Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 2, стр. 247-251

Устойчивость ламинарного течения на границе равномерного и замедляющегося потоков

О. Н. Мельникова 1*, Х. Ян 1

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова”, физический факультет
Москва, Россия

* E-mail: olamel@yandex.ru

Поступила в редакцию 01.10.2021
После доработки 11.10.2021
Принята к публикации 22.10.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Получены условия потери устойчивости ламинарного движения на границе равномерного и тормозящегося потоков, где возникает максимальный перепад скорости из-за периодического торможения жидкости на втором участке. В конце цикла на профиле скорости течения появляется локальный минимум с двумя точками перегиба, в верхней точке перегиба выше вязкого слоя формируется вихрь. Получена оценка периода формирования вихрей.

ВВЕДЕНИЕ

В [1] Прандтль впервые предположил, что в потоках с обратным градиентом давления, тормозящим жидкость, вблизи подстилающей поверхности, где вязкость играет существенную роль, могут возникать вихри. Математическое описание таких нестационарных пограничных течений пока не получено. В [2, 3] было показано, что процесс торможения происходит периодически, а цикл торможения заканчивается формированием цепочки цилиндрических вихрей с горизонтальной осью, направленной перпендикулярно потоку. В [4] экспериментально установлено, что существует такая фаза периодического процесса торможения течения, в которой формируется вертикальный профиль скорости с локальным минимумом и двумя точками перегиба над верхней границей вязкого слоя. Обнаружено, что ламинарное течение с таким профилем может потерять устойчивость, что приводит к формированию вихрей. После вылета вихрей ламинарное течение восстанавливается. Однако условия потери устойчивости при такой деформации вертикального профиля скорости исследованы не были. Целью настоящей работы является исследование диапазона параметров потока с обратным градиентом давления, для которого происходит потеря устойчивости ламинарного течения в пограничном слое воды со свободной поверхностью. Задача решалась экспериментально. Экспериментальное исследование тормозящихся течений осложняется тем, что параметры течения меняются в направлении движения потока. Для того, чтобы выделить узкую рабочую зону течения с заданными локальными параметрами исследования проводились на границе двух участков прямого канала. На первом участке скорость течения u и давление p не менялись в направлении движения (равномерное течение ${{\partial u} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial u} {\partial x}}} \right. \kern-0em} {\partial x}} = 0,$ ${{\partial p} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial p} {\partial x}}} \right. \kern-0em} {\partial x}} = 0$), а на втором участке скорость убывала в направлении движения. В результате в процессе торможения жидкости на границе участков перепад скорости вдоль оси канала принимал максимальное значение в узкой зоне продольной оси за короткий интервал времени. Ниже по течению от границы между участками параметры потока, определяющие потерю устойчивости, не успевали достичь критической величины. В результате вылет вихрей ниже по течению от границы не происходил и не искажал поле скорости.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Эксперименты проводились в прямом канале с прозрачными гладкими стенками длиной 3.5 м, шириной 15 см, с регулируемым наклоном дна. Расход воды не менялся во времени, обеспечивая стационарное течение на участке с равномерным движением жидкости. На участках, где скорость падала в направлении движения, течение было периодическим. Изменение продольного профиля скорости обеспечивалось переменным наклоном дна канала, изменением расхода воды. Толщина слоя воды составляла 2.1 < h < 3.1 см. Максимальная (в сечении) скорость потоков в серии экспериментов составляла 15 < ${{U}_{{max}}}$ < 40 см · с–1, ${{u}_{x}} = \frac{{\partial u}}{{\partial x}} > - 0.1\,\,{{{\text{c}}}^{{ - {\text{1}}}}}.$ Для исследования поля скорости использовалась видеозапись перемещения частиц плотности $\rho = 1.05\,\,{\text{г}} \cdot {\text{с}}{{{\text{м}}}^{{ - 3}}}$ со средним диаметром 0.2 мм. Размер частиц позволял разрешать скорость течения в вязком слое потока толщиной порядка 2 мм. Запись велась через боковую стенку канала. Скорость видеозаписи – 25 кадров в секунду. Камера вручную фокусировалась на ось канала, чтобы по четкости изображения отличать и использовать частицы, перемещающиеся вдали от вертикальных стенок.

Обработка данных с помощью программы Adobe Photoshop позволила получить траектории и скорости частиц, перемещавшихся вдоль рабочего участка на разных горизонтах. Для исследования поля скорости основного течения использовались частицы, не меняющие своего положения по вертикали, что исключало учет возмущений, вносимых вихрями [2, 5].

