1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 86, № 4, 2022

Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 4, стр. 571-576

Оценки масс ядер и их влияние на выход продуктов нуклеосинтеза в области нейтронного избытка

Е. В. Владимирова 1, *, М. В. Симонов 2, В. В. Негребецкий 2, К. А. Стопани 1, Т. Ю. Третьякова 1, 2

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова”, Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д.В. Скобельцына
Москва, Россия

2 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова”, физический факультет
Москва, Россия

* E-mail: vladimirova.elena@physics.msu.ru

Поступила в редакцию 15.11.2021
После доработки 06.12.2021
Принята к публикации 22.12.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

С использованием метода локальных массовых соотношений, описывающих протон-нейтронные корреляции, проведены расчеты энергий связи неизвестных ядер вдали от линии стабильности. Продемонстрирована хорошая точность оценок, полученных данным методом, и предложена корректировка аппроксимации, позволяющая дополнительно повысить точность оценок. На основе полученных значений энергий связи предсказано положение границ существования атомных ядер. Показана высокая чувствительность результатов моделирования выхода продуктов нуклеосинтеза в области нейтронного избытка к выбору массовой модели.

ВВЕДЕНИЕ

Одной из фундаментальных характеристик атомных ядер является их масса, а также однозначно связанная с массой энергия связи ядра. Изучение систематик ядерных масс необходимо, среди прочего, для понимания ядерной структуры и для моделирования процессов нуклеосинтеза. Методы теоретических оценок энергий связи (массовые модели) отличаются широкой вариативностью и могут быть разделены на микроскопические, макро-микроскопические подходы, а также феноменологические оценки на основе локальных массовых соотношений [1, 2]. Локальные массовые соотношения представляют собой арифметические выражения, объединяющие энергии связи нескольких близко лежащих на карте изотопов ядер. Первые применения подхода связаны с работами Гарви и Келсона в конце 1960-х годов [3]. В дальнейшем метод получил значительное развитие – использовались новые массовые соотношения, уточнялось понимание эффектов, отражаемых соотношениями, а также значительно увеличивалось количество известных из эксперимента масс ядер [4, 5]. Сегодня метод локальных массовых соотношений сохраняет актуальность благодаря наглядным и нетребовательным к вычислительным мощностям расчетам, привязке к экспериментальным данным, а также высокой точности получаемых оценок [1].

Ранее методом локальных массовых соотношений на основе выражения для остаточного нейтрон-протонного взаимодействия нами были получены оценки энергий связи для ядер на протяжении всей NZ диаграммы [6–8]. В связи с выходом новой компиляции экспериментальных данных Atomic Mass Evaluation (AME2020) [9], в данной работе представлено сравнение полученных ранее результатов с новыми данными АМЕ2020 и предложена корректировка аппроксимирующей формулы, позволяющая получить более точные оценки энергий связи неизвестных ядер. Проведенные расчеты позволили также уточнить положение границ существования ядер.

В работе проводятся сравнения с результатами оценок масс ядер в рамках макро-микроскопических расчетов модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил FRDM [10] и модели Вайцзеккера–Скирма WS + RBF [11], а также микроскопических расчетов по методу Хартри–Фока с потенциалом Скирма HFB-24 [12].

В заключительной части работы с помощью новых оценок энергий связи были получены сечения и скорости реакций (n, γ) и рассчитаны выходы продуктов нуклеосинтеза в ходе астрофизического r-процесса.

СРАВНЕНИЕ ПРЕДЫДУЩИХ РЕЗУЛЬТАТОВ С AME2020

Большинство выражений, применяющихся в феноменологических подходах для предсказаний масс неизвестных ядер, так или иначе базируются на характеристике, связанной с описанием парных нейтрон-протонных корреляций [4, 5]. В своей работе мы используем выражение для энергии np-спаривания [13]:

(1)
$\begin{gathered} {{{{\Delta }}}_{{np}}}\left( {Z,N} \right) = \left[ {B\left( {Z,N} \right) - B\left( {Z,N - 1} \right)} \right] - \\ - \,\,\left[ {B\left( {Z - 1,N} \right) - B\left( {Z - 1,N - 1} \right)} \right], \\ \end{gathered} $
где $B$ – энергия связи ядра, $Z$ и $N$ – число протонов и нейтронов, соответственно. При наличии аналитической аппроксимации величины ${{{{\Delta }}}_{{np}}}\left( {Z,N} \right),$ а также трех известных энергий связи, может быть получена оценка для четвертой энергии связи. Метод позволяет проводить итерационные вычисления, в качестве известных энергий связи могут использоваться результаты оценок предыдущих итераций, что позволяет продвигаться вдаль от экспериментально изученной области.

