятен: $L{{f}_{1}} = 9.2$ Гц, $L{{t}_{1}} = 8$ мин − диапазон Δf₁ и Lf₂ = 5.5 Гц, Lt₂ = 8 мин − диапазон Δf₂. Увеличение частоты приводит к возрастанию частотного размера фокальных пятен и уменьшению частотного периода. На голограммах расположение спектральной плотности в форме фокальных пятен образуют периодическую структуру (рис. 2б и 2г). С увеличением частоты изменяется временной масштаб, частотный масштаб не меняется. Распределение спектральной плотности на интерферограмме и голограмме представляет собой двумерную периодическую структуру. В натурных условиях, когда цуг состоит из солитонов разной формы и различными параметрами, это, естественно, будет приводить к снижению контрастности интерференционной картины и размытию фокальных пятен [5]. Конфигурация расположения фокальных пятен на голограмме делает возможным восстановление интерферограмм невозмущенного и возмущенного полей в присутствие ИВВ.

Фильтрация спектральных плотностей голограмм, сосредоточенных вблизи оси времени (рис. 2б и 2г), и их образ Фурье приведены на рис. 3. Восстановленные интерферограммы назовем интерферограммами невозмущенного поля в присутствии цуга солитонов. Интерферограммы и конфигурация расположения локализованных областей на голограмме невозмущенных полей в отсутствие возмущения (рис. 1) и восстановленных на фоне возмущения (рис. 3) близки между собой. Максимумы расположения фокальных пятен совпадают. Наиболее ярко близость их интерферограмм иллюстрирует рис. 4.

На рис. 4 приведены одномерные нормированные спектральные плотности интерферограмм невозмущенных полей в отсутствие возмущения (сплошная линия) и реконструированные (точки), когда цуг солитонов пересекает трассу. Нормированная величина обозначена сверху значком “крышка”. Одномерные интерферограммы представляют собой горизонтальные сечения соответствующих двумерных интерферограммам (рис. 1 и 3). Погрешность восстановления интерферограмм будем характеризовать безразмерной величиной

Здесь ${{I}_{{1,2}}}$ − одномерная интерферограмма невозмущенного поля в отсутствие возмущения и восстановленная при его наличии соответственно. Согласно исходным данным, число отсчетов $~I = 80.$ Для ширины спектра $\Delta {{f}_{1}} = $ 100–120 погрешность ${{d}_{1}} = 0.117,$ для ширины спектра $\Delta {{f}_{2}} = $ 300–320 Гц − ${{d}_{2}} = 0.096,$ т.е. сопоставимы между собой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе интерферометрической обработки в рамках численного моделирования продемонстрировано восстановление интерферограммы невозмущенного поля в условиях, когда на стационарной трассе ИВВ вызывали горизонтальную рефракцию мод акустического поля широкополосного источника. Теоретическое обоснование возможности передачи неискаженного изображения через неоднородную океаническую среду опирается на свойство голограммы формировать непересекающиеся локализованные спектральные плотности невозмущенного и возмущенного полей. Фильтрация этих областей, и применение к ним обратного двумерного преобразования Фурье, позволяет реконструировать интерферограмму невозмущенного поля.

Рассмотрены частотные диапазоны 100–120 и 300–320 Гц. Погрешность восстановления интерферограмм невозмущенного поля составляет не более 11.7% для диапазона частот 100−120 Гц и 9.7% для диапазона частот 300−320 Гц.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 19-29-06075 и № 19-38-90326).