Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 4, стр. 601-608

ВВЕДЕНИЕ

Глобальный темп развития радиационных технологий (РТ) связан с высокой эффективностью, экологической безопасностью и повышенной востребованностью во многих областях науки и техники. На сегодняшний день в мире наблюдается неуклонный рост количества медицинских и промышленных центров, работающих на базах ускорительных комплексов с целью решения целого ряда научно-прикладных задач [1, 2]. Среди современных радиационных установок значительное положение занимают ускорители электронов [3]. Необходимым условием успешного применения РТ является наличие информации о пространственном распределении поглощенной дозы в облучаемом объекте, которое определяется как свойствами облучаемого объекта (геометрией, элементным составом, плотностью), так и свойствами облучателя, в первую очередь энергетическим спектром пучка [4, 5].

На сегодняшний день существуют следующие подходы к определению энергетических спектров ускорителей: (а) моделирование источника излучения методом Монте-Карло [5], (б) прямое измерение энергетического спектра с использованием специального оборудования [6], (в) косвенный метод, основанный на реконструкции спектрального состава пучка по экспериментально измеренным данным [7, 8]. Метод (а) является наиболее точным при условии учета всех технических характеристик ускорителя и схемы облучения, что не всегда является возможным [9]. Метод (б) предполагает использование редкого и дорогостоящего оборудования или наличия подобных систем в составе ускорителя, что также приводит к повышению его стоимости. В свою очередь, метод (в) является наиболее доступным, хотя и уступает в точности методам (а) и (б) [10].

Косвенный метод восстановления энергетического спектра электронов в пучке связан с решением обратной задачи, которая в общем виде может быть сформулирована следующим образом:

где $D\left( x \right)$ – распределение некоторой характеристики¹¹ (заряд, доза, флюенс, плотность потока и пр.) исследуемого пучка по глубине x; $d\left( {x,E} \right)$ – глубинное распределение той же характеристики для моноэнергетического пучка с энергией E; $f\left( E \right)$ – энергетический спектр.

Значения D(x) известны лишь в конечном наборе точек ${{x}_{i}},$ а глубинные распределения для конечного числа пучков поэтому, уравнение (1) можно представить в матричном виде:

где ${{d}_{{ji}}}$ – значение поглощенной дозы в точке с координатой ${{x}_{i}},$ создаваемое пучком электронов, с энергетическим спектром, описываемым некоторой известной базисной функцией ${{I}_{j}}\left( E \right).$

Как правило, это или моноэнергетические пучки, или пучки, имеющие равномерное распределение в интервале $\left( {{{E}_{j}} - {{\Delta E} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta E} 2}} \right. \kern-0em} 2},{{E}_{j}} + {{\Delta E} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta E} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right).$ Хотя могут быть использованы и другие виды распределений ${{I}_{j}}\left( E \right).$ В данной работе используются равномерные базисные функции с различными значениями $\Delta E$ и ${{E}_{j}}.$ Соответственно ${{D}_{i}} \equiv D\left( {{{x}_{i}}} \right) = \sum\nolimits_j {{{f}_{j}}{{d}_{{ji}}}} $ – значение поглощенной дозы в точке с координатой ${{x}_{i}},$ создаваемое пучком с некоторым распределением, которое разложено по базисным функциям с весами ${{f}_{j}}.$

Истинное значение D на практике неизвестно, имеются только результаты измерений ${{D}_{{exp}}}{\text{,}}$ которые известны с некоторой погрешностью ${{\delta }}{{D}_{{exp}}}.$ Эта погрешность является случайной величиной с некоторым законом распределения:

Если известна дисперсия для каждой компоненты вектора ${{\delta }}{{D}_{{exp}}}$ (с точностью до постоянной), то для решения системы уравнений (2) может быть использован известный метод наименьших квадратов (МНК) с весами.

Уравнение (1) является уравнением Фредгольма 1-го рода и имеет плохую обусловленность, которая выражается в том, что даже малые изменения величины $D\left( x \right)$ могут приводить к большим изменениям $f\left( E \right).$ Поскольку уравнение (2) является дискретным представлением (1), то оно также чувствительно ко входным данным, поэтому для решения обратной задачи стандартный МНК дополняется регуляризующими алгоритмами [10‒12], например, регуляризацией Тихонова [13]. Таким образом, задачу (2) можно переписать следующим образом:

где S – ковариационная матрица вектора ${{\delta }}{{D}_{{exp}}}{\text{,}}$ слагаемое $~\alpha {{\left\| f \right\|}^{2}}$ – регуляризирующий член, α – параметр регуляризации. Решение задачи (4), обозначаемое ${{f}_{{rest}}}\left( \alpha \right)$ выражается следующей формулой [14]: где E – единичная матрица.

Целью данной работы было исследование различных способов выбора параметра регуляризации Тихонова для восстановления энергетических спектров пучков электронов по известным дозовым распределениям. Степень успешности решения поставленной задачи оценивалось по близости истинного и восстановленного глубинных дозовых распределений.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Ниже представлена табл. 1 со значениями ошибки восстановленных спектров $\delta {{f}_{{rest}}}$ для прямоугольных функций шириной ΔE, равной 0.5 МэВ с $\sigma ,$ варьирующейся от 1 до 5%, для всех четырех рабочих режимов ускорителя с погрешностью не более 2%.

В качестве примера на рис. 2 приведены восстановленные спектры для одного и того же дозового распределения, рассчитанные по формуле (5) для различных методов выбора параметра регуляризации Тихонова.

Из табл. 1 видно, что погрешность восстановления спектров $\delta {{f}_{{rest}}}$ для режимов 2–4 в случае выбора параметра регуляризации методом невязки меньше, чем погрешность восстановления для остальных методов. Это можно объяснить тем, что метод невязки учитывает при подборе параметра регуляризации информацию об ошибках $\delta {{D}_{{exp}}},$ что выгодно отличает его от остальных методов. Для всех значений σ в диапазоне от 1 до 5% значения $\delta {{f}_{{rest}}}$ при выборе метода невязки в среднем ниже на 8% по сравнению с методом поправок, на 12% – методом относительных поправок и на 9% – с квазиоптимальным методом. Необходимо отметить, что для режима 1 все методы выбора параметра регуляризации, включая метод невязки и эталонный, дают высокую погрешность восстановления спектра.

Также видно, что точность восстановления спектров различна для разных режимов независимо от выбора параметра регуляризации. Так, с увеличением σ от 1 до 5% для метода невязки погрешность восстановления энергетических спектров увеличивается с 24 до 42% при работе ускорителя в режиме 4, и с 34 до 54%, с 43 до 69% и с 80 до 108% для режимов 3, 2 и 1, соответственно. В свою очередь, при прямом подборе параметра регуляризации α_этал под истинный спектр f_rest погрешность восстановления $\delta {{f}_{{rest}}}$ увеличивается с 13 до 22%, с 22 до 31%, с 27 до 38% и с 53 до 65% для соответствующих режимов 4–1.

Различия в точности восстановления для разных энергетических режимов ускорителя могут быть связаны с тем, что профиль спектра электронного пучка принимает более сложную форму с увеличением энергии электронов (рис. 1а). Так, для спектра ускорителя, работающего в режиме 1, сглаживание, вызванное регуляризацией, вносит большую ошибку, чем для спектров, работающих на более низких энергиях при любых параметрах регуляризации.

Также из анализа данных относительных ошибок восстановленных спектров $\delta {{f}_{{rest}}}$ относительно исходного спектра режима 1–4 ускорителя УЭЛР-10-15С было установлено, что выбор ширины прямоугольных функций ΔE от 0.1 до 0.5 МэВ влияет на погрешность восстановленных спектров не более чем на 3%. С одной стороны уменьшение ширины прямоугольных функций ΔE лучше приближает спектр пучка, с другой стороны, тем ближе оказываются кривые дозовых распределений и тем сложнее их различить. Кроме того, уменьшение ΔE означает увеличение количества прямоугольных функций, что влечет к избыточности данных в системе, а следовательно, к ее плохой обусловленности (4).

Аналогичные сравнения относительных ошибок $\delta {{D}_{{rest}}}$ при различном выборе параметра регуляризации были проведены и для восстановленных дозовых распределений. Результаты представлены в табл. 2.

Было установлено, что изменение ширины ΔE от 0.1 до 0.5 МэВ прямоугольных базисных функций в восстановленных спектрах f_rest оказывает влияния не более 1% на ошибки $\delta {{D}_{{rest}}}$ восстановленных по данным спектрам дозовых распределений D_rest.

Можно отметить, что большим ошибкам $\delta {{f}_{{rest}}}$ восстановленных спектров соответствуют малые ошибки дозовых распределений $\delta {{D}_{{rest}}}$ (табл. 1 и 2). Так, относительные ошибки восстановленных спектров $\delta {{f}_{{rest}}}$ в случае режима 4 работы ускорителя с увеличением $\sigma $ от 1 до 5% растут в среднем от 24 до 50% для всех параметров регуляризации, а относительные ошибки соответствующих дозовых распределений $\delta {{D}_{{rest}}},$ реконструированные по восстановленным спектрам, растут от 1 до 5%. Это можно объяснить тем, что для близких значений энергий кривые дозовых распределений похожи, тогда, если соседние прямоугольные функции при разбиении спектра пучка будут различаться сильно, то соответствующие глубинные распределения будут слабо различимы. Также можно отметить, что погрешности $\delta {{D}_{{rest}}}$ сопоставимы с внесенными искусственно экспериментальными погрешностями σ в дозовых распределениях D_exp. Таким образом, восстановленные дозовых распределений в пределах погрешности не отличается от экспериментальных значений.

На рис. 3 для режима 4 ускорителя УЭЛР-10-15С рассмотрены дисперсии спектра и соответствующего глубинного дозового распределения. Дисперсия $Var\left( {{{{\tilde {f}}}_{i}}} \right),$ где $\tilde {f}$ – случайный вектор спектра пучка со средними значениями компонент равными f и коэффициентом вариации $\varphi ,$ вычислялась следующим образом$:$

Покажем, что коэффициент вариации i-й компоненты$\left( {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }}_{i}}} \right)$ дозового распределения $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} = d\tilde {f}$ будет меньше $\varphi .$ Дисперсия примет следующий вид:

где $D = df$ – среднее значение дозового распределения.

Отметим, что элементы матрицы d и компоненты вектора f по физическому смыслу всегда неотрицательны, а значит $Var[{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }_{i}}] \leqslant {{\varphi }^{2}}D_{i}^{2},$ т.е. коэффициент вариации для дозового распределения $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} $ меньше, чем коэффициент вариации для спектра $\tilde {f}$. В качестве примера, на рис. 3 приведен спектр пучка f с интервалом для коэффициента вариации дисперсии ${{\varphi }_{{min}}}$ = 24% и ${{\varphi }_{{mах}}} = $ 42% для режима 4 работы ускорителя УЭЛР-10-15С. Интервалы по $\varphi $ для спектров были выбраны с учетом данных из табл. 1 по относительным погрешностям восстановленных спектров ${{\delta }}{{f}_{{rest}}}$ ускорителя для параметра регуляризации, выбранного методом невязки.

На рис. 3б показано глубинное дозовое распределение D соответствующего исходного спектра f для режима 4 с интервалами для дисперсии, которые определялись по формуле (7). Максимальная величина интервала для коэффициента вариации дисперсии глубинного дозового распределения не превышала 4 и 8%, соответственно для ${{\varphi }_{{min}}}$ и ${{\varphi }_{{max}}}.$ Для режимов 3–1, интервал по коэффициенту вариации дисперсии глубинного распределения составил 6 и 10, 7 и 12, 10 и 15%, соответственно. Возрастание дисперсии связано с соответствующим увеличением относительной ошибки восстановленных спектров ${{\delta }}{{f}_{{rest}}}$.

Таким образом, метод регуляризации Тихонова можно успешно использовать для синтеза спектров по заданным дозовым распределениям с погрешностью не более 15%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный в данной работе метод восстановления спектрального состава пучка электронов успешно производит реконструкцию спектра по глубинным дозовым распределениям с использованием регуляризации Тихонова.

Исследование влияния различных параметров регуляризации Тихонова показало, что погрешность восстановления спектров в случае выбора параметра регуляризации методом невязки в среднем ниже на 10% по сравнению с другими методами. Показано, что с увеличением σ от 1 до 5% точность восстановления энергетических спектров в среднем уменьшается примерно на 20% для всех методов определения параметра регуляризации относительно исходных спектров.

Показано, что восстановление более сложного вида спектра происходит с большей погрешностью. Выбор ширины прямоугольных функций ΔE от 0.1 до 0.5 МэВ влияет на погрешность восстановленных спектров не более чем на 3%, а на погрешность соответствующих восстановленных по ним дозовых распределений не более 1%.

Была показана достаточная эффективность метода регуляризации Тихонова для задач синтеза спектров с заданными дозовыми распределениями. Точность реконструкции глубинных дозовых распределений по восстановленным энергетическим спектрам составляет порядка 85–95% в зависимости от сложности вида спектра электронного пучка ускорителя и выбора параметра регуляризации.

Исследование выполнено при поддержке Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета “Фотонные и квантовые технологии. Цифровая медицина”.