ДЕФОРМАЦИЯ ВЕРТИКАЛЬНОГО ПРОФИЛЯ СКОРОСТИ

В [4] показано, что в процессе торможения жидкости в пограничном слое потока с обратным градиентом давления периодически происходит деформация вертикального профиля мгновенной скорости. В фазе максимального торможения на профиле появляется локальный минимум с двумя точками перегиба (рис. 1). Если разбить слой, в котором наблюдается минимум скорости, на два подслоя, содержащих по одной точке перегиба, – нижний $0.04 < \frac{y}{h} < 0.14$ и верхний $0.14 < \frac{y}{h} < 0.23,$ то можно оценить устойчивость ламинарного течения в каждом подслое по форме вертикального профиля скорости течения. Из данных, приведенных на рис. 1 следует, что скорость течения монотонно увеличивается вдоль вертикальной оси y, а производная скорости $\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {{u}_{y}}(y)$ имеет минимум в нижней точке перегиба и максимум в верхней точке перегиба. Для таких течений получен ряд теорем, позволяющих оценить устойчивость ламинарного движения по форме профиля скорости [6]. В нижней точке перегиба, где ${{u}_{y}}(y)$ имеет минимум, выполняются условия теоремы Фьортофта, гарантирующие устойчивость ламинарного движения к малым возмущениям [6]. В верхней точке перегиба ${{u}_{y}}(y)$ имеет максимум, что является одним из условий теоремы Розенблюта–Симона, которая дает необходимое и достаточное условие устойчивости ламинарного течения, если ${{u}_{y}}(y)$ имеет максимум в точке перегиба, а следующее выражение имеет отрицательный знак [6]:

(1)
$\left. {I = - \frac{{dy}}{{du}}\frac{1}{{u - {{u}_{d}}}}} \right|_{{u\left( {{{y}_{1}}} \right)}}^{{u\left( {{{y}_{2}}} \right)}} + \int\limits_{u\left( {{{y}_{1}}} \right)}^{u\left( {{{y}_{2}}} \right)} {\frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{u}^{2}}}}} \frac{{du}}{{u - {{u}_{d}}}} < 0,$
где ${{u}_{d}}$ – скорость течения в точке перегиба, ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ – координаты границ слоя с точкой перегиба. Если I в (1) больше нуля, то течение неустойчиво. Для проверки устойчивости течения в фазе максимального торможения в слое, содержащем верхнюю точку перегиба, были использованы данные, полученные в потоке глубиной h = 3 см и скоростью течения на свободной поверхности ${{U}_{{max}}} = {\text{30}}\,\,{\text{см/с}}{\text{.}}$ Зависимость $y(U)$ в слое с верхней точкой перегиба была аппроксимирована полиномом (рис. 2):

(2)
$\begin{gathered} y = a{{u}^{3}} + b{{u}^{2}} + cu + d,\,\,\,\,a = 0.0029, \\ b = - 0.1068,\,\,\,c = 1.318,\,\,\,\,d = - 4.9153. \\ \end{gathered} $
Рис. 1.

Профили скорости в начальной фазе (закрашенные маркеры) и в фазе максимального торможения (пустые маркеры). Сплошные линии – аппроксимируют данные в вязком слое. На кадре видеозаписи 1 – формирование цилиндрического вихря.

Рис. 2.

Зависимость $y(u)$ в слое, содержащем верхнюю точку перегиба. Маркеры – экспериментальные данные, штриховая линия – аппроксимирующая функция, сплошная линия – касательная в точке перегиба.

Границы слоя y1 = 0.41 см, y2 = 0.65 см выбраны таким образом, чтобы значения производной $y{\kern 1pt} '(u)$ на границах совпадали. Тогда первое слагаемое в (1) равно ${{I}_{1}} = - \frac{{2y_{b}^{'}}}{{u({{y}_{2}}) - u({{y}_{1}})}}.$ Из (2) следует, что для подынтегрального выражения (1) имеем:

(3)

В результате для второго слагаемого в (1) получаем ${{I}_{2}} = 6a\left[ {u({{y}_{2}}) - u({{y}_{1}})} \right],$ а условие потери устойчивости $I > 0$ можно записать:

$y_{b}^{'} < 3a{{\left[ {u\left( {{{y}_{2}}} \right) - u({{y}_{1}})} \right]}^{2}}.$

Подставляя значения $u({{y}_{1}}) = 9\,\,{\text{см/с,}}$ u(y2) = = 15.6 см/с в (4), получаем, 0.103 < 0.379, т.е. условие неустойчивости (4) выполнено в слое с верхней точкой перегиба. Однако надо учесть, что приведенные критерии устойчивости получены для профилей с одной точкой перегиба. Полученный вывод подтверждает эксперимент – наша видеозапись. На кадре видеозаписи (рис. 1) видно, что вихрь сворачивается в области, расположенной над верхней границей вязкого слоя в зоне, где на профиле скорости течения формируется локальный минимум. В экспериментальной работе [7] получен аналогичный результат: вихри периодически формируются выше вязкого слоя потока.

ОЦЕНКА ПЕРИОДА ВЫЛЕТА ВИХРЕЙ

Как показывает критерий (4), потеря устойчивости происходит при критической деформации профиля, определяемой перепадом скорости в зоне локального минимума. Этот перепад определяется скоростью торможения жидкости на границе равномерного и замедляющегося течения. Формирование вихрей зафиксировано при критическом значении перепада скорости на границе равномерного и тормозящегося участков. Для данного эксперимента вихри сворачивались, когда достигалось значение $\frac{{\partial u}}{{\partial x}} < - 8\,\,{{{\text{c}}}^{{ - 1}}}.$ Считая, что перепад скорости в (4) примерно равен перепаду скорости на границе участков в фазе максимального торможения, можно оценить интервал времени достижения максимальной фазы торможения или период вылета вихрей.

Рассмотрим движение единичного объема жидкости массы m вдоль оси x в зоне торможения течения на заданном горизонте. Для получения приблизительных оценок будем полагать, что объем сохраняет свою форму и течение безвихревое. Тогда можно записать уравнение движения и интеграл движения Коши–Лагранжа

(5)
$m\frac{{du}}{{dt}} = - \frac{{dp}}{{dx}} + {{F}_{{fr}}},\,\,\,p + m\left( {\frac{{{{u}^{2}}}}{2} + \frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right) = {\text{const,}}$
где $\varphi $ – потенциал скорости. Сила трения определяется силой касательного напряжения на данном горизонте ${{F}_{{fr}}} = - \mu {{u}_{y}}S,$ где $\mu $ – динамическая вязкость жидкости, а S – площадь горизонтальной поверхности объема. Пусть высота объема будет равна толщине вязкого слоя, тогда ускорение, обусловленное касательным напряжением ${{a}_{{fr}}} = \frac{{{{F}_{{fr}}}}}{m} = - \frac{\nu }{\delta }{{u}_{y}},$ где ν – кинематическая вязкость жидкости, δ – толщина вязкого слоя. Горизонтальная составляющая градиента давления определяется дифференцированием второго уравнения (5):

(6)
$\frac{1}{m}\frac{{dp}}{{dx}} = - u{{u}_{x}} - {{u}_{t}},\,\,\,\,{{u}_{t}} = \frac{{\partial u}}{{\partial t}}.$

Для ускорения единицы объема получаем выражение

(7)
$\frac{{du}}{{dt}} = u{{u}_{x}} + {{u}_{t}} - {{a}_{{fr}}},\,\,\,{\text{где}}\,\,\,{{a}_{{fr}}} = \frac{\nu }{\delta }{{u}_{y}}.$

Данные эксперимента показали, что в начале процесса максимальная интенсивность торможения приходится на силу трения в вязком слое. В верхнем подслое вклады силы трения и обратного градиента давления равны и на порядок меньше, чем сила трения в вязком слое. В процессе торможения вклад обратного градиента давления быстро растет, так как растет перепад скорости и производная ${{u}_{x}}$ на границе участков с равномерным и замедляющимся течением. Из данных рис. 3 следует, что в фазе максимального торможения жидкости сила обратного градиента давления на порядок превышает силу трения в слое, содержащем верхнюю точку перегиба. Это позволяет сделать приблизительную оценку времени, необходимого для достижения критического перепада скорости. Считая, что ускорение объема в основном определяется уравнением $\frac{{du}}{{dt}} = {{u}_{x}}u,$ получаем, что скорость объема на границе между равномерным и замедляющимся течением уменьшается за малое время $\Delta t$ до значения ${{u}_{1}} = {{u}_{0}}\exp ({{u}_{{x0}}}\Delta t).$ Здесь ${{u}_{{x0}}}$ производная скорости по продольной координате в начале процесса торможения считается заданной. Изменение скорости объема за n равных и малых интервалов $\Delta t$ составляет:

(8)
${{u}_{n}} = {{u}_{0}}\exp \left( {\Delta t\sum\limits_{i = 0}^n {{{u}_{{xi}}}} } \right),$
где для малого интервала $\Delta t$ можно полагать ${{u}_{{xi}}} \approx 2\frac{{{{u}_{i}} - {{u}_{0}}}}{{\Delta t({{u}_{0}} + {{u}_{i}})}}.$ Когда перепад скорости ${{u}_{0}} - {{u}_{n}}$ на границе участков равномерного и замедляющегося течений достигнет значения, определяемого критерием (4), можно ожидать потерю устойчивости ламинарного течения. Период процесса торможения равен $T = n\Delta t.$ Полагая, что на верхней границе вязкого слоя скорость течения и ${{u}_{x}}$ в два раза меньше значений на свободной поверхности [4], рассчитаем период процесса торможения для начальных данных, полученных в эксперименте: ${{u}_{0}} = 15\,\,{\text{см}} \cdot {{{\text{с}}}^{{ - 1}}},$ ${{u}_{{x0}}} = {\text{ 0}}{\text{.05}}\,\,{{{\text{c}}}^{{ - 1}}}.$ Интервал времени $\Delta t$ положим равным 0.04 с, что соответствует интервалу времени между последовательными кадрами. В эксперименте в фазе максимального торможения (конец цикла) перепад скорости в верхнем подслое составил 6.6 см/с. Такому значению соответствует 9 < n < 10 и период T = 0.38 с. Среднее значение периода вылета вихрей в эксперименте составил 0.45 с, доверительный интервал для вероятности 0.67 равен 0.1 с. Расчетное значение не выходит за рамки доверительного интервала экспериментального значения, что согласуется с предложенной физической моделью процесса торможения жидкости на границе равномерного и замедляющегося потоков.

Рис. 3.

Компоненты сил обратного градиента давления $\left| {u{{u}_{x}}} \right|$ и трения (${{a}_{{fr}}}$) в фазе максимального торможения жидкости на границе участков равномерного и замедляющегося течений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная методика исследования устойчивости ламинарного течения на границе равномерного и тормозящегося потоков позволила определить характеристики течения с обратным градиентом давления, при которых происходит потеря устойчивости и формирование вихрей. Показано, что в процессе торможения жидкости на границе потоков быстро деформируется вертикальный профиль скорости течения, на котором возникает локальный минимум в пограничном слое. Максимум деформации наблюдается в слое, в котором сила обратного градиента давления растет пропорционально перепаду скорости на границе потоков. Существует критическое значение перепада скорости, при котором ламинарное течение теряет устойчивость и формируется вихрь. Потеря устойчивости происходит в зоне локального минимума на вертикальном профиле скорости, который формируется в фазе максимального торможения. В этой зоне профиль содержит две точки перегиба: в нижней точке перегиба течение оказывается устойчивым, а в верхней нет – вместо ламинарного течения формируется вихрь. После вылета вихрей из слоя, содержащего верхнюю точку перегиба, параметры поля скорости возвращаются к начальному значению. Получена оценка интервала времени от начала процесса торможения ламинарного течения до вылета вихрей. Результат подтверждается данными эксперимента.

Список литературы

  1. Prandtl L. // Proc. Third Inter. Math. Congr. (Heidelberg, 1904). P. 484.

  2. Мельникова О.Н. // Изв. РАН. Физ. атм. и океана. 2005. Т. 41. № 5. С. 682; Mel’nikova O.N. // Izv. Atm. Ocean. Phys. 2005. V. 41. No. 5. P. 620.

  3. Lebon B., Nguyen M.Q., Peixinho J. et al. // Phys. Fluids. 2018. V. 30. Art. No. 031701.

  4. Мельникова О.Н., Показеев К.В., Ян Х. // Изв. РАН. Сер. физ. 2021. № 1. С. 134; Melnikova O.N., Pokazeev K.V., Yang H. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2021. No. 1. P. 98.

  5. Ahmadi F., Sanders S., Ghaemi S. // Phys. Rev. Fluids. 2020. V. 5. No. 1. Art. No. 014302.

  6. Дикий Л.А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. М.: Гидрометеоиздат, 1976.

  7. He L., Yi Sh.-H., Chen Zh., Zhu Y.-Zh. // Proc. 14th Europ. Turbul. Conf. (Lyon, 2013).

Дополнительные материалы отсутствуют.