Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 9, стр. 1320-1327

ВВЕДЕНИЕ

Легкие слабосвязанные ядра, расположенные на границах нейтронной и протонной стабильности и отличающиеся от обычных ядер (расположенных вблизи линии стабильности), называют экзотическими [1]. Важным инструментом исследования свойств экзотических ядер являются ядерные реакции с их участием. При касательных столкновениях внешние нуклоны ядра-снаряда могут захватываться ядром-мишенью (реакции передачи) или высвобождаться (реакции развала). Для описания слабосвязанных ядер возможно применение обощенной модели, где нуклоны ядра разделяют на образующие сильно связанный остов и внешние нуклоны. Протяженную часть распределения слабосвязанных нуклонов за пределами остова называют гало [2]. Примерами таких систем с одним и двумя внешними нейтронами можно считать ядра ¹¹Вe (остов ¹⁰Be и нейтрон с энергией отделения 0.502 МэВ [3]) и ¹¹Li (остов ⁹Li и два нейтрона с энергией отделения 0.369 МэВ [3]). При описании процессов передачи и развала в ходе ядерных столкновений применима модель, в которой внешний нуклон находится в поле двух силовых центров – ядра-мишени и остова ядра-снаряда.

Реакции с ядрами ¹¹Li и ¹¹Be изучались в работах [4–8]. В качестве ядер-мишеней использовались ядра ⁵⁸Ni (реакция ¹¹Li + ⁵⁸Ni) [4], ¹²С (реакция ¹¹Li + ¹²С) [5], ²⁰⁹Bi (реакция ¹¹Li + ²⁰⁹Bi) [6], ²⁸Si (реакции ¹¹Li + ²⁸Si [7]), ¹¹Be+⁴⁸Ti [8]. Использование ядер-мишеней ²⁸Si создает более благоприятные условия для проведения эксперимента, поскольку позволяет совместить мишень и детектор [7, 9, 10]. Существование длинного хвоста в распределении нуклонов ядра ¹¹Be было подтверждено экспериментально [11] путем сравнения полных сечений реакций при различных энергиях. Полные сечения реакций со слабосвязанным ядром ¹¹Li в низкоэнергетической области растут с ростом энергии. Основной вклад в такое увеличение может давать канал срыва двух внешних (валентных) слабосвязанных нейтронов. Поэтому интерес представляет эволюция волновой функции гало нейтрона и механизм реакции его срыва. Данная статья посвящена теоретическому исследованию потери внешнего нуклона за счет процессов передачи и развала в реакции ¹¹Li + ²⁸Si при энергиях до 55 МэВ/нуклон в рамках нестационарного подхода. Также представлены расчеты для описания динамики потери внешнего нейтрона ядром ¹¹Be в реакции ¹¹Be + ⁴⁸Ti при энергиях 20.45 и 41.0 МэВ/нуклон.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Численное решение нестационарного уравнения Шредингера с учетом спин-орбитального взаимодействия [9, 10, 12–14] позволяет исследовать динамику срыва внешних слабосвязанных нейтронов ядер ¹¹Li и ¹¹Be и определять вклады каналов передачи нейтрона и развала ядра при низкоэнергетических столкновениях с тяжелым ядром-мишенью. Нестационарное уравнение Шредингера для двухкомпонентной спинорной волновой функции нейтрона

в среднем поле со спин-орбитальным взаимодействием (LS) сталкивающихся ядер имеет вид:

Малость длин волн де Бройля взаимодействующих ядер по сравнению с их размерами позволяет рассматривать движение центров ядер массами ${{m}_{1}},$ ${{m}_{2}}$ вдоль траекторий, вычисляемых с помощью классических уравнений движения

где ${{V}_{{12}}}$ – потенциал ядро-ядерного взаимодействия, при расчетах он был выбран в форме Акюза–Винтера [15].

Ранее, в работах [9, 10, 12–14, 16], численное решение нестационарного уравнения Шредингера выполнялось в системе центра масс. Ядра ¹¹Li и ¹¹Be имеют большие протяженные нейтронные “облака”, поэтому для численного решения нестационарного уравнения Шредингера использовалась система отсчета, которая двигалась относительно лабораторной системы с постоянной скоростью [17]. Скорость движения данной системы отсчета была равна скорости ядра-снаряда на большой дистанции от ядра-мишени до столкновения. Таким образом, удалось сократить время вычислений и уменьшить размеры пространственной сетки.

Для численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера с учетом спин-орбитального взаимодействия, была использована пространственная сетка с размерами (x × y × z) 90 × × 54 × 96 фм³ с наибольшим числом узлов в плоскости столкновения xOz и шагом сетки 0.3 фм. Шаг по времени в безразмерных переменных $\tau = {t \mathord{\left/ {\vphantom {t {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}}$ изменялся от $\Delta \tau = 0.1$ (для минимальной энергии) до $\Delta \tau = $0.05 (для максимальной энергии), где ${{t}_{0}} = {{mx_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{mx_{0}^{2}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar } = 1.57 \cdot {{10}^{{ - 23}}}$ c, ${{x}_{0}} = $1 фм, m − масса нейтрона. Для описания эволюции волновой функции до момента разлета ядер на относительно большое расстояние выполнялось большое число шагов по времени (2000–3000). Часть расчетов проведена на гетерогенном кластере ЛИТ ОИЯИ [18].

В качестве начального условия $\Psi \left( {\vec {r},t = 0} \right)$ при решении нестационарного уравнения использовались волновые функции стационарного состояния ${{\Psi }_{{n\,,l,\,j,\,{{m}_{j}}}}}$ в среднем поле ядра-снаряда, детали вычислений приведены в работе [19]. Ядро-снаряд ¹¹Li деформировано со значением параметра квадрупольной деформации ${{\beta }_{2}}$ = –0.636 ± 0.121 [20]. С учетом того, что соседние с ядром ¹¹Be ядра ⁹Be (${{\beta }_{2}} \approx 0.9$) и ¹⁰Be (${{\beta }_{2}} \approx 1.1$) также деформированы, для ядра ¹¹Be можно использовать оценочное значение параметра деформации ${{\beta }_{2}}$ = 1.

Плотность вероятности для состояний с квантовыми числами n, l, j, ${{m}_{j}} = - j,...j$ имеет вид

Для внешних нейтронов в состоянии с $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ ядра ¹¹Li при ${{\beta }_{2}} = - 0.64$ и ядра ¹¹Be при ${{\beta }_{2}} = 1$ плотности вероятности показаны соответственно на рис. 1а и 1б. Внешние нейтронные облака в оболочечной модели сферического ядра для ¹¹Li и ¹¹Be (рис. 1в) мало отличаются от распределений, усредненных по различным ориентациям деформированного ядра (рис. 1а и 1б). Поэтому для ядер-снарядов ¹¹Li и ¹¹Be в расчетах использовалась модель сферического ядра. Для описания ядер-мишеней ²⁸Si и ⁴⁷Тi также использовалось приближение сферического ядра, как в работах [9, 10, 17]. Начальные волновые функции

для $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ с условием нормировки для состояний с квантовыми числами n = 1, l = 1, j = 1/2, ${{m}_{j}} = - j,...j$ определялись из оболочечной модели со средним центральным полем в форме Вудса–Саксона. Параметры данного среднего поля выбраны таким образом, чтобы теоретические значения энергии отделения внешних нейтронов соответствовали экспериментальным данным.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Примеры эволюции плотности вероятности

внешнего нейтрона ядра ¹¹Li при столкновении с ядром ²⁸Si c прицельным параметром b = 8 фм показаны на рис. 2 для энергий в лабораторной системе ${{E}_{{lab}}} = 2.5$ МэВ/нуклон (рис. 2а и 2б) и ${{E}_{{lab}}} = 30.0$ МэВ/нуклон (рис. 2г и 2д). Первое значение энергии соответствует энергии в системе центра масс ${{E}_{{c.m}}} = 20$ МэВ, второе – ${{E}_{{c.m}}} = 237$ МэВ. В случае, когда скорость относительного движения ядер меньше средней скорости внешнего нейтрона (рис. 2а), внешние нейтроны при сближении ядер обобществляются и заселяют двуцентровые связанные состояния. Далее, при разлете ядер, двуцентровые состояния преобразуются в связанные одночастичные состояния в ядрах и в несвязанные состояния непрерывного спектра (рис. 2б). В случае больших энергий (рис. 2г и 2д), средняя скорость внешних нейтронов меньше относительной скорости ядер, в момент наибольшего сближения ядер нейтроны не успевают заселить связанные состояния в ядре-мишени. Большая часть плотности вероятности нейтрона переходит в состояния непрерывного спектра. Вероятность передачи нейтрона на рис. 2г существенно меньше, чем на рис. 2б, а вероятность развала ядра ¹¹Li на ядро ¹⁰Li и свободный нейтрон существенно выше. Примеры эволюции плотности вероятности внешнего нейтрона ¹¹Be в ходе столкновения с ядром ⁴⁸Тi при энергии ${{E}_{{{\text{lab}}}}} = $ 20.45 МэВ/нуклон (${{E}_{{c.m}}} = $ 183.0 МэВ) и 41.0 МэВ/нуклон (${{E}_{{c.m}}}$ = 366.9 МэВ) показаны на рис. 3. При таких энергиях внешний нейтрон, не успевая заселить связанные состояния в ядре-мишени, переходит в состояние континуума (рис. 3б и 3г). При этом можно заметить, что нейтрон вылетает под большим углом к направлению движения ядра-снаряда.

Волновая функция нейтрона в состоянии $1{{p}_{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ c проекцией полного момента ${{m}_{j}}$ в движущемся со скоростью ${{\vec {\nu }}_{1}}(t)$ ядре-снаряде имеет вид

Вероятность потери нейтрона P_loss ядром ¹¹Li в момент времени, соответствующий разлету ядер на достаточно большие расстояния ${{P}_{{loss}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{P}_{{loss}}}(t)$ определялась как

где амплитуда вероятности, соответствующая сохранению нуклона ядром-снарядом в начальном состоянии 1p_1/2 в момент времени t.

Оценка погрешности вычисления вероятности (9) была выполнена для неподвижного изолированного ядра-снаряда в работе [17]. При большом шаге по времени погрешность была порядка ${{10}^{{ - 4}}},$ как и в работе [17]. Типичные зависимости вероятности ${{P}_{{loss}}}$ от расстояния ${{R}_{{min}}}$ между центрами ядер при минимальном сближении ядер для столкновений ¹¹Li + ²⁸Si показаны на рис. 4а. В ходе расчетов предполагалось, что расстояния ${{R}_{{min}}}$ превышали сумму радиуса остова ядра-снаряда ${{R}_{{\text{1}}}} = {{r}_{0}}A_{1}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}$ и ядра-мишени ${{R}_{{\text{2}}}} = {{r}_{0}}A_{2}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}},$ ${{R}_{{min}}} \geqslant {{R}_{{cont}}} = {{R}_{{\text{1}}}} + {{R}_{2}} = 6.25$ фм, ${{r}_{0}}$ = 1.25 фм.

Для определения вероятности передачи нейтрона ядром-снарядом в ходе столкновения вычислялись амплитуды вероятности заселения k-го связанного состояния в ядре-мишени, которое движется со скоростью ${{\vec {\nu }}_{2}}(t){\text{:}}$

где

– волновая функция k-го связанного состояния в ядре-мишени. Вероятность передачи внешнего нуклона от ядра-снаряда ядру-мишени ²⁸Si равна сумме квадратов модулей амплитуд (11) для четырех незанятых до столкновения состояний k = = {$2{{s}_{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$ $1{{d}_{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$ $1{{f}_{{{7 \mathord{\left/ {\vphantom {7 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$ $2{{p}_{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$}:

при временах t соответствующих разлету ядер на большие расстояния ${{P}_{{tr}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{P}_{{tr}}}(t).$ Типичные зависимости вероятности ${{P}_{{tr}}}$ от минимального расстояния ${{R}_{{min}}}$ между центрами ядер для столкновений ¹¹Li + ²⁸Si показаны на рис. 4б.

Вероятности передачи нейтрона ${{\tilde {P}}_{{tr}}}$ и потери внешнего нейтрона ядром-снарядом ${{\tilde {P}}_{{loss}}}$ могут быть аппроксимированы выражениями (см. рис. 4а и 4б)

с дополнительными ограничениями

Энергетическая зависимость параметра ${{A}_{{loss}}}$ представлена на рис. 4в, параметр ${{A}_{{loss}}}$ уменьшается с ростом энергии столкновения. Параметр B_loss практически не зависит от энергии и для энергий ${{E}_{{c.m.}}}$ до 450 МэВ имеет значение ${{\bar {B}}_{{loss}}} = 0.530 \pm 0.014$ фм⁻¹.

Поскольку энергия отделения нейтрона от ядра ¹⁰Li отрицательна (–26.42 кэВ) в расчетах предполагалось, что срыв одного нейтрона приводит к образованию ⁹Li с большой вероятностью, близкой к 1. В ходе расчетов предполагалось, что нейтроны ведут себя как независимые друг от друга частицы. C внешними нейтронами ядра ¹¹Li после столкновения с мишенью могут произойти следующие события: событие а – потеря одного из внешних нейтронов с сохранением другого, событие б – потеря второго нейтронов с сохранением первого, событие в – потеря двух нейтронов одновременно. Вероятности событий а и б для внешнего нейтрона ¹¹Li равны величине P_loss(1 – P_loss). Вероятность одновременной потери двух нейтронов ядром ¹¹Li определяется как $P_{{loss}}^{2}.$ Таким образом, сумма вероятностей событий а, б, в определяет вероятность срыва двух нейтронов с ядра ¹¹Li в результате столкновения с мишенью:

Сечение ${{\sigma }_{{ - 2n}}}$ потери внешних нуклонов в реакции (¹¹Li, ⁹Li) вычислялось интегрированием по прицельным параметрам b [9, 17]

где $f\left( {{{R}_{{min}}}} \right)$ − вероятность слияния ядер. При энергиях в системе центра масс выше кулоновского барьера прицельный параметр ${{b}_{{min}}}$ соответствует траектории, при которой центры ядер сближаются на расстояние ${{R}_{{cont}}}$ и происходит касание поверхностей остова ядра-снаряда и ядра-мишени. Для функции $f\left( {{{R}_{{min}}}} \right)$ со свойствами где R_B – радиус вершины кулоновского барьера, ${{R}_{B}}$ = 8.9 фм для ядер ¹¹Li + ²⁸Si, использована аппроксимация, предложенная в работе [17]

Набор параметров

может служить естественным приближением, в данном случае ${{R}_{f}}$ = 7.53 фм, ${{a}_{f}}$ = 1.28 фм. Средний радиус слияния ядер ${{R}_{f}}$ можно принять в качестве варьируемой величины, которая определяется из условия близкого соответствия теоретических расчетов и экспериментальных данных. На рис. 4г показаны результаты расчета сечения потери внешних нейтронов ядром ¹¹Li ${{\sigma }_{{ - 2n}}}\left( {{{E}_{{c.m}}}} \right)$ для двух значений радиуса ${{R}_{f}}.$ Для первого (естественного) значения ${{R}_{f}}$ = 7.53 фм сечения потери нейтронов ${{\sigma }_{{ - 2n}}}$ при ${{E}_{{c.m}}} > 100$ МэВ несколько выше экспериментальных значений из работы [7]. Второе значение ${{R}_{f}} = 7.7$ фм было подобрано из условия лучшего совпадения теоретических значений с экспериментальными. При энергиях меньших, чем ${{E}_{{c.m}}} = 39$ МэВ, ${{E}_{{lab}}} = 5$ МэВ/нуклон передачи нейтрона дают основной вклад в сечения потери внешних нейтронов ядром ¹¹Li, сечение развала значительно меньше. С ростом энергии сечение передачи нейтрона быстро уменьшается, поскольку нейтрон не успевает перейти с ядра-снаряда на ядро-мишень за время близкого контакта ядер (см. рис. 4б) По аналогии с реакцией ¹¹Li + ²⁸Si можно предсказать, что экспериментальные значения сечения для реакции ¹¹Be + ⁴⁸Ti окажутся близкими к результатам расчетов для значения параметра ${{R}_{f}} \approx 8.4$ фм.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нестационарный квантовый подход применен для описания процессов передачи и развала слабосвязанных легких ядер ¹¹Li, ¹¹Вe при низкоэнергетических ядро-ядерных столкновениях с ядрами ²⁸Si, ⁴⁸Ti. Получено согласие с экспериментальными данными для сечения развала в реакции ¹¹Li + ²⁸Si. Метод может быть полезен при исследовании реакций развала и передачи с участием ядер со слабосвязанными нуклонами.