В наших предыдущих работах [6–8] данная методика была успешно использована для предсказания масс в области сверхтяжелых элементов и для оценки положения границ существования нейтроноизбыточных ядер. При этом в качестве аппроксимаций (1) была использована степенная зависимость от массового числа A со свободным членом и при проведении аппроксимации массив ядер был разделен на 5 интервалов для различных значений А. Базой для расчетов служила компиляция экспериментальных данных АМЕ2016 [14].

Как обычно, по сравнению с предыдущей компиляцией, в АМЕ2020 появился набор новых экспериментальных значений масс ядер. В табл. 1 для этих ядер приведены среднеквадратичные отклонения оценок энергий связи в различных подходах от экспериментальных значений AME2020. Результаты, полученные нами в рассмотренном подходе, имеют хорошую точность, сопоставимую с оценками других моделей. Высокую точность показывают и результаты, полученные с применением методов машинного обучения, что подтверждает эффективность предсказания энергии связи данного ядра при использовании в качестве входных параметров энергий связи соседних ядер. Соответствующий подход к предсказаниям предложен в работе [7].

Таблица 1.  

Среднеквадратичные отклонения оценок энергий связи в рамках различных подходов от экспериментальных данных AME2020 [9]

Оценки σ, кэВ
[6, 7] Предыдущие результаты 381
[7] Предыдущие результаты, дополненные использованием методов машинного обучения 376
[11] Макро-микроскопические расчеты по модели Вайцзеккера–Скирма WS + RBF 298
[12] Микроскопические расчеты по модели Хартри–Фока с потенциалом Скирма HFB-24 715
[10] Макро-микроскопические расчеты по модели жидкой капли конечного радиуса FRDM 791

КОРРЕКТИРОВКА АППРОКСИМАЦИИ

В качестве новой формулы, аппроксимирующей Δnp, предлагается степенная зависимость от массового числа $A$ с параметрами $\alpha $ и $\beta {\text{:}}$

(2)
$\Delta _{{np}}^{{cal}}\left( A \right) = \alpha \cdot {{A}^{\beta }}.$

В наших предыдущих работах [6, 7] показатель степени был фиксирован (β = –1 для четных значений A и β = 0 – для нечетных A). В данной работе при нахождении новой аппроксимации мы решили использовать показатель степени как подгоночный параметр, что позволило нам отказаться от разбиения массива данных на отдельные диапазоны по A.

Из аппроксимируемого массива исключены точки, соответствующие симметричным ядрам с $N\,~ = ~\,Z,$ существенно отличающиеся от остальных значений ${{{{\Delta }}}_{{np}}}$ благодаря дополнительному вкладу энергии Вигнера (см. рис. 1). На рис. 1 также видно, что точки с $N~\, = ~\,Z \pm 1$ не выделяются из общего массива, поэтому не должны исключаться. Отсутствие выбросов значений для магических ядер в области средних и тяжелых ядер показывает низкую чувствительность характеристики ${{{{\Delta }}}_{{np}}}$ к оболочечным эффектам и также позволяет не исключать точки со значениями N и Z, соответствующим магическим числам. Значения ${{{{\Delta }}}_{{np}}}$ для легких ядер с $A < 40$ исключены из аппроксимации из-за флуктуаций, вызванных структурными оболочечными эффектами. Как уже было отмечено, аппроксимация проводится на всем массиве ядер без разделения на интервалы, но значения для ядер с четными и нечетными массовыми числами аппроксимируются отдельно. Коэффициенты аппроксимации, полученные на основе AME2020, а также предыдущих компиляций данных AME2016 [14], 2012 [15] и 2003 [16] приведены в табл. 2. Следует отметить относительное постоянство коэффициентов аппроксимации для ветви с четными значениями A и их существенные изменения для нечетных A с ростом числа экспериментальных данных.

Рис. 1.

${{{{\Delta }}}_{{np}}}\left( A \right)$ на основе экспериментальных данных AME2020 [9] (голубой круг для четных A, оранжевый круг для нечетных A, красная звезда для симметричных ядер $N = Z,$ синий незакрашенный треугольник для ядер с $N = Z \pm 1,$ зеленый незакрашенный круг для ядер с магическими числами по N или Z и аппроксимация $\Delta _{{np}}^{{cal}}$ (сплошная черная линия для четных A, прерывистая – для нечетных A).

Таблица 2.  

Коэффициенты и среднеквадратичные отклонения аппроксимаций $\Delta _{{np}}^{{cal}}\left( A \right),$ полученных на основе AME2003 [16], 2012 [15], 2016 [14] и 2020 [9]

  Четные А Нечетные А
AME 2003 2012 2016 2020 2003 2012 2016 2020
α, МэВ 29.751 26.061 25.186 28.218 44.251 24.380 25.158 17.277
β –0.799 –0.770 –0.764 –0.789 –1.294 –1.164 –1.167 –1.076
σ, МэВ 0.211 0.185 0.193 0.181 0.182 0.163 0.165 0.158

С середины прошлого века ведется дискуссия о степенной зависимости парных нуклонных корреляций от массового числа $A.$ К наиболее часто встречающимся вариантам зависимостей относятся степенные функции вида αAβ, где α = constant, β = –1/3 [17, 18], β = –2/3 [19], β = –1 [20], а также отдельные зависимости с $\beta = - 1$ для четных $A$ и $\beta = 0$ для нечетных $A$ [5]. Зависимость ${{A}^{{ - 1}}}$ может указывать на силы спаривания с небольшим радиусом действия, когда участвующие во взаимодействии частицы распределены по всему объему ядра [21]. Результаты этой работы показывают, что степень аппроксимации (2) вне зависимости от базы данных (от AME2003 до AME2020) имеет значение близкое к $ - 1$ для ядер с нечетными А (табл. 2).

РЕЗУЛЬТАТЫ

Для проверки нового подхода к нахождению аппроксимации $\Delta _{{np}}^{{cal}}\left( A \right),$ нами проведены оценки энергий связи на основе AME2003, 2012 и 2016 с использованием двух подходов к аппроксимации (по предыдущим работам [6, 7] и в соответствии с предложенной корректировкой). Для тех новых изотопов, массы которых включены в AME2020, но не входят в более ранние версии базы данных, вычислялись отклонения рассчитанных значений энергий связи от их значений в AME2020. Усредненные значения отклонений оценок от экспериментальных данных AME2020 приведены в табл. 3. Аппроксимация (2) позволяет получить более точные результаты для всех рассмотренных интервалов A и входных массивов АМЕ.

Таблица 3.  

Среднеквадратичные отклонения (кэВ) оценок по AME2003 [16], 2012 [15] и 2016 [14] с использованием различных аппроксимаций $\Delta _{{np}}^{{cal}}\left( A \right)$ и теоретических оценок AME от экспериментальных значений AME2020 [9] для различных диапазонов ядер

  AME2003 AME2012 AME2016
A ≥ 40 120 180 40 120 180 40 120 180
$\Delta _{{np}}^{{cal}}$ [6] 747 308 201 466 192 139 381 149 127
$\Delta _{{np}}^{{cal}}$ (эта работа) 664 301 201 384 190 165 372 134 108
Оценки АМЕ данных лет 455 315 178 293 169 139 223 162 169

На рис. 2 показано, где проходит граница области существования ядер согласно разным массовым моделям. Положение границы существования определяется теми ядрами, для которых энергии отделения протона, пары протонов, нейтрона и пары нейтронов ${{S}_{p}},~{{S}_{{pp}}},~{{S}_{n}},~{{S}_{{nn}}} > 0$ меняют значение с положительного на отрицательное (где ${{S}_{p}} = B\left( {N,Z} \right) - B\left( {N,Z - 1} \right),$ остальные энергии отделения определены аналогичным образом). Положение границы существования ядер в области нейтронного избытка для ядер с $Z > 50$ по предсказаниям метода локальных массовых соотношений на основе Δnp при переходе к новой аппроксимации изменилось и стало ближе к оценкам макро-микроскопических моделей. Изменения могут быть объяснены большим количеством итераций метода (до 30–40), необходимых для предсказаний в этой области. Увеличение количества шагов ослабляет связь оценок с экспериментальными данными и увеличивает зависимость от выбора аппроксимации. Еще одной причиной может являться изменение фактических значений ${{{{\Delta }}}_{{np}}}$ для нейтроноизбыточных ядер при том, что аппроксимация проводится на близких к линии стабильности экспериментально изученных ядрах. Несмотря на перечисленные факторы возможного снижения предсказательной способности метода в обсуждаемой области, оценки верно воспроизводят магические особенности ядер (чувствительность нейтронной границы существования ядер к магическому числу $N = 126$) даже при отсутствии оболочечных поправок к аппроксимации.

Рис. 2.

Результаты для определения положения границ существования ядер на основе различных подходов к оценкам энергий связи. Темно-синяя область – экспериментальные значения AME2020 [9], серая область – предыдущие результаты [6, 7], голубая область – результаты этой работы, зеленая жирная линия – результаты WS + RBF [11], красная тонкая линия – результаты HFB-24 [12].

Область оценок на основе ${{{{\Delta }}}_{{np}}}$ ограничена ядрами с $Z \leqslant 109$ и $N \leqslant 158$ в связи с топологическими особенностями формулы (1) и доступностью экспериментальных данных. Продвижение в область более тяжелых ядер возможно при использовании дополнительных оценок на основе экспериментальных значений энергий α-распада или при применении прочих методов, например алгоритмов машинного обучения. Соответствующие расчеты на основе данных AME2016 были представлены ранее [6–8].

РАСЧЕТЫ НУКЛЕОСИНТЕЗА

Астрофизический r-процесс сегодня считается основным источником тяжелых элементов во Вселенной [22], при этом критические условия протекания обуславливают возможность только теоретического изучения этого процесса. Моделирование r-процесса во многом основано на данных о ядерных массах, экспериментальные значения которых недоступны в области протекания процесса, поэтому выбор того или иного подхода для предсказания масс неизвестных ядер приобретает важное значение.

На рис. 3 приведены массовые распределения r-изотопов в канонической модели по результатам расчетов в SkyNet [23]. Использованы расчетные скорости реакций захвата нейтронов (n, γ) при температурах 0.1–10 ГК, полученные с использованием TALYS [24] на основе различных массовых моделей. Предварительное обсуждение влияния выбора параметров статистической модели на выходы изотопов в r-процессе приведено в работе [25]. Расхождения результатов распределения изотопов для некоторых массовых чисел A превышают три порядка. Наблюдаются также и качественные различия. Так, микро-макроскопические модели FRDM и WS + RBF в области A = = 70–90 предсказывают несколько заметных провалов, которые не наблюдаются для оценок на основе ${{{{\Delta }}}_{{np}}}$ и HFB-24. В области A = 100–170 результаты FRDM имеют повышенный выход относительно прочих моделей, а для изотопов с $A > 180$ концентрации FRDM, напротив, пониженный.

Рис. 3.

Результаты для выхода r-процесса при расчетах скоростей протекания реакций $\left( {n,\gamma } \right)$ на основе различных оценок энергий связи. Жирная черная линия для результатов этой работы, зеленая жирная линия для результатов WS + RBF [11], красная прерывистая тонкая линия для результатов HFB-24 [12], синяя тонкая линия для результатов FRDM [10].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предсказания энергий связи методом локальных массовых соотношений на основе формулы для остаточного нейтрон-протонного взаимодействия (1) демонстрируют высокую точность, сопоставимую с точностью наиболее широко используемых в ядерной физике моделей. Предложенная в работе [7] концепция предсказания энергий связи с применением алгоритмов машинного обучения при использовании в качестве входных параметров энергий связи нескольких соседних ядер продемонстрировала хорошую предсказательную способность.

Корректировка аппроксимации остаточного нейтрон-протонного взаимодействия позволяет дополнительно повысить точность предсказаний, поэтому может быть рекомендована к дальнейшему применению для оценок энергий связи. На основе скорректированной аппроксимации и экспериментальных данных AME2020 получены новые оценки энергий связи в области ядер с $Z \leqslant 109$ и $N \leqslant 158,$ а также уточнено положение границ существования атомных ядер.

Продемонстрирована высокая чувствительность результатов моделирования r-процесса к выбору массовой модели. Существенные качественные и количественные отличия результирующих распределений изотопов указывают на актуальность дальнейших исследований источников наблюдаемых отличий.

Работа выполнена при поддержке Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета “Фундаментальные и прикладные исследования космоса”.

Список литературы

  1. Lunney D., Pearson J.M., Thibault C. // Rev. Mod. Phys. 2003. V. 75. P. 1021.

  2. Sobiczewski A., Litvinov Yu.A., Palczewski M. // ADNDT. 2018. V. 119. P. 1.

  3. Garvey G.T., Kelson I. // Phys. Rev. Lett. 1966. V. 16. P. 197.

  4. Janecke J., Behrens H. // Phys. Rev. C. 1974. V. 9. P. 1276.

  5. Fu G.J., Lei Y., Jiang H. et al. // Phys. Rev. C. 2011. V. 84. Art. No. 034311.

  6. Vladimirova E.V., Ishkhanov B.S., Simonov M.V. et al. // Int. J. Mod. Phys. E. 2021. V. 30. Art. No. 2150025.

  7. Vladimirova E.V., Simonov M.V., Tretyakova T.Yu. // AIP Conf. Proc. 2021. V. 2377. Art. No. 070003.

  8. Симонов М.В., Владимирова Е.В., Ишханов Б.С., Третьякова Т.Ю. // Изв. РАН. Сер. физ. 2021. Т. 85. С. 676; Simonov M.V., Vladimirova E.V., Tretyakova T.Yu., Ishkhanov B.S. // Bull. Rus. Acad. Sci. Phys. 2021. V. 85. P. 521.

  9. Kondev F.G., Wang M., Huang W.J. et al. // Chin. Phys. C. 2021. V. 45. Art. No. 030003.

  10. Moller P., Nix J.R., Myers W.D., Swiatecki W.J. // ADNDT. 1995. V. 59. P. 185.

  11. Ma N.N., Zhang H.F., Bao X.J., Zhang H.F. // Chin. Phys. C. 2019. V. 43. Art. No. 044105.

  12. Goriely S., Chamel N., Pearson J.M. // Phys. Rev. Lett. 2017. V. 102. Art. No. 152503.

  13. Кравцов В.А. // ЖЭТФ. 1959. Т. 36. С. 1224; Kravtsov V. A. // Sov. Phys. JETP. 1959. V. 36. P. 871.

  14. Audi G., Kondev F. G., Wang M. et al. // Chin. Phys. C. 2017. V. 41. Art. No. 030001.

  15. Audi G., Wang M., Wapstra A.H. et al. // Chin. Phys. C. 2012. V. 36. P. 1287.

  16. Audi G., Bersillon O., Blachot J., Wapstra A.H. // Nucl. Phys. A. 2003. V. 729. P. 3.

  17. Wang N., Liu M. // J. Phys. Conf. Ser. 2013. V. 420. Art. No. 012057.

  18. Hilaire S., Berger J.-F., Girod M. et al. // Phys. Lett. B. 2002. V. 531. P. 61.

  19. Madland D.G., Nix J.R. // Nucl. Phys. A. 1988. V. 476. P. 1.

  20. Jensen A.S., Hansen P.G., Jonson B., Vogel P. // Nucl. Phys. A. 1984. V. 431. P. 393.

  21. Nemirovsky P.E., Adamchuk Yu.V. // Nucl. Phys. 1962. V. 39. P. 551.

  22. Arnould M., Goriely S., Takahashi K. // Phys. Rep. 2007. V. 450. P. 97.

  23. Lippuner J., Roberts L.F. // ApJS. 2017. V. 1. P. 233.

  24. Koning A.J., Rochman D., Sublet J.-Ch. et al. // Nucl. Data Sheets. 2019. V. 1. P. 155.

  25. Негребецкий В.В., Стопани К.А. // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физ. и астрон. 2021. № 1. С. 17; Negrebetskiy V.V., Stopani K.A. // Moscow Univ. Phys. 2021. V. 76. P. 22.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал