Известия РАН. Серия физическая. T. 87, Номер 12, 2023

  1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 87, № 12, 2023

Известия РАН. Серия физическая, 2023, T. 87, № 12, стр. 1688-1694

Исследование распространения в свободном пространстве три-Эйри пучков

Д. В. Прокопова 1, *, Е. Г. Абрамочкин 1

1 Самарский филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Физического института имени П.Н. Лебедева Российской академии наук
Самара, Россия

* E-mail: prokopovadv@gmail.com

Поступила в редакцию 24.07.2023
После доработки 14.08.2023
Принята к публикации 28.08.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

Теоретически, численно и экспериментально исследуется распространение в свободном пространстве три-Эйри пучков при наличии оптического вихря и без него. Такие поля интересны для задач современной фотоники благодаря компактной локализации интенсивности поля при распространении, самовосстановлению, автофокусировке и изменению структуры интенсивности строго определенным образом, что полезно для различных приложений.

ВВЕДЕНИЕ

Начиная с 2004 г., когда были теоретически получены и экспериментально реализованы пучки Эйри, световые поля, построенные на основе интегралов дифракционных катастроф, вызывают все больший интерес у исследователей в области оптики и фотоники, благодаря свойствам, которые сильно отличают их от обычных Гауссовых пучков. Сама теория катастроф – это раздел математики, появившийся в конце 60-х годов и получивший свое развитие в 80-е годы ХХ в. [1, 2]. Функция Эйри – простейший представитель семейства интегралов дифракционных катастроф и обычно определяется как преобразование Фурье чисто фазовой экспоненты с показателем кубического вида:

(1)
${\text{Ai}}(x) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\mathbb{R} {\exp \left( {\frac{{i{{t}^{3}}}}{3} + ixt} \right)} dt.$

Легко доказать, что функция Ai(x) вещественна и стремится к нулю при $x \to \pm \infty $. Разнообразные свойства функции Эйри Ai приведены в [3]. Световые пучки Эйри [4] обладают такими экзотическими свойствами как самофокусировка [5–7] и самовосстановление [8–10]. В работе [11] были рассмотрены двумерные световые поля, заданные в исходной плоскости как произведение трех одномерных пучков Эйри, которые смещены из центра координат и повернуты так, чтобы итоговое поле обладало инвариантностью к повороту на 120°:

(2)
$\begin{gathered} {\text{A}}{{{\text{i}}}_{3}}(x,y,a) = \\ = {\text{Ai}}\left( {\frac{{x\sqrt 3 - y}}{2} + a} \right){\text{Ai}}\left( {\frac{{ - x\sqrt 3 - y}}{2} + a} \right){\text{Ai}}(y + a). \\ \end{gathered} $

(Заметим, что экспоненциальный множитель, характерный для одномерных пучков Эйри, отсутствует в (2), поскольку сумма аргументов всех трех функций Эйри не зависит от переменных x, y.) Световые поля (2) были названы три-Эйри пучками (Ai3). В 2010 г. в работе [11] было получено аналитическое выражение Фурье-образа таких пучков:

(3)
$\begin{gathered} \mathcal{F}[{\text{A}}{{{\text{i}}}_{3}}(\vec {\rho },a)](\vec {r}) = \frac{1}{{{{3}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 6}} \right. \kern-0em} 6}}}}\pi }}\exp \left( { - \frac{{2i}}{{27}}(3{{x}^{2}}y - {{y}^{3}})} \right) \times \\ \times \,\,{\text{Ai}}\left( {{{3}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}a + \frac{{2{\text{|}}\vec {r}{{{\text{|}}}^{2}}}}{{{{3}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}}} \right), \\ \end{gathered} $
где

(4)
$\mathcal{F}[f(\vec {\rho })](\vec {r}) = \frac{1}{{2\pi }}\iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {{{e}^{{ - i\left\langle {\vec {r},\vec {\rho }} \right\rangle }}}f(\vec {\rho }){{d}^{2}}\vec {\rho }}$

– двумерное преобразование Фурье. Здесь и далее мы используем векторную символику: $\vec {r}$ = (x, y), $\vec {\rho }$ = (ξ, η).

Кроме того, в [11] была численно исследована эволюция три-Эйри пучков при распространении в свободном пространстве для некоторых значений а. В последующие годы были опубликованы работы [12, 13] с экспериментальной реализацией три-Эйри пучков при a ∈ [–5.5; –1.1].

Пучки Эйри нашли разнообразное применение в современной оптике и фотонике. В 2008 г. вышла статья [14], в которой представлены результаты применения Эйри пучков для оптической сортировки микрообъектов. Благодаря особому распределению интенсивности микрочастицы притягиваются к основному максимуму, из которого частицы направляются вверх по параболической траектории. Такое устройство получило название “optically mediated particle clearing” (оптически опосредованная очистка частиц) и послужило основой для новых микрофлюидных приложений в коллоидной химии и биологии. В 2009 г. было продемонстрировано создание искривленных плазменных каналов (филаментов) при помощи фемтосекундных импульсов Эйри [15]. Филаментация востребована для дистанционного зондирования концентрации загрязняющих веществ в атмосфере Земли, создания терагерцового излучения. Также интересной и актуальной задачей является создание устойчивых световых пуль [16] и исследование их распространения в различных средах [17, 18]. Пучки Эйри также были использованы для расширения возможностей различных систем наноскопии (оптической микроскопии сверхвысокого пространственного разрешения). В работах [19, 20] пучки Эйри применялись для расширения возможностей микроскопии световых листов (или плоскостного освещения, “light-sheet microscopy”). Инвариантность интенсивности пучков Эйри при распространении и более компактный главный максимум (по сравнению с пучками Бесселя) открывает новые возможности данного метода наноскопии. В работе [21] изложен новый метод локализационной микроскопии с использованием двойного пучка Эйри. Предложенный метод обеспечивает точную трехмерную локализацию с большим осевым диапазоном по сравнению с другими методами данного класса микроскопии, обладает потенциалом для визуализации при большой плотности излучателей. Точность локализации 30 нм и меньше была достигнута в рабочем диапазоне глубин свыше 7 мкм при использовании объектива с увеличением 60 и числовой апертурой 1.4. Также в работе [21] показаны возможности метода при визуализации кровотока в живых рыбках данио. В работе [22] исследовались вопросы создания и управления плазмонными пучками Эйри (plasmonic Airy beams).

Наряду с изучением световых пучков Эйри, в оптике присутствует постоянный интерес к разного рода пучкам с фазовыми сингулярностями. Они широко применяются для оптического захвата и манипуляции микрообъектами [23, 24].В данной работе мы численно и экспериментально исследуем три-Эйри пучки (2), в центр которых добавлен оптический вихрь первого порядка. Мы обсудим возможности эффективной численной реализации распространения в зоне Френеля такого вида световых полей на основе разложения по базису мод Эрмита–Гаусса. Экспериментально три-Эйри пучки были сформированы голографическим методом с помощью пространственного модулятора света.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

Разложение три-Эйри поля по базису мод Эрмита–Гаусса

Известно [25], что моды Эрмита–Гаусса, HGn, m($\vec {r}$),

(5)
$\begin{gathered} H{{G}_{{n,m}}}(\vec {r}) = \frac{{{{\mathcal{H}}_{{n,m}}}(\vec {r})}}{{\left\| {{{\mathcal{H}}_{{n,m}}}(\vec {r})} \right\|}},\,\,\,\,{{\mathcal{H}}_{{n,m}}}(\vec {r}) = \exp ( - {\text{|}}\vec {r}{{{\text{|}}}^{2}}){{H}_{n}}(\sqrt 2 y), \\ \left\| {{{\mathcal{H}}_{{n,m}}}(\vec {r})} \right\| = \sqrt {\pi {{2}^{{n + m - 1}}}n!m!} \,, \\ \end{gathered} $

образуют ортонормированный базис в пространстве двумерных световых полей с конечной энергией. Тем самым, любое поле с конечной энергией можно разложить в ряд

(6)
$F(\vec {r}) = \sum\limits_{n,m \geqslant 0} {{{c}_{{n,m}}}H{{G}_{{n,m}}}\left( {\frac{{\vec {r}}}{w}} \right)} ,$

где коэффициенты разложения определяются равенством

(7)
${{c}_{{n,m}}} = \frac{1}{{{{w}^{2}}}}\iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {F(\vec {r})H{{G}_{{n,m}}}\left( {\frac{{\vec {r}}}{w}} \right){{d}^{2}}\vec {r}}.$

Распространение двумерного параксиального светового поля в свободном пространстве описывается интегральным преобразованием Френеля:

(8)
$\begin{gathered} F{{R}_{z}}[F(\vec {\rho })](\vec {r}) = \\ = \frac{k}{{2\pi iz}}\iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {\exp \left( {\frac{{ik}}{{2z}}{\text{|}}\vec {r} - \vec {\rho }{{{\text{|}}}^{2}}} \right)}F(\vec {\rho }){{d}^{2}}\vec {\rho } = F(\vec {r},z), \\ \end{gathered} $

где $F(\vec {\rho })$ – комплексная амплитуда светового поля в плоскости z = 0, k = $\frac{{2\pi }}{\lambda }$ – волновое число, λ – длина волны света.

Для мод Эрмита–Гаусса преобразование Френеля хорошо известно:

(9)
$\begin{gathered} F{{R}_{z}}\left[ {H{{G}_{{n,m}}}\left( {\frac{{\vec {\rho }}}{w}} \right)} \right](\vec {r}) = \\ = {\text{|}}\sigma {\text{|}}\exp \left( {\frac{{2iz{\text{|}}\vec {r}{{{\text{|}}}^{2}}}}{{k{{w}^{4}}{\text{|}}\sigma {{{\text{|}}}^{2}}}} - i(n + m + 1){\kern 1pt} \arg {\kern 1pt} \sigma } \right)H{{G}_{{n,m}}}\left( {\frac{{\vec {r}}}{{w\left| \sigma \right|}}} \right), \\ \end{gathered} $

где $\sigma = 1 + \frac{{2iz}}{{k{{w}^{2}}}}$ – вспомогательный комплексный параметр, введенный для краткости. Следовательно, эволюция поля (6) в свободном пространстве может быть записана в виде

(10)
$\begin{gathered} F{{R}_{z}}[F(\vec {\rho })](\vec {r}) = {\text{|}}\sigma {\text{|exp}}\left( {\frac{{2iz{\text{|}}\vec {r}{{{\text{|}}}^{2}}}}{{k{{w}^{4}}{\text{|}}\sigma {{{\text{|}}}^{2}}}}} \right) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{n,m \geqslant 0} {{{c}_{{n,m}}}{{e}^{{ - i(n + m + 1)\arg {\kern 1pt} \sigma }}}H{{G}_{{n,m}}}\left( {\frac{{\vec {r}}}{{w{\text{|}}\sigma {\text{|}}}}} \right)} . \\ \end{gathered} $

Таким образом, после нахождения коэффициентов cn,m поля F($\vec {r}$) в начальной плоскости по формуле (7), можно подставить их в разложение (10) и исследовать поведение поля F($\vec {r}$) при распространении в зоне Френеля. Тот факт, что коэффициенты разложения при переходе от одной плоскости z к другой не нужно пересчитывать (они только домножаются на чисто фазовую экспоненту в соответствующей степени), позволяет сильно уменьшить время счета. Тем не менее, остается открытым вопрос выбора наиболее оптимального значения ширины Гауссова пучка w и, как следствие, верхних пределов изменения индексов суммирования 0 ≤ n ≤ N, 0 ≤ m ≤ M при замене двойного ряда в (10) конечной суммой для получения приемлемой точности вычислений.

Для нахождения w использовался метод наименьших квадратов (MНК) применительно к разности амплитуд световых полей по норме пространства функций, интегрируемых с квадратом. В исходной плоскости величина w по МНК для три-Эйри пучка получается, как решение задачи на минимум:

(11)
$\begin{gathered} f(w) = \\ = {{\iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {\left\{ {{\text{|A}}{{{\text{i}}}_{3}}(\vec {r};a){\text{|}} - {\text{A}}{{{\text{i}}}^{3}}(a)\exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{{{w}^{2}}}}} \right)} \right\}}}^{2}}{{d}^{2}}\vec {r} \to \mathop {\min }\limits_w , \\ \end{gathered} $
где параметр смещения выбран как a = ${{3}^{{ - {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}{{a'}_{1}}$ ≈ ≈ ‒0.489. Здесь ${{a'}_{1}}$ ≈ –1.018 – первый нуль функции Ai′(x), т.е. точка, в которой достигается глобальный максимум функции Эйри. Такой выбор параметра смещения связан с тем, что, несмотря на треугольную структуру интенсивности пучка Ai3($\vec {r}$, a) при a = ${{3}^{{ - {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}{{a'}_{1}}$, он наиболее похож на Гауссово пятно. Численное решение задачи (11) приводит к значению w ≈ 1.313. Аналогичная постановка задачи для поля в Фурье плоскости,

(12)
$\begin{gathered} f(w) = \iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {\left\{ {\left| {{\text{Ai}}\left( {{{{a'}}_{1}} + \frac{{2{{r}^{2}}}}{{{{3}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}}} \right)} \right| - } \right.} \\ \left. { - \,\,{\text{Ai}}({{{a'}}_{1}})\exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{{{w}^{2}}}}} \right)} \right\}{{d}^{2}}\vec {r} \to \mathop {\min }\limits_w , \\ \end{gathered} $

приводит к значению w ≈ 1.846. Оба варианта дают очень хорошие аппроксимации три-Эйри пучка для всех значений z ∈ [0, +∞), хотя весьма предсказуемо, что при замене бесконечного ряда (6) конечной суммой выбор w ≈ 1.846 выгоднее в окрестности исходной плоскости, а выбор w ≈ 1.313 – в окрестности плоскости Фурье.

Замена бесконечного ряда (6) конечной суммой, т.е. переход от n, m ≥ 0 к 0 ≤ n ≤ N, 0 ≤ m ≤ M и выбор значений N, M осуществлялся из следующих соображений. Ширина одномерного Гауссова пучка – это положительное решение уравнения $\exp \left( { - \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{w}^{2}}}}} \right)$ = $\frac{1}{e}$. Для двумерного поля F($\vec {r}$) находим уровень ${{F}_{0}} = \mathop {\max }\limits_{\vec {r} \in {{\mathbb{R}}^{2}}} \frac{{{\text{|}}F(\vec {r}){\text{|}}}}{e}$ и строим “псевдоноситель”: S($\vec {r}$) = 1, если |F($\vec {r}$)| ≥ F0 и S($\vec {r}$) = 0, если |F($\vec {r}$)| < F0. Этот псевдоноситель может иметь слишком причудливую форму, поэтому для простоты предпочтительно заключить его в прямоугольник $\left\{ {\left| x \right| \leqslant {{x}_{{\max }}},\,\,\left| y \right| \leqslant {{y}_{{\max }}}} \right\}$. Теперь в разложении (6) оставляем только те моды Эрмита–Гаусса, глобальный максимум которых находится внутри этого прямоугольника. Известно, что простейшая кольцевая мода Лагерра–Гаусса ${{\mathcal{L}}_{{0,K}}}\left( {\vec {r}} \right) = \exp \left( { - {{{\left| {\vec {r}} \right|}}^{2}}} \right){{\left( {x + iy} \right)}^{K}}$ разлагается по модам HGj,K–j($\vec {r}$), где индекс j пробегает значения от 0 до K. Кроме того, интенсивность моды Лагерра–Гаусса достигает максимума на окружности ${{r}_{{\max }}} = \sqrt {\frac{K}{2}} $. Тем самым, xmax = ymax = = rmax и для диапазонов индексов 0 ≤ n ≤ N, 0 ≤ m ≤ M в двойной конечной сумме верхние пределы превращаются в N = $2x_{{\max }}^{2}$ и M = $2y_{{\max }}^{2}$. По порядку величины это согласуется с известным результатом [26], что глобальный максимум xn одномерной моды Эрмита–Гаусса hn(x) = exp(–x2)Hn($\sqrt 2 x$) асимптотически находится около $\sqrt n $ (например, x16 ≈ 3.737; x36 ≈ 5.759). Для три-Эйри пучка (2) с параметром смещения a = –0.489 прямоугольник вокруг псевдоносителя имеет размеры xmax = ymax = 4. Поэтому N = M = 32. На самом деле значений N = M = 20 уже достаточно, чтобы получить точность вычислений в 3 знака после запятой (рис. 1). По-видимому, это вызвано супер-Гауссовым убыванием интенсивности Фурье-образа (4). Как видно из рисунка, в областях с близкой к нулю интенсивностью есть некоторые различия в распределении фазы, когда сравнивается три-Эйри пучок Ai3 и его конечная аппроксимация на основе разложения (6), но для распределения амплитуды получено хорошее согласие результатов. Следует отметить, что верхние границы N = $2x_{{\max }}^{2}$ и M = $2y_{{\max }}^{2}$ для конечной аппроксимации остаются справедливыми и при изменении параметра a, когда интенсивность три-Эйри пучка уже далека по форме от Гауссова пятна. Более того, эти же границы сохраняются и для три-Эйри пучка с оптическим вихрем, который будет рассмотрен далее.

Рис. 1.

Сравнение результатов расчета три-Эйри пучка Ai3 и его разложения по модам Эрмита–Гаусса (6) с w = 1.313 и N = M = 20 в начальной плоскости (а) и в Фурье-плоскости (б). Слева направо: Распределение амплитуды и фазы полученного поля, график вертикального сечения амплитуды полученных полей (при данном масштабе точное наложение) и разность вертикальных сечений амплитуд (отклонения в третьем знаке после запятой). Верхний ряд для три-Эйри пучка Ai3, нижний – для его разложения по модам Эрмита–Гаусса.

Три-Эйри пучок с добавлением оптического вихря

Рассмотрим вопрос об эволюции в зоне Френеля три-Эйри пучка с внедренным топологическим зарядом величины n, что соответствует полю (ξ + + iη)nAi3($\vec {\rho }$, a) в исходной плоскости. Можно показать, что Фурье-образ такого пучка выражается через функцию Эйри, ее производную и некоторые полиномы от x, y. Эти полиномы удобно записать, используя комплексные переменные q = x + iy и q* = x – iy. Тогда равенство (3) примет вид:

(13)
$\begin{gathered} \mathcal{F}[{\text{A}}{{{\text{i}}}_{3}}(\vec {\rho },a)](\vec {r}) = \\ = \frac{1}{{{{3}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 6}} \right. \kern-0em} 6}}}}\pi }}\exp \left( { - \frac{{{{q}^{3}} - {{q}^{{*3}}}}}{{27}}} \right){\text{Ai}}\left( {{{3}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}a + \frac{{2qq{\text{*}}}}{{{{3}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}}} \right). \\ \end{gathered} $

Действие дифференциального оператора (2i∂q*)n = in(∂x + i∂y)n на формулу (13) приведет к появлению под интегралом слева множителя (ξ + iη)n:

(14)
$\begin{gathered} \mathcal{F}[{{(\xi + i\eta )}^{n}}{\text{A}}{{{\text{i}}}_{3}}(\vec {\rho },a)](\vec {r}) = \\ = \frac{{{{{(2i)}}^{n}}}}{{{{3}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 6}} \right. \kern-0em} 6}}}}\pi }}\partial _{{q*}}^{n}\left\{ {\exp \left( { - \frac{{{{q}^{3}} - {{q}^{{{\text{*}}3}}}}}{{27}}} \right){\text{Ai}}\left( {{{3}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}a + \frac{{2qq{\text{*}}}}{{{{3}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}}} \right)} \right\} = \\ = \frac{{{{{(2i)}}^{n}}}}{{{{3}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 6}} \right. \kern-0em} 6}}}}\pi }}\exp \left( { - \frac{{{{q}^{3}} - {{q}^{{{\text{*}}3}}}}}{{27}}} \right)\left\{ {{{P}_{n}}(q,q{\text{*)Ai}}\left( {{{3}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}a + \frac{{2qq{\text{*}}}}{{{{3}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}}} \right) + } \right. \\ \left. { + \,\,\frac{{2q}}{{{{3}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}}{{Q}_{n}}(q,q{\text{*)Ai'}}{\kern 1pt} \left( {{{3}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}a + \frac{{2qq{\text{*}}}}{{{{3}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}}} \right)} \right\}, \\ \end{gathered} $
где Pn(q, q*) и Qn(q, q*) – полиномы, определяемые рекуррентными соотношениями

(15)
$\begin{gathered} {{P}_{{n + 1}}}(q,q{\text{*)}} = \left( {\frac{{{{q}^{{*2}}}}}{9} + {{\partial }_{{q*}}}} \right){{P}_{n}}(q,q*) + \\ + \,\,\frac{{4{{q}^{2}}}}{9}\left( {a + \frac{{2qq{\text{*}}}}{9}} \right){{Q}_{n}}(q,q{\text{*),}}\,\,\,\,{{Q}_{{n + 1}}}(q,q*) = \\ = \left( {\frac{{{{q}^{{*2}}}}}{9} + {{\partial }_{{q*}}}} \right){{Q}_{n}}(q,q*) + {{P}_{n}}(q,q*), \\ \end{gathered} $

с начальными условиями P0(q, q*) = 1 и Q0(q, q*) = 0. Здесь индекс у полиномов обозначает порядок производной (или кратность оптического вихря), но не степень полинома. В частности, P1(q, q*) = = $\frac{{{{q}^{{{\text{*}}2}}}}}{9}$ и Q1(q, q*) = 1.

Известно, что оператор Френеля (8) сохраняет вращательную симметрию исходного поля для любого значения переменной распространения z: если поле F($\vec {\rho }$) инвариантно к повороту на угол $\frac{{2\pi }}{K}$ в начальной плоскости (ξ, η), то поле FRz[F($\vec {\rho }$)]($\vec {r}$) инвариантно к повороту на тот же угол $\frac{{2\pi }}{K}$ в плоскости переменных (x, y). Можно показать, что, если поле F($\vec {\rho }$) инвариантно к повороту на угол $\frac{{2\pi }}{K}$, то поле (ξ + iη)nF($\vec {\rho }$), где 1 ≤ n ≤ K – 1, при распространении в зоне Френеля сохраняет свою фазовую сингулярность в центре и ее топологический заряд. Благодаря этому свойству и 2π/3-симметрии три-Эйри пучка (K = 3), световое поле (ξ + + iη)nAi3($\vec {\rho }$, a) сохраняет при распространении фазовую сингулярность в начале координат (ξ = = η = 0) с топологическим зарядом n – $3\left[ {\frac{n}{3}} \right]$, где $\left[ * \right]$ – целая часть числа. Если n = 1 или n = 2, то сингулярность остается устойчивой при распространении пучка. Если n = 3, то вырожденный нуль интенсивности расщепляется на три простых нуля, которые из-за симметрии пучка будут располагаться в вершинах правильного треугольника.

Опишем результаты численного исследования динамики движения нулей пучка (14) при фиксированном n = 1 и изменении параметра смещения a от величины a = –0.489 в сторону все более отрицательных значений. При этом мы будем использовать стандартные обозначения: an – нули функции Ai(x), ${{a'}_{n}}$ – нули функции Ai′(x). В частности, a1 ≈ –2.338; a2 ≈ –4.087; a3 ≈ –5.520; ${{a'}_{1}}$ ≈ ≈ ‒1.018; ${{a'}_{2}}$ ≈ –3.248; ${{a'}_{3}}$ ≈ –4.820. Кроме того, оптические вихри с топологическим зарядом +1 будем называть q-нулями (набег фазы от 0 до 2π получается при обходе вокруг такого нуля против часовой стрелки), а оптические вихри с топологическим зарядом –1 будем называть q*-нулями (для них набег фазы от 0 до 2π получается при обходе по часовой стрелке). Итак, при a = ${{3}^{{{{ - 2} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 2} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}{{a'}_{1}}$ ≈ –0.489 пучок (14) имеет единственный оптический вихрь – это q-нуль в центре координат. Когда параметр a проходит через точку a = 3–2/3a1, к q-нулю в центре добавляется два набора по три нуля в каждом, которые располагаются в вершинах правильных треугольников. Треугольник меньшего размера имеет вершины из q*-нулей, лежащие на лучах φ = = $\left\{ { \pm \frac{\pi }{3},\pi } \right\}$. Треугольник большего размера имеет вершины из q-нулей, которые лежат на лучах φ = = $\left\{ {0, \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right\}$. Подобное появление двух треугольников будет сопровождать переход параметра a через точку a = 3–2/3an: каждый раз в структуре Фурье-образа поля будут появляться два новых набора из q- и q*-нулей.

Орбитальный угловой момент три-Эйри пучка с топологическим зарядом

Вычислим орбитальный угловой момент три-Эйри пучка с добавлением оптического вихря кратности n. Известно, что орбитальный угловой момент двумерного светового поля F($\vec {r}$) определяется как отношение двух интегралов: OAM[F] = = $\frac{{L[F]}}{{E[F]}}$, где L[F] – интеграл от плотности углового момента и E[F] – энергия пучка:

(16)
$\begin{gathered} L[F] = {\text{Im}}\iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {F{\text{*(}}r{\text{)\{ }}x{{\partial }_{y}} - y{{\partial }_{x}}\} F(r){{d}^{2}}r}, \\ E[F] = \iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {{\text{|}}F(r){{{\text{|}}}^{2}}{{d}^{2}}r}. \\ \end{gathered} $

Для светового поля вида F($\vec {r}$) = (x + iy)nf($\vec {r}$), где функция f($\vec {r}$) вещественна, отношение величин L[F] и E[F] легко находится, если перейти к полярным координатам: F($\vec {r}$) = rneinφf($\vec {r}$), поэтому

(17)
$\begin{gathered} E[F] = \iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {{\text{|}}F(\vec {r}){{{\text{|}}}^{2}}{{{\text{d}}}^{2}}\vec {r}} = \iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {{{r}^{{2n}}}{{f}^{2}}(\vec {r}){{{\text{d}}}^{2}}\vec {r}}, \\ L[F] = \iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {\operatorname{Im} \{ F{\text{*(}}\vec {r}){{\partial }_{\varphi }}F(\vec {r})\} {{{\text{d}}}^{2}}\vec {r}} = \\ = n\iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {{{r}^{{2n}}}{{f}^{2}}(\vec {r}){{{\text{d}}}^{2}}\vec {r}} + \\ + \,\,\iint\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {{{r}^{{2n}}}\operatorname{Im} \{ f(\vec {r}){{\partial }_{\varphi }}f(\vec {r})\} {{{\text{d}}}^{2}}\vec {r}} = nE[F], \\ \end{gathered} $

т.к. $\operatorname{Im} \left\{ {f\left( {\vec {r}} \right){{\partial }_{\varphi }}f\left( {\vec {r}} \right)} \right\} = 0$ из-за вещественности функции f($\vec {r}$). Световое поле Ai3($\vec {r}$, a) вещественно, поэтому

(18)
${\text{OAM[(}}x + iy{{)}^{n}}{\text{A}}{{{\text{i}}}_{3}}(\vec {r},a)] = n.$

Можно доказать это равенство, непосредственно вычисляя интегралы L[F] и E[F], однако итоговые формулы выглядят достаточно громоздко. Например, для поля F($\vec {r}$) = (x + iy)Ai3($\vec {r}$, a)

(19)
$\begin{gathered} E[F] = L[F] = \frac{4}{{{{3}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}\pi }}\left\{ {\left( {\frac{{13}}{{40}} - \frac{{{{A}^{3}}}}{5}} \right){\text{A}}{{{\text{i}}}^{2}}(A) + } \right. \\ \left. { + \,\,\frac{A}{{10}}{\text{Ai(}}A{\text{)Ai'(}}A) + \frac{{{{A}^{2}}}}{5}{\text{A}}{{{{\text{i'}}}}^{2}}(A)} \right\}, \\ \end{gathered} $
где A = ${{3}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}a$. Поскольку L[F] и E[F] являются инвариантами для любого поля с конечной энергией, то в (16) можно заменить F($\vec {r}$) на F($\vec {r}$, z) при любом z (см. равенство (8)) или на $\mathcal{F}$[F($\vec {\rho }$)]($\vec {r}$). Как следствие, для три-Эйри пучков получаются весьма нетривиальные интегралы от произведений нескольких функций Эйри.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Исследуемые световые поля были реализованы голографическим методом. Рассчитанная голограмма три-Эйри пучка физически воспроизводилась при помощи фазового жидкокристаллического пространственного модулятора света HoloEye HEO 1080P, работающего на отражение, восстановление голограммы производилось пучком твердотельного лазера на длине волны λ = 532 нм. Распределения интенсивности восстановленного поля фиксировались при помощи камеры. Экспериментально зарегистрированные картины распределения интенсивности и их сравнение с результатами численного моделирования эволюции три-Эйри пучков в зоне Френеля приведены на рис. 2. Наблюдается хорошее согласие между теорией и экспериментом.

Рис. 2.

Результаты экспериментальной реализации пучков Ai3($\vec {r}$, a) (верхний ряд) и (x + iy)Ai3($\vec {r}$, a) (нижний ряд) при различных значениях параметра смещения a: –0.489 (а), –1.562 (б), –2.317 (в). Крайние изображения справа – результат численного моделирования распределения интенсивности в Фурье плоскости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, теоретически, численно и экспериментально исследовано распространение в свободном пространстве двумерных световых три-Эйри пучков, а также три-Эйри пучков с добавлением оптического вихря. Было получено аналитическое выражение Фурье-образа три-Эйри пучка с добавлением оптического вихря кратности n. Описаны обнаруженные закономерности местоположения нулей интенсивности (оптических вихрей) Фурье-образа три-Эйри поля с единичным топологическим зарядом в зависимости от величины параметра смещения а. Определена величина орбитального углового момента для три-Эйри пучков с добавлением оптических вихрей. Экспериментальная реализация исследуемых полей проводилась голографическим методом.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 23-22-00314 “Интегралы дифракционных катастроф для задач современной фотоники”).

Список литературы

  1. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т. 1 и Т. 2. М.: Мир, 1984.

  2. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.

  3. Olver F.W.J., Lozier D.W., Boisvert R.F., Clark C.W. NIST handbook of mathematical functions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010.

  4. Siviloglou G.A., Christodoulides D.N. // Opt. Lett. 2007. V. 32. No. 8. P. 979.

  5. Chremmos I., Efremidis N.K., Christodoulides D.N. // Opt. Lett. 2011. V. 36. No. 10. P. 1890.

  6. Papazoglou D.G., Efremidis N.K., Christodoulides D.N., Tzortzakis S. // Opt. Lett. 2011. V. 36. No. 10. P. 1842.

  7. Khonina S.N., Porfirev A.P., Ustinov A.V. // J. Optics. 2018. V. 20. No. 2. Art. No. 025605.

  8. Broky J., Siviloglou G.A., Dogariu A., Christodoulides D.N. // Opt. Express. 2008. V. 16. No. 11. P. 12880.

  9. Gu Y., Gbur G. // Opt. Lett. 2010. V. 35. No. 20. P. 3456.

  10. Chu X. // Opt. Lett. 2011. V. 36. No. 14. P. 2701.

  11. Abramochkin E., Razueva E. // Opt. Lett. 2011. V. 36. No 19. P. 3732–3734.

  12. Liang Y., Ye Z., Song D. et al. // Opt. Express. 2013. V. 21. No. 2. P. 1615.

  13. Liang Y., Chen Y., Wan L. // Opt. Commun. 2017. V. 405. P. 120.

  14. Baumgartl J., Mazilu M., Dholakia K. // Nature Photonics. 2008. V. 2. P. 675.

  15. Polynkin P., Kolesik M., Moloney J.V. et al. // Science. 2009. V. 324. P. 229.

  16. Chong A., Renninger W.H., Christodoulides D.N. et al. // Nature Photonics. 2010. V. 4. P. 103.

  17. Белоненко М.Б., Мостовая Е.И. // Опт. и спектроск. 2019. Т. 126. № 5. С. 563; Belonenko M.B., Mostovaya E.I. // Opt. Spectrosc. 2019. V. 126. No. 5. P. 482.

  18. Двужилова Ю.В., Двужилов И.С., Челнынцев И.А. и др. // Изв. РАН. Сер. физ. 2022. Т. 86. № 6. С. 797; Dvuzhilova Yu.V., Dvuzhilov I.S., Chelnyntsev I.A. et al. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2022. V. 86. No. 6. P. 669.

  19. Vettenburg T., Dalgarno H., Nylk J. et al. // Nature Methods. 2014. V. 11. P. 541.

  20. Nylk J., McCluskey K., Aggarwal S. et al. // Biomed. Opt. Express. 2016. V. 7. No. 10. P. 4021.

  21. Zhou Y., Zammit P., Zickus V. et al. // Phys. Rev. Lett. 2020. V. 124. Art. No. 198104.

  22. Zhang P., Wang S., Liu Y. et al. // Opt. Lett. 2011. V. 36. No. 16. P. 3191.

  23. Otte E., Denz C. // Appl. Phys. Rev. 2020. V. 7. No. 4. Art. No. 041308.

  24. Котова С.П, Лосевский Н.Н., Майорова А.М. и др. // Изв. РАН. Сер. физ. 2022. Т. 86. № 12. С. 1685; Kotova S.P., Losevsky N.N., Mayorova A.M. et al. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2022. V. 86. No. 12. P. 1434.

  25. Sroor H., Moodley C., Rodriguez-Fajardo V. et al. // J. Opt. Soc. Amer. A. 2021. V. 38. No. 10. P. 1443.

  26. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал